Практикум по высшей математике_часть 2

5)	z = xln(xy) ;	6)	z = x3 sin y − y3 cos x ;
7)	z = exey ;	8)	z = xln y .

5.46. Показать, что для функции z = arctg(2x − y) справедливо равенство

∂2 z + 2 ∂2 z = 0 . ∂x2 ∂x∂y

5.47. Показать, что для функции z = xxy− y справедливо равенство

∂2 z	+ 2	∂2 z	+	∂2 z	=		2		.
∂x2		∂x∂y		∂y2		x	− y
	5.48.		Показать,					что для функции z =		cos y2	справедливо равенство
										x

x ∂2 z + 2 ∂z = 0 . ∂x2 ∂x

5.49.Проверить равенство y ∂∂xz − x ∂∂yz = 0 , если z =ϕ(x2 + y2 ).

5.50.Разложить по формуле Маклорена до третьего порядка включительно функцию f (x, y) = ex sin y .

5.51.Разложить по формуле Маклорена до третьего порядка включи-

	тельно функцию f (x, y) = 1 − x2 − y2 .
	5.52. Разложить функцию z = sin xsin y по степеням		π			π
		x −	,	y −		2	.
	Найти члены первого и второго порядков.		4
		(y −1). Найти чле-
	5.53. Разложить функцию z = xy по степеням (x −1),
	ны разложения до третьего порядка включительно.
	5.54. Найти первые три члена разложения функции z = ex ln (1 + y)				в ряд
	Тейлора в окрестности точки (0;0).
	5.55. Функции спроса на товары A и B имеют вид x =1000 −20 p1 + p2						и

y = 2000 + 2 p1 −10 p2 , где x, p1 и y, p2 – спрос на товары A и B и их цены соответственно. Определить коэффициенты эластичности функций при p1 =30,

p2 = 20. Дать экономическую интерпретацию полученным результатам.

5.56. Функция объема выпуска продукции для некоторой фирмы имеет

вид

y = −1,75 +0,42lg x1 + 0,034lg x2 +0,8lg x3 ,

где x1 – численность работающего персонала; x2 – стоимость основных производственных фондов; x3 – стоимость оборотных средств.

31

Определить частные эластичности объема выпуска продукции y при x1 =1000 чел; x2 =1 000 000 грн.; x3 =100000 грн. Дать экономическую интер-

претацию полученным результатам.

5.57. Функция полных издержек некоторой продуктовой фирмы задана уравнением C = 2x2 +3y2 + 20 , где x и y – объемы выпуска товаров вида A и B соответственно. Цены этих товаров на рынке равны p1 =30, p2 = 45. Опре-

делить частные эластичности. Дать экономическую интерпретацию полученным результатам.

5.58. Производственная функция однопродуктовой фирмы, использующей 2 вида ресурсов – труд (L) и капитал (K ) имеет вид: Q =10L0,5 K 0,5 . Най-

ти частные эластичности функции при L =10 усл. ед.; K = 30 усл. ед. Дать экономическую интерпретацию полученным результатам.

5.59. Функция спроса на мясо имеет вид z = 900 − 4x +1,5 y ,

где x – цена говядины, y – цена свинины.

а) Найти эластичность цены спроса на говядину, если x = 90 , y = 70 . б) Найти значение эластичности цены, если x =100 , y = 60 .

в) Интерпретировать полученный результат.

5.60. Зависимость урожайности пшеницы z (ц/га) от затрат x (грн./га) на удобрения и затрат y (грн.) на семена имеет вид y =12,74x0,261 y0,279 . Найти ча-

стные коэффициенты эластичности урожайности относительно затрат на удобрение и затрат на семена. Дать экономическую интерпретацию полученным результатам.

5.61. Еженедельная продажа компьютеров представляется следующей зависимостью:

Q =10000 − P + 4I ,

где Q – объем продаж;

P – цена одного компьютера;

I – годовой доход семьи.

Найти частные эластичности, если средний доход семьи составляет

I = 5000 грн., цена одного компьютера –	P = 2200 грн.
	1	2
5.62. Производственная функция	y = x3	x3	описывает зависимость вы-
	1	2

пуска сельскохозяйственной продукции от рабочего времени x1 и времени работы оборудования x2

а) Найти выражение маргинального физического продукта рабочих и маргинального физического продукта оборудования.

32

б) Найти маргинальный физический продукт, если отработано 162 часа рабочего времени и 6 часов оборудования. Определить маргинальный физический продукт оборудования при этих условиях.

в) Дать экономическую интерпретацию полученным результатам.

