Практикум по высшей математике_часть 2

или

∫ex cos xdx = ex	(sin x +cos x)+C1 ,	(C1 = C	2	).
2

Задания для самостоятельного решения

6.1. Используя метод непосредственного интегрирования, найти интегралы:

1)

∫4 3

x2 dx ;

3)

∫12−хх3 2 dx ;

5)

∫

(1 −

х)3

dx ;

х

7)

∫(4 3 x2

−3е2 х +8sin 4x +3)dx ;

9)

∫ctg2 2xdx ;

11)

∫( 3

x

−1)( 3

x2

+ 3

x

+1)dx ;

13)

∫4x−2dx ;

15)

∫

7dх

;

2

x

+7

17)

∫

dx

;

sin2 xcos2 x

))

19)

∫

(

cos

(

4x +

3

)

−sin

(

3x − 4

dx ;

21)

∫(4x3 −3x2 − 2x +5)

dx ;

23)

∫

x4 − 3

x2

−

x

dx

;

x

∫

7

2

4

3

25)

8x

−3x

+

−

dx ;

x

5

x

4

∫

x

x

2x

27)

sin

+ cos

−cos

dx ;

2

3

3

	∫	x + x3ex + x2
2)						dх;
		x	3
4)	∫	3 7x + 7 3x			dх;
		21
6)	∫(x + 2)2 xdx ;
8)	∫	dх		;
		3(х2 + 4)

10)∫ 5dх ;

x2 −8

12)

∫

dх

;

25 − x

2

14)

∫

dх

;

5

−5x

2

16)

∫

(2 −

x )3

dx ;

x

18)

∫

dx

(

−

(5x +

3)

2

)

1

20)

∫

dx

;

4 +(3x −1)2

22)

∫

3x2

xdx

;

3

x

24)∫ e4 x + 42 x −cos 2x dx ;

3

26)∫(x +x2)2 dx ;

28) ∫	dx	;
9	−4x2

79

29)

∫

dx

;

3 +12x2

31)

∫

(1 + cos2 x)dx ;

1 + cos 2x

33)

∫

dx

;

cos2 x −cos 2x

∫

cos 2xdx

35)

;

sin2 xcos2 x

37)

∫

(sin2 x + 2sin x −5cos 2x)dx

;

sin

2

x

39)

∫

dx

;

x +1 −

x

∫

1 − x2 − x2 + x4

41)

dx ;

1 − x2

43)

∫

(1 + x2 )(x2 − 2)

dx ;

3

x

2

45)

∫

3 x2 − 4 x

dx ;

x

30)

∫

2 x

− x

−2

23

3

dx ;

32)

∫

2x

x − x2 +10

dx ;

x

2

34)

∫

(1 − x2 )dx

;

x(1 + x)

36)

∫

tgxdx

;

sin 2x

38)

∫

3xdx

;

2 + x2

40)

∫

(2x +3cos2 x)dx

;

xcos2 x

42)

∫

1 − x2 +

1 + x2

dx ;

1 − x

4

44)

∫

3x+1 − 2x−1

dx ;

16x

3− 2ctg2 x

46)∫ cos2 x dx .

6.2. Используя метод замены переменной или инвариантность формулы интегрирования (внесение переменной под знак дифференциала), найти интегралы:

1)

∫x 5

x2 −1dx ;

3)

∫cos(ln x)dx ;

x

5)

∫

e

arccos x

dх;

1 − x

2

7)

∫xcos(2 − x2 )dx ;

9)

∫

x

dx ;

(1 − x

2

)

3

11)

∫

1 + cos2 x

dх;

4(1 + cos 2x)

				1
	2)	∫exx d2			х ;
	4)	∫		exdх		;
				2 x
				1 + e
	6)	∫	arctg3 xdх					;
				1 + x2
	8)	∫		arcsinx			dх;
				2
				1 − x
	10)	∫			dх				;
				x ln x ln(ln x)

12) ∫42 x sin 42 x dx ;

80

13)	∫					dx					;
			3	ctg		2	x sin	2
										x
				− 1	2
15)	∫eхx3 2dx ;
17)	∫	dx							;
		x(4 −ln2 x)
19)	∫x 2x2 dx ;
21)	∫			sin xdx						;
			3	2cos x +1
23)	∫		x 3dx
							;
			x8 −3
25)	∫6sin x cos xdx ;

27) ∫ 2x2dx ;

3 х3 +1

29) ∫	x + ln x	dx ;
	x

31)∫ (x + 2)dx ;

x2 + 4х+5

33)∫3х+ 4 dx ;

x2 −3

35)∫arctgx + 4x dx ;

x2 +1

37) ∫ctgx ln sin xdx ;

tg2 x −3 39) ∫ cos2 x dx ;

