Практикум по высшей математике_часть 2

sin2 x = 1 −cos 2x ; cos2	x = 1 + cos 2x ;	sin x cos x = sin 2x .	(6.7)
2	2	2
2. Если оба показателя m и n четные, но хотя бы один из них отрица-
тельный или сумма m + n – четная,	то используется подстановка tgx = t		(или

ctgx = t ). В этом случае применяют известные тригонометрические формулы:

tgx =t,

1

=1

+tg2 x =1+t2 ,

1

=1+ctg2 x =1+

1

и

dx

= dt

cos2 x

sin2 x

t2

cos2

x

или

1

1

1

dx

ctgx = t,

=1

+t2 ,

=1 +

и −

= dt .

sin2

x

cos2 x

t2

sin2

x

3. Если один из показателей m или n – целое нечетное положительное число, то отделяем от нечетной степени один множитель и делаем замену. При этом если m – нечетное, то t = cos x , если n – нечетное, то t = sin x .

Интегралы вида

∫R(sin x,cos x)dx ,

где R – рациональная функция от sin x

и cos x , преобразуют в интегралы от

рациональных функций с помощью универсальной подстановки

t = tg

x

, −π < x <π .

2

При этой подстановке

sin x =

2t

, cos x =

1 −t2

,

x = 2arctgt, dx =

2dt

.

1

+t2

1 +t2

1

+t2

Универсальная подстановка всегда приводит интеграл от функции R(sin x,cos x) к интегралу от рациональной функции. Однако эта подстановка

часто приводит к громоздким выкладкам. Рассмотрим частные случаи, которые могут упростить вычисления:

а) если выполняется равенство

R(−sin x,cos x) = −R(sin x,cos x)

или

R(sin x,−cos x) = −R(sin x,cos x) ,

то применяется подстановка t = cos x или t = sin x соответственно; б) если выполняется равенство

R(−sin x, −cos x) = R(sin x,cos x) ,

89

то применяется подстановка t = tgx или t = ctgx .

Пример 6.25. Найти ∫cos 2xcos5xdx .

Решение. Используя соответствующую тригонометрическую формулу из (6.6), получаем

∫	cos 2xcos5xdx =	1	∫	(cos3x + cos7x)dx =	1		1	sin 3x +	1		+C .
		2			2		3		7	sin 7x

Пример 6.26. Найти интегралы:
1) I = sin2		x cos2 xdx ;	2) I	2	= sin3	xdx ;	3) I	3	= sin3 x dx .
1	∫				∫				∫cos2 x

Решение. 1) Так как обе степени четные, то используем соответствующие формулы понижения степени (см. 6.7):

I =	∫	sin2	x cos2	xdx =	∫	1−cos2x		1+cos2xdx =
1						2		2

=14 ∫(1 −cos 2x) (1 + cos 2x)dx = 14 ∫(1 − cos2 2x)dx =

=14 ∫dx − 14 ∫cos2 2xdx = 4x − 18 ∫(1 + cos 4x)dx =

=4x − 18 ∫dx − 18 ∫cos 4xdx = 4x − 8x − 321 sin 4x +C = 8x − 321 sin 4x +C .

2)Так подынтегральная функция – нечетная положительная степень синуса, то отделяем от этой степени один множитель и вводим новую переменную. В качестве новой переменной берем функцию cos x .

I2 = ∫sin3 xdx = ∫sin2 xsin xdx = ∫(1 −cos2 x)sin xdx =				t = cos x		=
				dt = −sin xdx
= −∫(1 −t2 )dt = ∫t2dt − ∫dt = t3	−t +C = cos3 x	−cos x +C .
3	3

3) Данный интеграл находим, как и в предыдущем случае:

sin3

x

sin2

xsin x

t = cos x

I3

=

dx =

dx =

dt = −sin xdx

=

∫cos2

x

∫

cos2

x

sin2 x =1

−cos2 x =1

−t2

90

∫

(1 −t2 )

∫

1

1

1

= −

2

dt = −

−1 dt =

+t +C =

+ cos x + C .

t

2

t

cos x

t

sin2 x

Пример 6.27. Найти I = ∫cos4 x dx .

Решение. Интеграл от отношения четных степеней синуса и косинуса (одна степень отрицательная) находим, используя замену tgx = t и соответствую-

щие тригонометрические формулы.

