Упражнения

1. На примере нахождения разности чисел 469 и 246, 757 и 208 про­иллюстрируйте теоретические основы алгоритма вычитания чисел столбиком.

2. Выполните вычитание, используя запись и объясняя каждый шаг алгоритма:

а) 84072 - 63894; в) 935204 - 326435;

б) 940235 - 32849; г) 653481 - 233694.

3. Сколько пятизначных чисел можно записать, используя цифры 1 и 0? Чему равна разность между наибольшим и наименьшим из этих пятизначных чисел?

4. Назовите способы проверки правильности вычитания многозначных чисел и дайте им обоснование.

5. Вычислите (устно) значение выражения, использованные приемы обоснуйте:

а) 2362-(839+ 1362);

б) (1241 +576)-841;

в) (7929 + 5027 + 4843) - (2027 + 3843).

6. Докажите, что а + (b-с) =

(а + b) - с, еслиb≥ с,

(а - c) +b, еслиа ≥ с,b≥ с

Используя это правило, вычислите значение выражения:

а) 6420+ (3580-1736);

б) 5480 + (6290 - 3480).

7. Докажите, что а-(b-с) =

(а - b) + с, еслиb≥ с, а≥ b

(а + c) - с, еслиb≥ с,b≥ а+ с

Используя это правило, вычислите значение выражения:

а) 3720-(1742-2678),

б) 2354-(965-1246).

8. Докажите, что (а - b) - с =

(а - с) - b, если а≥ с, а≥ b

а – (b+c), если а≥ b+ с

Используя это правило, вычислите значение выражения:

а) (4317 -1928) -317;

б) (5243-1354)-1646.

9. Не выполняя вычислений, найдите пары выражений, значения которых равны:

а) 6387 - 1486 - 821; г) 6387 - 1486 + 821;

б) 6387 - (1486 - 821); д) 6387 + 1486 - 821;

в) 6387 - (1486 + 821); е) 6387 + (1486 - 821).

10. Как изменится разность, если:

а) уменьшаемое уменьшить на 277, а вычитаемое увеличить на 135;

б) к уменьшаемому и вычитаемому прибавить 198;

в) к уменьшаемому прибавить, а из вычитаемого вычесть 198?

11. Решить следующие задачи арифметическим методом, решение запишите в виде числового выражения; выбор действий обоснуйте, используя соответствующую математическую теорию:

а) Первый овощной магазин получил с базы на 500 кг овощей больше, чем второй магазин. Первый магазин продал за день 1 т 300 кг овощей, второй 1 т 100 кг. На сколько меньше овощей осталось к концу дня во втором магазине?

б) В двух мешках лежат яблоки; в первом мешке на 70 яблок больше, чем во втором. В каком мешке яблок будет меньше и на сколько, если переложить из первого мешка во второй 45 яблок?

в) В первой библиотеке 6844 книги, что на 959 книг меньше, чем во второй, а в третьей на 2348 книг меньше, чем в первой и второй библио­теках вместе. Сколько книг в третьей библиотеке?

84. Алгоритм умножения

Умножение однозначных чисел можно выполнить, основываясь на определении этого действия. Но чтобы всякий раз не обращаться к определению, все произведения однозначных чисел записывают в особую таблицу, называемую таблицей умножения однозначных чи­сел, и запоминают.

Естественно, что смысл умножения сохраняется и для многознач­ных чисел, но меняется техника вычислений. Произведение много­значных чисел, как правило, находят, выполняя умножение столби­ком, по определенному алгоритму. Выясним, каким образом возника­ет этот алгоритм, какие теоретические факты лежат в его основе.

Умножим, например, столбиком 428 на 263.

х 428

263

1284

+

2568

856

112564

Видим, что для получения ответа нам пришлось умножить 428 на 3, 6 и 2, т.е. умножить многозначное число на однозначное; но, умножив на 6, результат записали по-особому, поместив единицы числа 2568 под десятками, так как умножали на 60 и получили число 25680, но нуль в конце записи опустили. Слагаемое 856 - »то результат умножения на 2 сотни, т.е. число 85600. Кроме того, нам пришлось найти сумму многозначных чисел.

Итак, чтобы выполнять умножение многозначного числа на мно­гозначное, необходимо уметь:

умножать многозначное число на однозначное и на степень десяти;

складывать многозначные числа.

Сначала рассмотрим умножение многозначного числа на однозначное. Умножим, например, 428 на 3. Согласно правилу записи чи­сел в десятичной системе счисления, 428 можно представить в виде 4∙10²+ 2∙10 + 8 и тогда 428∙3 = (4∙10²+ 2∙10 + 8) ∙З; На основании дистрибутивности умножения относительно сложения раскроем скобки: (4∙10²) ∙З + (2∙10)∙З + 8 ∙З

Произведения в скобках могут быть найде­ны по таблице умножения однозначных чисел. Видим, что умножение многозначного числа на однозначное свелось к умножению однозначных чисел. Но чтобы получить окончательный результат, надо преобразовать выражение 12∙10²+ 6∙10 + 24 - коэф­фициенты перед степенями 10 должны быть меньше 10. Для этого представим число 12 в виде 1 • 10 + 2, а число 24 в виде 2•10 + 4. Затем раскроем скобки и на основании ассоциативности сложения и дистрибутивности умножения относительно сложения сгруппируем слагаемые.

Таким образом, умножение многозначного числа на однозначное основывается на:

- записи чисел в десятичной системе счисления;

- свойствах сложения и умножения;

- таблицах сложения и умножения однозначных чисел.