41) ∫5x (2dx+5−x ) ;

43) ∫(2 −3е4 х)е2 хdx ;

∫ex + 4x3

45) ex + x4 dx ;

14) ∫ ln3xxdx ;

2x 2dx

16) ∫sin2 x3 ; 18) ∫ 366x dxx +1 ;

dx

20) ∫x ln2 x ;

22)∫5x (5x −1)4 dx ;

24)∫ 4xdx+ x4 ;

26)∫ x2dx ;

х3 −8

28)	∫		1 +sin x		dx ;
			x + cos x
30)	∫		3xdx	;
			sin 2x2
32)	∫		(2x + 6)dx			;
			2
			x + 6х+8

34)∫1 + ln(x +1) dx ;

x+1

36) ∫sin(1 + x)dx ; cos(1 + x)

38)∫(arccos x)2 + 2 dx ;

1− x2

40)∫x2 ex3 dx ;

42) ∫arcsin 2x + 4x dx ; 1 − 4x2

44) ∫	cos xdx	;
	1 + 4sin2 x

5cos 2xdx 46) ∫4sin2 xcos2 x ;

81

47)

∫

x3

dx ;

48)

∫xex2 −2dx ;

1 −3x4

49)

∫

e2 xdx

;

50)

∫

4 −ln2 x

dx ;

4 x

1−e

x

51)

∫

x3dx

;

52)

∫e2 cos x sin xdx ;

4

1 − x

53)

∫x

3

sin 2x

4

dx ;

54)

∫

x2dx

;

1 + 2x

3 2

)

(

55)

∫

4 +9x2 xdx ;

56)

∫5x3 (cos x4 )dx ;

57)

∫ex2 +4 x+1 (x + 2)dx ;

58)

∫sin xcos2 xdx ;

59)

∫

dx

;

60)

∫

dx

.

xln x

x(1 + ln x)

6.3. Найти интегралы, используя прием выделения полного квадрата:

∫

dx

∫

xdx

1)

;

2)

;

4x2 + 4x −5

x2 −8x +3

3)

∫

dx

;

4)

∫

2x dx

;

x2 + 6х+8

22 x +5 2x −3

∫

dx

∫

(5x +1)dx

5)

;

6)

;

x2 − х−3

9x2 −6x + 2

7)

∫

exdx

;

8)

∫

(x + 2)dx

;

e2 x −3 ex + 7

4x2 −5х+ 2

9)

∫

cos xdx

;

10) ∫

sin xdx

;

sin2 x + 4sin x −5

2cos2 x − 2cos+1

11) ∫

(2 −3x)dx

12) ∫

(4x −7)dx

;

.

8 + 6x −9x2

2x2 − 4x +3

6.4. Используя формулу интегрирования по частям, найти интегралы:

1)	∫x cos5xdx ;	2)	∫хtg2 xdx ;
3)	∫arcctgxdx ;	4)	∫arcsin xdx ;
5)	∫xarcctgxdx ;	6)	∫x arccos xdx ;
7)	∫x e3 xdx ;	8)	∫x 35 x dx ;

82

9)	∫	arccos x							dx ;
				1 + x
11)	∫xtg2 xdx ;
13)	∫(x −3) 6x dx ;
15)	∫xsin					2x			dx ;
				5
17)	∫(3x +1)cos 2xdx ;
19)	∫			ln x	dx ;
				х2
21)	∫3x sin 3xdx ;
23)	∫ln2 (x −1)dx ;
25)	∫x2 cos xdx ;
27)	∫x2 2x dx ;
	∫			x
29)							dx ;
			sin2 x
31)	∫x3 ln xdx ;
33)	∫x3 sin xdx ;
35)	∫x2arctgxdx ;
37)	∫			x cos xdx							;
				sin3 x
39)	∫cos(ln x)dx ;
41)	∫			tg2 2 − x2 dx ;
43)	∫x3e−x2 dx ;
45)	∫xtg2 2xdx ;
47)	∫e3x cos 4xdx ;

10)∫x2 ln(x −1)dx ;

12)∫(x +π)cos xdx ;

14) ∫3 x ln xdx ;

16) ∫cos2 (ln x)dx ;

18) ∫(1 + x)sin 3xdx ;

20)∫(x +1) 5−x dx ;

22)∫ex2 x dx ;

24)	∫	ln x	dx ;
		х3
26)	∫(1 + x)2 sin 2xdx ;
28)	∫e2 x sin 3xdx ;
	∫	x
30)				dx ;
		cos2 x
32)	∫arctgxdx ;

34)∫earccosxdx ;

36)∫ 1x3+dxх2 ;

38)∫(xx2+ex2)dx2 ;

40)∫sin2 (ln x)dx ;

42)	∫	5 −(x + 4)2 dx ;
44)	∫	11 −(x −5)2 dx ;
46)	∫e2 x (sin 3x −cos5x)dx ;
48)	∫arctg xdx ;

83

49)	∫		+	1	50)	∫	sin x ln tgxdx .
				x
		xln 1		dx ;

ТЕМА 2

ОСНОВНЫЕ КЛАССЫ ИНТЕГРИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ

Интегрирование рациональных функций

Выражение Pm (x) , где Pm (x) и Qn (x) – многочлены степени m и n соот-

Qn (x)

ветственно, называется рациональной дробью. Если m < n , то рациональная дробь называется правильной, если m ≥ n , то – неправильной.

