Практикум по высшей математике_часть 2

∫

3

3

13

а)

− х

x +

dx

2x +

1

cos 4x

14

∫

2

4

а)

+ 5 1 − x +3 −

dx

2

4x

3x

sin

∫

2

15

а)

сos(2 −

3x) +

−3

x dx

1

− x

∫

2 x+3

3

16

а)

е

+sin(2 − x)

+

dx

cos

2

4x

∫

2

−3х

x−1

17

а)

−

2

+ 2e

dx

16 + x

2

∫

4

18

а)

− 2x +cos5x

dx

2

2x

sin

∫

5

−х

19

а)

+ 2 3 − x +

3

dx

3 − x

2

∫

2

20

а)

cos7x +

−3

x

dx

3x

2

+1

∫

3

−2 х

21

а)

−

е

+ 2

dx

4x

2

−

1

∫

5

22

а)

−ctg(5x −1) + cos πx

dx

3x−1

4

∫

3

2

7

3

23

а)

5

х

+

+

dx

cos

2

(2

− x)

4 x+1

3

∫

2

3

4

24

а)

−

+

dx

4 − х2

2x + 7

sin 3x

∫

2 х−4

1

4

25

а)

3

−

+

dx

sin2

5x

x2 −9

∫

1

3

26

а)

sin πx −

+

dx

x

x

2

−16

∫

4

3

27.

а)

−cos(2 −3x) +

dx

5

х

10

x

∫

2

3

−x

28

а)

+

+

7

dx

2

πx

2 − x

2

cos

	∫	x5 3		+ x4 3tgx +1
б)						dx
				3 x4

б) ∫

x 2 x3 − xex + x +1dx

x

Окончание табл. 14.1

б) ∫

3x2 + 2õ −

5

dx

x2

б) ∫

7х

+5хctg5x −10

dx

5

х

б) ∫

7

х3

− xsin 4x + x +1 dx

2x

б) ∫

x3 +3х2 + 2х−1

dx

x

б) ∫

3x2 + 2

x

+5

dx

3

x

б) ∫

25 +

x2 + 25 − x2

(25 − x

2

)

x

2

dx

+ 25

б) ∫

2x2

dx

3x2 +3

б) ∫

7х+5 x − 4 dx

2x

б) ∫

3x2 +1 − 4 x3

dx

2x2

б) ∫

4x2 + 2х+1 dx

3

x

б) ∫

3х + 2х +3

dx

2х

б) ∫

7õ5 +3 − 4 x3

dx

2x

б) ∫

2x5 +35 х2 +5 dx

2

x

б) ∫

7x2 − 4 x5 +1

dx

2x2

129

∫

4

3

2x

5

+3

7

х

2

+5 dx

29

а)

sin(7

− πx)

+

+

dx

б)

∫

5x

x

2

+9

7x3

30

∫

3

5

1 −

3x +

4

x

7

а)

−

+

3

х−1

dx

б)

∫

dx

x

1 − 4х2

3

4x

Задание 14.2. Используя метод замены переменной вычислить интегралы

(табл.14.2). Сделать проверку.

Таблица 14.2. Распределение вариантов

Номер

варианта

1

а) ∫

2xdx

б) ∫

4x dx

2

3 x

x

−1

5 + 4

2

а) ∫x5 x6 + 2dx

б) ∫2x 53x2 dx

3

а)

∫

sin 2x

dx

б)

∫

2x dx

1 −4x

1 + cos 2x

4

а) ∫x

1− 2x2 dx

б) ∫

sin xdx

1 + cos2 x

5

а) ∫2xe−x2 dx

б) ∫3tg2 xsin−2 xdx

6

а) ∫

ctgπx

б) ∫

sin 5xdx

dx

5 1 + cos5x

sin2 πx

2 x

x

2

7

а) ∫

e

+5x

dx

б) ∫

dx

2

2 x

x

6

5x

+ e

−1

8

а) ∫

x2dx

б) ∫

e x

x dx

1 + x6

9

а) ∫

sin 3xdx

б) ∫x2 5 2 +3x3 dx

3 + cos3x

10

а) ∫

dx

б) ∫

3xdx

x 1 −ln2 x

2x2 +3

11

а)

∫

xdx

б)