Выведем правило умножения многозначного числа на однозначное в общем виде. Пусть требуется умножить х = х = a_n ·10 ⁿ + a _n-1 ·10 ^n-1 + ... +а_1·10 + а_0,

на однозначное число у:

х ∙ у= (a_n ·10 ⁿ + a _n-1 ·10 ^n-1 + ... +а_1·10 + а₀) ∙ у

причем преобразования выполнены на основании свойств умножения. После этого, используя таблицу умножения, заменяем все произведе­ния а_к ∙ у =b _к∙∙10 + си получаем:

х ∙ у = (b_n ∙ 10 + с_n) ·10 ⁿ + ( b _n-1∙10 + c _n-1·) ∙10 ^n-1 + … + (b₁ ∙10 + с₁ ) ·10 + (b_{0 ·}10 + с ₀ ) =

b_n ∙ 10 ⁿ + (с_n + b _n-1) ∙10 ⁿ + … + ( с₁ + b₀ ) _· 10 + с ₀

По таблице сложения заменяем суммы ск + b к-1, где0  к  nик: = 0, 1, 2, ...,n, их значениями. Если, например,с₀одно­значно, то последняя цифра произведения равнас₀. Если жес₀= 10 +m ₀, то последняя цифра равнаm ₀, а к скобке ( с₁+ b₀ ) надо прибавить 1. Продолжая этот процесс, получим десятичную запись числах ∙ у.

Описанный процесс позволяет сформулировать в общем виде ал­горитм умножения многозначного числа х =а_n а _n-1…а₁ а₀ на однозначное число у.

1. Записываем второе число под первым.

2. Умножаем цифры разряда единиц числа х на число у. Если произведение меньше 10, его записываем в разряд единиц ответа и пере­ходим к следующему разряду (десятков).

3. Если произведение цифр единиц числа х на число у больше или равно 10, то представляем его в виде 10 q₁ + c₀; , гдеc₀– однозначное число; записываемc₀ в разряд единиц ответа и запоминаемq₁ - пере­нос в следующий разряд.

4. Умножаем цифры разряда десятков на число у, прибавляем к по­лученному произведению число q₁ и повторяем процесс, описанный в пп. 2 и 3.

5. Процесс умножения заканчивается, когда окажется умноженной цифра старшего разряда.

Как известно, умножение числа хна число вида10сводится к приписыванию к десятичной записи данного числакнулей. Покажем это. Умножим число )

х=a_n ·10 ⁿ + a _n-1 ·10 ^n-1 + ... +а_1·10 + а₀ на10:

(a_n ·10 ⁿ + a _n-1 ·10 ^n-1 + ... +а_1·10 + а₀) 10

Полученное выражение является суммой разрядных слагаемых числа

а_n а _n-1…а₁ а₀ 0…0, так как равно

a_n ·10 ⁿ⁺ + a _n-1 ·10 ^{n+ -1} + ... + а_{0 ·} 10 + 010+010+…+ 010 + 0.

Например, 347 10 ³ ⁵⁴= (310²+ 410 + 7)10 ³ = 310 ⁵ + 410 ⁴+ 710³ + 010² + 0 10 + 0 = 347000.

Заметим еще, что умножение на число у 10, где у - однозначное число, сводится к умножению на однозначное числоуи на число10. Например, 52300 = 52(310² ) = (523) = 15610² = 15600.

Рассмотрим теперь алгоритм умножения многозначного числа на многозначное. Обратимся сначала к примеру, с которого начинали, т.е. к произведению 428 263. Представим число 263 в виде суммы 210²+ 610 + 3 и запишем произведение 428(210²+ 610 + 3 ). Оно, согласно дистрибутивности умножения относительно сложения, равно 428(210²) + 428(610 ) + 4283 . Отсюда, применив ассоциативное свойство умножения, получим: (4282)10²+ (4286)10 + 4283 . Видим, что умножение многозначного числа 428 на многозначное число 263 свелось к умножению многозначного числа 428 на однозначные числа 2, 6 и 3, а также на степени 10.

Рассмотрим умножение многозначного числа на многозначное в общем виде. Пусть х и у - многозначные числа, причем у

у = b ·10 + b ·10 + ... + b_1·10 + b_0,

В силу дистрибутивности умножения относитель­но сложения, а также ассоциативности умножения можно записать: х  у = (х · b ·10 + b ·10 + ... + b_1·10 + b₀ ) =

(х · b) ·10 + (х · b) ·10 + ... + (х · b₁) _· 10 + х · b₀ . Последовательно умножая числохна однозначные числаb , b , ... , b₁ , b_0, а затем на степени 10,

получаем слагаемые, сумма которых равна х · у.

Сформулируем в общем виде алгоритм умножения числа х на числоу.

1. Записываем множитель х и под ним второй множительу.

2. Умножаем число х на младший разрядb₀ числауи записываем произведениех · b₀ под числому.

3. Умножаем число х на следующий разрядb₁ числауи записыва­ем произведениех · b₁, но со сдвигом на один разряд влево, что соот­ветствует умножениюх · b₁ на 10.

4. Продолжаем вычисление произведений до вычисления х · bк.

5. Полученные к + 1произведения складываем.

Изучение алгоритма умножения многозначных чисел в начальном курсе математики, как правило, проходит в соответствии с выделенны­ми этапами. Различия имеются только в записи. Например, при обосно­вании случая умножения многозначного числа на однозначное пишут:

428 3 = (400 + 20 + 8)3 = 4003 + 203 + 83 = 1200 + 60 + 24 = 1284. Основой выполненных преобразований являются:

- представление первого множителя в виде суммы разрядных слагаемых (т.е. запись числа в десятичной системе счисления);

правило умножения суммы на число (или дистрибутивность умножения относительно сложения);

умножение «круглых» (т.е. оканчивающихся нулями) чисел на однозначное число, что сводится к умножению однозначных чисел.