Если подынтегральная функция – неправильная рациональная дробь, то предварительно необходимо выделить целую часть.

Если подынтегральная функция – правильная дробь, то знаменатель может быть представлен следующим образом:

Qn (x) = (х−а1)k (х−a2 )l ...(x2 + p1x + q1 )r (x2 + p2 x + q2 )s ... .

Здесь все двучлены и трехчлены различны и трехчлены не имеют действительных корней. Тогда для правильной рациональной дроби справедливо разложение:

Pm (x)

Qn (x)

где A1, A2 ,..., Ak , B1, B2

=

A1

+

A2

+... +

Ak

+

х− а

(х

− а )2

(х− а )k

1

1

1

+

B1

+

B2

+... +

Bl

+... +

х− а

(х

− а

)2

(х− а

)l

2

2

2

+

M1x + N1

+

M2 x + N2

+... +

Mr x + Nr

+

(x2 + p1x + q1 )2

(x2 + p1x + q1 )r

x2 + p1x + q1

+

R1x + L1

+

R2 x + L2

+... +

Rs x + Ls

+....,

(x2 + p2 x + q2 )2

(x2 + p2 x + q2 )s

x2 + p2 x + q2

,..., Bl , M1, M2 ,..., Mr , N1, N2 ,..., Nr , R1, R2 ,..., Rs , L1, L2 ,..., Ls ,.... –

неизвестные постоянные, подлежащие определению.

Для определения неизвестных коэффициентов используют метод сравне-

ния коэффициентов (метод неопределенных коэффициентов) или метод част-

ных значений. Комбинация указанных методов часто позволяет упростить процесс определения коэффициентов.

Простейшими рациональными дробями называют дроби четырех типов:

84

A

A

Ax + B

Ax + B

I.

;

II.

;

III.

; IV.

x − a

(x − a)k

x2 + px + q

(x2 + px + q)k

где k ≥ 2 и p2 −4q < 0 .

Интегралы от простейших дробей имеют вид:

I. ∫

Adx

= Aln | x − a | +C ;

x − a

II. ∫

Adx

= A∫

(x − a)

−k

dx

=

A

+C ;

(x − a)k

(1 − k)(x − a)k −1

(Ax + B)dx

(Ax + B)dx

III.

∫ x2 + px + q

= ∫

– далее интегрируют,

(

2 )

2

− p

2

4

x + p

+ q

зуя замену (x + p

2 )= t (см. примеры 6.20, 6.21);

,

исполь-

(Ax + B)dx

IV. ∫(x2 + px + q)k – интегрируют с помощью рекуррентных формул.

= ∫ (x +1)dx

Пример 6.20. Найти I x2 + 4x +5 .

Решение. Очевидно, дискриминант, стоящего в знаменателе квадратного трехчлена меньше нуля. Выделяем полный квадрат:

x2 + 4x +5 = (x + 2)2 +5 − 22 = (x + 2)2 +1.

Тогда

(x +1)dx

(x +1)dx

x + 2 = t

(t −1)dt =

I

=

=

=

x = t − 2

=

1

∫x2

+ 4x +5 ∫(x + 2)2 +1

∫

t2 +1

dx = dt

tdt

dt

1

d (t2 +1)

= ∫

− ∫

=

2 ∫

t2 +1

−arctgt =

t2 +1

t2 +1

1

2

1

2

+ 4x + 5)− arctg(x + 2) + C .

=

2 ln | t

+1| −arctgt +C = 2 ln (x

Пример 6.21. Найти I = ∫

х+3

dx .

х2 + 2х+ 2

85

Решение. Знаменатель правильной дроби, стоящей под знаком интеграла имеет отрицательный дискриминант. Выделяем в знаменателе полный квадрат и вводим новую переменную:

I = ∫

х+3

dx = ∫

х+3

х+1 =t

= ∫

t + 2

dx

=

x =t −1

dt =

х2 + 2х+ 2

(х+1)2 +1

t2 +1

dx = dt

= ∫

t

dt

+2∫

dt

1

∫

d (t2 +1)

+ 2arctg t + C =

= 2

t2 +1

t2 +1

t2 +1

= 1 ln(t2

+1) + 2arctgt +C =

1 ln(x2

+ 2x + 2) + 2arctg(x +1) +C .

