- •050708 (031200) Педагогика и методика начального образования дпп. Ф. 06. Математика
- •Глава I. Элементы логики
- •§ 1. Множества и операции над ними
- •1. Понятие множества и элемента множества
- •2. Способы задания множеств
- •3. Отношения между множествами. Подмножество. Равные множества. Универсальное множество. Круги Эйлера. Числовые множества.
- •4. Пересечение множеств
- •5. Объединение множеств
- •6. Свойства пересечения и объединения множеств
- •7. Вычитание множеств. Дополнение множества до универсального
- •8. Понятие разбиения множества на классы с помощью одного, двух, трех свойств
- •9. Декартово произведение множеств
- •10. Число элементов в объединении и разности конечных множеств
- •11. Число элементов в декартовом произведении конечных множеств
- •12. Основные понятия:
- •§ 2. Математические понятия
- •3. Способы определения понятий
- •4. Основные выводы
- •§ 3. Математические предложения
- •§ 4. Математическое доказательство
- •26. Схемы дедуктивных умозаключений.
- •§5. Текстовая задача и процесс ее решения
- •29. Структура текстовой задачи
- •30. Методы и способы решения текстовых задач
- •31. Этапы решения задачи и приемы их выполнения
- •2. Поиск и составление плана решения задачи
- •3. Осуществление плана решения задачи
- •4. Проверка решения задачи
- •5. Моделирование в процессе решения текстовых задач
- •Упражнения
- •32. Решение задач «на части»
- •Упражнения
- •33. Решение задач на движение
- •Упражнения
- •34. Основные выводы.
- •§6. Комбинаторные задачи и их решение
- •§ 7. Алгоритмы и их свойства
- •Упражнения
- •Упражнения
- •Глава II. Элементы алгебры
- •§ 8. Соответствия между двумя множествами
- •41. Понятие соответствия. Способы задания соответствий
- •2. Граф и график соответствия. Соответствие, обратное данному. Виды соответствий.
- •3. Взаимно-однозначные соответствия
- •Упражнения
- •42. Взаимно однозначные соответствия. Понятие взаимно однозначного отображения множества х на множество y
- •2. Равномощные множества. Способы установления равномощности множеств. Счетные и несчетные множества.
- •Упражнения
- •43. Основные выводы § 8
- •§ 9. Числовые функции
- •44. Понятие функции. Способы задания функций
- •2. График функции. Свойство монотонности функции
- •Упражнения
- •45. Прямая и обратная пропорциональности
- •Упражнения
- •46. Основные выводы § 9
- •§10. Отношения на множестве
- •47. Понятие отношения на множестве
- •Упражнения
- •48. Свойства отношений
- •R рефлексивно на х ↔ х r х для любого х € X.
- •R симметрично на х ↔ (х r y →yRx).
- •49. Отношения эквивалентности и порядка
- •Упражнения
- •50. Основные выводы § 10
- •§ 11. Алгебраические операции на множестве
- •51. Понятие алгебраической операции
- •Упражнения
- •52. Свойства алгебраических операций
- •Упражнения
- •53. Основные выводы § 11
- •§ 12. Выражения. Уравнения. Неравенства
- •54. Выражения и их тождественные преобразования
- •Упражнения
- •55. Числовые равенства и неравенства
- •Упражнения
- •56. Уравнения с одной переменной
- •2. Равносильные уравнения. Теоремы о равносильности уравнений
- •3. Решение уравнений с одной переменной
- •Упражнения
- •57. Неравенства с одной переменной
- •2. Равносильные неравенства. Теоремы о равносильности неравенств
- •3. Решение неравенств с одной переменной
- •Упражнения
- •58. Основные выводы § 12
- •Упражнения
- •Глава III. Натуральные числа и нуль
- •§ 13. Из истории возникновения понятия натурального числа
- •§ 14. Аксиоматическое построение системы натуральных чисел
- •59. Об аксиоматическом способе построения теории
- •Упражнения
- •60. Основные понятия и аксиомы. Определение натурального числа
- •Упражнения
- •61. Сложение
- •62. Умножение
- •63. Упорядоченность множества натуральных чисел
- •Упражнения
- •64. Вычитание
- •Упражнения
- •65. Деление
- •66. Множество целых неотрицательных чисел
- •Упражнения
- •67. Метод математической индукции
- •Упражнения
- •68. Количественные натуральные числа. Счет
- •Упражнения
- •69. Основные выводы § 14
- •70. Теоретико-множественный смысл натурального числа, нуля и отношения «меньше»
- •Упражнения
- •Лекция 36. Теоретико-множественный подход в построении множества целых неотрицательных чисел.
