Практикум по высшей математике_часть 2

12

3x2 +3y2 + 4z2 +5xy = 0

27

2x2 y −5y3 + 2z2 +5xy = 0

13

4x2 +3y2 +3z2 +5xy = 0

28

2x2 y −5y3 +3z2 + 4xy = 0

14

5x2 +3y2 + 2z2 +5xy = 0

29

2x2 y −5y3 + 4z2 +3xy = 0

15

6x2 +3y2 + z2 +5xy = 0

30

2x2 y −5y3 +5z2 + 2xy = 0

Задание 11.4. Для следующих функций найти градиент в точке A и про-

изводную по направлению вектора l

в точке A (табл. 11.4).

Таблица 11.4

Номер

u(x, y, z)

A

G

варианта

l

1

u = x2 yz + x + y

(3; −2; 1)

(1; 2; 1)

2

u = xy2 z2 − 3 x2 y

(2; 2; −1)

(5; 3; 15 )

3

u = 3x2 y2 − z y

(−2; 4; 1)

( 5; 2; 0)

Окончание табл. 11.4

4

u

=

x

3

y

2

−

2xz

(

−2; 1; 1

(

2; 1; 2

)

)

5

u = 2xz2 − x − z

(5; 3; 1)

(3; 4; 0)

6

u

=

y

2

z

3

+

3xyz

(

3; −1; 1

(

2; 2; 1

)

)

7

u = −x3z2 + 2y2 xz

(−1; 1; 2)

(0; 2; 5 )

8

u =

x + y2

−3yz

(0; 2; −1)

(

15; 3; 5)

9

u = y3 z − x

y

(2; 1; −1)

(

11; 3; 4)

10

u

=

x

2

z

3

−

5y

2

z

(

−2; 1; −1

(

0; 6; 3

)

)

11

u = xy3 − 3 z +3

(1; −1; 5)

(1; 1; 2 )

12

u = 4 yz2 − х

y

(−1; 4; 1)

(3; 5; 15 )

13

u = 2xy2 − z x

(1; −1; 3)

( 3; 6; 5)

14

u

=

xy

−2

−

2z

3

x

2

1; 1; −1

(

0; 3; 4

)

(

)

15

u = x + y − xy2 z3

(3; 1; 0)

(0; 3; 7 )

16

u = x3 y2 z + x−2 z2

(1; − 2; 0)

(3; 7; 0)

17

u

=

x

y

−

2xz

3

(

3; 1; −1

(

0; 4; 3

)

)

18

u = x2 y3 z − z2 y

(−1; 2; 1)

(6; 5; 3)

19

u = x−2 y +3yz2

(1; −1; 0)

(3; 11; 4)

60

20	u = x				yz					− x +3					1; −1; 2		)	1; 2; 2			)
				2				2
21	u = xy3 z2 −2x z														(−1; 2; 1)			( 2; 1; 1)
22	u = 2x3 y2 − xz														(1; −1; −2)			(0; 7; 3)
23	u = 2x						y			−3z x					1; −2; 1			(	3; 0; 6			)
						2			3						(		)
24	u = −хy3 z − у3 z														(1; 0; −1)			(2; 5; 0)
25	u = 2x2 z +3y2 z−1														(−1; 1; 1)			(6; 3; 5)
26	u = 2x2 y3 + xz−1														(1; 2; 1)			(3;		15; 5)
27	u = 2xy								− y z						1; −2; 1			(	4; 0; 3			)
							2								(		)
28	u = 2x3 y2 z − z−2 y														(−1; 0; 1)			( 7; 3; 0)
29	u	=	x y						+		2z	3	y	2	(	2; 1; −1		(	6; 3; 0			)
																	)
30	u = −3x2 y − xy2 z3														(1; 1; −2)			(3; 4; 11)

Задание 11.5. Найти экстремум функции двух переменных (табл. 11.5).

