- •050708 (031200) Педагогика и методика начального образования дпп. Ф. 06. Математика
- •Глава I. Элементы логики
- •§ 1. Множества и операции над ними
- •1. Понятие множества и элемента множества
- •2. Способы задания множеств
- •3. Отношения между множествами. Подмножество. Равные множества. Универсальное множество. Круги Эйлера. Числовые множества.
- •4. Пересечение множеств
- •5. Объединение множеств
- •6. Свойства пересечения и объединения множеств
- •7. Вычитание множеств. Дополнение множества до универсального
- •8. Понятие разбиения множества на классы с помощью одного, двух, трех свойств
- •9. Декартово произведение множеств
- •10. Число элементов в объединении и разности конечных множеств
- •11. Число элементов в декартовом произведении конечных множеств
- •12. Основные понятия:
- •§ 2. Математические понятия
- •3. Способы определения понятий
- •4. Основные выводы
- •§ 3. Математические предложения
- •§ 4. Математическое доказательство
- •26. Схемы дедуктивных умозаключений.
- •§5. Текстовая задача и процесс ее решения
- •29. Структура текстовой задачи
- •30. Методы и способы решения текстовых задач
- •31. Этапы решения задачи и приемы их выполнения
- •2. Поиск и составление плана решения задачи
- •3. Осуществление плана решения задачи
- •4. Проверка решения задачи
- •5. Моделирование в процессе решения текстовых задач
- •Упражнения
- •32. Решение задач «на части»
- •Упражнения
- •33. Решение задач на движение
- •Упражнения
- •34. Основные выводы.
- •§6. Комбинаторные задачи и их решение
- •§ 7. Алгоритмы и их свойства
- •Упражнения
- •Упражнения
- •Глава II. Элементы алгебры
- •§ 8. Соответствия между двумя множествами
- •41. Понятие соответствия. Способы задания соответствий
- •2. Граф и график соответствия. Соответствие, обратное данному. Виды соответствий.
- •3. Взаимно-однозначные соответствия
- •Упражнения
- •42. Взаимно однозначные соответствия. Понятие взаимно однозначного отображения множества х на множество y
- •2. Равномощные множества. Способы установления равномощности множеств. Счетные и несчетные множества.
- •Упражнения
- •43. Основные выводы § 8
- •§ 9. Числовые функции
- •44. Понятие функции. Способы задания функций
- •2. График функции. Свойство монотонности функции
- •Упражнения
- •45. Прямая и обратная пропорциональности
- •Упражнения
- •46. Основные выводы § 9
- •§10. Отношения на множестве
- •47. Понятие отношения на множестве
- •Упражнения
- •48. Свойства отношений
- •R рефлексивно на х ↔ х r х для любого х € X.
- •R симметрично на х ↔ (х r y →yRx).
- •49. Отношения эквивалентности и порядка
- •Упражнения
- •50. Основные выводы § 10
- •§ 11. Алгебраические операции на множестве
- •51. Понятие алгебраической операции
- •Упражнения
- •52. Свойства алгебраических операций
- •Упражнения
- •53. Основные выводы § 11
- •§ 12. Выражения. Уравнения. Неравенства
- •54. Выражения и их тождественные преобразования
- •Упражнения
- •55. Числовые равенства и неравенства
- •Упражнения
- •56. Уравнения с одной переменной
- •2. Равносильные уравнения. Теоремы о равносильности уравнений
- •3. Решение уравнений с одной переменной
- •Упражнения
- •57. Неравенства с одной переменной
- •2. Равносильные неравенства. Теоремы о равносильности неравенств
- •3. Решение неравенств с одной переменной
- •Упражнения
- •58. Основные выводы § 12
- •Упражнения
- •Глава III. Натуральные числа и нуль
- •§ 13. Из истории возникновения понятия натурального числа
- •§ 14. Аксиоматическое построение системы натуральных чисел
- •59. Об аксиоматическом способе построения теории
- •Упражнения
- •60. Основные понятия и аксиомы. Определение натурального числа
- •Упражнения
- •61. Сложение
- •62. Умножение
- •63. Упорядоченность множества натуральных чисел
- •Упражнения
- •64. Вычитание
- •Упражнения
- •65. Деление
- •66. Множество целых неотрицательных чисел
- •Упражнения
- •67. Метод математической индукции
- •Упражнения
- •68. Количественные натуральные числа. Счет
- •Упражнения
- •69. Основные выводы § 14
- •70. Теоретико-множественный смысл натурального числа, нуля и отношения «меньше»
- •Упражнения
- •Лекция 36. Теоретико-множественный подход в построении множества целых неотрицательных чисел.