33

ТЕМА 3

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ

	Экстремум функции двух переменных
Пусть функция	z = f (x, y) непрерывна в некоторой области D. Точка
P0 (x0 , y0 ) называется точкой локального минимума функции z , если
f (x0 , y0 )≤ f (x0 + ∆x, y0 +∆y)
для всех точек (x0 +∆x, y0 +∆y) близких к точке (x0 , y0 ) (рис. 5.6).
z	z

у	у
P1(x1, y1 )	P2 (x2 , y2 )
х	х
Рис. 5.6. Точка P1 – точка минимума	Рис. 5.7. Точка P2 – точка максимума

Точка P0 (x0 , y0 ) называется точкой локального максимума функции z ,

если

f (x0 , y0 )≥ f (x0 +∆x, y0 +∆y)

для всех точек (x0 +∆x, y0 +∆y) близких к точке (x0 , y0 ) (рис.5.7).

Точки минимума и максимума называются точками экстремума.

Точка (x0 , y0 ) , лежащая внутри области определения функции z = f (x, y) ,

называется критической точкой, если ее частные производные первого порядка равны нулю или не существует хотя бы одна из них.

Необходимое условие экстремума.

Если (x0 , y0 ) – точка экстремума функции z = f (x, y) , то

∂z(x0 , y0 ) = 0, ∂z(x0 , y0 ) = 0 ,

∂x ∂y

33

т.е. (x0 , y0 ) – стационарная точка.

Достаточное условие экстремума.

Пусть P0 (x0 , y0 ) – стационарная точка функции z = f (x, y) . Находим частные производные второго порядка z′xx′ , z′′xy , z′′yy . Вычисляем их значения в каждой стационарной точке P0 (x0 , y0 ) :

A = z′′xx P0 , B = z′′xy P0 , C = z′′yy P0

и дискриминант

∆ = D =		z′′xx	z′′xy		=		A	B		= AC − B2 .
		z′′yx	z′′yy				B	C

Тогда

а) если D >0 , то в точке P0 (x0 , y0 ) существует экстремум. При этом если A > 0, то в точке P0 (x0 , y0 ) функция имеет минимум, если A < 0 , то в точке P0 (x0 , y0 ) функция имеет максимум;

б) если D < 0 , то точка P0 (x0 , y0 ) не является точкой экстремума;

в) если D =0 , то метод не дает ответа, требуются дополнительные исследования (экстремум может быть, а может и не быть).

Таким образом, исследование функции двух переменных на экстремум можно проводить по следующей схеме:

1)найти первые частные производные исследуемой функции и приравнять их к нулю;

2)решить полученную систему уравнений и найти точки, подозреваемые на экстремум (стационарные точки);

3)вычислить вторые частные производные в точках, подозреваемых на экстремум;

4)вычислить значение определителя и проверить выполнение достаточных условий экстремума (условия а), б), в)).

Наибольшее и наименьшее значения функции

Если функция z = f (x, y) непрерывна на замкнутом ограниченном мно-

жестве D , то она достигает на D наибольшего и наименьшего значений. Для того чтобы найти наибольшее (наименьшее) значение функции z = f (x, y) не-

обходимо:

1)найти стационарные точки, принадлежащие области D и вычислить значения функции в этих точках;

2)найти наибольшее (наименьшее) значение функции на линиях, образующих область D ;

3)из всех найденных значений выбрать наибольшее (наименьшее).

34

Условный экстремум

Пусть функции z = f (x) и ϕi (x), i =1,2,..., m , x = (x1, x2 ,..., xn ), m < n опре-

делены и дифференцируемы в некоторой области D и G – множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнениям

ϕ1 (x) = 0,		ϕ2 (x) = 0,..., ϕm (x) = 0 .	(5.11)
Уравнения (5.11) называются уравнениями связи или ограничениями.
Точка x0 = (x0	, x0 ,..., x0 ) называется точкой условного минимума функции
1	2	n
z = f (x1, x2 ,..., xn ) при наличии уравнений связи (5.11),			если существует такая

окрестность точки x0 , что для всех точек x ≠ x0 из этой окрестности и удовлетворяющих уравнениям связи, справедливо неравенство

f (x1, x2 ,..., xn ) ≥ f (x10 , x20 ,..., xn0 ) .

