Менеджмент.Финансовая математика

П Р И М Е Р 1 2 .4 . Определим J для данных примера 12 .1 (вариант Л ). Напишем уравнение, в котором для сокращения записи при­ мем 1 + J = г.

Исходная функция, определяющая чистый приведенный доход:

N(r) = - 1 0 0 Г 1 - 15 0 Г 2 + БОГ3 + 1 5 0 Г 4 + 2 0 0 Г 5 + 200Г 6 = 0.

Решение заключается в определении корня шестой степени. Применим в методических целях способ последовательного под­ бора, который представим в табл. 12 .2 .

					Таблица 12 .2
t	R	15 %		25%	30%
1	- 1 0 0	-8 6 ,9 5 7		-8 0 ,0 0 0	-76 ,9 2 3
2	-1 5 0	- 1 1 3 ,4 2 2		-9 6 ,0 0 0	- 8 8 ,7 5 7
3	50	3	2,8 76	25,600	2 2 ,75 8
4	150	85,763		6 1,4 4 0	5 2 ,5 19
5	200	99,435		65,536	53,866
6	200	86,466		52,429	4 1,4 3	5
N		10	4 ,16 2	29,005	4,900

Возьмем в качестве исходной ставку, равную, допустим, 15 % . Найдем величину чистого приведенного дохода по этой ставке: Л/( 1 ,15 ) = 10 4 ,16 , т.е . он заметно отличается от нуля. Принятое значение ставки явно мало. Изменяя величину ставки в нужном направлении, приближаемся к условию N(r) = 0. Повысим г до уровня 1,2 5 . Получим Л/( 1,2 5 ) = 29,0 . Ноль в значении функции опять не достигнут. Далее находим N (1,3 ) = 4 ,9 . Можно окончить расчет и удовлетвориться достигнутой точностью или продолжить его и еще раз увеличить ставку, скажем, до 3 1% . В этом случае Л/( 1 ,3 1 ) = 0 ,8 . Увеличивать точность расчета далее, вероятно, не имеет смысла.

Применим теперь программу В Н Д О Х . Получим J = 0 ,3 2 16 . С о ­ ответственно, Л/( 1,3 2 16 ) = 0 ,0 0 1.

В случае, когда инвестиции “мгновенны”, а поток доходов может быть представлен в виде постоянной ренты, задача упро­ щается и сводится к определению ставки J на основе знакомо­ го нам равенства:

К = Ran;J,.

Из этой формулы следует

	к	1 - (1	+ J)~”
a n;J	^	j	(12.12)

271

Таким образом, задача заключается в расчете искомой став­ ки по заданному коэффициенту приведения постоянной ренты. Эта проблема обсуждалась в гл. 5.

П Р И М Е Р 1 2 .5 . Инвестиции к началу срока	отдачи составили
4 млрд руб. Доход ожидается на уровне 0 ,7	млрд руб в год, по­
ступления — в течение 10 лет.

Если полагать, что поступления происходят равномерно в пре­ делах года (их можно приурочить к серединам соответствующих лет), то коэффициент приведения ренты можно записать следую­

щим образом:
«,<W <1	+ Л 0'5 = - 5 У = 5 ,7 1 4 3 ,
что соответствует J =	13 ,1 % .

В свою очередь, если поток доходов непрерывен и постоя­ нен, то внутренняя норма доходности, назовем ее непрерывной внутренней нормой и обозначим G', находится на основе коэф­ фициента приведения непрерывной ренты:

=	К _ 1~ е~° "
а",с- ~	R ~	G,

На величину внутренней нормы доходности влияют те же факторы, что и на чистый приведенный доход, а именно, раз­ меры инвестиционных расходов и доходов и специфика их рас­ пределений во времени. Однако влияние здесь обратное — все, что увеличивает N, сокращает значение J.

При использовании внутренней нормы доходности в качест­ ве ориентира для выбора и принятии инвестиционного реше­ ния следует иметь в виду, что:

—данный параметр эффективности не учитывает масштабов проекта,

—существует возможность (правда, редкая) в некоторых си­ туациях получить неоднозначные оценки эффективности, а иногда они вовсе отсутствуют,

—при отсутствии опыта расчета или необходимых программ получение соответствующих оценок может быть связано с некоторыми затруднениями.