- •71. Теоретико-множественный смысл суммы
- •Упражнения
- •72. Теоретико-множественный смысл разности
- •Упражнения
- •73. Теоретико-множественный смысл произведения
- •Упражнения
- •74. Теоретико-множественный смысл частного натуральных чисел
- •Упражнения
- •75. Основные выводы § 15
- •§16. Натуральное число как мера величины
- •76. Понятие положительной скалярной величины и ее измерения
- •Упражнения
- •77. Смысл натурального числа, полученного в результате измерения величины. Смысл суммы и разности
- •Упражнения
- •78. Смысл произведения и частного натуральных чисел, полученных в результате измерения величин
- •79. Основные выводы § 16
- •80. Позиционные и непозиционные системы счисления
- •81. Запись числа в десятичной системе счисления
- •Упражнения
- •82. Алгоритм сложения
- •Упражнения
- •83. Алгоритм вычитания
- •Упражнения
- •84. Алгоритм умножения
- •Упражнения
- •85. Алгоритм деления
- •86. Позиционные системы счисления, отличные от десятичной
- •87. Основные выводы § 17
- •§ 18. Делимость натуральных чисел
- •88. Отношение делимости и его свойства
- •89. Признаки делимости
- •90. Наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель
- •2. Основные свойства наименьшего общего кратного и наибольшего общего делителя чисел
- •3. Признак делимости на составное число
- •Упражнения
- •91. Простые числа
- •92. Способы нахождения наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного чисел
- •93. Основные выводы § 18
- •3. Дистрибутивности:
- •§ 19. О расширении множества натуральных чисел
- •94. Понятие дроби
- •Упражнения
- •95. Положительные рациональные числа
- •96. Множество положительных рациональных чисел как расширение
- •97. Запись положительных рациональных чисел в виде десятичных дробей
- •98. Действительные числа
- •99. Основные выводы § 19
- •Глава IV. Геометрические фигуры и величины
- •§ 20. Из истории возникновения и развития геометрии
- •1. Сущность аксиоматического метода в построении теории
- •2. Возникновение геометрии. Геометрия Евклида и геометрия Лобачевского
- •3. Система геометрических понятий, изучаемых в школе. Основные свойства принадлежности точек и прямых, взаимного расположения точек на плоскости и прямой.
- •§ 21. Свойства геометрических фигур на плоскости
- •§ 22. Построение геометрических фигур
- •1. Элементарные задачи на построение
- •2. Этапы решения задачи на построение
- •Упражнения
- •3. Методы решения задач на построение: преобразования геометрических фигур на плоскости: центральная, осевая симметрии, гомотетия, движение.
- •Основные выводы
- •§24. Изображение пространственных фигур на плоскости
- •1. Свойства параллельного проектирования
- •2. Многогранники и их изображение
- •Тетраэдр Куб Октаэдр
- •Упражнения
- •3. Шар, цилиндр, конус и их изображение
- •Основные выводы
- •§ 25. Геометрические величины
- •1. Длина отрезка и ее измерение
- •1) Равные отрезки имеют равные длины;
- •2) Если отрезок состоит из двух отрезков, то его длина равна сумме длин его частей.
- •Упражнения
- •2. Величина угла и ее измерение Каждый угол имеет величину. Специального названия для нее в
- •1) Равные углы имеют равные величины;
- •2) Если угол состоит из двух углов, то его величина равна сумме величин его частей.
- •Упражнения
- •1) Равные фигуры имеют равные площади;
- •2) Если фигура состоит из двух частей, то ее площадь равна сумме площадей этих частей.
- •4. Площадь многоугольника
- •5. Площадь произвольной плоской фигуры и ее измерение
- •Упражнения
- •Основные выводы
- •1. Понятие положительной скалярной величины и ее измерение
- •1) Масса одинакова у тел, уравновешивающих друг друга на весах;
- •2) Масса складывается, когда тела соединяются вместе: масса нескольких тел, взятых вместе, равна сумме их масс.
- •Заключение
- •Список литературы
58. Основные выводы § 12
В данном параграфе мы определили следующие понятия:
числовое выражение;
значение числового выражения;
выражение, не имеющее смысла;
выражение с переменной (переменными);
область определения выражения;
тождественно равные выражения;
тождество;
тождественное преобразование выражения;
числовое равенство;
числовое неравенство;
уравнение с одной переменной;
корень уравнения;
что значит решить уравнение;
равносильные уравнения;
неравенство с одной переменной;
решение неравенства;
что значит решить неравенство;
равносильные неравенства.
