Практикум по высшей математике_часть 2

5.27.		4 65	. 5.28.	cosα =−	6	. 5.29.			1		3		7		3	. 5.30.	x	2	+ y	2
	arccos							−		;		,		;−							=2 3 .
		65			18				3				3
											4				4

5.32. 1) n =0 ; 2) не верна; 3) n =0 ; 4) n =0 ; 5) n =0 ; 6) не верна; 7) не верна;

8) не верна. 5.33. 1) n =2 ; 2) n R ; 3) не однородная; 4) не однородная.

5.34. cos x . 5.35. 1+2

t

2

+

2t

(t −4)

−16t

3

. 5.36. 1)

2t +2

; 2)

2x ln 2 +2x

;

t2

1−(t2 +2t )2

(x + y)ln 2

t

−t

3

−1

3) 2e2t −2(t −2)et +3; 4) et

−e−t ; 5) 2; 6)

2t

.

3

e

+e

t

(

t

)

+1

5.37. 1) zu′ =2uv2 ln (2u +v)+

2u2v2

, zv′ =2u2vln (2u +v)+

u2v2

;

2u +v

2u +v

= 2 ,

2)

z′

=3u2 cos vsin v(cos v −sin v),

z′

=u3 (sin v +cos v)(1−sin vcos v); 3) z′

u

v

u

u

4v3

v

u

zv′ =

2

; 5) zu′ = fx′

+ fy′, zv′ =− fx′

− fy′;

− v

v4 +1

(u +v)2

(u +v)2

6)

z′

=− f ′sin

(u +v)+ f ′cos(u −v)

, z′ =− f

′sin (u +v)

− f ′cos

(u −v).

u

x

(

)

y

(

v

)

x

2 x

y

2 x

xy

+ y

xy+1

5.38. 1)

z′x =

1

, z′y =

y ln y −1

; 2) z′x =e

sin 2 y , z′y =e cos 2 y ;

y2 + x2 y+2

y2 + x2 y+2

3)

z′x = y cos(xy ln (xy))(1+ln (xy)),

z′y = x cos(xy ln (xy))(1+ln (xy)).

5.39. 1)

y′=

3 −2x

y′=

y +1

y′

xe2 y +2 ye2 x

y′

1

; 2)

; 3)

=−

2xe2 y +e2 x

; 4)

=

;

2

(y +3)

x +1

1+2cos(x + y)

x

(

)

ex

(

x

)

−

3x

(

x +2 y

)

5) y′=−

; 6)

y′=

ln y −1 y

; 7) y′=

+1

;

y

2 y2 + x

x2 +5

y′=−

2x − y (x2 + y2 )

y′=−

ex + xey − xexy

y′=

yx ln y − xy−1 y

8)

; 9)

; 10)

.

2 y − x(x2 + y2 )

ey + yex − yexy

xy ln x −xyx−1

5.40. 1)

∂z = −

x

,

∂z

= −

y

; 2) ∂z

=

∂z

= −1; 3)

∂z

=

y

,

∂z

=

x

;

∂y

∂x

z

∂y

z

∂x

∂x

2z

∂y 2z

4)

∂z

=

2x − yz

,

∂z

=

2 y − xz

; 5)

∂z

=

∂z

=

1

; 6)

∂z

=

ln y2

+ 2 ,

∂x

xy

∂y

xy

∂x

∂y

ez −1

∂x

y

∂z

2x −ln y

2

− z ; 7)

∂z

2

∂z

= −cos y ; 8)

∂z

= 1 + z

2

x

=

=

,

−arctgz

,

∂y

y

∂x

cos z

∂y

∂x

2

2

cos z

x

x

+ y

∂z

=

1 + z2

.