Здесь уместно привести два дополнительных замечания, за­ трагивающих как внутреннюю норму доходности, так и чистый

272

приведенный доход. Так, если инвестиционный проект охваты­ вает ряд самостоятельных объектов, каждый из которых харак­ теризуется определенными капитальными затратами и отдачами от них, то для этих составных частей можно определить част­ ные показатели чистого приведенного дохода. Чистый приве­ денный доход проекта в целом равен сумме частных показате­ лей. Этого нельзя сказать о внутренней норме доходности.

Потребность в применении того или другого показателя свя­ зана с различием в их содержании. Если речь идет о максими­ зации массы дохода, то резонно выбор проекта основывать на чистом приведенном доходе (такой выбор, разумеется, не обес­ печивает наиболее эффективное использование затраченных средств). При стремлении максимизировать относительную от­ дачу ориентируются на внутреннюю норму доходности.

§12.5. Срок окупаемости

Срок окупаемости, как уже отмечено выше, определяется в двух вариантах — на основе дисконтированных членов потока платежей и без дисконтирования. Обозначим первый как яок, второй как т. Величина пок характеризует число лет, которое необходимо для того, чтобы сумма дисконтированных на мо­ мент окончания инвестиций чистых доходов была равна разме­ ру инвестиций (барьерная точка для срока). Иначе говоря, это расчетное время, необходимое для полной компенсации инве­ стиций поступающими доходами с дисконтированием обоих потоков по ставке приведения. Второй показатель в общем смысле аналогичен первому, но время получения доходов не учитывается и доходы не дисконтируются.

В предельно простом случае срок окупаемости т определя­ ется как отношение суммы инвестиций к средней ожидаемой величине поступаемых доходов:

К

Такой расчет, очевидно, имеет смысл при относительно не­ значительных колебаниях годовых доходов относительно сред­ ней. В финансовом отношении более обоснованным является дисконтный срок окупаемости пок.

Пусть размеры капитальных вложений к концу срока инве­ стирования составляют величину К. Доходы поступают в виде

273

нерегулярного потока платежей R,. Необходимо найти такой срок, при котором будет выполнено равенство

(12.13)

П Р И М Е Р 1 2 .6 . Найдем сроки окупаемости (величины т и пт) для потока платежей примера 12 .1 (вариант А). Напомним, что поток состоит из следующих членов: - 1 0 0 ; -1 5 0 ; 50; 150; 200; 200. О б ­ щая сумма капитальных вложений равна 250. Суммируем доходы за первые два и часть третьего года и приравняем полученную сумму к размеру инвестиций:

50 + 150 + 200х = 250,

где х — доля годового дохода.

Отсюда х = 50 : 200 = 0,25 и т = 2 + 0,25 = 2 ,2 5 . Для вари­ анта Б того же примера получим т = 3,5 года.

Для определения дисконтного срока окупаемости установим размер ставки приведения: / = 10 % . Сумма капиталовложений с наращенными процентами к концу второго года равна 260. С о в ­ ременная стоимость поступлений за первые два года, рассчитан­ ная на момент начала отдачи, составит 16 9 ,4 для варианта А, т.е . меньше 260, а за три года поступлений — 3 1 9 ,7 , т .е . больше этой суммы. Отсюда срок окупаемости примерно равен

= 2 + (260 - 169,4) : (200 х 1 ,1 '3) = 2,6 года после завер­ шения инвестиций. Для варианта Б находим пж= 4 .

Остановимся на ситуации, когда капиталовложения заданы одной суммой, а поток доходов постоянен и дискретен (посто­ янная ограниченная рента). Тогда из условия полной окупаемо­ сти за срок пок при заданной процентной ставке / и ежегодных поступлений постнумерандо следует:

/

Отсюда

п.	1п(1 + /) ’	(12.14)
ОК

274

П Р И М Е Р 1 2 .7 . Определим дисконтный срок окупаемости для данных примера 12 .5 при условии, что поступления дохода про­ исходят: 1) равномерно в пределах года, 2) раз в конце года. Д и ­ сконтирование осуществим по ставке 10 % .

1 . Припишем суммы годовых доходов к серединам годовых ин­ тервалов. После чего применим формулу (1 2 .14 ) с небольшим уточнением, вызванным тем, что выплаты производятся не в кон­ це каждого года, а в середине:

_lnf t	---------«	_ , ]
[	Я (1 +	/)0-5 j
п°*=	In(1 + I)	=

2. П о (1 2 .1 4 ) находим: пж= 8,89 года.

Для сравнения заметим, что без учета времени поступления доходов срок окупаемости составит всего т = 5 ,7 1 года.