- •71. Теоретико-множественный смысл суммы
- •Упражнения
- •72. Теоретико-множественный смысл разности
- •Упражнения
- •73. Теоретико-множественный смысл произведения
- •Упражнения
- •74. Теоретико-множественный смысл частного натуральных чисел
- •Упражнения
- •75. Основные выводы § 15
- •§16. Натуральное число как мера величины
- •76. Понятие положительной скалярной величины и ее измерения
- •Упражнения
- •77. Смысл натурального числа, полученного в результате измерения величины. Смысл суммы и разности
- •Упражнения
- •78. Смысл произведения и частного натуральных чисел, полученных в результате измерения величин
- •79. Основные выводы § 16
- •80. Позиционные и непозиционные системы счисления
- •81. Запись числа в десятичной системе счисления
- •Упражнения
- •82. Алгоритм сложения
- •Упражнения
- •83. Алгоритм вычитания
- •Упражнения
- •84. Алгоритм умножения
- •Упражнения
- •85. Алгоритм деления
- •86. Позиционные системы счисления, отличные от десятичной
- •87. Основные выводы § 17
- •§ 18. Делимость натуральных чисел
- •88. Отношение делимости и его свойства
- •89. Признаки делимости
- •90. Наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель
- •2. Основные свойства наименьшего общего кратного и наибольшего общего делителя чисел
- •3. Признак делимости на составное число
- •Упражнения
- •91. Простые числа
- •92. Способы нахождения наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного чисел
- •93. Основные выводы § 18
- •3. Дистрибутивности:
- •§ 19. О расширении множества натуральных чисел
- •94. Понятие дроби
- •Упражнения
- •95. Положительные рациональные числа
- •96. Множество положительных рациональных чисел как расширение
- •97. Запись положительных рациональных чисел в виде десятичных дробей
- •98. Действительные числа
- •99. Основные выводы § 19
- •Глава IV. Геометрические фигуры и величины
- •§ 20. Из истории возникновения и развития геометрии
- •1. Сущность аксиоматического метода в построении теории
- •2. Возникновение геометрии. Геометрия Евклида и геометрия Лобачевского
- •3. Система геометрических понятий, изучаемых в школе. Основные свойства принадлежности точек и прямых, взаимного расположения точек на плоскости и прямой.
- •§ 21. Свойства геометрических фигур на плоскости
- •§ 22. Построение геометрических фигур
- •1. Элементарные задачи на построение
- •2. Этапы решения задачи на построение
- •Упражнения
- •3. Методы решения задач на построение: преобразования геометрических фигур на плоскости: центральная, осевая симметрии, гомотетия, движение.
- •Основные выводы
- •§24. Изображение пространственных фигур на плоскости
- •1. Свойства параллельного проектирования
- •2. Многогранники и их изображение
- •Тетраэдр Куб Октаэдр
- •Упражнения
- •3. Шар, цилиндр, конус и их изображение
- •Основные выводы
- •§ 25. Геометрические величины
- •1. Длина отрезка и ее измерение
- •1) Равные отрезки имеют равные длины;
- •2) Если отрезок состоит из двух отрезков, то его длина равна сумме длин его частей.
- •Упражнения
- •2. Величина угла и ее измерение Каждый угол имеет величину. Специального названия для нее в
- •1) Равные углы имеют равные величины;
- •2) Если угол состоит из двух углов, то его величина равна сумме величин его частей.
- •Упражнения
- •1) Равные фигуры имеют равные площади;
- •2) Если фигура состоит из двух частей, то ее площадь равна сумме площадей этих частей.
- •4. Площадь многоугольника
- •5. Площадь произвольной плоской фигуры и ее измерение
- •Упражнения
- •Основные выводы
- •1. Понятие положительной скалярной величины и ее измерение
- •1) Масса одинакова у тел, уравновешивающих друг друга на весах;
- •2) Масса складывается, когда тела соединяются вместе: масса нескольких тел, взятых вместе, равна сумме их масс.
- •Заключение
- •Список литературы
96. Множество положительных рациональных чисел как расширение
множества натуральных чисел
Чтобы множество Q+ положительных рациональных чисел являюсь расширением множества N натуральных чисел, необходимо выполнение ряда условий.