∂y

x2 + y2

208

5.41. 1) z′′xx =6(x − y),

z′′yy =0 ,

z′xy′ = z′′yx =−6x ;

2) z′′xx =(y −1)(y −2)xy−3 , z′′yy = xy−1 ln2 x , z′′xy = z′′yx = xy−2 (1+(y −1)ln x);

,

3) z′′xx = ysin x ,

z′′yy =−xcos y ,

z′xy′

= z′′yx =−cos x −sin y ; 4)

z′′xx =e

x+y

+

x2

1

x+y

1

x+y

2

(

y −1

2x

z′′yy =e

+

, z′′xy = z′′yx =e

; 5)

z′′xx =

)

, z′′yy =

,

y2

(x − y +1)3

(x − y +1)3

z′′xy = z′′yx =−

x + y −1

; 6) z′′xx

=

4 y2 cos(2xy)

,

z′′yy =

4x2 cos(2xy)

,

(x − y +1)3

sin2 (2xy)

sin2 (

2xy)

z′′xy = z′′yx =−

4xy cos(2xy)−2sin (2xy)

z′′xx =

2(y2 −x2 )

z′′yy =

2

(x2 − y2 )

; 7)

,

,

sin2 (

2xy)

(x2 + y2 )2

(x2 + y2 )2

z′′xy = z′′yx =−

4xy

; 8) z′′xx =

2xy3

,

z′′yy

=

2x3 y

,

z′′xy

= z′′yx

=

x2 y2 −1

;

(

)

2

(

)

2

(

)

2

2

x2

+ y2

(

2 y

2

)

1+ x2 y2

1+ x2 y2

1+ x

x2

2

x

2

2

x2

2

x2

2 y cos

+8x

sin

2x

y cos

+ x

sin

9) z′′xx =

y

y

, z′′yy =

y

y

,

3 x2

4

3

x2

y

2

cos

y

cos

y

y

x2

2

x2

2x y cos

−2x

sin

y

y

z′′xy = z′′yx =−

;

y

3

cos

3 x2

y

10) z′′xx =(2 − x2 )cos(x − y)−4xsin (x − y), z′′yy =−x2 cos(x − y),

z′′xy = z′′yx = x2 cos(x − y)+2xsin (x − y); 11) z′′xx = xy2 −2 (y4 − y2 ),

z′′yy =2xy2

ln x(y2 ln x +1), z′′xy = z′′yx =2 yxy2 −1 (y2 ln x +1); 12) z′′xx = y3 (y −1)(1+ xy)y−2 ,

z′′yy =(1+ xy)y−2 (1+ xy)2 ln2 (1+ xy)+2xy(1+ xy)ln (1+ xy)+ x(xy2 + xy +2) ,

z′′xy = z′′yx =(1+ xy)y−2 y(y(1+ xy)ln (1+ xy)+ xy2 + xy +2); 13) z′′xx

=

(3x + y)

y

,

4x

x (x + y)

2

(x +3y)

x

x − y

; 14) z′′xx =

2(x2 − y2 )

2(y2 − x2 )

z′′yy =

,

z′′xy =

, z′′yy =

,

4 y

y (x + y)2

4

xy (x + y)2

(x2 + y2 )2

(x2 + y2 )2

z′′xy =

4xy

; 15)

z′′xx =(sin y)

x

ln

2

sin y ,

z′′yy

= x(sin y)

x−2

(xcos y −1),

(x2 + y2 )2

z′′xy =(sin y)x−1 cos y(xln sin y +1); 16) z′′xx =

yesin x

(xcos2 x +2cos x − xsin x), z′yy′ =0 ,

π

209

z′′xy = eπsin x (xcos x +1). 5.42. 1)

z′′xx =2 y cos(xy)− xy2 sin (xy)+

2

,

y2

z′′yy

=

6x2

− x

3

sin (xy),

z′′xy =

2xcos(xy)−x

2

ysin (xy)−

4x

; 2)

z′′xx

=−y

−2

x

,

y

4

y

3

sin

y

z′′yy

2xy

−3

x

−x

2

y

−4

x

z′′xy = xy

−3

x

− y

−2

x

=

cos

sin

,

sin

cos

;

y

y

y

y

3) z′′xx =

2(y − x2 )

−2

2(x+1)

y ln

2

2 , z′′xy

=−2

2 x+1

ln 2 −

2x

,

(x2 + y)2 ln10

(x2 + y)2 ln10

z′′yy =−

1

; 4) z′′xx

=

2 y(2x + y)

, z′′yy =

2x(x + y)