Тогда

tgx =t

sin2 x

sin2 x

1

2

dx

I = ∫cos4 x dx = ∫cos2 x

dx = ∫tg

x

=

dx

= dt

=

cos2 x

cos2 x

cos2

x

= ∫t2dt = t3

+C = tg3 x

+C .

3

3

Пример 6.28. Найти I = ∫sin3 dxxcos x .

Решение. Оба показателя – отрицательные числа, но их сумма −3 −1 = −4

есть четное число. Здесь можно использовать замену ctgx = t .

Тогда

dx

sin x

1

dx

dx

2

I = ∫

= ∫cos x

= ∫tgx(1

+ ctg

x)

=

sin3 xcos x

sin2 x

sin2 x

sin2 x

∫

(1

+ ctg

2

x)

dx

ctgx = t

∫

1 +t

2

=

=

dx

= −

dt

=

ctgx

2

x

t

sin

−

= dt

sin

2

x

−

∫

1

t2

+C

= −ln

ctgx

−

ctg2 x

+ C .

+t dt = −ln | t | −

t

2

2

Пример 6.29. Найти I = ∫

dx

.

1 +sin x

Решение. Используем универсальную подстановку

dx

tg

x

=t,

sin x =

2t

1

2dt

I = ∫

1 +t

2

= ∫

2

=

=

2dt

1 +sin x

2t

1 +t2

dx =

1 +

1 +t2

1 +t2

= ∫

1 +t2

2dt

= 2∫

dt

2

+C = −

2

+C .

= −

(1 +t )2

1 +t2

(1 +t )2

1 +t

x

1 + tg

2

91

sin x dx Пример 6.30. Найти I = ∫cos2 x(sin x + cos x) .

Решение. Здесь можно также использовать универсальную подстановку, но т.к. R(−sin x, − cos x) = R(sin x, cos x) , то используем подстановку t = tgx .

I =∫

1

dx

= ∫

d (tgx)

=∫

tgxd(tgx)

=∫

tdt

=

1

(sin x +cos x)

cos2 x

1+ctgx

tgx +1

t +1

sin x

∫

(t +1) −1

∫

1

=

t +1

dt =

1

−

dt

=t −ln |t +1| +C =tgx −ln | tgx +1| +C .

t +1

Интегрирование простейших иррациональных выражений

Интегралы от иррациональных выражений с помощью специальных подстановок могут быть сведены к интегралам от рациональных функций. Такое преобразование интегралов называют рационализацией.

1. Если под знаком интеграла стоит рациональная функция от дробных

			p1		p2		pk
степеней независимой переменной	x , т.е. функция	R x, x q1		, x q2		,..., x qk , то ис-

пользуют замену x =tm , где m – наименьшее общее кратное чисел q1,q2 ,...,qk . 2. Если под знаком интеграла стоит рациональная функция от x и дроб-

ных степеней дробно – линейной функции вида cxax++db , то используют замену

ax +b = tm , где m имеет тот же смысл, что и выше. cx + d

3. Интегрирование дифференциального бинома. Интеграл от дифферен-

циального бинома ∫xm (a +bxn )p dx , где m, n, p – рациональные числа, может

бытьприведенкинтегрированиюрациональнойфункциитольковтрехслучаях. Случай 1. Пусть p – целое число. Если p > 0 , то подынтегральное выра-

жение раскладывается по формуле бинома Ньютона. Если p < 0 , то используется замена x = tk , где k – общий знаменатель дробей m и n .

Случай 2. Пусть		m +1			– целое число. Тогда используется подстановка
		n
a + bxn =t s , где s – знаменатель дроби p .
Случай 3. Пусть	m +1			+ p – целое число. В этом случае используется под-
		n
становка ax−n + b =t s , где s				– знаменатель дроби p .
92

4. Интегралы	вида		∫R(x,		ax2 +bx + c )dx	после		выделения полного
квадрата и подстановки x +			b	= t	рационализируется с помощью тригономет-
			2a
рических подстановок. При этом возможны следующие случаи.
Случай 1. ∫R(t,	t2	+ m2 )dt , подстановка t = m tgz .
Случай 2. ∫R(t,	t2	− m2 )dt , подстановка t =				m	.
						cos z
Случай 3. ∫R(t,
	m2 −t2 )dt , подстановка t = msin z .							ax2 +bx + c )dx могут
5. Подстановки Эйлера. Интегралы вида						∫R(x,

бытьтакжерационализированыспомощью, такназываемых, подстановокЭйлера:

− если a > 0 , то

ax2 +bx + c = ±x

a +t ;

− если c > 0 , то

ax2 +bx + c = xt ±

c ;

− если b2 − 4ac > 0 ,

то

ax2 +bx + c = (x − x )t ,

где

x

– любой корень

1

1

квадратного трехчлена ax2 +bx + c .

