Упражнения

1, Почему множество натуральных чисел нельзя упорядочить при помощи отношения «непосредственно следовать за»?

Сформулируйте определение отношения а > b и докажите, что оно транзитивно и антисимметрично.

3. Докажите, что если а, b, с - натуральные числа, то:

а) а < b  ас < bс;

б) а + с < b + с> а < Ь.

4. Какие теоремы о монотонности сложения и умножения могут использовать младшие школьники, выполняя задание «Сравни, не выполняя вычислений»:

а) 27 + 8 ... 27 + 18;

б) 27- 8 ... 27 -18.

5. Какие свойства множества натуральных чисел неявно используют младшие школьники, выполняя следующие задания:

А) Запиши числа, которые больше, чем 65, и меньше, чем 75.

Б) Назови предыдущее и последующее числа по отношению к числу 300(800,609,999).

В) Назови самое маленькое и самое большое трехзначное число.

64. Вычитание

При аксиоматическом построении теории натуральных чисел вычитание обычно определяется как операция, обратная сложению.

Определение. Вычитанием натуральных чисел а и b называется операция, удовлетворяющая условию: а — b = с тогда и только тогда, когда b+с = а.

Число а - b называется разностью чисел а и b, число а – уменьшаемым, а число b - вычитаемым.

Теорема 19. Разность натуральных чисел а - b существует тогда и только тогда, когда b < а.

Доказательство. Пусть разность а - b существует. Тогда, по определению разности, найдется такое натуральное число с, что b + с = а, а это значит, что b < а.

Если же b < а, то, по определению отношения «меньше», существует такое натуральное число с, что b + с = а. Тогда, по определению разности, с = а - b, т.е. разность а - b существует.

Теорема 20. Если разность натуральных чисел а и b существует, то она единственна.

Доказательство. Предположим, что существует два различных значения разности чисел а и b;: а – b = с₁ и а - b = с₂, причем с₁  с₂ . Тогда по определению разности, имеем: а = b + с₁, и а = b + с₂_:. Отсюда следует, что b + с ₁ = b + с₂_: и на основании теоремы 17 заключаем, с₁ = с₂.. Пришли к противоречию с допущением, значит, оно неверное, а верна данная теорема.

Исходя из определения разности натуральных чисел и условия ее существования, можно обосновать известные правила вычитания числа из суммы и суммы из числа.

Теорема 21. Пусть а. b и с - натуральные числа.

а) Если а > с, то (а + b) - с = (a - с) + b.

б) Если b > с. то (а + b) - с - а + (b - с).

в) Если а > c и b > с. то можно использовать любую из данных формул. Доказательство. В случае а) разность чисел а и c существует, так как а > с. Обозначим ее через х: а - с = х. откуда а = с + х. Если (а + b) - с = у. то, по определению разности, а + b = с + у. Подставим в это равенство вместо а выражение с + х: (с + х) + b = с + у. Воспользу­емся свойством ассоциативности сложения: с + (х + b) = с + у. Преоб­разуем это равенство на основе свойства монотонности сложения, получим:

х + b = у. .Заменив в данном равенстве х на выражение а - с, будем иметь (а - г) + b = у. Таким образом, мы доказали, что если а > с, то (а + b) - с = (a - c) + b

Аналогично проводится доказательство и в случае б).

Доказанную теорему можно сформулировать в виде правила, удобного для запоминания: дли того чтобы вычесть число из суммы, достаточно вычесть это число из одного слагаемого суммы и к полу­ченному результату прибавить другое слагаемое.

Теорема 22. Пусть а, b и с - натуральные числа. Если а > b + с, то а - (b + с) = (а - b) - с или а - (b + с) = (а - c) - b.

Доказательство этой теории аналогично доказательству теоремы 21.

Теорему 22 можно сформулировать в виде правила, для того чтобы вычесть из числа сумму чисел, достаточно вычесть из этого числа по­следовательно каждое слагаемое одно за другим.

В начальном обучении математике определение вычитания как действия, обратного сложению, в общем виде, как правило, не дается, но им постоянно пользуются, начиная с выполнения действий над одно­значными числами. Учащиеся должны хорошо понимать, что вычита­ние связано со сложением, и использовать эту взаимосвязь при вычис­лениях. Вычитая, например, из числа 40 число 16, учащиеся рассуж­дают так: «Вычесть из 40 число 16 - что значит найти такое число, при сложении которого с числом 16 получается 40; таким числом будет 24, так как 24 + 16 = 40. Значит. 40 - 16 = 24».

Правила вычитания числа из суммы и суммы из числа в начальном курсе математики являются теоретической основой различных прие­мов вычислений. Например, значение выражения (40 + 16) - 10 можно найти, не только вычислив сумму в скобках, а затем вычесть из нее число 10, но и таким образом;

а) (40 + 16) - 10 = (40 - 10) + 16 = 30 + 16 = 46:

б) (40 + 16) - 10 = 40 + (16- 10) = 40 + 6 = 46.