Заметим, что дисконтный срок окупаемости существует, ес­ ли не нарушаются определенные соотношения между доходами и размером инвестиций, а именно: если постоянные доходы по­ ступают ежегодно, то R > iK. Это вытекает из формулы (12.14). Можно получить аналогичные по содержанию соотношения и для других видов регулярных потоков дохода. Так, при поступ­ лении доходов в виде р-срочной ренты соотношение имеет вид Л > />[(1 + /),/р — 1]АГ; аналогично при непрерывном поступле­ нии доходов R > ln(l + i)K или R > 6К.

Приведенные неравенства, вероятно, окажутся полезными для быстрой оценки сложившейся ситуации. Если указанные требования не выполняются, то инвестиции при принятом уровне процентной ставки не окупаются. В то же время срок окупаемости, подсчитанный без учета фактора времени, в лю­ бом случае будет иметь некоторое положительное значение.

П Р И М Е Р 1 2 .8 . Пусть сделаны разовые инвестиции К = 4 , ожида­ емая постоянная годовая отдача равна 0 ,2 . Если i = 10 % , то име­ ем R = 0 ,2 < 0 ,1 х 4 . Таким образом, при заданном уровне посту­ плений и принятой ставке приведения условие окупаемости не выполняется. Однако упрощенный способ определения срока оку­ паемости говорит об обратном: т = 4/0,2 = 20 лет.

275

Влияние факторов и взаимосвязь сроков окупаемости. На ве­ личину дисконтного срока окупаемости влияют два фактора — распределение поступлений во времени (“профиль” доходов) и ставка, принятая для дисконтирования (ставка приведения). Влияние первого фактора очевидно — концентрация отдач к концу срока проекта, да и вообще любая отсрочка поступлений доходов увеличивает срок окупаемости. Что касается второго фактора, то его влияние столь же понятно — с увеличением ставки приведения срок окупаемости растет.

Коль скоро оба рассмотренных срока окупаемости характе­ ризуют одно и тоже свойство инвестиционного процесса, то ме­ жду ними, очевидно, должна существовать некоторая зависи­ мость, которая в значительной мере определяется видом рас­ пределения доходов во времени. Аналитически можно просле­ дить эту зависимость для случая с поступлениями дохода в ви­ де постоянной дискретной ренты. Определим оба показателя срока окупаемости через размер инвестиций и постоянные еже­ годные поступления:

К	К	- М " '
— « /я,	—
R	R
Откуда следует, что

—ln(l —mi)

(12.15)

1п(1 + /)

При mi > 1 инвестиции не окупаются. Графическая иллюст­ рация зависимости двух видов сроков окупаемости от отноше­ ния К/R представлена на рис. 12.7.

276

§12.6. Индекс доходности

Рентабельность инвестиций также может быть измерена дву­ мя способами: бухгалтерским и с учетом фактора времени (с дисконтированием членов потока платежей). В обоих случаях доход сопоставляется с размером инвестиций. На основе бух­ галтерского метода получим два варианта индекса доходности:

2	Л.	2 я , -		К
j		j	~	j
и = —~ или и =		------		= —-------1 .

В последней записи этот индекс совпадает с принятым у нас показателем рентабельности.

Интересно проследить влияние взаимозависимости бухгал­ терских срока окупаемости и показателя рентабельности. Для этого обратимся к случаю, когда доходы постоянны во време­ ни. Упомянутые показатели определяются на основе следую­ щих равенств:

КRn

т= Т ии = 1Г-

Таким образом,

__ п_

т '

Рентабельность и срок окупаемости находятся, как видим, в обратной зависимости.

При дисконтировании членов потока платежей индекс до­ ходности определяется следующим образом: если капиталовло­ жения приведены к одной сумме К , то

'LRJ VJ

Если же капитальные затраты распределены во времени, то имеем

г

П Р И М Е Р 1 2 .9 . П о данным примера 12 .1 приведенные к началу срока инвестиционного проекта капиталовложения для варианта А составили 2 14 ,9 , доход 3 7 7 ,1 , а для варианта Б соответственно 223,1 и 386,2. На основе этих данных получим следующие пока­ затели рентабельности:

UA =	3 7 7 ,1	386,2
	„ „ Л = 1,75 4 ;	иБ = — г - = 1 ,7 3 1 .
А	2 14 ,9	5 223,1

Если поток доходов представляет собой постоянную ренту постнумерандо, а капиталовложения мгновенны, то

(12. 18)

П Р И М Е Р 1 2 .1 0 . Поток доходов и остальные условия инвестиро­ вания показаны в примере 12 .5 . Определим индекс доходности в случае, когда дисконтирование производится по ставке 10 % :

0 ,7

U = - T a >о;,О = 1 . 1 8 3 .