,

(x2 + y)2 ln10

(2x2 +2xy + y2 )2

(2x2 +2xy + y2 )2

z′′

=

2x2 − y2

; 5) z′′

=−y2 cos(xy + y), z′′

=−(x +1)2 cos(xy + y),

(2x2 +2xy + y2 )2

xy

xx

yy

z′′xy =−y(x +1)cos(xy + y)−sin (xy + y); 6) z′′xx =e

x

2

y

z′′yy =−

2

x

−

9

3

+ y ,

9 3

,

x5

y5

z′′xy

=

1

+ x ; 7) z′′xx = yexy (y2 + xy +2), z′′yy = xexy (x2 + xy +2),

9 3 x2 y2

y(x +2 y)

x(2x + y)

z′′xy =exy (x2 y + xy2 +2x +2 y); 8) z′′xx

=

, z′′yy =

,

2

2

(x + y)

(x + y)

z′′xy =

x2 + xy + y

2

+ln (x + y)

; 9) z′′xx =2

x2

+y+1

ln 2

(2x

2

ln 2 +1),

z′′yy =2

x2 +1

ln

2

2 ,

(x + y)2

z′′xy =2x2 +y+1 x ln2 2 ; 10) z′′xx

=

(2xy −1)

y

, z′′yy =

(2xy −1)

x

,

4 x3 (1−xy)3

4 y3 (1−xy)3

z′′xy

=

1

; 11) z′′xx =ex2 +y2 +xy (4x2 +4xy + y2 +2),

4 xy(1−xy)3

z′′yy =ex2 +y2 +xy (x2 +4xy + y2 +2), z′′xy =ex2 +y2 +xy (2x2 +5xy +2 y2 +1);

12)

z′′xx =

yx ln y(xln y −2)−1

,

z′′yy =

xyx−2 (x2 −x − yx )

, z′′xy =

yx−1 (yx + x2 ln y)

;

(yx + x)2

(yx + x)2

(yx + x)2

z′′xx =−x

−3

2

y

z′′yy =−x

−1

y

, z′′xy

−2

y

13)

y

cos

,

cos

= x

y cos

;

x

x

x

210

14) z′′xx =(

2 −x2 y2 )cos(xy)−4xysin (xy)

, z′′yy =−x4 cos(xy),

z′′

=−x2 (xy cos(xy)−3sin (xy)); 15)

z′′

=

4 y

,

z′′

=

8x

+ 6x

,

(x −2 y)3

(x −2 y)3

xy

2(x +2 y)

xx

yy

y4

z′′xy =−

−

2

; 16) z′′xx =−

1

, z′′yy =

x

−

1

, z′′xy =−

1

;

(x −2 y)3

y3

x2 ln 2

4 y3 2

y2 ln 2

2

y

17) u′′xx

= y2 z2exyz , u′′yy

= x2 z2exyz , u′′zz

= x2 y2exyz , u′′xy = (xyz2 + z)exyz ,

u′′xz

=(xy2 z + y)exyz , u′′yz

=(x2 yz + x)exyz ; 18) u′′xx

= xln y−2 ln y(ln y −1)+ zx ln2 z ,

u′′yy = y−2 xln y ln x(ln x −1), u′′zz = zx−2 x(x −1), u′′xy = y−1 xln y−1 (ln x ln y +1),

′′

= z

x−1

′′

′′

′′

=

′′

=

′′

= −8 yz ,

uxz

(xln z +1), uyz

= 0 ; 19) uxx

= 6x , uyy

−8xz , uzz

−2 , uxy

′′

= −4 y

2

′′

′′

′′

′′

′′

′′

= 0 ,

uxz

, uyz

= −8xy ; 20) uxx

= 0 , uyy

= −xcos y , uzz

= −2 , uxy

= −sin y , uxz

u′′yz

= 0 ; 21) u′′xx = 5x+z ln2 5 , u′′yy

=0 , u′′zz = 5x+z ln2 5 −

20z3 , u′xy′

=−4 , u′′xz

= 5x+z ln2 5

,

3

3

3

u′′yz

=0 ; 22) u′′xx

= zx+y ln2 z −cos(x − 2 y), u′′yy = zx+y ln2 z − 4cos(x − 2 y),

u′′zz

= zx+y−2 (x + y)(x + y −1), u′′xy

= zx+y ln2 z + 2cos(x − 2 y),

u

′′

= z

x+y−1

1

+

(

x + y

)

ln z

)

+5 , u

′′

= z

x+y−1

1 +

(

x + y

)

ln z

)

