- •050708 (031200) Педагогика и методика начального образования дпп. Ф. 06. Математика
- •Глава I. Элементы логики
- •§ 1. Множества и операции над ними
- •1. Понятие множества и элемента множества
- •2. Способы задания множеств
- •3. Отношения между множествами. Подмножество. Равные множества. Универсальное множество. Круги Эйлера. Числовые множества.
- •4. Пересечение множеств
- •5. Объединение множеств
- •6. Свойства пересечения и объединения множеств
- •7. Вычитание множеств. Дополнение множества до универсального
- •8. Понятие разбиения множества на классы с помощью одного, двух, трех свойств
- •9. Декартово произведение множеств
- •10. Число элементов в объединении и разности конечных множеств
- •11. Число элементов в декартовом произведении конечных множеств
- •12. Основные понятия:
- •§ 2. Математические понятия
- •3. Способы определения понятий
- •4. Основные выводы
- •§ 3. Математические предложения
- •§ 4. Математическое доказательство
- •26. Схемы дедуктивных умозаключений.
- •§5. Текстовая задача и процесс ее решения
- •29. Структура текстовой задачи
- •30. Методы и способы решения текстовых задач
- •31. Этапы решения задачи и приемы их выполнения
- •2. Поиск и составление плана решения задачи
- •3. Осуществление плана решения задачи
- •4. Проверка решения задачи
- •5. Моделирование в процессе решения текстовых задач
- •Упражнения
- •32. Решение задач «на части»
- •Упражнения
- •33. Решение задач на движение
- •Упражнения
- •34. Основные выводы.
- •§6. Комбинаторные задачи и их решение
- •§ 7. Алгоритмы и их свойства
- •Упражнения
- •Упражнения
- •Глава II. Элементы алгебры
- •§ 8. Соответствия между двумя множествами
- •41. Понятие соответствия. Способы задания соответствий
- •2. Граф и график соответствия. Соответствие, обратное данному. Виды соответствий.
- •3. Взаимно-однозначные соответствия
- •Упражнения
- •42. Взаимно однозначные соответствия. Понятие взаимно однозначного отображения множества х на множество y
- •2. Равномощные множества. Способы установления равномощности множеств. Счетные и несчетные множества.
- •Упражнения
- •43. Основные выводы § 8
- •§ 9. Числовые функции
- •44. Понятие функции. Способы задания функций
- •2. График функции. Свойство монотонности функции
- •Упражнения
- •45. Прямая и обратная пропорциональности
- •Упражнения
- •46. Основные выводы § 9
- •§10. Отношения на множестве
- •47. Понятие отношения на множестве
- •Упражнения
- •48. Свойства отношений
- •R рефлексивно на х ↔ х r х для любого х € X.
- •R симметрично на х ↔ (х r y →yRx).
- •49. Отношения эквивалентности и порядка
- •Упражнения
- •50. Основные выводы § 10
- •§ 11. Алгебраические операции на множестве
- •51. Понятие алгебраической операции
- •Упражнения
- •52. Свойства алгебраических операций
- •Упражнения
- •53. Основные выводы § 11
- •§ 12. Выражения. Уравнения. Неравенства
- •54. Выражения и их тождественные преобразования
- •Упражнения
- •55. Числовые равенства и неравенства
- •Упражнения
- •56. Уравнения с одной переменной
- •2. Равносильные уравнения. Теоремы о равносильности уравнений
- •3. Решение уравнений с одной переменной
- •Упражнения
- •57. Неравенства с одной переменной
- •2. Равносильные неравенства. Теоремы о равносильности неравенств
- •3. Решение неравенств с одной переменной
- •Упражнения
- •58. Основные выводы § 12
- •Упражнения
- •Глава III. Натуральные числа и нуль
- •§ 13. Из истории возникновения понятия натурального числа
- •§ 14. Аксиоматическое построение системы натуральных чисел
- •59. Об аксиоматическом способе построения теории
- •Упражнения
- •60. Основные понятия и аксиомы. Определение натурального числа
- •Упражнения
- •61. Сложение
- •62. Умножение
- •63. Упорядоченность множества натуральных чисел
- •Упражнения
- •64. Вычитание
- •Упражнения
- •65. Деление
- •66. Множество целых неотрицательных чисел
- •Упражнения
- •67. Метод математической индукции
- •Упражнения
- •68. Количественные натуральные числа. Счет
- •Упражнения
- •69. Основные выводы § 14
- •70. Теоретико-множественный смысл натурального числа, нуля и отношения «меньше»
- •Упражнения
- •Лекция 36. Теоретико-множественный подход в построении множества целых неотрицательных чисел.