Пример 6.31. Найти I = ∫

x

dx .

3

x

2

−

4

x

Решение. Наименьшее кратное чисел 2, 3,

4 равно числу 12 . Поэтому де-

лаем подстановку x = t12 . Тогда

x

12

1

t

12

12

11

I = ∫

dx =

x =t

, t = x

=

∫

12t dt =

3

x

2

(t

12

)

2

−

4

t

12

− 4 x

dx =12t11dt

3

=12∫

t6 t11

dt =12∫

t14

dt =12∫

t10 t4dt

=12∫

(t10 −1)t4dt

+

t8 −t3

t5 −1

t5 −1

t5 −1

t4dt

(t5 −1) (t5 +1)t4dt

12

d(t5 −1)

+12∫

=12∫

+

5

∫

t5 −1

=

t5 −1

t5 −1

=12∫(t9 +t4 )dt +

12 ln | t5 −1|=12

10

+ t

5

12 ln | t5 −1| +C =

t

+

5

10

5

5

10

+ t

5

12 ln |t5 −1| +C =

6 (6 x5 +212 x5 +2ln |12 x5 −1|)+C .

=12 t

+

10

5

5

5

93

Пример 6.32. Найти I = ∫	2	x −3 +1	dx .
	3
		2x −3

Решение. Подынтегральное выражение является рациональной функцией от выражения 6 2x −3 . Тогда

2x −3 +1

6 2x −3 =t, 2x −3 = t6

(t3 +1) t5dt

I = ∫

dx =

2x −3 = t3 , 3 2x −3 = t2

= 3∫

=

3 2x −3

t2

2dx = 6t5dt dx =3t5dt

=3∫(t6 +t3 )dt =

3t7

+

3t4

+C =

36 (2x −3)7

+

33 (2x −3)2

+C .

7

4

7

4

Пример 6.33. Найти I = ∫

1

1− x

3

1 + x dx .

(1 − x)2

Решение. Подынтегральное выражение является рациональной функцией

от переменной x и выражения

3

1 − x

. Используем подстановку

1 + x

1 − x

= t;

1 − x

= t

3

,

3 1 + x

1 + x

откуда

1 − x =t3 (1 + x) x(1 +t3 ) =1 −t3 x = 1 −t3

,

1 +t3

1 − x =

2t3

,

dx =

−6t2dt

.

1 +t3

(1

+t3 )2

Следовательно,

(1 +t3 )2

6t2

3 dt

3

3

1 + x

2

I = −

∫

3

2

t

dt = −

∫t

3

dt =

+C =

3

+C .

(2t

)

(1 +t

3

)

2

2

4t

2

4 1 − x

Пример 6.34. Найти I = ∫

dx

.

3

x(1 +

x)

Решение. Данный интеграл является интегралом от дифференциального бинома. При этом p = −1 – целое число, значит, имеем случай 1. Так как p < 0 ,

m = − 12 , n = 13 , то применяем подстановку x =t6 . Тогда

94

dx

x = t

6

6t

5

2

I = ∫

=

dx = 6t5dt

= ∫

dt

= 6∫

t dt

=

x(1 + 3 x)

t3 (1

+t2 )

1 +t2

1

=

6

∫

1

−

dt = 6(t −arctgt )+C = 6(6 x −arctg 6 x )+C .

1 +t

2

Пример 6.35. Найти I = ∫x3 (1 + 2x2 )−

3

2 dx .