Если при сформулированных выше условиях выполняется неравенство

f (x , x ,..., x ) ≤ f (x0 , x0							,..., x0 ) ,
	1	2	n		1	2	n
то точка x0 = (x0	, x0	,..., x0 )		называется точкой условного максимума функции
1	2		n
z = f (x1, x2 ,..., xn )	при ограничениях (5.11).
Точки условного минимума и максимума называют точками условного
экстремума.
В задачах на условный экстремум функцию z = f (x1, x2 ,..., xn ) принято на-
зывать целевой функцией.
Если значение			f (x0 , x0		,..., x0 )	сравнивается со значениями во всех точках
			1	2	n

(x1, x2 ,..., xn ), удовлетворяющих уравнениям связи, то получаем задачу на ус-

ловный глобальный экстремум функции z = f (x1, x2 ,..., xn ) .

Если из уравнения связи ϕi (x1, x2 ,..., xn ) можно выразить m независимых переменных, например, x1, x2 ,..., xm , т.е. получить выражения

x1 = g1(xm+1, xm+2 ,..., xn ), x2 = g2 (xm+1, xm+2 ,..., xn ),

xm = gm (xm+1, xm+2 ,..., xn ),

то вычисление условного экстремума сводится к вычислению безусловного (обычного) экстремума функции f (g1,..., gm , xm+1,..., xn ) от n − m переменных.

35

Метод множителей Лагранжа вычисления условного экстремума для функции двух переменных

Пусть функция z = f (x, y) непрерывна и дифференцируема на D и

G ={(x, y) :ϕ(x, y) = 0}. Необходимо найти такую точку P0 (x0 , y0 ) , что f (P0 ) ≥ f (M ) (или f (P0 ) ≤ f (M ) ) для любой точки M (x, y) G в окрестности точки P0 (x0 , y0 ) .

Для того чтобы найти условный экстремум необходимо исследовать на обычный экстремум функцию Лагранжа вида

L(x, y,λ) = f (x, y) + λϕ(x, y) ,

где λ – параметр, называемый множителем Лагранжа.

При этом стационарные точки находят из системы уравнений

Lx′(x, y,λ) = 0,			Lx′(x, y,λ) = 0,
	′	(x, y,λ) = 0, или	′	(5.12)
Ly			Ly (x, y,λ) = 0,
	′	(x, y,λ) = 0,
Lλ			ϕ(x, y) = 0.

Условие (5.12) является необходимым условием условного экстремума.

Дальнейшее исследование можно проводить также как и в случае исследования функции на безусловный экстремум.

Достаточное условие условного экстремума.

Пусть функции z = f (x, y) и ϕ(x, y) = 0 дважды непрерывно дифференцируемы в окрестности стационарной точки (x0 , y0 ) . Если дифференциал d 2 L(x, y,λ) второго порядка функции Лагранжа в стационарной точке (x0 , y0 ) удовлетворяет условию d 2 L(x, y,λ) > 0 (d 2 L(x, y,λ) < 0), то точка (x0 , y0 ) – точка условного минимума (максимума).

Примеры решения задач

Пример 5.19. Исследовать на экстремум функцию z = x3 + 12 y2 −3xy .

Решение. Находим частные производные первого порядка z′x =3x2 −3y , z′y = y −3x .

Найденные частные производные приравниваем к нулю и находим решение системы уравнений:

	2	−3y = 0,		2	− y = 0,		y =3x,
3x			x			y =3x,
y −3x = 0,			y −3x = 0,			x2 −3x = 0,	x(x −3)= 0.

36

x = 0,	или	x	2	= 3,
1
y1 = 0,		y2 = 9.

Отсюда получаем две стационарные точки P1 (0,0) и P2 (3,9) . Находим частные производные второго порядка:

z′′xx = 6x, z′′xy = −3, z′′yy =1.

Тогда дискриминант имеет вид: D = AC − B2 = 6x −9 .

Вычисляем значения дискриминанта в стационарных точках. В точке

P1 (0,0) получаем D = 6 0 −9 = −9 < 0 , т.е. в точке P1 (0,0) экстремума нет.				В
точке P2 (3,9) дискриминант равен D = 6 3 −9 = 9 > 0 . Следовательно, P2 (3,9)				–
точка экстремума. Так как A		P2	= 6 3 =18 > 0 , то P2 – точка минимума.
Находим минимальное значение функции

z	min	= z (P )=33		+ 1 92 −3 3 9 = −		27	.
			2	2	2
Пример	5.20.		Найти	наибольшее и	наименьшее значения функции
z = x2 + 4y2 −8y +5			в замкнутой области			D , задаваемой неравенством

x2 + y2 ≤ 4 .

Решение. Находим критические точки функции. Для этого вычисляем первые производные и приравниваем их к нулю

z′x = 2x = 0 x = 0 , z′y =8y −8 = 0 y =1.