Номер	z = f (x, y)	Номер
варианта		варианта
1	z = x3 + 4xy + 2y2 + x −2	16
2	z = y3 +6xy +3x2 +3y +6	17
3	z = x3 + xy + y2 + y +3	18
4	z = x3 + 2xy + y2 + y −7	19
5	z = x3 +5xy + 2y2 +3x +11	20
6	z = x3 +3xy +3y2 −9x +6	21
7	z = x3 + 4xy + 2 y2 + x −3	22
8	z = y3 +3xy +3x2 −9y −15	23
9	z = y3 +3xy +3x2 −9y −7	24
10	z = y3 + 2xy + x2 + x +12	25
11	z = y3 + 4xy + 2x2 + y −3	26
12	z = x3 +6xy +3y2 +3x −11	27
13	z = y3 + 2xy +5x2 + x +15	28
14	z = x3 + 2xy −4 y2 − x −11	29
15	z = y3 +5xy + 2x2 +3y +11	30

Таблица 11.5 z = f (x, y)

z = y3 + 4xy + 4x2 −8y +7

z = 2x3 + y3 −27x2 −48y +5 z = 6x3 +3y3 − y2 −18x +13 z = x3 + 4xy + 4 y2 −8x −12 z = y3 + 2xy + 4x2 − y −9

z = x3 + 2xy +5y2 + y −12 z = y3 + 2xy + x2 +5x + 4 z = x3 + 4xy + 4 y2 − x −3 z = x3 + 2xy + 4y2 − x +7

z = x3 + 2 y3 −48y2 −27x + 4 z =3x3 +6y2 − x2 −18y −14 z = x3 + 2xy + y2 +5y −11

z = y3 + xy + x2 + x −5

z = y3 + 4xy + 4x2 − y +5 z = y3 + 2xy −4x2 − y + 2

61

Задание 11.6. Найти экстремум функции двух переменных z = F (x, y) при условии ϕ(x, y) = 0 (табл. 11.6).

Таблица 11.6

Номер	F(x, y)	ϕ(x, y)
варианта
1	4x2 +12xy + y2	x2 +9y2 −25
2	x2 + xy + y2 −12x −3y	x − y +5
3	6 −5x − 4 y	x2 − y2 −9
4	x2 + xy + y2	x2 + y2 −1
5	x2 − y2	(x −1)3 + y2
6	x2 − y2	x2 + y2 −2xy
7	x2 − y2	4x − y −12
8	2x2 +12xy + y2	x2 + 4 y2 −25
9	x2 + xy + y2	x2 + y2 −1
		Окончание табл. 11.6
10	1 − 4x −8y	x2 −8y2 −8
11	5 −3x − 4 y	x2 + y2 −25
12	x2 − y2	x 9 + y 64 −1
13	xy	x + y −10
14	x + y	(x −1)2 +( y −1)2
15	xy2	x + 2 y −1
16	x2 − y2	x 12 + y 13 −1
17	x2 − y2	x 9 + y 64 −1
18	xy	x + y −1
19	x2 + y2	x + y − 2 (x ≥ 0, y ≥ 0)
20	x2 + y2	x 10 + y 12 −1
21	xy	x2 + y2 −18
22	x2 + y2	3x + 2 y −6
23	xy	x 2 + y 3 −1
24	x 4 + y 8	x2 + y2 −16
25	x2 + y2	x 9 + y 10 −1
26	x 10 + y 16	x2 + y2 −9
27	xy	x2 + y2 −8
62

28	x2 − y2	2x − y −3
29	xy	x 4 + y 6 −1
30	x2 − y2	x 18 + y 19 − 2

Задания для индивидуальной работы № 12

Задание 12.1. Используя метод наименьших квадратов найти функцию, отражающую линейную зависимость между переменными x и y (табл. 12.1.).

1	x	-1	0	1	2	4
	y	3	1	-1	-3	-2
2	x	-4	-2	0	1	5
	y	2	5	4	7	9
3	x	0	2	4	5	8
	y	2	3	5	7	9
4	x	1	3	4	7	9
	y	-6	-3	-5	-1	0
5	x	1	2	5	7	10
	y	6	4	5	2	3
6	x	3	4	6	9	10
	y	4	1	0	-3	-5
7	x	-4	-1	0	2	6
	y	10	7	6	3	4
8	x	2	3	6	8	11
	y	9	7	10	4	1
9	x	-4	-2	1	3	7
	y	6	4	5	2	3
10	x	1	2	4	6	9
	y	7	5	2	-3	-1
11	x	1	2	3	5	7
	y	-4	-2	-3	2	3
12	x	-2	1	2	4	7
	y	6	4	5	2	1
13	x	2	3	5	8	11
	y	8	5	7	1	2
14	x	-4	-1	2	3	8