. 5.43. 1)

z

′′

=

z2

+ x2

,

xz

(

yz

(

xx

z3

xy

z2 + y2

y2 z (z +2xy)

x2 z (z +2xy)

z′′xy =−

, z′′yy =−

; 2) z′′xx =

, z′′yy

=

,

z3

z3

(z + xy)3

(z + xy)3

z′′

z

xyz (z +2xy)

; 3) z′′

2xy

3

z

z′′

2x

3

yz

=−

1

−

=−

,

=−

,

z + xy

(

z2 −xy

)

(

z2

−xy

)

xy

(z + xy)2

xx

3

xx

3

z

2x

2

y

2

c

2

a

2

z

2

2

x

2

c

2

2

z

2

+c

2

y

2

z′′xy =

+c

b

1

−

; 4) z′′xx =−

z3

, z′′yy =−b2

z3

,

(z2 − xy)

(z2 −xy)2

a2

c

4

xy

2

2x

2

e

z

2

2 y

2

e

z

z′′xy =−

; 5) z′′xx =

1−

, z′′yy =

1−

,

a2 b2

z3

1+ez

(1+ez )2

1+ez

(1+ez )2

4xye

z

z (x +2z)

1

y

2

xy

z′′

=−

; 6) z′′

=−

, z′′

=−

1+

, z′′

=

.

1+ez

)

z

+ x

(z + x)2

(z + x)3

xy

3

xx

(x + z)3

yy

xy

(

5.44. 1) d

2

z =2(1+2 y)dxdy +2xdy

2

2

2

(y2 −x2 )

2

4xy

2

; 2) d

z =

dx

−

dxdy −dy

;

(x2 + y2 )

2

y

2

− x

2

3)d 2 z =−cos(x − y) dx2 −dxdy +dy2 ;

4)d 2 z =cos−4 y sin 2 ydxdy +2x(1+2sin2 y)dy2 ;

211

5)d 2 z =4(6x − y)dx2 +2(3y −2x)dxdy +6(x +5 y)dy2 ;

6)d 2 z =2((6x2 + y2 )dx2 +2xydxdy +(x2 +6 y2 )dy2 );

7)

d

2 z =

2

(ydx2 + xdxdy −2x4 ydy2 );

(

2

2

)

2

1+ x

y

2

2

y

2

y

2

y

2

8)

d

z = y

2ln

−3

dx

+4xy ln

dxdy + x

2ln

+3

dy

;

x

x

x

9)d 2u =6(1+4x2 )dx2 + z2dxdy +2 yzdxdz +2z(x −5)dydz +2 y(x −5)dz2 ;

10)d 2u =exyz y2 z2dx2 + x2 z2dy2 + x2 y2dz2 +(1+ xyz)(zdxdy + ydxdz + xdydz) .

5.45. 1) z′′′x3 = z′′′y3 = z′′′x2 y = z′′′xy2 = −4sin(2x + 2 y) ; 2) z′x′′3 = 6 , z′x′′2 y = 6 , z′′′y3 = z′′′y2 x = 0 ;

3)

z′′′3

= −cos(x + cos y),

x

′′′

= sin y(cos(x + cos y)(1 +sin

2

y)−3cos ysin (x + cos y)),

zy3

z′′′2

y

= cos(x + cos y)sin y , z′′′2

= −cos(x + cos y)sin2 y +sin (x + cos y)cos y ;

x

= sin (x + ey ), z′′′y3

xy

4) z′′′x3

= ey sin (x + ey )(e2 y

−1)−3e2 y cos(x + ey ),

′′′

= e

y

sin

(x + e

y

)

,

′′′

y

(e

y

sin (x

+ e

y

)cos(x + e

y

));

5)

′′′

= x

−2

,

′′′

=

2x

,

zx2 y

zxy2 = e

zx3

zy3

y

3

z′′′2

= 0

, z′′′

2

= −

1

; 6)

z′′′3

= 6sin y − y3 sin x , z′′′3

= −x3 cos y −6cos x ,

y2

x

y

xy

x

y

z′′′2

y

= 6xcos x +3y2 cos x , z′′′2

= 6 ysin x −3x2 sin y ; 7) z′′′3

= exey +3 y ,

x

(x

xy

x

′′′

= e

xey +y

3

e

2 y

2

e

y

+ x),

′′′

xey +2 y

(xe

y

+

2),

′′′

= e

xey

+y

(x

2

e

2 y

+

3xe

y

+1);

zy3

+3x

zx

2 y = e

zxy2

8) z′′′3

= ln y

(ln y −1)(ln y − 2)xln y−3 , z′′′3

=

xln y ln x

ln3 x −6ln2 x +11ln x −6

,

x

y

y4

′′′

=

xln y−2

2

y

′′′

=

xln y−1

(ln

2

x −ln x)+

2ln x −

y

zx2 y

ln x(ln

−ln y)+ 2ln y −1

, zxy2

y2

ln y

1 .