Решение. Рассматриваемый интеграл также является интегралом от диф-

ференциального бинома. При этом m = 3 ,

n = 2 и

m +1

= 2

– целое число, зна-

n

чит, имеем случай 2. Тогда применяем подстановку 1 + 2x2 = t2 . Значит

2

2

−

3

= t2 ,

x2 = t2 −1

(t2 −1) tdt

1 + 2x2

I = ∫x

(1

+

2x

)

2 xdx =

2

= ∫

=

2t

3

2

4xdx =

2tdt, xdx = tdt / 2

1 (t2

−1)dt

1

1

1

1

1

t2

+1

=

4 ∫

2

=

∫

1

−

dt

=

t +

+C =

+C

=

t

4

t

2

t

4

t

4

=

1 + x2

+C .

2

1 +

2x2

Пример 6.36. Найти I = ∫x−7

1 + x4 dx .

m +1

Решение. Здесь m = −7 ,

n = 4 ,

p = 1

2

и

+ p = −1

– целое число, зна-

n

чит, имеем случай 3. Тогда полагаем 1 + x4 = t2 x4 . Отсюда

x =

1

,

dx = −

tdt

.

(t2 −1)

1

4

2(t2 −1)

5

4

Подставляя найденные значения в исходный интеграл, находим

7

(x4 +1)2

I =−∫

(t2 −1)4 t

tdt

1

∫t

2

t3

1

=−

2

dt

=−

6 +C =−

+C .

(t

2

2(t

2

5

6x6

−1)2

−1)4

Пример 6.37. Найти I = ∫(x + 2)

x2 + 4x +5dx .

Решение. Преобразуем подкоренное выражение, выделяя полный квадрат: x2 + 4x +5 = (x + 2)2 +1. Тогда

95

I = ∫(x + 2) (x + 2)2 +1dx =

x + 2 =t

=

∫t t2 +1dt

=

dx = dt

t = tgz, t2 +1 =

1

sin zdz

d cos z

1

cos

2

z

=

=

∫ cos4 z

= −∫ cos4 z =

+C =

dz

dt =

3cos3 z

cos2 z

=

(t2 +1)3 2 +C =

(x2 + 4x +5)3 2

+C .

3

3

Пример 6.38. Найти I = ∫

dx

.

x

2

2

−9

x

3

Решение. Используем тригонометрическую подстановку

x =

:

cost

dx

x =

3

cos2 t

1

3sin tdt

I = ∫

cost

= ∫

=

3sin tdt

9

cos2 t

=

x2

x2 −9

dx =

1

cos

2

t

9

−1

2

t

cos

=

1 ∫sin tdt =

1 ∫costdt = sin t +C

=

1 −cos2 t

+C =

x2 −9

+C .

9x

9

tgt

9

9

9

Пример 6.39. Найти I = ∫

1 − x2 dx

.

x2

Решение. Используем тригонометрическую подстановку x = sin t . Тогда

∫

1

−sin2 t costdt

∫

cos2 tdt

∫

(1 −sin2 t)dt

∫

1

I =

=

2

=

2

=

−1 dt =

sin

2

t

sin

t

sin

t

2

t

sin

=−ctgt −t +C =−ctg arcsin x −arcsin x +C =−

1−x2

−arcsin x +C .

x

Задания для самостоятельного решения

6.5. Найти интегралы от дробно-рациональных функций, если знаменатель имеет только действительные различные корни:

1) ∫	х2 − 2	dx ;	2) ∫	х2
					dx ;
	х+ 2			х2 − 4

96

3) ∫

х3 +1

4) ∫

dх

dx ;

;

х2 −9

х2 + 6x +5

5) ∫

dx

6) ∫

x − 2

;

dx ;

х2 −5x + 4

х2 +5x + 4

7) ∫

2x +3

8) ∫

x − 4

dx ;

dx ;

х2 +5x + 6

2х2 −3x − 2

∫

x

∫

2 + x

dx ;

9)

dx ;

10)

(3х−1)(x +1)

(х2 + 6x +5)(x +1)

∫

x2 +1

∫

x + 2

11)

dx

;

12)

dx

;

(х2 −1)(x + 2)

x(х2 −1)

∫

2x −1

∫

2x3 −1

13)

dx ;

14)

dx ;

x(x +1)2

х2 −3х+ 2

∫

x4 + 4

∫

2x3 +3х+ 4

15)

dx ;

16)

dx ;

х2 + х−6

(х−1)(x +1)

∫

x3 − 2

∫

2x +3

17)

dx ;

18)

dx ;