Таблица 12.1

			16	x	1	2	4	5	7
				y	5	3	4	1	2
			17	x	-1	2	3	5	7
				y	6	3	4	1	0
			18	x	-4	-1	1	2	5
				y	-1	2	3	6	7
			19	x	-2	0	1	5	8
				y	1	4	2	3	5
						Окончание табл. 12.1
			20	x	-2	0	1	5	8
				y	-3	1	5	4	7
			21	x	-2	-1	1	2	5
				y	1	3	2	6	7
			22	x	1	3	5	7	8
				y	2	0	3	4	5
			23	x	-2	1	3	5	8
				y	1	3	2	6	5
			24
				x	2	3	5	8	11
				y	-3	-1	1	2	5
	25			x	-5	-3	1	2	7
				y	2	4	3	7	6
	26			x	-5	-2	1	3	6
				y	2	5	3	4	7
	27			x	-4	-1	2	3	5
				y	2	1	4	3	6
	28			x	-1	3	4	7	10
				y	2	5	3	8	6
	29			x	-1	0	2	4	7

63

	y		9		7		8		4		5
15	x		1		2		4		5		7
	y		9		5		7		4		1

	y		1		3		2		5		4
30	x		-2		2		3		4		6
	y		1		4		5		6		4

Задание 12.2. Используя приведенные (табл. 12.2) данные, провести выравнивание с помощью МНК для:

а) прямой линии y = ax +b ; б) параболы y = ax2 +bx +c ;

		в) гиперболы		y = a + b .
					x
	Сравнить результаты. Сделать вывод.											Таблица 12.2
1		x	-1,9	5,3	-0,8	1,3		0,3	2,4	3,2	2,4	3,8	1,2
		y	1,3	8,6	3,4	2,1		1,8	5,2	3,7	4,3	6,4	2,6
2		x	2,3	7,8	1,7	3,2		6,8	4,2	3,9	5,1	6,3	4,8
		y	7,1	8,7	6,3	3,8		8,2	3,6	4,1	5,8	7,1	6,5
3		x	1,2	7,2	5,8		6,4	5,9	4,3	2,4	4,7	1,8	3,5
		y	10,1	1,7	4,3		3,8	2,9	6,3	9,1	5,8	8,4	7,3
										Продолжение табл. 12.2
4		x	-2,7	1,2	2,3	0,4		-1,6	3,2	4,3	-0,9	5,3	7,1
		y	1,8	5,2	6,4	3,8		2,7	8,1	7,3	4,8	9,2	5,9
5		x	3,8	9,1	8,7	5,3		8,2	6,8	5,4	10,2	7,3	5,7
		y	9,8	9,5	10,2	8,3		7,8	8,9	7,6	11,5	7,9	6,8
6		x	1,3	9,2	2,3	7,9		3,4	8,2	6,3	7,4	5,2	6,5
		y	9,4	0,3	7,8	1,3		7,4	2,5	4,3	2,7	6,3	5,4
7		x	-5,3	3,2	1,4		-0,9	-3,7	-1,9	0,4	-3	2,1	-2,3
		y	3,1	10,7	9,1		8,3	2,7	6,4	8,5	4,3	9,6	5,4
8		x	3,2	6,1	9,8	8,7		4,3	5,4	8,7	4,8	7,3	5,7
		y	10,3	8,9	9,7	11,8		8,5	8,6	10,9	7,4	9,8	8,3
9		x	-1,2	2,3	4,5	-2,1		3,9	0,3	3,1	4,2	1,3	2,5
		y	0,9	3,1	5,2	0,4		7,1	3,2	8,1	6,3	2,1	4,3
10		x	8,2	7,8	7,1		3,2	4,1	5,1	2,9	4,8	3,8	6,1
		y	11,7	10,2	8,3		9,1	7,4	5,7	11,1	6,1	8,3	7,1
11		x	-2,8	4,2	-1,7	0,4		-1,1	1,3	2,1	1,3	2,7	0,3
		y	0,2	7,7	2,3	1,2		0,7	4,3	2,6	3,2	5,1	1,7
12		x	1,1	6,9	0,8	2,1		5,7	3,1	2,7	4,2	5,1	3,7
		y	6,4	7,8	5,2	2,7		7,3	2,7	3,2	4,9	6,2	5,4