∫

cos 2xdx

1 − x4

1 −sin 2x

12

а) ∫

e3xdx

б) ∫

cos3xdx

2 +e

3x

1 +sin

2

3x

13

а) ∫ 3 + 2x4 x3dx

б) ∫xe1−2 x2 dx

14

а) ∫

xdx

б) ∫

cos5xdx

2

x

−1

1 + 2sin 5x

130

15

а) ∫

2

x 3

2 −

2

x

dx

б) ∫e

x

x

dx

sin e

16

а) ∫

2sin xdx

б) ∫x3

2 + x4 dx

1 −cos2 x

17

а) ∫e

2 x

e

2 x

+5dx

б) ∫10

x2

xdx

18

а) ∫6 ctgx sin−2 xdx

б) ∫x2e−5 x3 dx

Окончание табл. 14.2

19

а) ∫

2xdx

б) ∫

exdx

3x2 +1

1 + e2 x

3

sin 3xdx

20

а) ∫lnx x dx

б) ∫

1 −cos3x

21

а) ∫

1

dx

б) ∫

x3dx

xln3 x

1+ x8

22

а) ∫

arcsin xdx

б) ∫

x3dx

1 − x2

1 + x8

23

а) ∫

2 + ln 2x

dx

б) ∫

3x dx

x

1+9x

1

tg2x

24

а) ∫

dx

б) ∫

2

dx

x 3

ln x

cos

2 2x

25

а) ∫

3 + cos 2x sin 2xdx

б) ∫sin3 xcos xdx

26

а) ∫

sin 2xdx

б) ∫

cos 2xdx

1 + cos2 2x

sin2 2x +1

27

а) ∫

sin (ln x)

dx

б) ∫

xdx

2 − x2

x

28

а) ∫

xdx

б) ∫

ln5 x

dx

1 − x2

x

29

а)

∫

x3dx

б)

∫

arcsin3 x

1 − x8

1 − x2

30

а) ∫

dx

б) ∫

3

1 +3sin x cos xdx

xln

3

x

Задание 14.3. Используя метод интегрирования по частям, вычислить интегралы (табл. 14.3). Сделать проверку.

Таблица 14.3. Распределение вариантов

Номер

варианта

1

а) ∫x 23x dx ;

б) ∫arccos xdx

в) ∫sin (ln 3x)dx

131

2

а) ∫xcos3xdx ;

б) ∫x2 ln xdx

в) ∫(x2 +1)exdx

3

а) ∫(3x + 2)еxdx ;

б) ∫xsin 3xdx

в) ∫cos(ln 5x)dx

4

а) ∫(x +3)ln 2xdx ;

б) ∫xarctgxdx

в) ∫(x + 7)2 53x dx

5

а) ∫arcsin 3xdx ;

б) ∫(2x +1)sinπxdx

в) ∫ex cos(4x −1)dx

6

а) ∫xе2 xdx ;

б) ∫arccos 2xdx

в) ∫xcos3x

Окончание табл. 14.3

7

а) ∫arcсtg2xdx ;

б) ∫

ln 2x

dx

в) ∫

(x − 2)dx

х

3

sin

2

2x

8

а) ∫x 10x dx ;

б) ∫xsin(2x +1)dx

в) ∫3x2 е4 xdx

9

а) ∫arctg2xdx ;

б) ∫х2 ln 2xdx

в) ∫ex sin 5xdx

10

а) ∫xsin 7xdx ;

б) ∫(6x + 7) е3xdx

в) ∫(x −1)2 e−7 xdx

11

а) ∫ хln xdx ;

б) ∫x 32 x dx

в) ∫e2 x sin 4xdx

12

а) ∫(2 −3х)е−xdx ;

б) ∫(3x + 4)sin xdx

в) ∫(x −1)2 43x dx

13

а) ∫2хln 3xdx ;

б) ∫arcсtg3xdx

в) ∫x2 sin(π + 4x)dx

14

а) ∫x 7−x dx ;

б) ∫(3x − 2)cos7xdx

в) ∫ex sin 5xdx

15

а) ∫arcsin 2xdx ;

б) ∫(x +5) 35 x dx

в) ∫x2 sin(x −5)dx

16

а) ∫(x + 2)sinπxdx ;

б) ∫хarcсtg7xdx

в) ∫(x +1)2 35 x dx

17

а) ∫arccosπxdx ;

б) ∫

ln 2x

dx

в) ∫

xsin x

dx

5

3

х

cos

x

18

а) ∫хarcсtg7xdx ;

б) ∫x 35 x dx

в) ∫(x −3)2 e−xdx

19

а) ∫(2x −3) 125 x dx ;

б) ∫xsin(3x + 2)dx

в) ∫x2e−2 xdx

20

а) ∫хarctg2xdx ;

б) ∫(2х+ 7)е2 xdx

в) ∫x2 arcsin xdx

21

а) ∫(2x +3) 7x dx ;

б) ∫xsin(x + 2)dx

в) ∫x2arctgxdx

22

а) ∫arсtgπxdx ;

