Упражнения

1. Объясните, почему не существует значения выражения 7:0, проведя рассуждения, аналогичные тем, которые использовались при доказательстве теоремы 28.

2. Разделите с остатком:

а) 37 на 5;б) 83 на 4; в) 12 на 15.

3. Какие остатки могут получаться при делении чисел на 4? Какой вид имеют числа, при делении которых на 4 в остатке получается:

а) 1; б) 3?

4. Известно, что при делении х на у получили неполное частное г и остаток 17. Известно также, что одно из чисел х, у и z равно 13. Какое?

5. На множестве А - {х \ х е N и 1 х  100} задано отношение «иметь один и тот же остаток при делении на 5». На какие классы разобьются числа множества А при помощи данного отношения? По­чему это разбиение возможно? В каком классе окажется 27? 98? 100?

6. На сколько классов разбивается множество N при помощи от­ношения:

а) «иметь один и тот же остаток при делении на 2»;

б) «иметь один и тот же остаток при делении на 7»?

Почему возможно такое разбиение? Назовите по одному предста­вителю из каждого класса разбиения множества N в случае б).

7. Одно число на 62 больше другого. При делении одного из них на другое с остатком в частном получается 5 и в остатке 6. Найдите эти числа.

Лекция 35. Метод математической индукции

План:

1. Метод математической индукции.

2. Решение задач.

67. Метод математической индукции

Метод доказательства, который основан на аксиоме 4 (с. 254) и который мы использовали при доказательстве свойств сложения и умножения, можно применять и для доказательства других утверждений о натуральных числах. Основой для этого служит следующая теорема.

Теорема 30. Если утверждение А(п) с натуральной переменной п истинно для п = 1 и из того, что оно истинно для п = к (к – произвольное натуральное число), следует, что оно истинно и для следующего числа п = к‘ , то утверждение А(п) истинно для любого натурального числа п.

Доказательство. Обозначим через М множество тех и только тех натуральных чисел, для которых утверждение А(п) истинно. Тогда из условия теоремы имеем: 1) 1  М; 2) к  М => к'  М. Отсюда, на основании аксиомы 4, заключаем, что М = N, т.е. утверждение А(п) истинно для любого натурального числа п.

Метод доказательства, основанный на этой теореме, называется методом математической индукции. Состоит оно из двух частей: 1) доказывают, что утверждение А(п) истинно для п = 1, т.е. что истинно высказывание А(1):

2) предполагают, что утверждение А(п) истинно для п = к, и, исходя из этого предположения, доказывают, что утверждение А(п) истинно и для п = к+1, т.е. что истинно высказывание А {к) => А (к + 1).

Если А(1) ^ А(к) => А(к + 1) - истинное высказывание, то делают вывод о том. что утверждение А(п) истинно для любого натурального числа п.

Доказательство методом математической индукции можно начинать не только с подтверждения истинности утверждения для п = 1, но и с любого натурального числа т. В этом случае утверждение А(п) будет доказано для всех натуральных чисел п ≥ т.

Приведем примеры доказательства утверждений методом математической индукции.

Пример 1. Докажем, что для любого натурального числа истинно равенство 1 + 3 + 5 + ... + (2п- 1) = п.

Пример 2. Докажем, что для любого натурального числа истинно утверждение:

(8ⁿ + 6) делится на 7.