64

13	x	0,3	6,3	4,7	5,1		4,7	3,2	1,2	3,8	0,9	2,6
	y	9,3	0,8	1,2	2,9		1,8	5,2	8,2	4,7	7,2	6,1
14	x	-3,8	0,1	1,4	-1,2		-2,7	2,1	3,2	-1,8	4,2	6,3
	y	0,9	4,3	5,2	2,7		1,9	7,3	6,2	3,7	8,1	4,8
15	x	2,9	8,3	7,8	4,2		7,1	5,7	4,3	9,1	6,2	4,8
	y	8,7	8,4	9,3	7,1		6,9	7,8	6,8	10,6	6,8	5,9
16	x	0,2	8,3	1,2		6,8	2,3	7,3	5,1	6,3	4,4	5,6
	y	8,3	-1,32	6,9		0,1	6,3	1,4	3,2	1,8	5,2	4,1
17	x	-6,3	2,1	0,3	-1,8		-4,9	-2,7	-1,2	-4	1,3	-3,1
	y	2,3	9,8	8,2	7,1		1,8	5,3	7,4	3,1	8,7	4,3
18	x	2,2	5,3	8,9	7,8		3,1	4,3	7,8	3,9	6,1	4,8
	y	9,2	7,8	8,8	10,7		7,4	7,5	9,8	6,1	8,9	7,2
19	x	-2,1	1,4	3,6	-3,2		2,8	-1,2	2,3	3,1	0,2	1,4
	y	-1,8	2,3	4,1	-1,3		6,2	2,1	7,3	5,2	1,2	3,1
20	x	7,1	6,9	6,2	2,3		3,2	4,1	1,7	3,9	2,7	5,2
	y	10,8	9,1	7,2	8,3		6,2	4,8	10,2	5,3	7,2	6,3

65

Окончание табл. 12.2

21	x	-0,8	6,2	0,3		2,1	1,2	3,2			4,1	3,5		4,9	2,1
	y	2,1	9,7	4,3		3,2	2,9	6,1			4,8	5,2		7,3	3,8
22	x	3,2	8,9	2,8		4,1	7,9	5,1			4,7	6,2		7,2	5,7
	y	8,2	9,9	7,2		4,9	9,3	4,7			5,2	6,9		8,2	7,4
23	x	2,1	8,1	6,7		7,3	6,8	5,2		3,1		5,8		2,7	4,7
	y	9,2	2,9	5,1		4,9	3,7	7,2		10,2		6,7		9,2	8,1
24	x	-1,8	2,1	3,2		1,3	0,9	4,1			5,2	0,1		6,2	8,3
	y	1,8	5,2	6,4		3,8	2,7	8,1			7,3	4,8		9,2	5,9
25	x	4,7	10,2	9,8		6,1	9,3	7,9			6,2	11,1		8,2	6,8
	y	10,9	10,4	11,1		9,2	8,9	7,8			8,8	12,4		8,7	7,9
26	x	2,3	10,2		3,1	8,8	4,1	9,2			7,1	8,3		6,1	7,6
	y	10,2	1,1		8,9	2,1	8,2	3,4			5,2	3,8		7,2	6,3
								-0,8
27	x	-4,2	4,3	2,1		0,1	-2,8			1,2		-2,1		3,3	-1,2
	y	4,2	11,8	10,2		9,2	3,8	7,1		9,6		5,2		10,8	6,2
28	x	4,1	7,2	10,7		9,8	5,2	6,2		9,8		5,9		8,1	6,9
	y	11,1	9,8	10,9		12,9	9,5	9,7		11,9		8,2		10,9	9,1
29	x	-0,2	3,1	5,5		-1,2	4,9	1,2			4,2	5,1		2,1	3,6
	y	1,8	4,2	6,1		1,3	8,2	4,1			9,2	7,1		3,2	5,4
30	x	9,1	8,7	8,2		4,1	5,2	6,3			3,8		5,9	4,7	7,2
	y	12,8	11,1	9,1		10,2	8,3	6,8			12,2		7,3	9,1	8,2