- •71. Теоретико-множественный смысл суммы
- •Упражнения
- •72. Теоретико-множественный смысл разности
- •Упражнения
- •73. Теоретико-множественный смысл произведения
- •Упражнения
- •74. Теоретико-множественный смысл частного натуральных чисел
- •Упражнения
- •75. Основные выводы § 15
- •§16. Натуральное число как мера величины
- •76. Понятие положительной скалярной величины и ее измерения
- •Упражнения
- •77. Смысл натурального числа, полученного в результате измерения величины. Смысл суммы и разности
- •Упражнения
- •78. Смысл произведения и частного натуральных чисел, полученных в результате измерения величин
- •79. Основные выводы § 16
- •80. Позиционные и непозиционные системы счисления
- •81. Запись числа в десятичной системе счисления
- •Упражнения
- •82. Алгоритм сложения
- •Упражнения
- •83. Алгоритм вычитания
- •Упражнения
- •84. Алгоритм умножения
- •Упражнения
- •85. Алгоритм деления
- •86. Позиционные системы счисления, отличные от десятичной
- •87. Основные выводы § 17
- •§ 18. Делимость натуральных чисел
- •88. Отношение делимости и его свойства
- •89. Признаки делимости
- •90. Наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель
- •2. Основные свойства наименьшего общего кратного и наибольшего общего делителя чисел
- •3. Признак делимости на составное число
- •Упражнения
- •91. Простые числа
- •92. Способы нахождения наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного чисел
- •93. Основные выводы § 18
- •3. Дистрибутивности:
- •§ 19. О расширении множества натуральных чисел
- •94. Понятие дроби
- •Упражнения
- •95. Положительные рациональные числа
- •96. Множество положительных рациональных чисел как расширение
- •97. Запись положительных рациональных чисел в виде десятичных дробей
- •98. Действительные числа
- •99. Основные выводы § 19
- •Глава IV. Геометрические фигуры и величины
- •§ 20. Из истории возникновения и развития геометрии
- •1. Сущность аксиоматического метода в построении теории
- •2. Возникновение геометрии. Геометрия Евклида и геометрия Лобачевского
- •3. Система геометрических понятий, изучаемых в школе. Основные свойства принадлежности точек и прямых, взаимного расположения точек на плоскости и прямой.
- •§ 21. Свойства геометрических фигур на плоскости
- •§ 22. Построение геометрических фигур
- •1. Элементарные задачи на построение
- •2. Этапы решения задачи на построение
- •Упражнения
- •3. Методы решения задач на построение: преобразования геометрических фигур на плоскости: центральная, осевая симметрии, гомотетия, движение.
- •Основные выводы
- •§24. Изображение пространственных фигур на плоскости
- •1. Свойства параллельного проектирования
- •2. Многогранники и их изображение
- •Тетраэдр Куб Октаэдр
- •Упражнения
- •3. Шар, цилиндр, конус и их изображение
- •Основные выводы
- •§ 25. Геометрические величины
- •1. Длина отрезка и ее измерение
- •1) Равные отрезки имеют равные длины;
- •2) Если отрезок состоит из двух отрезков, то его длина равна сумме длин его частей.
- •Упражнения
- •2. Величина угла и ее измерение Каждый угол имеет величину. Специального названия для нее в
- •1) Равные углы имеют равные величины;
- •2) Если угол состоит из двух углов, то его величина равна сумме величин его частей.