х3 − 4х

х3 + 2x2 −3х

∫

x2 −5

∫

3x −7

19)

dx ;

20)

dx ;

х3 −5x2 + 4х

х3 −9x

21)

∫

2x2 −3х+1

dx ;

22)

∫

x3 + 4

dx ;

(х−3)(x +3)

(х− 2)(x + 2)

∫

dx

∫

x2 −3x +1

23)

;

24)

dx ;

х2 − x

х2 + 2x −3

∫

(2х−1)dx

∫

х+1

25)

x(х2 − 4) ;

26)

dx ;

х(x2 − 25)

∫

x3 − 2x

∫

x −3

27)

dx ;

28)

dx ;

х2 + х−6

2х2 +3х+1

29)

∫

x − 2

dx ;

30)

∫

2x2 + 41x −91

dx ;

(x −1)(x + 2)(x −

3)

(x −1)(x +3)(x −

4)

∫

x3 −1

∫

x5 + 4x3 − 2

31)

dx ;

32)

dx ;

х2 −5х+ 6

x2 + x

∫

(х3 +1)dx

∫

x3 −5x2 +5x + 21

33)

х2 −3x ;

34)

dx ;

(x −1)(x +1)(x −5)

∫

x6 − 2x4 +3x3 −9x2 +

4

∫

x5 − 25x3 −

1

35)

dx ;

36)

dx .

x5 −5x3 + 4x

x2 +5x

6.6. Найти интегралы от дробно-рациональных функций, если знамена-

тель имеет действительные корни, некоторые корни – кратные:

2х2 −3x +3

(х3 +1)dx

1) ∫

х3 − 2x2 + x dx ;

2) ∫

;

х2 − 2x +1

97

∫

х2 −3

∫

(х3 +1)dx

3)

dx ;

4)

х4 − x2

;

х2 (x −1)

5)

∫

5х2 + 6x +9

dx ;

6)

∫

х5dx

;

(х+1)2 (x −3)2

(х−1)2 (x2 −1)

7)

∫

х2 − 2x +3

dx

8)

∫

(х3 +1)dx

;

(х2 −6x +9)(x −3)

х3 − x2

х+ 2 2

х2dx

9)

dx ;

10)

.

∫

∫х

3

+5x

2

+8x +

4

x −1

6.7. Найти интегралы от дробно-рациональных функций, если знаменатель имеет комплексные корни:

х2dx

1)∫(x −1)(х2 +1);

3)∫ (х2 −1)dx ;

х4 + 6x2 +8

	∫						х−1
5)								dx ;
				х2 − 2x +5
7)	∫					x3 +5x2 +8x + 4						dx ;
				(x + 2)2 (x2 + 2x +3)
9)	∫						x2 + x +3				dx ;
				(	x	2	)(		2	)
							+ x +1 x			+1
6.8. Найти интегралы:
1)	∫cos3x cos 4xdx ;
3)	∫sin8xsin 2xdx ;
5)	∫cos 4xsin 3xdx ;
7)	∫cos 2xsin 3x dx ;
9)	∫sin mxsin nxdx ;
11)		∫sin4 xcos2 x dx ;
13)		∫sin2 x cos3 x dx ;
15)		∫sin4 2x cos4 2x dx ;
17)		∫sin3 x cos x dx ;
19)		∫sin2 3x dx ;
21)		∫(1 −sin 2x)2 dx ;

			2) ∫					dx		;
					(х2 +1)х(x +1)
4)	∫		(х4 +1)dx					;
			х4 −1
	∫		x2 + 4x + 2
6)									dx	;
			(x +1)2			(	x	2 + x +1
								)
8)	∫	х2dx		;
		1 − х4

dx

10) ∫(x − 2)2 (x2 − x +1).

2)∫sin 4xcos7xdx ;

4)∫cos xcos5xdx ;

6)∫sin 3xsin 7xdx ;

8)∫cos3xcos6x dx ;

10)∫cos mxcos nxdx ;

	12)	∫sin3	x cos3 x dx ;
	14)	∫sin2	x	cos3	x	dx ;
			4		4
		∫sin3
	16)		x cos2 x dx ;
	18)	∫cos3 xsin x dx ;
	20)	∫(1 + 2cos x)2 dx ;
	22)	∫cos4 x dx ;

98