Кроме того, мы рассмотрели теоремы о равносильности уравнений и неравенств, являющиеся основой их решения.
Знание определений всех названных выше понятий и теорем о равносильности уравнений и неравенств - необходимое условие методически грамотного изучения с младшими школьниками алгебраического материала.
Лекция 28. Уравнения с двумя переменными
План:
1. Уравнения с двумя переменными. Уравнение линии. Уравнение окружности.
2. Система уравнений с двумя переменными. Способы решения системы двух уравнений с двумя переменными: способ подстановки и способ сложения.
3. Совокупности уравнений с двумя переменными.
УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ f2 (х) = g₂ (х)
Предикат вида f (х, у) = g (х, у) называют уравнением с двумя переменными.
Любая пара (а, b) значений переменных, обращающая уравнение f (х, у) = g (х, у) в истинное числовое равенство, называется решением этого уравнения, а множество всех таких пар — множеством решений этого уравнения.
Пример. Определим, являются ли пары (1; 5) и (—2; 7) решениями уравнения х + 2у = 12, и запишем множество решений данного уравнения.
Решени е. Если х = 1, а у = 5, то уравнение х + 2у = 12 обращается в неверное числовое равенство
1 +2 5 = 12. Следовательно, пара (1; 5) не является решением уравнения.
Если х = —2, а у = 7, то данное уравнение обращается в верное равенство —2 + 2 • 7 = 12. Следовательно, пара (—2; 7) является решением уравнения х + 2у = 12.
Данное уравнение имеет бесконечное множество решений. Для записи этого множества удобно выразить одну переменную через другую, например х через у. Получим: х = 12 — 2у. Тогда множество Т решений этого уравнения можно записать так:
Т= {(12-2у, у) | у R}.
Упражнения
1. Путем подбора найдите несколько решений каждого из следующих уравнений: а) х — у = 5;
б) у = Зх; в) Зх — 2у == 16.
2. Найдите три решения уравнения х + 2у = 7. Сколько решений имеет данное уравнение? Можно ли сказать, что любая пара чисел является решением данного уравнения?
3. Найдите пары чисел, разность которых равна 10. Сколько решений имеет задача?
4. Даны два уравнения: х + у = 9 и х — у = 1. Найдите пару чисел, которая: а) является решением первого уравнения, но не является решением второго; б) является решением второго уравнения, но не является решением первого; в) является решением и первого и второго уравнений; г) не является решением ни первого уравнения, ни второго.
СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ
Система двух уравнений с двумя переменными имеет вид:
{ |
f₁ (х, у) = g₁ (х, у)
|
f2 (х, у) = g₂ (х,у)
|
Решением этой системы является любая пара чисел (а; b), обращающая каждое из уравнений системы в верное числовое равенство. Множество таких пар есть пересечение множества решений первого уравнения с множеством решений второго.
Две системы уравнений называются равносильными на некотором множестве X, если их множества решений совпадают.
Пример1. Решим систему уравнений
Зх + 4у = 5,
х - 2у = 4, используя метод алгебраического сложения.
Решение. Умножив обе части второго уравнения на 2 и первое уравнение сложим со вторым, получим систему
Зх + 4у = 5
(Зх + 4у) + (2х - 4у) = 5 + 8
равносильную исходной.
После приведения подобных членов данная система примет вид: Зх + 4у = 5
5х = 13,
Решением данной системы является пара чисел х = 13/5, у = - 7/10.
УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ
Общее уравнение прямой - уравнение первой степени относительно переменных х и у, т.е. уравнение вида Ах + Ву + С = 0 при условии, что коэффициенты А и В одновременно не равны нулю.
Уравнение прямой в отрезках имеет вид х/а + у/b = 1, где а и b - соответственно абсцисса и ордината точек пересечения прямой с осями Ох и Оу.
Уравнение прямой с угловым коэффициентом имеет вид у = кх + b, где к = tg ά - угловой коэффициент, равный тангенсу угла наклона прямой к оси Ох, а b~ ордината точки пересечения прямой с осью Оу/
Уравнение прямой, проходящей через две точки А(х], у]) и В(х2 ,у2), имеет вид
(х – х₁) ) (х₂ -х₁ ) = ( у - у₁ ) / ( у₂ - у₁)
Угловой коэффициент прямой, проходящей через точки А и В, находится по формуле
k = ( у₂ - у₁) / (х₂ -х₁ )
Пример 16.22. Найдите отрезки, отсекаемые на осях координат прямой, проходящей через точки А(6; 2) и В(-3;8). )
Решение. Подставив в уравнение прямой, проходящей через две точки, координаты точек
А (6; 2) и В(-3;8), получим (х – 6) / (-3 – 6) = (у – 2) / (8 – 2) или у = - 2/3х + 6.