б) ∫(x +3) 10x dx

в) ∫x2 62 x−1 dx

23

а) ∫xcos(2x +1)dx ;

б) ∫arcsin 5xdx

в) ∫x2 sin 3xdx

24

а) ∫lnх6x dx ;

б) ∫xsin(π −2x)dx

в) ∫

3xdx

cos2 (3 − x)

25

а) ∫arccos8xdx ;

б) ∫х5 ln 5xdx

в) ∫(1 + x2 )exdx

26

а) ∫

ln 3x

dx ;

б) ∫хarcсtg3xdx

в) ∫

xcos x

dx

5

х

sin 3x

132

27	а) ∫xsin(5x + 2)dx ;	б) ∫3 хln xdx	в) ∫ex cos 4xdx
28	а) ∫(2 −3x) 6x dx ;	б) ∫(3x −1)cos5xdx	в) ∫x3e−xdx
29	а) ∫(x +1)sin(2х)dx ;	б) ∫(3x +5)2x dx	в) ∫(x +1)sin−2 4xdx
30	а) ∫arcсtgxdx ;	б) ∫x 53x dx	в) ∫(x2 +5)cos3xdx

Задание 14.4. Найти интегралы (табл. 14.4) от дробно-рациональных функций. Сделать проверку.

Таблица 14.4. Распределение вариантов

Номер

варианта

∫

2x −1

∫

x3 +3x +5

1

dx

dx

x2 −

3x + 2

(x −1)(x + 2)

∫

x +5

∫

x3 − 4x2 +1

2

dx

dx

x2 +3x + 2

(x −1)(x + 2)

∫

3x −7

∫

2x3 − x +1

3

dx

dx

x2 −5x + 6

(x +1)(x − 2)

∫

3 −7x

∫

2x3 − x2 + 7

4

dx

dx

x2 +5x + 6

(x −3)(x +5)

∫

5x +1

∫

3x3 − 4x +5

5

dx

dx

x2 −5x + 4

(x +3)(x − 4)

∫

3 − 2x

∫

3x3 +5x2 −1

6

dx

dx

x2 +5x + 4

(x − 2)(x −6)

∫

5 + 2x

3x3 +5x2 + x

7

dx

∫(3 − x)(x − 2) dx

x2 − x −6

∫

4 −3x

∫

x3 +15x2 +3

8

dx

dx

x2 + x −6

(x + 7)(x −1)

∫

4 −3x

4x3 − x +5

9

dx

∫

dx

x2 +9x +14

(x −1)(x + 7)

∫

6x −3

4x3 − 2x2 +1

10

dx

∫

dx

x2 −9x +14

(x + 2)(x −9)

∫

3 +8x

∫

3x3 −5x + 7

11

dx

dx

x2 −11x +18

(x −3)(x +5)

x +3

∫(x − 2)2 (1 − 2x) dx

3x +1

∫(x −1)2 (7 + 4x) dx

3 + 2x

∫(x +3)2 (2 − x) dx

7x −3

∫(x − 2)2 (5 −3x) dx

7 + x

∫(2x −1)2 (2 − x) dx

4x +5

∫(x + 7)2 (3 − 2x) dx

4 + x

∫x2 (5 − x) dx

x −3

∫(x +1)2 (2x −3) dx

3x +1

∫(1 − 2x)2 (2x +3) dx

3x +5

∫(1 − x)2 (3 + 4x) dx

3x −6

∫(2x +5)x2 dx

133

∫

6 −9x

x3 +12x2 −5

∫

x + 7

12

dx

∫

dx

dx

x2 +11x +18

(1 −3x)2 (2x +1)

(x − 2)(x + 7)

∫

3x − 4

5x3 + 2x −15

∫

4x −5

13

dx

∫(x +3)(x +5) dx

dx

x2 + 7x +10

(2x + 7)2 (1 −3x)

∫

5 − x

2x3 + 7x2 −15

∫

3x +1

14

dx

∫ (x −8)(x +5) dx

dx

x2 −7x +10

(2x −3)2 (x + 7)

Продолжение табл. 14.4

∫

5x −1

6x3 −3x +5

∫

2x −1

15

dx

∫

dx

dx

x2 −8x +15

x2 (3x + 7)

(x + 2)(x + 6)

∫

3x −5

3x3 − 4x2 +3

∫

5x + 7

16

dx

∫(x −9)(x +3) dx

dx

x2 +8x +15

(1 − x)2 (2x +5)

∫

3 − 2x

∫

x3 +15x − 2

∫

x + 7

17

dx

dx

dx

(x −5)2 (5x −1)

x2 +3x − 4

(x −7)(x + 2)