Первое условие- это существование между N иQ+ отношения включения. Докажем, что
N ÌQ+.
Пусть длина отрезка х при единичном отрезкеевыражается натуральным числомm. Разобьем единичный отрезок направных частей. Тогдаn-ая часть единичного отрезка будет укладываться в отрезке Х точноmпраз, т.е. длина отрезкахбудет выражена дробью. Значит, длина отрезках выражается и натуральным числомm, и положительным рациональным числом. Но это
должно пбыть одно и то же число. Поэтому целесообразно считать, что дроби видаявляются записями натурального числаm.
Следовательно, N ÌQ+.
Так, например, натуральное число 6 можно представить в виде следующих дробей: 6/1 12/2, 18/3 24/4, 30/5 и т.д.
Отношение между множествами N и Q+ представлено на рисунке 129.
Рисунок 129.
Числа, которые дополняют множество натуральных чисел до множества положительных рациональных, называются дробными.
Второе условие, которое должно быть выполнено при расширении множества натуральных чисел, - это согласованность операций, т.е. результаты арифметических действий, произведенных по правилам, существующим для натуральных чисел, должны совпадать с результатами действий над ними, но выполненных по правилам, сформулированным для положительных рациональных чисел. Нетрудно убедиться в том, что и это условие выполняется.
Пусть аиb- натуральные числа,а+b- их сумма, полученная по правилам сложения в N. Вычислим сумму чиселаиbпо правилу сложения вQ+. Так как а =,b=, то+==а+bУбедиться в том, что второе условие выполняется и для других операций, можно аналогично.
Третье условие, которое должно быть выполнено при расширении множества натуральных чисел - это выполнимость вQ+операции, не всегда осуществимой вN. И это условие соблюдено: деление, которое не всегда выполняется в множествеN, в множествеQ+выполняется всегда.
Сделаем еще несколько дополнений, раскрывающих взаимосвязи между натуральными и положительными рациональными числами.
1. Черту в записи дроби — можно рассматривать как знак деления.
Действительно, возьмем два натуральных числа mиnи найдем их частное по правилу (4) деления положительных рациональных чисел:
m:n =:==.
Обратно, если дана дробь , то ее можно рассматривать как частое натуральных чиселmиn:
==:= m:n.
2. Любую неправильную дробь можно представить либо в виде натурального числа, либо в виде смешанной дроби.
Пусть - неправильная дробь. Тогдаm>n. Еслиmкратноn, то в этом случае дробьявляется записью натурального числа. Если числоm не кратноn, то разделимm наnс остатком:
m=nq + r, гдеr<n.
Подставим nq + rвместоmв записьи применим правило (1) сложения положительных рациональных чисел:==+=q+.
Так как r<n, то дробь- правильная. Следовательно, неправильная дробь — оказалась представленной в виде суммы натурального числаqи правильной дроби. Это действие называется
выделением целой части из неправильной дроби. Например, ==+=3+.
Сумму натурального числа и правильной дроби принято записывать без знака сложения: т.е. вместо
3 + пишут 3и называют такую запись смешанной дробью.
Справедливо также утверждение: всякую смешанную дробь можно записать в виде неправильной дроби. Например:
3=3+=+==.
Упражнения
1. Какие из данных чисел являются дробными:
а) ; б); в); г)?
7 27 1 2
2. Докажите, что вычитание, умножение и деление натуральных чисел в множестве N и Q+ согласованно.
3.Число 2 умножили на правильную дробь. Какое число получилось - больше или меньше числа 2? А если 2 умножить на неправильную дробь?
4. Может ли при умножении числа 3 на правильную дробь получиться число:
а) меньше 1; б) больше 1?
5. Решите арифметическим методом задачи.
а) В трех гаражах помещается 460 машин. Число машин в первом гараже составляет числа машин, помещающихся во втором, а в третьем гараже в 1раза больше машин, чем в первом. Сколько машин в каждом гараже?
б) Из двух пунктов, расстояние между которыми 25 км, вышли одновременно навстречу друг другу два пешехода. Один из них проходил в час на км больше другого. С какой скоростью шел каждый,
если через 2 ч после выхода расстояние между ними стало 7км?
Лекция 50. Десятичные дроби
План:
1. Десятичные дроби. Алгоритмы арифметических действий над ними.
2. Преобразование обыкновенных дробей в десятичные.
3. Рациональные числа как бесконечные десятичные периодические дроби.
4. Преобразование периодических десятичных дробей в обыкновенные.