Преобразуем последнее уравнение
к уравнении ю прямой в отрезках: (2/3)х/6 + у/6 = 1 или х/9 + у/6 = 1. Значит, а = 9 и b = 6.
Ответ: 6 и 9.
Если даны две пересекающиеся прямые А₁ х + В₁ у + С₁ = 0 и А₂ + В₂ у + С2 - 0, то для вычисления координат точки пересечения данных прямых необходимо решить систему уравнений этих прямых.
Пример 16.23. Найдите точку пересечения прямых Зх - 4у + 11 = 0 и 4х - у - 7 = 0. Решение. Решив систему уравнений получим х = 3 и у = 5. Следовательно, (3, 5) - точка пересечения этих прямых.
Острый угол между двумя прямыми, заданными:
- общими уравнениями А₁ х + В₁ у + С₁ = 0 и А₂ х + В₂ у + С2 - 0
вычисляется по формуле соs φ =| (А ₁ А₂ + В₁ В₂) /( √ А₁² + В₁ ² √ А₂ ² + В₂ ) ²|
- общими уравнениями у = k₁ х + b₁ и у = k ₂ х + b ₂
вычисляется по формуле tg φ =| (k ₁ - k ₂) | (1 + k ₁ k ₂)|
Пример 16.24. Найдите угол между прямыми у = 3х - 1 и у = -2х + 4.
Ответ: 45°.
Условие параллельности двух прямых, заданных:
-общими уравнениями А₁ х + В₁ у + С₁ = 0 и А ₂ х + В₂ у + С2 = 0, имеет вид Ах / А ₂ = В₁/ В₂;
- уравнениями с угловыми коэффициентами у = k₁ х + b₁ и у = k ₂ х + b ₂ имеет вид k ₁ = k ₂.
Условие перпендикулярности двух прямых, заданных:
общими уравнениями А₁ х + В₁ у + С₁ = 0 и А₂ х + В₂ у + С2 = 0, имеет вид Ах А ₂ + В₁ В₂ = 0;
уравнениями с угловыми коэффициентами у = k₁ х + b₁ и у = k ₂ х + b ₂ имеет вид k ₁ k₂ = - 1
Пример 16.25. Найдите уравнение прямой, проходящей через точку А (4; -2) и параллельной прямой 4х - 2у + 5 = 0.
Ответ: у =2х - 6.
УРАВНЕНИЕ ОКРУЖНОСТИ с центром в начале координат и радиусом R имеет вид х2 + у2 = /?2; уравнение окружности с центром в точке А{а; b) и радиусом R имеет вид (х - а)2 + {у - b)2 = /?2; уравнение окружности в общем виде имеет вид Ах2 + Ауг + Вх + Су + О = 0.
Лекция 29. Системы и совокупности неравенств с одной переменной
План:
1. Системы двух неравенств с двумя переменными: запись результата решения.
2. Совокупности неравенств с двумя переменными.
СИСТЕМЫ НЕРАВЕНСТВ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Система неравенств f₁ (х) g₁ (х) и f2 (х) g₂ (х) имеет вид:
{ |
f₁ (х) g₁ (х) |
f2 (х) g₂ (х).
|
Решением этой системы является всякое значение переменной х , которое обращает каждое из неравенств в истинное числовое неравенство.
Множество решений системы неравенств есть пересечение множеств решений неравенств, образующих данную систему.
Неравенство |х| < а, где а >0, равносильно системе
х < а,
х > — а
или двойному неравенству —а < х < а.
Пример 1. Найдем множество решений системы неравенств:
5(х + 1) – 9х – 3 > - 6(х + 2)
3 (3 + 2х) < 7х — 2 (х — 8).
Ответ: Множество решений неравенства х > —7 есть числовой промежуток ]—7; оо[, а множество решений неравенства х < 7 - промежуток ]— оо; 7[. Решением данной системы является промежуток ]—7; 7[.
42. СОВОКУПНОСТИ НЕРАВЕНСТВ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Совокупность неравенств f₁ (х) g₁ (х) и f2 (х) g₂ (х) с одной переменной может быть записана в виде
|
f₁ (х) g₁ (х) (1) |
f2 (х) g₂ (х) (2).
|
Решением совокупности неравенств с одной переменной называется всякое значение переменной х, которое обращает в истинное числовое неравенство хотя бы одно из неравенств совокупности.