Задания для индивидуальной работы № 13

Используя графический метод, решить задачу линейного программирова-

ния (табл. 13.1):

Таблица 13.1

	Номер						Номер
	варианта						варианта
		Z = 4x1		− 3x2		→ min		Z =8x1	+ 5x2		→ min
		5x1		− 2x2		≤ 20,		3x1	+	x2	≥ 18,
	1	x1		+	2x2	≥ 10,	16	x1	+	x2	≥ 10,
		−7x		+10x		≤ 80,		x	≥ 0, x		≥ 0.
		x1		≥ 0, x2		≥ 0.		1		2
		1			2
		Z = 7x1	+10x2			→ max		Z = 3x1	+ 5x2		→ min
	2	2x1	+		4x2	≤ 56,	17	x1	+	3x2	≤ 15,
		5x1	+		2x2	≤ 40,		x1	+	x2	≥ 7,
		x1	≥ 0, x2			≥ 0.		x1	≥ 0, x2		≥ 0.

65

Продолжение табл. 13.1

Z = −2x1

+ 5x2

→ min

Z =8x1

+ 9x2

→ min

−3x1

+ 2x2

≤ 12,

x1

+

x2

≥ 10,

3

x1

+ 2x2 = 8,

18

6x1

+

x2

≥ 20,

x1

+

x2

≥ 5,

2x1

+

x2

≥ 12,

x1

≥ 0, x2 ≥ 0.

x1

≥ 0, x2

≥ 0.

Z = 2x1

+ 3x2

→ max

Z = x1

+ 6x2

→ max

4x1

+

5x2

≤ 30,

x1

+

2x2

≤ 10,

4

2x1

+

x2

≤ 12,

19

3x1

− 3x2

≥ 6,

x1

+

5x2

≤ 24,

2x1

+ 3x2

≤ 6,

x1

≥ 0, x2

≥ 0.

3x1

+ x2

≥ 4,

x1

≥ 0, x2

≥ 0.

Z = −3x1

− 2x2 → min

Z = 2x1

+ 5x2

→ max

x1

− x2

≥ 3,

2x1

− x2

≥ 6,

5

2x1

+ 2x2 ≥ 2,

20

x1

+ 2x2

≥ 5,

x1

+ x2

≥ 6,

4x1

+ x2 ≥ 8,

− 2x

+ 6x

≤ 20,

− x

+ 2x

≥ 6,

x

1

≥ 0, x2 ≥ 0.

x1

≥ 0, x2

≥ 0.

1

2

1

2

Z = 2x1

+

x2

→ min

Z = 4x1

+ 5x2 → max

x1

+

x2

≥ 30,

2x1

+

x2

≤ 40,

6

x1

+

2x2

≥ 40,

21

x1

+

3x2

≤ 70,

4x1

+ 3x2

≥ 120,

3x1

+ 5x2

≤ 150,

x1

≥ 0, x2

≥ 0.

x1

≥ 0, x2

≥ 0.

Z = x1

+

x2

→ max

Z = 3x1

+ 5x2

→ max

7

3x1

+

x2

≤ 12,

22

3x1

+

4x2

≤ 12,

x1

+

4x2

≤ 8,

7x1

+

2x2

≤ 14,

x1

≥ 0, x2

≥ 0.

x1

≥ 0, x2

≥ 0.

Z = x1 + 6x2 → max

Z = 4x1

+ 2x2

→ min

− 2x1

+12x2

≥8,

x1

+ 2x2

≥ 7,

8

4x1

+ 2x2

≤10,

23

2x1

+

x2

≥ 8,

3x1

− 4x2 ≥ 2,

− x1

+ 2x2

≤ 6,

4x1

+5x2

≥8,

− 2x1

+ 8x2

≥ 4,

x1

≥ 0, x2

≥ 0.

x1

≥ 0, x2

≥ 0.

Z = 2x1

+ 3x2

→ max

Z = 2x1

+

x2

→ max

9

x1

+

6x2

≤ 6,

24

x1

+

3x2

≤ 12,

4x1

+

x2

≤ 4,

4x1

+

x2

≤ 12,

x1

≥ 0, x2

≥ 0.

x1

≥ 0, x2

≥ 0.