- •Упражнения
- •1) Равные фигуры имеют равные площади;
- •2) Если фигура состоит из двух частей, то ее площадь равна сумме площадей этих частей.
- •4. Площадь многоугольника
- •5. Площадь произвольной плоской фигуры и ее измерение
- •Упражнения
- •Основные выводы
- •1. Понятие положительной скалярной величины и ее измерение
- •1) Масса одинакова у тел, уравновешивающих друг друга на весах;
- •2) Масса складывается, когда тела соединяются вместе: масса нескольких тел, взятых вместе, равна сумме их масс.
- •Заключение
- •Список литературы
3. Признак делимости на составное число
Это утверждение представляет собой признак делимости на числа, которые можно представить в виде произведения двух взаимно простых чисел.
Например, так как 6 = 2∙3 и D (2, 3) = 1, то получаем признак делимости на 6. Для того, что бы натуральное число делилось на 6, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось и на 2 и на 3.
Заметим, что данный признак можно применять многократно.
в) Частные, получаемые при делении двух данных чисел и их наибольший общий делитель, являются взаимно простыми числами.
Этим свойством можно пользоваться при проверке правильности найденного наибольшего общего делителя данных чисел. Например, проверим, является ли число 12 наибольшим общим делителем чисел 24 и 36. Для этого, согласно последнему утверждению, разделим 24 и 36 на 12. Получим соответственно числа 2 и 3, которые являются взаимно простыми. Следовательно,
D (24, 36) = 12.
Упражнения
Даны числа 36 и 45.
а) Найдите все общие делители этих чисел.
б) Можно ли назвать все их общие кратные?
в) Найдите три трехзначных числа, которые являются общими кратными данных чисел.
г) Чему равны D(36, 45) и K(36, 45)? Как проверить правильность полученных ответов?
Верны ли записи:
а) D(32, 8) = 8 и K(32,8) = 32;
б) D(17,35)= 1 и K(17,35) = 595;
в) D(255,306) = 17 и K(255,306),= 78030,
Найдите К(а, b), если известно, что:
а) а = 47,b=105 и D(47,105)= 1;
б) а = 315,b = 385 и D (315,385) = 35.
Сформулируйте признаки делимости на 12,15,18,36,45,75.
Из множества чисел 1032, 2964,5604,8910, 7008 выпишите те, которые делятся на 12.
Делятся ли на 18 числа 548 и 942?
К числу 15 припишите слева и справа по; одной цифре так, чтобы полученное число делилось на 15.
Найдите цифры а и 6 числа 72, если известно, что это число, делится на 45.
9 Не выполняя умножения и деления уголком, установите, какие из следующих произведений делятся на 30:
а) 105∙20; 6)47∙12∙5; в) 85∙33∙7.
10. Не выполняя сложения или вычитания, установите, значения каких выражений, делятся на 36.
а) 72 + 180 + 252; в) 180 + 252 + 100;
б) 612-432; г) 180 + 250 + 200.
91. Простые числа
Простые числа играют большую роль в математике - по существу они являются «кирпичами», из которых строятся составные начала. Это утверждается в теореме, называемой основной теоремой арифметики натуральных чисел, которая приводится без доказательства:
Теорема: Любое составное число можно единственным образом представить в виде произведения простых множителей.
Например, запись 110 = 2∙5∙11 есть представление числа 110 в виде произведения простых множителей или разложение его на простые множители.
Два разложения числа на простые множители считают одинаковым и, если они отличаются друг от друга лишь порядком множителей. Поэтому представление числа 110 в виде произведения 2∙5∙11 или произведения 5∙2∙11 есть, по существу, одно и то же разложение числа 110 на простые множители.
Раскладывая числа на простые множители, используют признаки делимости на 2, 3, 5 и др. Напомним один из способов записи разложения чисел на простые множители. Разложим, например, на множители число 90. Число 90 делится на 2. Значит , 2 есть один из простых множителей в разложении числа 90. Разделим 90 на 2. Число 2 запишем справа от знака равенства, а частное 45 - под числом 90. Число 45 делим на простое число 3, получаем 15. Делим 15 на 3, получаем 5. Число 5 - простое, при делении его на 5 получаем 1. Разложение на множители закончено.