5.49. верно. 5.50. f (x, y) = y + xy + 1 x2 y −

1 y3 +...

1

2

6

1

1

π

1

π

5.51. f (x, y) =1 −

(x

2

+ y

2

)+... 5.52. f (x, y)

=

+

+

2

2

x −

2

y −

4

−

2

4

−

1

−

π

2

− 2

π

π

π

2

+...

4

x

4

x −

4

y −

4

+ y −

4

5.53.z =1+(x −1)+(x −1)(y −1)+ 12 (x −1)2 (y −1)+...

5.54.z = y + 12 (2xy − y2 )+ 13 (3x2 y −3xy2 +2 y3 )+...

212

5.55. EAA =−0,0625 , EAB =0,208 , EBA =0,323 , EBB =0,107 .

5.56. Eyx1 =0,06 , Eyx2 =0,005 , Eyx3

=0,11. 5.57. Ecx =

12x2

,

6x2 +27 y2 +4

E =

54 y2

. 5.58.

E

=

1

,

E

=

1

. 5.59. а)

E

zx

=−0,37 ; б) E

zy

=0,15 .

6x

2 +27 y2 +4

2

2

cy

QL

QK

5.60. Ezx =0,261, Ezy =0,279 . 5.61. EQP =−0,08 , EQI ≈0,32 .

∂y

1

2 3

∂y

x1

1 3

∂y

1

∂y

5.62. а)

=

x2

,

= 2

; б)

=

,

=

8 .

3

∂x2

48

∂x1

x1

3

x2

∂x1

∂x2

3

5.63. 1)

zmin = z

1

;

−

3

zmin = z

3

;−

9

; 3)

zmin

−

3

;

2

; 2)

2

= z 1;

2

2

4

28

;

16

zmax = z (2;−2); 6)

zmin = z (−1;1); 7) zmax

55

;

50

4) zmin = z

5

5

; 5)

= z

3

3

;

8) zmax = z(5;5); 9) zmin

−1;−

1

27

zmin = z (0;1);

= z

2

; 10) zmin = z

6;

; 11)

2

12) zmax = z (1;2); 13) zmin

= z (1;1); 14) zmax = z (4;4);

15)

zmin = z (

2;−

2 )= z

(−

2; 2 )

в т. (0,0)

необходимо дополнительное ис-

следование; 16)

zmax = z (8;12); 17)

zmin = z (1;2), zmax = z(−1;−2); 18)

zmin = z(0;0);

19) экстремума нет; 20) zmin = z (−2;0)=−2e−1 . 5.64. zнаиб.

= z(0;0)=0 ,

zнаим.

= z (0;−2)=4 . 5.65. zнаим. =−9 2 , zнаиб.

=9 2 . 5.66. zнаим.

= z(0;1)=1,

zнаиб.

= z (2;3)=11. 5.67. zнаим. = z(1 2;1 2)

=1, zнаиб. = z (1;1 6)=23 12 .

5.68. zнаим. = z(4;2)=−64 , zнаиб.

= z (2;1)=4 . 5.69. zнаим. = z(8 3;4 3)=−16 3 ,

zнаиб. = z

(60 19;36 19)=−96 19 . 5.70. fmin = f (1;1)=2 . 5.71. fmin = f (2;1)=13.

5.72. fmax = f

(8;12)=−36 . 5.73. fmin = f (1;1)=2 . 5.74. fmax = f

(1;0)=9 .

5.75. fmin = f

(−3 2;−9 2)=−3 4 . 5.76. fmax = f

(0;0)=100 .

5.77. fmin = f

(3;2)=61. 5.78. fmin = f

(1;1)=2 . 5.79. fmax = f

(3;2)=63 .

5.80. fmin = f (−2

2;−2

2 )=−

2 2 ,

fmax = f (2

2;2 2 )=

2 2 .

