2. Равномощные множества. Способы установления равномощности множеств. Счетные и несчетные множества.

Определение. Множества X и Y называются равномощными, если между ними можно установить взаимно однозначное соответствие.

Если множества X и Y равномощны, то пишутX ~ Y.

Нетрудно увидеть, что множества, которые были рассмотрены в примерах 1 и 2, равномощны.

Равномощными могут быть как конечные, так и бесконечные множества. Равномощные конечные множества называют еще равночисленными. В начальном обучении математике равночисленность выражается словами «столько же» и может использоваться при ознакомлении учащихся со многими другими понятиями. Например, чтобы ввести равенство чисел, сравнивают два множества, устанавливая между их элементами взаимно однозначное соответствие. Например, пишут, что 5 = 5, так как кружков столько же, сколько квадратов (рис. 76).

Понятие равночисленности множеств лежит и в основе определения отношений «больше на ...» и «меньше на ...». Например, чтобы утверждать, что 6 больше 4 на 2, сравнивают два множества, устанавливая взаимно однозначное соответствие между множеством X, в котором 4 элемента, и подмножествомY, другого множестваY, в котором 6 элементов (рис. 77), и делают вывод: треугольников столько же, сколько кружков, и еще 2. Другими словами, треугольников на 2 больше, чем кружков.

Рис. 77

Как уже было сказано, равномощными могут быть и бесконечные множества. Приведем примеры таких множеств.

Пример 3. ПустьX- множество точек отрезкаАВ,Y- множество точек отрезкаСD, причем длины отрезков различны. Так как между данными множествами можно установить взаимно однозначное соответствие (рис. 78), то множества точек отрезкаАВиСDравномощны.

Пример 4. Рассмотрим множествоN натуральных чисел и множествоY- четных натуральных чисел. Они равномощны, так как между их элементами можно установить взаимно однозначное соответствие:

N: 1 2 3 …n…

Y: 2 4 6 … 2n…

На первый взгляд кажется парадоксальным тот факт, что можно установить взаимно однозначные соответствия между множеством и его частью: для конечных множеств такая ситуация невозможна. Однако в математике доказано, что для бесконечного множества Авсегда найдется такое его подмножествоB, что междуАиВможно установить взаимно однозначное соответствие. Иногда это утверждение считают определением бесконечного множества.

Если бесконечное множество равномощно множеству Nнатуральных чисел, его называют счетным. Любое бесконечное подмножество множестваNсчетно: чтобы пронумеровать его элементы, надо расположить элементы подмножества в порядке возрастания и нумеровать один за другим (т.е. так, как это сделано в примере 4). Так, счетно множество всех нечетных натуральных чисел, множество натуральных чисел, кратных 5 и др. Счетными являются также множества всех целых чисел, всех рациональных.

Существуют ли множества, отличные от счетных? Доказано, что бесконечным множеством, не равномощным множеству Nнатуральных чисел, является множествоRвсех действительных чисел.

Упражнения

1. Задайте при помощи графа три соответствия между множествами X = {а, b, с} иY= {2, 4, 6} так, чтобы одно из них было взаимно однозначным.

Рис.79

2. X- множество прямоугольников (рис. 79),Y=N. Между элементами этих множеств установлено соответствиеР: «прямоугольникхимеет площадь, равнуюу». Постройте граф соответствияР. Является ли оно взаимно однозначным?

3. Как можно изменить множества X и Y, данные в упражнении 2, чтобы соответствиеР: «прямоугольникхимеет площадь, равнуюу», было взаимно однозначным?

4. Даны множества: А= {1, 2, 5}, В = {3, 7}. НайдитеАхВиВхА. Верно ли, что найденные множества равномощны?

5. Докажите, что множество Асчетно, если:

а) А= {9,10,11,12,...};

б) А= (а│а= 3n,n€N};

в)А= {а│а=n²,n€N}.

6.Покажите, что, выполняя нижеприведенные задания, учащиеся начальных классов используют понятие равночисленности множеств:

а) Нарисуй на другой фигуре (рис. 80) столько же точек, сколько на первой (точки не пересчитывать).

б) Нарисуй, не считая, столько же квадратов и столько же отрезков, сколько на рисунке 81 треугольников.

в) У Димы было 28 марок, а у Коли на 7 марок больше. Сколько марок было у Коли?

г) У Маши 9 игрушек, а у Риты на 2 меньше. Сколько игрушек у Риты?

д) Для детского сада купили 4 зеленых мяча, а красных в 3 раза больше, чем зеленых. Сколько красных мячей купили детям?

е) Для детского сада купили 15 красных мячей, а зеленых в 3 раза меньше. Сколько зеленых мячей купили детям?