7. Вычитание множеств. Дополнение множества до универсального

Если заданы два множества, то можно не только найти их пересечение и объединение, но и вычесть из одного множества другое. Результат вычитания называют разностью и определяют следующим образом.

Определение. Разностью множеств А и В называют множество, содержащее все элементы, которые принадлежат множеству А и не принадлежат множеству В.

Разность множеств А и В обозначают А \ В. По определению: А \ В ={х/х∈А и х∉В}.

В школьном курсе математики чаще всего приходится выполнять вычитание множеств в случае, когда одно из них является подмножеством другого, при этом разность множеств А \ В называют дополнением множества В до множества А, и обозначают символом В´А, а наглядно изображают так:

Определение: Пусть В⊂ А. Дополнением множества В до множества А называется множество, содержащее все элементы множества А, которые не принадлежат множеству В.

По определению: В´А ={х/х∈А и х∉В}.

Выясним, как находить дополнение подмножества на конкретных примерах.

Если элементы множеств А и В перечислены и В ⊂ А, достаточно перечислить элементы, принадлежащие множеству А и не принадлежащие множеству В. Например, А = {1, 2, 3, 4, 5}, В = {2, 4}, то В´А = {1, 3, 5}.

В том случае, когда указаны характеристические свойства элементов множеств А и В и известно, что В ⊂ А, то множество В´А задают также с помощью характеристического свойства, общий вид которого «х∈А и х∉В». Так, если А – множество четных чисел, а В – множество кратных 4 чисел, то В´А - это множество, содержащее такие четные числа, которые не делятся на 4. Например, 22∈ В´А.

Вычитание– это третья операция над множествами. Условились считать, чтопересечение – более «сильная» операция, чем вычитание.Что касается вычитания и объединения, то их считают равноправными.

Вычитание множеств обладает рядом свойств. В частности можно доказать, что для любых множеств А, В и С справедливы следующие равенства:

1) (А \ В) \ С = (А \ С) \ В);

2) (А∪ В) \ С = (А \ С)∪ (В \ С);

3. (А \ В)∩ С = (А∩ С) \ (В∩ С);

4. А \ (В∪ С) = (А \ В) ∩(А \ С);

5. А \ (В∩ С) = (А \ В) ∪(А \ С).

8. Понятие разбиения множества на классы с помощью одного, двух, трех свойств

Понятия множества и операций над множествами позволяют уточнить наше представление о классификации – действии распределения объектов по классам.

Классификацию мы выполняем достаточно часто. Так, натуральные числа представляем как два класса – четные и нечетные. Углы на плоскости разбиваем на три класса: прямые, острые и тупые.

Любая классификация связана с разбиением некоторого множества объектов на подмножества. При этом считают, что множество Х разбито на классы Х₁, Х₂, …, Хn,…, если:

1. подмножества Х₁, Х₂, …, Хn,… попарно не пересекаются;

2. объединение подмножеств Х₁, Х₂, …, Хn, … совпадает с множеством Х.

Если не выполнено хотя бы одно из условий, классификацию считают неправильной. Например, если из множества Х треугольников выделить подмножества равнобедренных, равносторонних и разносторонних треугольников, то разбиения мы не получим, поскольку подмножества равнобедренных и равносторонних треугольников пересекаются (все равносторонние треугольники являются равнобедренными). В данном случае не выполнено первое условие разбиения множества на классы.

Так как разбиение множества на классы связано с выделением его подмножеств, то классификацию можно выполнять при помощи свойств элементов множеств.

Рассмотрим, например, множество натуральных чисел. Его элементы обладают различными свойствами. Положим,.000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000что нас интересуют числа, обладающие свойством «быть кратным 3». Это свойство позволяет выделить из множества натуральных чисел подмножество, состоящее из чисел, кратных 3. Тогда про остальные натуральные числа можно сказать, что они не кратны 3, т.е. получаем еще одно подмножество множества натуральных чисел. Так как выделенные подмножества не пересекаются, а их объединение совпадает с множеством натуральных чисел, то имеем разбиение этого множества на два класса.

NN

Вообще, если на множестве Х задано одно свойство, то это множество разбивается на два класса. Первый – это класс объектов, обладающий этим свойством, а второй – дополнение первого класса до множества Х. Во втором классе содержатся такие объекты множества Х, которые заданным свойством не обладают. Такую классификацию называют дихотомической.

Рассмотрим ситуацию, когда для элементов множества заданы два свойства. Например, «быть кратным 3» и «быть кратным 5». При помощи этих свойств из множества натуральных чисел можно выделить два подмножества: А – подмножество чисел, кратных 3, и В – подмножество чисел, кратных 5. Эти множества пересекаются, но ни одно из них не является подмножеством другого. Проанализируем получившийся рисунок (справа). Конечно, разбиения множества натуральных чисел на подмножества А и В не произошло. Но круг, изображающий множество N, можно рассматривать как состоящий из четырех непересекающихся областей – на рисунке они пронумерованы. Каждая область изображает некоторое подмножество множестваN. ПодмножествоIсостоит из чисел, кратных 3 и 5; подмножествоII– из чисел, кратных 3 и не кратных 5; подмножествоIII– из чисел, кратных 5 и не кратных 3; подмножествоIY– из чисел, не кратных 3 и не кратных 5. Объединение этих четырех подмножеств есть множествоN.

Таким образом, выделение двух свойств привело к разбиению множества Nнатуральных чисел на четыре класса.

Не следует думать, что задание двух свойств элементов множества всегда приводит к разбиению этого множества на четыре класса. Например, при помощи двух таких свойств «быть кратным 3» и «быть кратным 6» множество натуральных чисел разбивается на три класса: I– класс чисел, кратных 6;II– класс чисел, кратных 3; но не кратных 6;III- класс чисел, не кратных 3.