5.81. fmax = f

(75;40)=−7275 . 5.82. fmax = f (−2

5 5;−

5 5)=− 5 .

5.83. fmin = f

(1;−1)= f

(−1;1)=−1,

fmax = f (1;1)= f

(−1;−1)=1. 5.84. x =120000 ,

y =80000 . 5.85. x =12 ,

y =12 , PR =672 . 5.86. x =20 , y =8 . 5.87. x =

9 C2

,

y =C2 . 5.88. x =15 ,

y =10 . 5.89. x =5 , y =1. 5.90. y =1,91x +3,13;

4

1

1

y =0,07x2 +1,41x +3,8 . 5.91. y =−5x +101,33; y =2x2 −79x +780 .

5.92. y =−4,83x +5,98; y =−0,98x2 −2,67x +4,9 . 5.93.

y =−1,30x +2,86 ;

y =0,15x2 −6,42x +45,84 .

213

5.94.y =−10,217x +20,783; y =−1,79x2 +9,02x +4,19 .

5.95.y =1,03x −2,45; y =−0, 42x2 +2,11x −3,02 . 5.96. y =−2,13x +46,39 ; y =−0,012x2 −1,64x +41,93 . 5.98. y =1414,6x2 −12489x +42410 .

5.99. y =0,3786x +8,97 ; y =0,018x2 +0, 22x +9,24 . 5.100. y =1,11+8,89 1x .

5.101. 1) x1 =2 , x2 =4 , zmax =6 ; 2) x1 =6 , x2 =1, zmin =−13 . 5.102. x1 =8 , x2 =0 , zmin =0,8 . 5.103. x1 =103 , x2 =43, zmax =383 . 5.104. x1 =800 , x2 =100 ,

zmin =1900 . 5.105. x11 =8 ,																						x12 =1,5,											x21 =0 , x22 =1 3 ,																	zmin =378 .
6.1. 1)								12 3 x5 +C ; 2) −												2				+ ex								+ ln | x | +C ;
																				3		x3
								5
3) −						1			−	1 ln | x | +C ; 4) 7x−1														+				3x−1					+C ; 5) ln | x |													+3x −6 x − 2												x3			+C ;
				4x2																								ln 3
										2										ln 7																																					3
6)		x3					+ 2x2 + 4x +C ; 7)													12 3 x5							− 3 e2 x − 2cos 4x +																			3x +C ; 8) 1 arctg														x		+C ;
		3
																				5										2																											6	2
9) −			1				ctg2x − x +C ; 10)													5	2			ln						x		−	2		2			+C ; 11)									x2				− x +C ; 12) arcsin												x		+C ;
			2																		8									x		+	2		2													2															5
							4 +C ; 14)							1
13) −																		arcsin x +C ; 15) 7ln																				x +				x2 + 7							+C ;
							x									5				x2																																1					4 +5x		+C ;
16) 2								x −12x + 4x										x −				+C ; 17) −2ctg2x +C ; 18)																																	ln
																				2																															10						2 +5x
19)			1				sin(4x +3)							+		1	cos(3x					−4) +C ; 20)														1			arctg					3x −1									+C				;
			4													3																				6												2
																														19											x	4				3 3
21) x4 − x3 − x2 +5x +C ; 22)																								18 x 6									+C ; 23)												−						x2		− 2				x +C ;
																																									4					2
																								19
24)			1 e4 x +									42 x		−		3 sin 2x						+C ; 25) x8 − x3 − x−4 + x−3 +C ;
											2ln 4
			4													2				3
			2					5		8		3																						x							x					3						2x			+C ; 28)			1								2x	+C ;
26)							x2 +					x2 +8					x +C ; 27) −2cos																		+		3sin							−				sin													arcsin
			5							3																								2							3					2						3						2								3
29)			1 arctg2x +C ; 30)																	3				2	2 x						−33			x +C ; 31) 1 (tgx + x)+C ;
																									3
																			2ln 2
			6					x − x −10																																				2
32) 4														| x | +C ; 33) −ctgx +C ; 34) ln | x | −x +C ; 35) −(ctgx + tgx)+C ;
												x														x
36)			1 tgx +C ; 37) 11x + 2ln | tg																												| +5ctgx +C ; 38)															3 ln | 2 + x2 | +C ;
			2																					2																						2

214

39)