∫

7x −8

∫

5x3 − x2 +5

∫

3x + 7

18

dx

dx

dx

(2x −3)2 (3x + 2)

x2 −3x − 4

(x + 4)(x −7)

∫

3x +5

∫

9x3 + x −12

∫

3x + 7

19

dx

dx

dx

x2 − 2x −15

(x +3)(x −8)

(3x −1)2 (3 + x)

∫

3 − x

2x3 −7x2 + 6

∫

5x +8

20

dx

∫(x + 6)(x +8) dx

dx

(3 + x)2 (3x −1)

x2 + 2x −15

∫

7x −1

∫

x3 + x2 + 7x

∫

6x −1

21

dx

dx

dx

x2 + 6x −7

(4 − x)(x +1)

(1 +5x)2 (5 + x)

∫

5 −3x

3x3 +5x2 −3

∫

4x −5

22

dx

∫(x +1)(x −7) dx

dx

x2 −6x −7

(4 + x)2 (4x −3)

∫

1 −3x

∫

x3 +5x2 −3x

∫

6x −5

23

dx

dx

dx

x2 −12x +32

(7 − x)(x +3)

(x +1)2 (7 − x)

∫

3x −7

6x3 − x2 +13

∫

3x + 4

24

dx

∫(x +5)(x +1) dx

dx

x2 +12x +32

(2x −5)2 (5x + 2)

∫

3 +5x

∫

2x3 + x2 +3x

∫

x −12

25

dx

dx

dx

x2 + 2x − 24

(1 − 2x)(x +1)

(x + 6)2 (5x −1)

∫

7 −9x

∫

x3 +3x2 −5

∫

6x +1

26

dx

dx

dx

x2 − 2x − 24

(x +3)(x +9)

(x −6)2 (7 + x)

134

∫

5 +8x

∫

3x3 + x2 + 2x

∫

7x +1

27

dx

dx

dx

(3x −1)2 (x +3)

x2 −3x + 2

(1 −3x)(x +1)

28

∫

5 −7x

2x3 +13x2 +1

∫

5x +3

dx

∫ (3 − x)(4 − x)

dx

dx

x2 +3x + 2

(3 + x)2 (5 + x)

∫

3x +8

∫

4x3 − x2 +5x

∫

3x − 4

29

dx

dx

dx

x2 +3x − 28

(1 − 4x)(x +5)

(x + 7)2 (7x −1)

∫

3 −7x

∫

3x3 −7x2 +5

∫

7x +5

30

dx

dx

dx

(x −3)2 (2x +1)

x2 −3x − 28

(2 − x)(7 − x)

Задание 14.5. Найти интегралы (табл. 14.5) от дробно-рациональных

функций. Сделать проверку.