Множество решений совокупности есть объединение множеств решений неравенств, образующих совокупность.
Неравенство |х| >а, где а > 0 равносильно совокупности:
|
х а |
х < - а.
|
Неравенство вида f₁ (х) : g₁ (х) (1) > 0 или f₁ (х) g₁ (х) (1) > 0 равносильно
совокупности (дизъюнкции) систем:
|
f (х) 0 |
g (х) 0.
|
|
f (х) < 0 |
g (х) <0. |
Пример 1. Найдем множество решений совокупности
2х — 3 > х — 1,
4х + 3 > 8 — х.
Решение. Найдем сначала множества решений каждого из неравенств совокупности, а затем их объединение.
Преобразуем каждое из неравенств совокупности, заменяя его равносильным:
х > 2,
х > 1.
Множество решений неравенства х > 2 есть числовой промежуток ]2; [, а множество решений неравенства х > 1 — промежуток — ]1; [. Изобразим эти множества на числовой прямой и найдем их объединение. Следовательно, множество решений совокупности есть числовой промежуток ]1; оо[.
П р и м е р 2. Решим неравенство (4х – 3) / (3 – 2х) > 1.
Ответ: ]1; 1,5[.
Лекция 30. Неравенства с двумя переменными
План:
1. Неравенства с двумя переменными. Способы решения системы двух неравенств с двумя переменными: аналитический способ и графический способ.
2. Системы двух неравенств с двумя переменными: запись результата решения.
3. Совокупности неравенств с двумя переменными.
НЕРАВЕНСТВА И СИСТЕМЫ НЕРАВЕНСТВ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ. Предикат вида f₁(х, у)>< f2(х, у), хХ, у У, где f₁(х, у) и f2(х, у) - выражения с переменными х и у, определенные на множестве ХхУ называется неравенством с двумя переменными (с двумя неизвестными) х и у. Ясно, что любое неравенство вида с двумя переменными можно записать в виде f(х, у) > 0, хХ, у У. Решением неравенства с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая неравенство в верное числовое неравенство. Известно, что пара действительных чисел (х, у) однозначно определяет точку координатной плоскости. Это дает возможность изобразить решения неравенства или системы неравенств с двумя переменными геометрически, в виде некоторого множества точек координатной плоскости. Если уравнение.
f(х, у) = 0 определяет некоторую линию на координатной плоскости, то множество точек плоскости, не лежащих на этой линии, состоит из конечного числа областей С₁, С2,..., Сп (рис. 17.8). В каждой из областей С, функция f(х, у) отлична от нуля, т.к. точки, в которых f(х, у) = 0 принадлежат границам этих областей.
Рис. 17.8
Теорема 17.6. В каждой из областей G (/ = 1,2,...), на которые линия f(х, у) = 0 делит координатную плоскость, функция f(х, у) либо положительна, либо отрицательна.
Доказательство этой теоремы опускается.
Пример 17.14. Изобразите на координатной плоскости множество решений неравенства
у{у + 2) < х + 3.
Решение. Преобразуем неравенство к виду х > у2 + 2у - 3. Построим на координатной плоскости параболу х = у2 + 2у - 3. Она разобьет плоскость на две области G₁ и G2 (рис. 17.9). Так как абсцисса любой точки, лежащей правее параболы х = у2 + 2у - 3, больше, чем абсцисса точки, имеющей ту же ординату, но лежащей на параболе, и т.к. неравенство х>уг + 2у -3 нестрогое, то геометрическим изображением решений данного неравенства будет множество точек плоскости, лежащих на параболе х = у2 + 2у - 3 и правее нее (рис. 17.9).
Рис. 17.9
Рис. 17.10
Пример 17.15. Изобразите на координатной плоскости множество решений системы неравенств
х > 0,
у > 0,
ху > 5,
х + у <6.
Решение. Геометрическим изображением решения системы неравенств х > 0, у > 0 является множество точек первого координатного угла. Геометрическим изображением решений неравенства х + у < 6 или у < 6 - х является множество точек, лежащих ниже прямой и на самой прямой, служащей графиком функции у = 6 - х. Геометрическим изображением решений неравенства ху > 5 или, поскольку х > 0 неравенства у > 5/х является множество точек, лежащих выше ветви гиперболы, служащей графиком функции у = 5/х. В итоге получаем множество точек координатной плоскости, лежащих в первом координатном углу ниже прямой, служащей графиком функции у = 6 - х, и выше ветви гиперболы, служащей графиком функции у = 5х (рис. 17.10).