90 = 2∙3∙3∙5
При разложении числа на простые множители произведение одинаковыx множителей представляют в виде степени: 90 = 2∙32∙5; 60 = 22∙3∙5; 72 = 23∙32. Такое разложение числа на простые множители называют каноническим.
В связи с возможностью представлять любое составное число в виде произведения простых множителей возникает необходимость определять, является данное число простым или составным. Эту задачу умели решать еще древнегреческие математики, которым были известны многие свойства простых чисел. Так, Эратосфеном (III в. до н.э.) был придуман способ получения простых чисел, не превышающих натурального числа а. Воспользуемся им для поиска всех простых чисел до 50.
Выпишем все натуральные числа от 1 до 50 и зачеркнем число 1 - оно не является простым. Число 2- простое, обведем его кружком. После этого зачеркиваем каждое второе число, стоящее после 2, т.е. числа 4,6,8,...
Первое не зачеркнутое число 3 является простым, обведем его кружком. И вычеркнем каждое третье число, стоящее после 3, т.е. числа 9, 15,... (числа 6,12 и др. зачеркнуты раньше).
Первое не зачеркнутое число 5 является простым, его также обведем кружком. Зачеркнем каждое пятое число после 5 и т.д
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
Те числа, которые останутся после четырех вычеркиваний (исключая числа 2,3,5 и 7), не делятся ни на 2, ни на 3, ни на 5, ни на 7. В арифметике доказано, что если натуральное число а, большее единицы, не делится ни на одно из простых чисел, квадрат которых не превосходит о, то а число простое. Поскольку 72 = 49, а 49 < 50, то все оставшиеся числа - простые.
Итак, простыми числами, не превосходящими 50, являются 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47.
Описанный способ получения простых чисел называется решетом Эратосфена, так как позволяет отсеивать одно за другим составные числа.
С помощью метода, предложенного Эратосфеном, можно отыскивать все простые числа, не превосходящие заданного числа а. Но он не дает ответа на вопрос, конечно или нет множество простых чисел, - ведь могло бы оказаться, что все числа, начиная с некоторого, составные и множество простых чисел конечно. Решением этой проблемы занимался другой греческий математик - Евклид. Он доказал, что множество простых чисел бесконечно.
Действительно, предположим, что множество простых чисел конечное и исчерпывается числами 2, 3, 5, 7, 7 - самое большое простое число. Перемножим все простые числа и их произведение обозначим через а. Прибавим к этому числу 1. Каким будет полученное число
а + 1 - простым или составным?
Простым число а+1 быть не может, потому что оно больше самого большого простого числа, а по предположению таких чисел не существует. Но составным оно тоже быть не может: если а + 1 .составное, то оно должно иметь хотя бы один простой делитель q. Так как число
а = 2∙3∙5∙...∙р также делится на это простое число q, то и разность (а + 1) - а, т.е. число 1, делится на q, что невозможно.
Итак, число а не является ни простым, ни составным, но этого тоже не может быть - всякое число, отличное от 1, либо простое, либо составное. Следовательно, наше предложение о том, что множество простых чисел конечное и есть самое большое простое число, неверно, и значит, множество простых чисел бесконечное.
Упражнения
1. Из множества чисел 13, 27, 29, 51, 67 выпишите простые числа, а составные разложите на простые множители.
Докажите, что число 819 не является простым числом.
Разложите на простые множители числа 124,588,2700,3780.
Какое число имеет разложение:
а) 23∙327∙13; б) 22∙3∙53?
Лекция 47. Алгоритмы нахождения НОД и НОК
План:
1. Разложение составного числа на простые множители (основная теорема арифметики).
2. Алгоритмы нахождения наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного данных чисел с помощью канонического разложения и алгоритма Евклида.