45. Прямая и обратная пропорциональности

Если t- время движения пешехода (в часах),s- пройденный путь (в километрах), и он движется равномерно со скоростью 4 км/ч, то зависимость между этими величинами можно выразить формулойs= 4t. Так как каждому значению I соответствует единственное значение 5, то можно говорить о том, что с помощью формулыs = 4tзадана функция. Ее называют прямой пропорциональностью и определяют следующим образом.

Определение. Прямой пропорциональностью называется функция, которая может быть задана при помощи формулы у = kх, где k - не равное нулю действительное число.

Название функции у = kхсвязано с тем, что в формулеу = kхесть переменныехиу, которые могут быть значениями величин. А если отношение двух величин равно некоторому числу, отличному от нуля, их называют прямо пропорциональными. В нашем случаеy/x=k(k≠ 0). Это число называюткоэффициентом пропорциональности.

Функция у = kхявляется математической моделью многих реальных ситуаций, рассматриваемых уже в начальном курсе математики. Одна из них описана выше. Другой пример: если в одном пакете муки 2 кг, а купленохтаких пакетов, то всю массу купленной муки (обозначим ее черезу) можно представить в виде формулыу= 2х, т.е. зависимость между количеством пакетов и всей массой купленной муки является прямой пропорциональностью с коэффициентомk= 2.

Напомним некоторые свойства прямой пропорциональности, ко­торые изучаются в школьном курсе математики.

1. Областью определения функции у = kхи областью ее значений является множество действительных чисел.

2. Графиком прямой пропорциональности является прямая, проходящая через начало координат. Поэтому для построения графика прямой пропорционально­сти достаточно найти лишь одну точку, при­надлежащую ему и не совпадающую с началом координат, а затем через эту точку и начало координат провести прямую.

Например, чтобы построить график функ­ции у = 2х, достаточно иметь точку с коорди­натами (1, 2), а затем через нее и начало коор­динат провести прямую (рис. 89).

3. При k > 0 функцияу = kх возрастает на всей области определе­ния; приk < 0 - убывает на всей области определения.

4. Если функция f - прямая пропорциональность и(х₁,у₁), (х₂,у₂), - пары соответственных значений переменныхxиу, причемx₂≠ 0, тоx₁/x₂ = y₁/y₂

Действительно, если функция f- прямая пропорциональность, то она может быть задана формулойу =kх, и тогдау₁ = kх₁, у₂ =kх₂. Так как прих₂ ≠ 0 иk ≠ 0, тоу₂ ≠ 0. Поэтомуy₁/y₂ = kx₁/kx₂ = x₁/x₂

Если значениями переменных х иу служат положительные дейст­вительные числа, то доказанное свойство прямой пропорционально­сти можно сформулировать так: с увеличением (уменьшением) значения переменной х в несколько раз соответствующее значение переменной у увеличивается (уменьшается) во столько же раз.

Это свойство присуще только прямой пропорциональности, и им можно пользоваться при решении текстовых задач, в которых рассмат­риваются прямо пропорциональные величины.

Задача 1. За 8 ч токарь изготовил 16 деталей. Сколько часов по­требуется токарю на изготовление 48 деталей, если он будет работать с той же производительностью?

Решение. В задаче рассматриваются величины - время работы токаря, количество сделанных им деталей и производительность (т.е. количество деталей, изготавливаемых токарем за 1 ч), причем послед­няя величина постоянна, а две другие принимают различные значения. Кроме того, количество сделанных деталей и время работы - величи­ны прямо пропорциональные, так как их отношение равно некоторому числу, не равному нулю, а именно - числу деталей, изготавливае­мых токарем за 1 ч. Если количество сделанных деталей обозначить буквойу, время работых, а производительность -k, то получим, чтоy/x = kилиу = kх, т.е. математической моделью ситуации, представленной в задаче, является прямая пропорциональность.

Решить задачу можно двумя арифметическими способами:

1 способ: 2 способ:

1) 16:8 = 2 (дет.) 1) 48:16 = 3 (раза)

2) 48:2 = 24(ч) 2) 8-3 = 24(ч)

Решая задачу первым способом, мы сначала нашли коэффициент пропорциональности k, он равен 2, а затем, зная, чтоу = 2х, нашли значениеyпри условии, чтоу = 48.

При решении задачи вторым способом мы воспользовались свой­ством прямой пропорциональности: во сколько раз увеличивается количество деталей, сделанных токарем, во столько же раз увеличива­ется и количество времени на их изготовление.

Перейдем теперь к рассмотрению функции, называемой обратной пропорциональностью.

Если t- время движения пешехода (в часах),v - его скорость (в км/ч) и он прошел 12 км, то зависимость между этими величинами можно выразить формулойv · t = 20 илиv= 20/t. Так как каждому значениюt(t≠0) соответствует единственное значение скоростиv, то можно говорить о том, что с помощью формулыv =20/tзадана функция. Ее называют обратной пропорциональностью и определяют следующим образом.

