Упражнения

1. Постройте с помощью циркуля и линейки треугольник по из­вестным трем сторонам. Всегда ли такое построение возможно?

2. Даны отрезок р, два угла α и β. Всегда ли можно построить тре­угольник, у которого сторона равна р, а прилежащие к ней углы рав­ны α и β.

3. Постройте с помощью циркуля и линейки прямоугольник, у ко­торого известны его стороны а и в.

4.Пользуясь только циркулем и линейкой, постройте:

а) прямоугольник по диагонали и одной из сторон;

б) квадрат со стороной р;

в) квадрат, диагональ которого задана.

5. Сколько можно построить параллелограммов с вершинами в трех данных точках, не лежащих на одной прямой?

6. Постройте параллелограмм, если известны его диагонали и угол между ними.

7. Сколько параллелограммов можно построить, если известны две его соседние стороны? Ответ обоснуйте.

8. С помощью циркуля и линейки постройте ромб по:

а) известным диагоналям;

б) известной стороне и одному из углов при его вершине;

в) углу и диагонали, исходящей из вершины этого угла;

г) стороне и диагонали.

9. Постройте трапецию по основаниям и боковым сторонам.

10. По каким данным можно построить равнобедренный треуголь­ник? Во всех возможных случаях выполните построения.

3. Методы решения задач на построение: преобразования геометрических фигур на плоскости: центральная, осевая симметрии, гомотетия, движение.

Пусть на плоскости (в пространстве) задана фигура F. Поставим в соответствие каждой точке данной фигуры F единственную точку плоскости (пространства). Получим новую фигуру F'. В этом случае говорят, что фигура F' получена преобразованием фигуры F. При этом фигура F' является образом фигуры F для данного преобразования, а фигуры F – прообразом фигуры F'. Существует несколько видов преобразований: симметрия относительно точки (центральная симметрия), симметрия относительно прямой (осевая симметрия), симметрия относительно плоскости, гомотетия и др.

Симметрия относительно точки. Пусть О – фиксированная точка и Х – произвольная точка. Точка Х ' называется симметричной точке Х относительно точки О, если точки Х, О, Х' лежат на одной прямой и ОХ = О Х '. Точка, симметричная точке Х ', есть точка Х. Преобразование фигуры F в фигуру F', при котором каждая ее точка Х переходит в точку Х', симметричную Х относительно данной точки О, называется преобразованием симметрии относительно точки О.

Если преобразование симметрии относительно точки О переводит фигуру F в себя, то фигура называется центрально-симметричной относительно точки О, а точка О – ее центром симметрии. Примеры – параллелограмм, окружность, куб, сфера, параллелепипед.

Пусть m – фиксированная прямая и Х – произвольная точка. Точка Х ' называется симметричной точке Х относительно прямой m, если прямая ХХ' перпендикулярна прямой m и ОХ = О Х ', где точка О – точка пересечения прямых ХХ' и m. Точка, симметричная точке Х , лежащей на прямой m, есть сама точка Х. Точка, симметричная точке Х ', есть точка Х. Преобразование фигуры F в фигуру F', при котором каждая ее точка Х переходит в точку Х', симметричную Х относительно данной прямой m, называется преобразованием симметрии относительно прямой m. Прямая m называется осью симметрии.

Гомотетия. Пусть F – данная фигура и О – фиксированная точка. Проведем через произвольную точку Х фигуры F луч ОХ и отложим на нем отрезок ОХ', равный k∙ОХ, где k – положительное число. Преобразование фигуры F в фигуру F', при котором каждая ее точка Х переходит в такую точку Х', что ОХ = k∙ОХ', называется гомотетией относительно центра О, число k называется коэффициентом гомотетии. Фигуры F и F' называются гомотетичными.

Движение – преобразование фигуры F в фигуру F', при котором сохраняется расстояние между точками, т.е. движение переводит любые две точки Х и Y фигуры F в точки Х ' и Y' фигуры F' так, что ХY = Х 'Y'.

Преобразование симметрии относительно точки является движением (центральная симметрия).

Преобразование симметрии относительно прямой является движением (осевая симметрия).

Преобразование симметрии относительно плоскости является движением.