Отсюда получаем единственную критическую точку P1 (0,1) . Очевидно эта точка принадлежит рассматриваемой области x2 + y2 ≤ 4 . Находим значение функции в этой точке

z(P1 )= z(0,1) =1.

Рассмотрим теперь значение функции на границе области – на окружности x2 + y2 = 4 . Подставив значение x2 = 4 − y2 в функцию z(x, y) , получаем функцию одной переменной

z1( y) = 4 − y2 + 4y2 −8y +5 =3y2 −8y +9 .

Необходимо найти наибольшее и наименьшее значения функции одной переменной z1 ( y) на отрезке −2 ≤ y ≤ 2 . Находим критические точки

[z1( y)]′ = 6 y −8 = 0 y = 43 .

37

Вычисляем значение функции z1 ( y) в ее критической точке и на концах отрезка −2 ≤ y ≤ 2 .

z		4	= 3		4 2	−8 4	+9 =	11 , z (−2) = 3 (−2)2		−8 (−2) +9 = 37 ,
1						3		3	1
		3			3

z1(2) =3 22 −8 2 +9 =5 .

Из всех полученных значений выбираем наименьшее и наибольшее. Тогда наименьшее значение функции z = x2 + 4 y2 −8y +5 в круге x2 + y2 ≤ 4 есть

m =1, а наибольшее M =37 .

Пример 5.21. Найти экстремум функции z = xy , если x + y = 2 . Решение. Из уравнения связи x + y = 2 выразим переменную y через пе-

ременную x ( y = 2 − x ) и подставим в уравнение функции:

z = xy = x(2 − x) = −x2 + 2x .

Находим экстремум функции одной переменной z1(x) = −x2 + 2x . Находим критические точки:

(z1 )′ = −2x + 2, (z1 )′ = 0 x0 =1.

Так как (z1 )′ < 0 для всех x >1 и (z1 )′ > 0 для всех x <1, то при переходе через критическую точку x0 =1 производная функции меняет знак с «плюса» на

«минус». Следовательно, точка x0 =1 является точкой локального максимума и

zmax = z1 (1)=1.

Пример 5.22. Используя метод Лагранжа, найти условный экстремум функции f (x, y) = x2 + y2 при условии x + y = 2 .

Решение. Согласно условию задачи, уравнение связи (5.11) имеет вид: ϕ(x, y) = x + y − 2 . Функции f (x, y) и ϕ(x, y) дважды непрерывно дифференци-

руемы, следовательно, можно использовать метод Лагранжа. Записываем функцию Лагранжа

L(x, y,λi ) = х2 + y2 +λ(х+ у−2) .

Для того чтобы найти стационарные точки, находим частные производные первого порядка

∂L(x, y,λ) = 2х+ λ , ∂L(x, y,λ) = 2 у + λ .

∂х ∂у

38

Подставляя полученные частные производные и функцию ϕ(x, y) в систему уравнений (5.12), находим ее решение

2х+ λ =

0,

х = −λ

2

,

х =1,

у+ λ = 0,

у = −λ

,

2

2

у =1,

+ у− 2

= 0,

−λ

= 2,

х

−λ

2

2

λ = −2.

Получили одну критическую точку P1 (1,1). Для исследования функции на экстремум, находим частные производные второго порядка

	А=	∂2 L(x, y,λ )	= 2, В	=	∂2 L(x, y,λ )	= 0 , С =	∂2 L(x, y,λ )	= 2 .
		i			i		i
		∂х2			∂х∂у		∂у2
Составляем определитель:				D = AC − B2 = 4 . Так как D >0 и A = 2 >0 , то
точка P1	(1,1)	– точка минимума. Минимальное значение функции zmin = 2 .

Пример 5.23. Функция полных издержек некоторой фирмы имеет вид

C = (x + y)2 +(x + y)+10 .

Продукция фирмы реализуется на двух рынках. Известны функции дохода фирмы на каждом из этих рынков

f1 (x)=(351− x)x , f2 (y)=(451−2y)y ,

где x и y – количество товара, реализуемого на первом и втором рынках соот-

ветственно. Определить, при каком объеме выпуска продукции фирма получит максимальную прибыль. Какая часть продукции должна продаваться на каждом из рынков.

Решение. Прибыль фирмы z(x, y) определяется как разность между доходом от реализации продукции и полными издержками производства

z=(351− x) x +(451−2y) y −C =

=351x − x2 + 451y − 2 y2 −(x + y)2 − x − y −10 =

=−2x2 −2xy −3y2 +350x + 450y −10 .

Задача вычисления максимальной прибыли предприятия сводится к вычислению экстремума функции двух переменных z(x, y) .

Находим критические точки:

39