Таблица 14.5. Распределение вариантов

Номер

варианта

∫

3 − x

∫

х4 + 2х3 +3

1

dx

dx

x2 − 4x +8

х2 + х− 2

∫

x −5

∫

х4 +3х2 − 2

2

dx

dx

2x2 + 4x + 7

х2 −5х+ 6

∫

x −3

∫

х3 + 6х2 +9

3

dx

dx

x2 + 2x + 2

х2 −7х+12

∫

x −6

∫

х4 − х3 + 7

4

dx

dx

x2 +8x −1

х2 −3х−10

∫

2x +1

∫

х4 + х3 −1

5

dx

dx

2x2 +5x + 7

х2 −8х+15

∫

x −7

∫

х4 + х2 −3

6

dx

dx

x2 +5x −15

х2 − х+ 2

∫

2x −5

∫

х4 + 2х3 −3х

7

dx

dx

4x2 +8x − 21

х2 + 6х+5

∫

x +5

∫

х3 + 2х−3

8

dx

dx

x2 − 4x +5

х2 + х−6

9

∫

2x −3

х4 − 2х2 +3

dx

∫

dx

x2 + 4x +5

х2 + 7х+12

10

∫

7x −6

х4 + 2х−1

dx

∫

dx

x2 + x +1

х2 − 2х−3

11

∫

3x −8

х4 + 6х−3

dx

∫

dx

4x2 +9x +1

х2 − 2х−8

135

12

∫

3x −5

х3 −3х2 +1

dx

∫

dx

9x2 + 6x + 2

х2 + 7х+10

13

∫

x −3

х3 +3х2 −1

dx

∫

dx

−2x2 + 2x −17

х2 −3х− 4

∫

3x + 6

∫

х3 − 2х2 +3

14

dx

dx

2x2 − 4x +5

х2 + 6х+8

∫

4x +1

∫

х4 −3х3 + 2

15

dx

dx

2x2 + 4x +5

х2 + 4х+3

∫

2x −7

∫

х4 −7х3 +3х

2

16

dx

dx

4x −5 − x2

х2 −5х+ 4

Окончание табл. 14.5

∫

7 − x

∫

х3 −6х+1

17

dx

dx

4x2 + 4x +5

х2 + 2х−8

∫

3x +1

∫

х3 −3х+1

18

dx

dx

x2 − 2x +5

х2 − х− 2

∫

3 − x

х3 + х2 − х

19

dx

∫

dx

x − x2 − 2,5

х2 −6х+5

∫

5 − x

∫

х3 + 4х2 +3

20

dx

dx

x2 + 4x − 4

х2 −3х− 4

∫

5x −1

∫

х4 + х2 + х

21

dx

dx

4 − 4x − x2

х2 − х−12

∫

7 − x

∫

х3 −3х2 +3

22

dx

dx

4x2 + 4x −8

х2 +5х+ 4

∫

x +5

∫

х3 + 2х2 −3х

23

dx

dx

x2 + 6x +12

х2 − 4х+3

24

∫

x − 4

∫

х4 +3х2 − 2

dx

dx

x2 −6x −1

х2 −7х+10

25

∫

3x +5

∫

х4 − х+3

dx

dx

x2 +5x −10

х2 −6х+8

26

∫

x −1

∫

х3 + 4х2 +3

dx

dx

x2 +3x +5

х2 +5х+ 4

136

27

∫

4x −5

∫

х3 + 2х−1

dx

dx

4x2 + 4x +5

х2 +3х+ 2

28

∫

7x −1

∫

х3 − х+3

dx

dx

x2 +5x + 7

х2 + х−12

29

∫

2x −5

∫

х4 −5х3 + 2х

dx

dx

x2 − 4x −7

х2 − 2х−3

30

∫

5 − x

∫

х4 + 2х3 −3х

dx

dx

16 −5x − x2

х2 − х−6

Задание 14.6. Найти интегралы (табл. 14.6) от тригонометрических функций. Сделать проверку.

Таблица 14.6. Распределение вариантов

Номер

варианта

∫sin xsin 4xdx

cos 2x

1

∫sin3 2x dx

2

∫sin 6xcos 4xdx

∫sin xcos2 xdx

3

∫cos5xcos3xdx

∫cos3 3xdx

4

2

∫

cos3xcos7xdx

∫

3tg2 x −1

tg2 x +5

dx

5

∫sin 2xcos xdx

∫28 sin8 (x 4)dx

6

∫sin xsin 4xdx

∫

cos2 xdx

(1 + cos x +sin x)

2

7

12

∫

sin 5xsin8xdx

cos xdx

∫2 + cos x

8

∫

sin 6xcos11xdx

3sin xdx

∫3 + 2sin x

9

∫2cos xcos11xdx

∫

tg2 x

dx

4+3cos2x

10

∫sin 3xsin8xdx

∫

cos

2

xdx

(1 + cos x −sin x)

2

137

11

∫sin12xcos(−2x)dx

∫

2 + tgx

dx

tgx(2sin x + cos x)2

12

∫6cos5xcos7xdx

∫

dx

cos x(1 −cos x)

13

∫sin(−4x)sin8xdx

∫

sin

2

xdx

(1 + cos x −sin x)

2

14

3∫sin 3xcos8xdx

∫

cos xdx

(1 + cos x −sin x)2

15

∫cos3xcos15xdx

∫

tgxdx

cos x(6sin x +5cos x)

Окончание табл. 14.6

16

∫9sin 9xsin(−x)dx

∫2sin2 3xcos6 3xdx

17

4

∫

sin 5xcos7xdx

8cos 2xdx

∫2 + cos 2x

18

∫cos12xcos8xdx

∫

1 +sin x

dx

(1 −sin x)2

19

∫sin 4xsin8xdx

∫

cos xdx

(1 + cos x +sin x)2

20

6

∫

sin 9xcos xdx

(1 + cos 2x)dx

∫1 + cos 2x +sin 2x

21

4∫cos5xcos xdx

∫sin2 2xcos3 2xdx

22

∫sin 3xsin11xdx

∫

1 + tgx

dx

tgx(sin x + 2cos x)2

23

2∫sin xcos9xdx

∫24 cos8 (x 2)dx

24

∫2cos11xcos13xdx

∫

sin xdx

(1 + cos x −sin x)2

25

∫

sin12xsin(−x)dx

(1 −sin 2x)dx

∫cos 2x + cos2 2x

26

8

∫

sin 3xcos 4xdx

cos xdx

∫5 + 4cos x

138