Упражнения

1. Среди следующих записей укажите числовые выражения:

а) 42:5; б) 27; в) 32+-): 14; г) 2·7 = 7·2;

д) (17+13):10-15; е)142>71·2.

2. Какие из следующих выражений имеют смысл, если рассматри­вать их на множестве натуральных чисел:

а) (135 + 67)·12; б)(135-217):2; в) 362:4?

3. Какие из нижеприведенных записей являются выражениями с переменными:

а)8 + 0,3b; б)21-(4+y); в) x+2y<7; г) 32:у + 3 = 5у?

4. Установите, какова область определения выражений, если рас­сматривать их на множестве действительных чисел:

а) (3-y):64; б) 64:(3-у); в) (5+x):(x-12).

5.Известно, что выражение называется по своему последнему дейст­вию. Укажите порядок действий и дайте название каждому выражению:

Выражение		Название выражения
(12·5 + 3:(2 + 7))·18
(23-	(23 -7·6-4+ 15):(17-6)
21 +	21 + (35·3:8-14:5)
19-	19-8:4 + 5

6.Вычислите значение выражения:

а) ((36:2-14)·(42·2-14)+ 20):2;

б)(72:12-(18-15)):(24:3-2·4);

в) (16,583:7,21 + 54,68·853,2 + 28,82·0,1): 1,6-1,02.

7. Выясните, являются ли выражения 3(4 - х) и 12 – 3x тождественно равными на множестве:

а) {1,2, 3,4}; б) действительных чисел.

8. Какие из следующих равенств являются тождествами на множе­стве действительных чисел:

а)3p + 5т = 5т + 3р; в) Зр·5т = 5т·3р;

б) 3p - 5т = 5т - 3р; г) 3p : 5т = 5т : 3р?

9. Обоснуйте каждый шаг в преобразованиях следующих выражений:

а) 324·5 =(300 + 20 + 4)·5 = 300·5 + 20·5 + 4·5 = 500+100 + 20=1500+120=1620;

6)97·12 =(100-3)·12= 100·12-3·12=1200-36 = 1100 + (100-36) = 1164;

в) 5(1-2х)+10x = 5-10x+ 10x = 5.

10.Объясните, почему отношение «иметь одно и то же значение» на множестве числовых выражений является отношением эквивалент­ности. Какие следствия из этого факта используются при выполнении тождественных преобразований числовых выражений?

11. Упростите выражение путем тождественных преобразований:

а)6(2аb-3)+2a(6b-5); б)(12a-16b):4-(10a-4b).

11. Сравните значения выражений, не выполняя действий:

а)(30+56)·5 и 30·5 + 56·5;

б)(19+4)·7 и 19·7+10·7;

в)(14-7)·6 и 16·6-7·6;

г)(18-9)·7 и 18·7-11·7.

13.Решите задачу; решение запишите в виде выражения:

а) На туристическую базу прибыли в один день 150 туристов, на другой день 170. Чтобы пойти по маршрутам, 200 туристов разби­лись на группы, по 20 человек в каждой, а остальные по 15 человек в группе. Сколько получилось групп?

б) В мастерской за 5 дней сшили 2000 фартуков. Сколько фартуков сошьют за 8 дней, если будет шить в день на 50 фартуков больше?

в) Слесарь обработал 6 деталей. Первую деталь он обрабатывал 18 мин, а каждую следующую на 3 мин быстрее, чем предыдущую. Сколько минут потребовалось для обработки всех деталей?

Лекция 25. Равенства и неравенства

План:

1. Понятие равенства и неравенства

2. Свойства равенств и неравенств. Примеры решения равенств и неравенств

55. Числовые равенства и неравенства

Пусть f и g - два числовых выражения. Соединим их знаком равенства. Получим предложение f= g, которое называют числовым равенством.

Возьмем, например, числовые выражения 3 + 2 и 6 - 1 и соединим их знаком равенства 3 + 2 = 6-1. Оно истинное. Если же соединить знаком равенства 3 + 2 и 7 - 3, то получим ложное числовое равенство 3 + 2 = = 7-3. Таким образом, с логической точки зрения числовое равенство - это высказывание, истинное или ложное.

Числовое равенство истинно, если значения числовых выражении, стоящих в левой и правой частях равенства, совпадают.

Свойства равенств и неравенств

Напомним некоторые свойства истинных числовых равенств.

1. Если к обеим частям истинного числового равенства прибавить одно и то же числовое выражение, имеющее смысл, то получим также истинное числовое равенство.

2. Если обе части истинного числового равенства умножить на одно и то же числовое выражение, имеющее смысл, то получим также истинное числовое равенство.

Пусть f и g - два числовых выражения. Соединим их знаком «>» (или «<»). Получим предложение f > g (или f < g), которое называют числовым неравенством.

Например, если соединить выражение 6 + 2 и 13-7 знаком «>», то получим истинное числовое неравенство 6 + 2 > 13-7. Если соеди­нить те же выражения знаком «<», получим ложное числовое неравен­ство 6 + 2 < 13-7. Таким образом, с логической точки зрения число­вое неравенство - это высказывание, истинное или ложное.

Числовые неравенства обладают рядом свойств. Рассмотрим неко­торые.

1. Если к обеим частям истинного числового неравенства прибавить одно и то же числовое выражение, имеющее смысл, то получим также истинное числовое неравенство.

1. Если обе части истинного числового неравенства умножить на одно и то же числовое выражение, имеющее смысл и положительное значение, то получим также истинное числовое неравенство.

2. Если обе части истинного числового неравенства умножить на одно и то же числовое выражение, имеющее смысл и отрицательное значение, а также поменяем знак неравенства на противоположный, то получим также истинное числовое неравенство.