Z = 2x1

+

x2

→ max

Z = 2x1

− 4x2

→ max

− x1

+ 2x2

≤ 6,

−3x1

+ 2x2

≤ 6,

10

x1

+ x2

≤ 9,

25

x1

− 4x2

≤ 2,

3x1

−

x2

≤ 15,

x1

−

x2

≤ 5,

x1

≥ 0, x2

≥ 0.

x1

≥ 0, x2

≥ 0.

66

Окончание табл. 13.1

Z = x1

− 3x2

→ min

Z = 4x1

+ 2x2

→ min

x1

+ 3x2

≥ 3,

x1

+ 2x2

≥ 7,

11

x1

+ x2

≥ 5,

26

2x1

+ x2

≥ 8,

x1

≤ 4,

− x1

+ 2x2

≤ 6,

− 2x1

+ x2

≥ 2,

− 2x1

+ 8x2

≥ 4,

x1

≥ 0, x2

≥ 0.

x1

≥ 0, x2

≥ 0.

Z = 2x1

+15x2

→ max

Z = 2x1

+ 3x2

→ min

12

2x1

+15x2

≤ 100,

27

x1

+

3x2

≥ 14,

3x1

+

4x2

≤ 120,

2x1

+

2x2

≥ 16,

x1

≥ 0, x2

≥ 0.

x1

≥ 0, x2

≥ 0.

Z = 5x1

+10x2

→ max

Z =12x1

+

x2

→ max

13

3x1

+

4x2

≤ 25,

28

5x1

+

x2

≤ 10,

2x1

+

8x2

≤ 34,

x1

+

3x2

≤ 9,

x1

≥ 0, x2

≥ 0.

x1

≥ 0, x2

≥ 0.

Z =

x1

+

x2

→ max

Z =

x1

+ 2x2

→ max

14

3x1

+

7x2

≤ 21,

29

2x1

+

x2

≤ 30,

10x1

+

8x2

≤ 40,

3x1

+

5x2

≤ 150,

x1

≥ 0, x2 ≥ 0.

x1

≥ 0, x2

≥ 0.

Z = 5x1

+ 6x2

→ min

Z = 3x1

+ 4x2

→ max

x1

+

2x2

≥ 10,

x1

+ 2x2

≥ 8,

15

x1

+

8x2

≥ 12,

30

4x1

+ 4x2

≥ 18,

2x1

+ x2

≥ 8,

− x1

+ x2

≤ 1,

x1

≥ 0, x2

≥ 0.

x1

≥ 0, x2

≥ 0.

67

РАЗДЕЛ 6

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ТЕМА 1

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ

Первообразная и неопределенный интеграл

Функция F(x) называется первообразной от функции f (x) на отрезке [a,b] , если во всех точках этого отрезка выполняется равенство F′(x) = f (x) .

Если F(x) – одна из первообразных функции f (x) на отрезке [a,b] , то любая первообразная Φ(x) функции f (x) на отрезке [a,b] имеет вид

Φ(x) = F(x) +C ,

где C – произвольная константа.

Таким образом, две произвольные первообразные для одной и той же функции на отрезке [a,b] отличаются между собой на константу.

Если функция F(x) является первообразной функции f (x) , то выражение F (x) +C называется неопределенным интегралом от функции f (x) и обозначается символом

∫ f (x)dx = F(x) +C ,

где ∫ – знак неопределенного интеграла1; f (x) – подынтегральная функция;

f (x)dx – подынтегральное выражение;

dx – дифференциал переменной интегрирования; C – постоянная интегрирования.

Процесс нахождения первообразной от данной функции f (x) называется

интегрированием.

Задача интегрального исчисления состоит в том, чтобы для данной функции найти все ее первообразные.

Если функция f (x) непрерывна на отрезке [a,b] , то для этой функции на отрезке [a,b] существует первообразная, а значит и неопределенный интеграл.

Интегралы из приведенной ниже таблицы принято называть табличными. Справедливость каждой формулы можно легко проверить, используя свойства

1 Символ интеграла ∫ представляет собой стилизованную латинскую букву S – начальную букву слова summa.

68