Аналогичным путем можно определить рентабельность и для иных видов распределения доходов во времени.

§12.7. Соотношения относительных измерителей эффективности

Относительные финансовые показатели эффективности ин­ вестиций, на которых мы останавливались выше, имеют сход­ ную задачу и базируются, в конечном счете, на одной методи­ ке — сопоставлении доходов и затрат. Однако каждый из них решает задачу под своим углом зрения. Можно ожидать, что подобные измерители взаимосвязаны, причем в общем дина­ мика одного показателя не пропорциональна изменению дру­ гого. Знакомство с некоторыми из таких зависимостей, вероят­ но, окажется полезным для лучшего понимания существа рас­ смотренных показателей и их применения в практических си­ туациях.

Зависимости между попарно взятыми показателями эффек­ тивности легко выявить аналитическим путем для случаев, ко­ гда поток доходов может быть представлен в виде дискретной

278

финансовой ренты, а капиталовложения мгновенны. Ограни­ чимся только двумя наиболее интересными соотношениями. Начнем с взаимосвязи чистого приведенного дохода и внутрен­ ней нормы доходности. На основе формул (12.1) и (12.2) нахо­ дим следующую зависимость:

N = ЛК ;/ “ anJ-

Здесь / — ставка, которая применяется при определении чисто­ го приведенного дохода N. Как видим, величина N оказывается положительной, если / < J. Графическая иллюстрация данной зависимости представлена на рис. 12.8.

Зависимость внутренней нормы доходности и дисконтиро­ ванного срока окупаемости определяется следующим образом1:

. J	,	Г
	4 ц	(12.19)
—		—

График этой зависимости представлен на рис. 12.9. Приведенные выше соотношения, напомним, получены для

частного случая, когда капиталовложения мгновенны, а отдача от них представляет собой ограниченную постоянную ренту по­ стнумерандо. В действительности поток доходов далеко не все­ гда следует указанной закономерности. В силу этого наблюда­ ются отклонения от найденных соотношений.

1См. Математическое приложение к главе.

279

§12.8. Сравнение результатов оценки эффективности

Применяемые при сравнении нескольких инвестиционных проектов показатели могут и часто дают разные результаты по их предпочтительности. Нельзя забывать и то, что дисконтные показатели эффективности (кроме J) зависят от принятой в расчетах процентной ставки. Неоднозначность результатов объ­ ясняет, почему многие инвесторы для повышения надежности выбора применяют несколько критериев. Для того чтобы ска­ занное было более наглядным, приведем следующую иллюстра­ цию. Сравним по шести критериям шесть проектов (см. табл. 12.3). В таблице выделены наиболее привлекательные варианты по каждому из критериев. Два первых проекта одинаковы по общей сумме капиталовложений и отдач, но их распределения во времени имеют существенные различия. Проект В отличает­ ся от Б только тремя дополнительными годами поступления до­ хода. Аналогичное с вариантом Б распределение поступлений и у варианта Д. Однако, начало поступлений дохода здесь запаз­ дывает на один год. Наконец, вариант Г отличается от Б тем, что на восьмом году реализации проекта предусматривается мо­ дернизация производства (в связи с этим текущие расходы пре­ вышают доходы) с последующим увеличением срока поступле­ ний дохода.

Перейдем к результатам оценивания эффективности данных вариантов. Соответствующие показатели приведены в нижних строках табл. 12.3. Сравним варианты А и Б. По всем критери­ ям за исключением и первый вариант предпочтительней второ­ го. Объясняется это только различием распределений во време­ ни как капиталовложений, так и доходов. При сравнении вари­ антов Б и В находим, что продление срока поступлений улуч­ шает все показатели, кроме сроков окупаемости — на них до­ полнительные годы отдачи не отражаются. В свою очередь ва­ риант Д отличается заметным ухудшением всех показателей (кроме и), что объясняется запаздыванием поступлений доходов всего лишь на один год. У этого варианта самая низкая внут­ ренняя норма доходности. Вариант Г, отличающийся от В наи­ большим сроком поступлений и их объемом, имеет лучший по­ казатель чистого приведенного дохода, но не внутренней нор­ мы доходности.

280