2

( (x +1)3

+

x3 )+C ; 40) tgx +3ln | x | +C ; 41) arcsin x −

x3

+C ;

3

3

4

−13

42)

arcsin x + ln

x +

1 + x2

+C ; 43) 33

x

x

+C ;

13

	44)				33+1				−				1					+C ; 45)							6 x						76 + 4 x43			+C ; 46) 3tgx + 2ctgx +C .
		16x ln(3 16)									6 23x ln 2
																									7							3
					5															1
	6.2. 1)					5 (x2		−1)6				+C ; 2) −ex ; 3) sin (ln x); 4) ln | ex																													+			1 + e2 x | +C ; 5) −earccos x ;
				12
																															2																		1
	6) 1 arc tg4 x +C ; 7)											1 sin(x2 − 2) +C ; 8)																				arcsin3 x +C ; 9)																							+C ;
																															3
	4											2																																					1 − x2
	10)	ln | ln | ln | x ||| +C ; 11) 1																(tgx + x)+C ; 12)															−cos 42 x								+C ; 13) −33 ctgx +C ;
																8																		4ln x
	14)	2		ln5 x +C ; 15) −2ex− 12														+C ; 16) − 2 ctgx3															+C ; 17)								1 ln						ln x + 2							+C ;
		5																									3																	4			ln x − 2
	18)		1						36x +1						+C ; 19)							2x2					+C ; 20) −									1			+C
					ln		6x +																																				;
			ln 6																			2ln 2															ln x
																				1																								x4 −
		3										2									(5		x	−1)						5					1														3			+C ;
	21)	− 4			3 (1 + 2cos x)								+C ; 22)							5											+C ; 23)									ln
																																						8	3					x4 +					3
	24)		1 ln | x2 +					4 + x4 | +C ; 25)												6sin x				+C ; 26)									1 ln | x3 −8 |										+C ; 27)									3 (x3 +1)2 +C ;
		2																		ln 6													3
	28)	ln | x + cos x | +C ; 29) 2																x + ln2 x							+C ; 30) 3 ln | tgx2 |																		+C ;
			1 ln | x2 + 4x +5 | +C ; 32) 2																		2												4
	31)																					x2 + 6x +8 +C ;
		2
	33)		3 ln | x2 −3 | +								2		ln			x −		3		+C ; 34)											ln | x +1|				+ 1 ln2 | x +1| C ;
											3					x +		3
		2																																	2
	35)		1 arc tg2 x + 2ln(x2 +1) +C ; 36) −ln																										cos(x +1)								+C ; 37)								1 ln2 sin x +C ;
		2																																											2
	38)	−1 arccos3						x + 2arcsin x +C ; 39)																	1 tg2 x −3tgx +C ; 40)																				1 ex3				+C ;
		3																							3																				3
	41)	−ln(2 +5−x ) +C										; 42) 1 arcsin2 (2x)−																				1 −	4x2 ; 43) e2 x												− 1 e6 x +C ;
					ln 5											4																			5										2
	44)		1 arc tg(2sinx) +C ; 45) ln(ex																			+ x4 ) +C ; 46) −																					+C ;
																																			2sin 2x
		2
	47)	−1			1 − x4			+C ; 48)								1 ex2 −2 +C ; 49)															1 arcsin e2 x +C ;
		2														2															2

215

50)	2arcsin	ln x		+	1	ln x	4 −ln	2	x +C ; 51)	−	1	1	− x	4	+C ; 52)	−	1	e	2 cos x	+C ;
					2						2						2
			2

53) −

1 cos 2x4

+C ; 54) −

1

+C ; 55)

1

(4 +9x2 )3

+C ;

6(1 + 2x3 )

27

8

56)

5 x4 +C ; 57)

1 ex2 +4 x+1 +C ; 58) −cos3 x +C ; 59) ln

ln x

+C ;

4

2

3

60) ln

1 + ln x

+C . 6.3. 1)

6

ln

2x +1 −

6

+C ;

24

2x +1 +

6

2)

1 ln | x2 −8x +3 | −

2

x + 13 − 4

+C ; 3) ln ( x2 + 6x +8 + x +3)+C ;

ln

13

13 − 4

2

x −

4) −

1

ln

2x+1 +

37 +5

+C ; 5) ln (2 x

2

− x

−3 + 2x −1)+C ;

37 ln 2

2x+1 − 37 +5

5

2

2e

x

6)