Определение. Обратной пропорциональностью называется функция, которая может быть задана при помощи формулы у = k/x, где k – не равное нулю действительное число.

Название данной функции связано с тем, что в у =k/xесть перемен­ныеxиу, которые могут быть значениями величин. А если произведе­ние двух величин равно некоторому числу, отличному от нуля, то их называют обратно пропорциональными. В нашем случаеxy = k(к ≠ 0). Это числоkназывают коэффициентом пропорциональности.

Функция у =k/xявляется математической моделью многих реальных ситуаций, рассматриваемых уже в начальном курсе математики. Одна из них описана перед определением обратной пропорциональ­ности. Другой пример: если купили 12 кг муки и разложили ее вxбанок поу кг в каждую, то зависимость между данными величинами можно представить в видех · у = 12, т.е. она является обратной про­порциональностью с коэффициентомk = 12.

Напомним некоторые свойства обратной пропорциональности, известные из школьного курса математики.

1. Областью определения функции у =k/xи областью ее значенийxявляется множество действительных чисел, отличных от нуля.

2. Графиком обратной пропорциональности является гипербола.

3. При k> 0 ветви гиперболы расположены в 1-й и 3-й четвертях и функцияу =k/xявляется убывающей на всей области определенияx (рис. 90). Приk < 0 ветви гиперболы расположены во 2-й и 4-й четвертях и функцияу =k/xявляется возрастающей на всей области определениях (рис.91)

4. Если функция f- обратная пропорциональность и(х₁,у₁), (х₂,у₂) - пары соответственных значений переменныхх иу, тоx₁/x₂ = y₁/y₂.

Действительно, если функция f- обратная пропорциональность, то она может быть задана формулойу =k/x, и тогдау₁ =k/x₁, у₂ =k/x₂. Так какх ≠ 0,х₂ ≠ 0 иk≠ 0, тоy₁/y₂ = k/x₂ : k/x₁ = k ·x₁/ k ·x₂ = x₁/x₂.

Если значениями переменных xиу служат положительные дейст­вительные числа, то это свойство обратной пропорциональности можно сформулировать так:с увеличением (уменьшением) значения переменной х в несколько раз соответствующее значение переменной у уменьшается (увеличивается) во столько же раз.

Это свойство присуще только обратной пропорциональности, и им можно пользоваться при решении текстовых задач, в которых рас­сматриваются обратно пропорциональные величины.

Задача 2.Велосипедист, двигаясь со скоростью 10 км/ч, проехал расстояние отАдоВза 6 ч. Сколько времени потратит велосипедист на обратный путь, если будет ехать со скоростью 20 км/ч?

Решение.В задаче рассматриваются величины: скорость движе­ния велосипедиста, время движения и расстояние отАдоВ, причем последняя величина постоянна, а две другие принимают различные значения. Кроме того, скорость и время движения - величины об­ратно пропорциональные, так как их произведение равно некото­рому числу, а именно пройденному расстоянию. Если время движе­ния велосипедиста обозначить буквойу, скорость -х, а расстояниеАВ – k, то получим, чтоху = kилиу =k/x, т.е. математической моделью ситуации, представленной в задаче, является обратная пропор­циональность.

Решить задачу можно двумя способами:

1 способ: 2 способ:

1) 10-6 = 60 (км) 1) 20:10 = 2 (раза)

2)60:20 = 3(ч) 2)6:2 = 3(ч)

Решая задачу первым способом, мы сначала нашли коэффициент пропорциональности k, он равен 60, а затем, зная, чтоу =60/x,нашли значениеупри условии, чтох= 20.

При решении задачи вторым способом мы воспользовались свойст­вом обратной пропорциональности: во сколько раз увеличивается скорость движения, во столько же раз уменьшается время на прохож­дение одного и того же расстояния.

Заметим, что при решении конкретных задач с обратно пропор­циональными или прямо пропорциональными величинами наклады­ваются некоторые ограничения на xиу, в частности, они могут рас­сматриваться не на всем множестве действительных чисел, а на его подмножествах.

Задача 3.Лена купилахкарандашей, а Катя в 2 раза больше. Обозначьте число карандашей, купленных Катей, черезу, выразитеучерезхи постройте график установленного соответствия при усло­вии, чтох≤ 5. Является ли это соответствие функцией? Какова ее об­ласть определения и область значений?

Решение.Катя купилау = 2х каранда­шей. При построении графика функцииу = 2х необходимо учесть, что переменнаях обо­значает количество карандашей их ≤ 5, значит, она может принимать только зна­чения 0, 1, 2, 3, 4, 5. Это и будет область определения данной функции. Чтобы полу­чить область значений данной функции, надо каждое значениех из области опреде­ления умножить на 2, т.е. это будет множе­ство {0, 2, 4, 6, 8, 10}. Следовательно, гра­фиком функцииу = 2х с областью опреде­ления {0, 1, 2, 3, 4, 5} будет множество то­чек, изображенных на рисунке 92. Все эти точки принадлежат прямойу = 2х.