2

2

Пример 6.22. Найти

I = ∫

xdx

.

x2 +3x + 2

Решение. Разложив знаменатель на множители x2 +3x + 2 = (x +1)(x + 2) ,

представим подынтегральную функцию в виде суммы простых дробей

x

=

A

+

B

.

(6.4)

x2 +3x + 2

x +1

x

+ 2

Постоянные A и B найдем с помощью метода сравнения коэффициентов. Для этого правую часть равенства (6.4) приводим к общему знаменателю

x	=	A		+	B	=	A(x + 2) + B(x +1)	.	(6.5)
x2 +3x + 2		x +	1		x + 2
							(x +1)(x + 2)

Так как знаменатели левой и правой частей равенства (6.5) равны, то равны и их числители. Отсюда получаем тождество

x ≡ A(x + 2) + B(x +1) x ≡ x( A + B) + (2A + B) .

Если два многочлена тождественно равны, то равны коэффициенты при одинаковых степенях переменной, следовательно, справедливы равенства

x1	A + B =1,
x0	2A + B = 0.
Решая полученную систему, находим: A = −1, B = 2 . Тогда
I = ∫		xdx	= −∫	dx		+ 2∫	dx	= −ln | x +1|	+2ln | x + 2 | +C =
		x2 +3x + 2		x +1			x + 2

86

= ln	(x + 2)2
	| x +1|	+C .
		I = ∫(	х3	− х+1 dx
Пример 6.23. Найти				х2 − 4 ) .

Решение. Так как подынтегральная функция есть неправильная дробь, то, разделив числитель на знаменатель, выделяем целую часть

−

x3

−x +1

х2

− 4

х3

− 4x

x .

3x +1

Следовательно,

х3 − х+1

=

х+

3х+1

= x +

3х+1

.

х2 − 4

х2

− 4

(х− 2)(x + 2)

Правильную дробь раскладываем на сумму простых дробей

3х+1	=	A		+	B	=	A(x + 2) + B(x − 2)
(х− 2)(x + 2)		x −	2		x + 2		(x − 2)(x + 2)

3х+1 ≡ A(x + 2) + B(x − 2)

Постоянные A и B найдем с помощью метода частных значений. В качестве частных значений берем те значения переменной x , при которых выражения, стоящие в скобках, обращаются в ноль. Тогда из последнего равенства получаем

при x = −2 :

3 (−2) +1 = A 0 + B(−2 − 2) −5 = −4B B =

5

;

4

при x = 2 :

3 2 +1 = A (2 + 2) + B 0 7 = 4 A A =

7 .

4

Значит

I =

∫

x +

7

+

5

dx

=

x2

+ 7 ln | x − 2 |

+ 5 ln | x + 2 | +C =

4(

х− 2) 4(x + 2)

2 4

4

=x2 + 1 ln (| x − 2 |7 | x + 2 |5 )+C . 2 4

Пример 6.24. Найти I = ∫ 2 х3 − 2 dx .

х −5х+ 6

Решение. Так как подынтегральная функция – неправильная рациональная дробь, то сначала выделяем целую часть

87

	х3 − 2		= х+5	+	19х−32	.
	х2 −	5х+ 6			х2 −5х+ 6

Теперь раскладываем правильную рациональную дробь на сумму простейших рациональных дробей

19х−32

=

19х−32

=

А

+

В

=

А(х−3) + В(х− 2)

.

х2 −5х+ 6

(х− 2)(х−

3)

х−

2

х− 2

(х− 2)(х−3)

Отсюда А(х−3) + В(х− 2) =19х−32. Тогда при x = 2 , получаем: −A = 6 , а

при x = 3 : B = 25. Следовательно,

A = −6,

B = 25.

Наконец находим

I =

х3 − 2

dx

6

25

=

х+5 −

+

dx =

∫х

2

−5х+ 6

х

− 2

х

−

∫

3

=

х2

+5х−6ln

x −2

+ 25ln

x −3

+C .

2

Интегрирование тригонометрических выражений

Интегралы вида

∫sinαxcos βxdx ,

∫sinαxsin βxdx ,

∫cosαxcos βxdx

вычисляют, используя тригонометрические формулы:

sinαx cos βx = sin(α − β)x +sin(α + β)x

;

2

sinαxsin βx = cos(α − β)x − cos(α + β)x

;

(6.6)

2

cosαx cos βx = cos(α − β)x + cos(α + β)x . 2

Интегралы вида

∫sinm xcosn xdx ,

где m и n – целые числа, находят по следующим правилам.

1. Если m и n – четные положительные числа, то применяют тригонометрические формулы понижения степени:

88