8 arc tg(3x −

1) +

ln | 9x2 −6x + 2 | +C ; 7)

arc tg

−3

+C ;

18

19

9

19

8)

21ln (4 4x2 −5x + 2 +8x −5)+ 1

4x2

−5x + 2

+C ;

16

4

9)

1

ln

1 −sin x

+C

; 10) −arctg (2cos x −1)+C ;

6

5 +sin x

11)

1

1

+

18 + 6x −9x

2

3

arcsin

x −

3

+C ;

12) ln

2x2 − 4x +3

−

3

arctg (

2 (x −1))+C . 6.4. 1)

1

cos5x +

x

sin 5x +C ;

2

25

5

2)

ln

cos x

+ xtgx −

x2

+C ; 3) xarcctgx +

ln (x2 +1)

+C ; 4) xarcsinx + 1 − x2

+C ;

2

2

5)

−(x2 +1)arctgx + πx2

+

x

+C ;

2

4

2

(3 −8x2 )arcsin

x

x

(1 − x)(2x +3)

πx

2

3x

x

1

6)

−

+

+C ; 7) e

−

+C ;

16

16

4

3

9

5 x

x

1

8)

3

−

+C ; 9)

2 1 + xarccosx − 4

1 − x +C ;

25ln

2

3

5ln 3

3

x

3

x

2

x

x

2

10)

x

− 1

ln

(x −1)

−

−

−

+C ; 11) ln

cos x

+ xtgx −

+C ;

3

3

9

6

3

2

12) cos x +(x +π )sin x +C ; 13)

6x ((x −3)ln 6 −1)

+C ; 14)

3 3

x4 ln x − 9 3 x4

+C ;

4

ln2 6

16

216

15)	5	5	sin	2x	− xcos	2x		+C ; 16)	x	(cos	2	(ln x)+sin (2ln x)+ 2)+C ;
	2			5		5			5
		2

17)

3

cos 2x

+

(3x +1)

sin 2x +C ; 18)

1

sin 3x

−

(x

+C ;

4

2

3

3

+1)cos3x

ln x

1

+C ; 20) −

5−x

1

3x (ln 3 sin 3x −3cos3x)

+C ;

19)

−

−

x +1

+

+C ; 21)

x

x

ln

2

3 +9

ln 5

ln 5

22)

−

e−2 x (2x +1)

+C ; 23) (x −1)ln2 (x −1)+ 2(1 − x)ln (x −1)+ 2x +C ;

− ln x2

4

1

24)

−

+C ; 25)

2xcos x +(x2 − 2)sin x +C ;

2

2x

4x

2x

2

+ 4x +1 cos 2x

2

(x +1)sin 2x

(

)

x

x

2x

2

26)

−

+C ; 27) 2

−

+

+C ;

2

4

ln

2

2

ln

3

ln 2

x

28)

e2 x

(2sin 3x −cos3x)+C ; 29) ln

sin x

− xctgx +C ;

13

ln (x2 +1)

x4 ln x

x4

+C ; 32) xarctgx −

30)

ln

cos x

+ xtgx +C ; 31)

−

+C ;

4

16

2

33)

x(6 − x2 )cos x +3(x2 − 2)sin x +C ; 34) 12 (x −

1 − x2 )earccos x +C ;

35)

x3arctgx

−

ln (x2 +1)

+

x2

+C ; 36)

(x2 − 2)

x2 +1 +C ;

3

3

6

6

x

1

x − 2

x

x

(cos(ln x)+sin (ln x))+C ;

37)

−

− 2 ctgx +C ; 38)

e

+C ; 39)

2sin2 x

x + 2

2

40)

x

(−sin (2ln x)+sin2 (ln x)+ 2)+C ;

5

1

2

2

41)

arcsin (xcos 2)(cos 4 −1)−

2xcos 2

1− x

−(1+ x

)cos 4 +C ;

2

(+cos 4)

1

5x

4

5

+(x +4)

(

−x2 −8x −11

42)

5arcsin

+

+C ;

2

5

5

)

43)

−e−2x2

(x2 +1)+C ;

1

11x

44)

11arcsin

− 5

11 +(x −5)

(−x2 −10x −14)

+C ;

2

11

11

45)

14 (ln (cos 2x)+ 2xtg2x − 2x2 )+C ;

217