Практикум по высшей математике_часть 2

∂y∂x2

∂x2∂y

∂x∂y∂x

∂∂f ∂x

∂∂f ∂y

∂∂f ∂y

(х,

∂y

(х,

∂x

(х,

∂y

у) = ∂2 ∂f (∂х, у) = fyx′′(х, у) ;

y x

у) = ∂2 ∂f (∂х, у) = fxy′′(х, у) ;

x y

у)		=	∂	2	f (х2, у)	= fyy′′(х, у) .
					∂y

Частные производные fxy′′(х, у) и fyx′′(х, у) называются смешанными про-

изводными второго порядка.

Аналогично определяются и обозначаются частные производные третьего и более высокого порядков.

Если функция z = f (x, y) имеет смешанные частные производные второго порядка, которые непрерывны в некоторой окрестности точки M0 (x0 , y0 ) включая саму точку, то они равны в этой точке, т.е.

∂2 f (x0 , y0 ) = ∂2 f (x0 , y0 ) ;

∂x∂y ∂y∂x

Если смешанные производные равны, то говорят, что смешанные частные производные функции z = f (x, y) не зависят от порядка дифференцирования в

точке M0 .

Это свойство можно перенести на смешанные производные любого порядка и на случаи функции любого числа аргументов. Например,

∂3 f (x0 , y0 ) = ∂3 f (x0 , y0 ) = ∂3 f (x0 , y0 ) и т.д.

Дифференциалом второго порядка функции z = f (x, y)

ференциал от ее полного дифференциала первого порядка, т.е.

d 2 z = ∂2 z dx2 + 2 ∂2 z dxdy + ∂2 z dy2 .

∂x2 ∂x∂y ∂y2

Равенство (5.8) символически записывают так:

d 2 z = ∂∂x dx + ∂∂y dy 2 z .

называется диф- d 2 z = d(dz) или

(5.8)

Аналогично определяется дифференциал третьего порядка и других высших порядков. Символическаязаписьдлядифференциала n -гопорядкаимеетвид

21

d n z(x, y) =

∂

dx +

∂

dy n

z(x, y), n =1,2,3,....

∂y

∂x

Дифференциал n – го порядка функции u =u(x1, x2 ,..., xk ) , где x1, x2 ,..., xk

–

независимые переменные, также имеет символическую запись

d nu =

∂

∂

∂

∂

n

dx1

+

dx2 +

dx3

+... +

dxk

u, n =1,2,3,... .

∂x1

∂x2

∂x3

∂xk

Формула Тейлора

Пусть функция z = f (x, y)

имеет в области D непрерывные частные про-

изводные до (n +1) -го

порядка

включительно

и

точки M0 (x0 , y0 )

и

M (x0 + ∆x, y0 + ∆y)

такие, что отрезок

M0M

принадлежит области D . Тогда

справедлива формула

f (x, y) = f

(x

, y

) + df

(x , y

) +

d 2 f (x , y )

+

d 3 f (x , y )

+... +

0 0

0 0

0

0

0

0

2!

3!

+

d n

f (x , y )

+ R

,

(5.9)

0

0

n!

n+1

где

d n+1 f (x + θ∆x, y +θ∆y)

Rn+1 =

,

0 <θ<1.

0

0

(n +1)!

Формула (5.9) называется формулой Тейлора для функции двух переменных с остаточным членом Rn+1 в форме Лагранжа. Если x0 = y0 = 0 , то формула

(5.9) называется формулой Маклорена.

Формулу (5.9) можно записать в развернутом виде

f (x, y) = f (x0 , y0 ) +(fx′(x0 , y0 )∆x + fy′(x0 , y0 )∆y)+

+ 2!1 fxx′′(x0 , y0 )(∆x)2 + 2 fxy′′(x0 , y0 )∆x∆y + fyy′′(x0 , y0 )(∆y)2 +

+

1

′′′

, y0 )(∆x)

3

′′′

(x0 , y0 )(∆x)

2

′′′

(x0 , y0 )∆x(∆y)

2

+

3!

fxxx (x0

+3 fx2 y

∆y +3 fxy2

′′′

(x0 , y0 )(∆y)

3

+... +Ο(ρ

n

),

(5.10)

+ fyyy

где ρ = (∆x)2 +(∆y)2 .

22

Примеры решения задач

Пример 5.10. Найти dxdz из уравнения z =u2 + 2uv −v2 , u = x2 , v = x . Сде-

лать проверку с помощью подстановки значений u и v в выражение для функции z .

Решение. 1) Находим частные производные zu′, zv′:

zu′ = 2u + 2v , zv′ = 2u −2v.

Вычислим производные функций u и v по переменной x :

dudx = 2x, dxdv =1.

Тогда по формуле (5.6) получаем

dxdz = 4x(u + v) + 2(u −v) .

Подставив в полученное равенство выражения для u и v , получаем

dxdz = 4x(x2 + x) + 2(x2 − x) = 4x3 + 6x2 − 2x .

Для проверки подставим значения u и v в выражение для функции z :

z = x4 + 2x3 − x2 .

Тогда

dz

= 4x3 + 6x2

− 2x . Следовательно, производная была найдена верно.

dx

∂z и

∂z

, если z = u ,

Пример 5.11. Найти

u = x + 2 y2

, v = x2 −2 y .

Решение. Так как

∂x

∂y

v

∂z

= 1

,

∂z

= −

u

и

∂u =1,

∂v

= 2x ,

∂u

= 4 y,

∂v

= −2 ,

∂v

v2

∂x

∂y

∂y

∂u v

∂x

то из (5.7) получаем

∂z 1

− 2x

u

1

− 2x

x + 2 y2

4xy2 + x2 + 2 y

,

∂x = v

=

= −

(x − 2 y)2

v2

x2 − 2 y

(x2 − 2 y)2

23

∂z	1		u		4 y		2x + 4 y2		4 yx2 + 2x
∂y	= 4 y v	+ 2		=		+		= −		.
			v2		x2 − 2 y		(x2 − 2 y)2		(x2 − 2 y)2

Пример 5.12. Найти производную неявной функции y4 −3x2 y + xsin y = 0 .

Решение. Имеем f (x, y) = y4 −3x2 y + xsin y и

fx′(x, y) = −6xy +sin y , fy′(x, y) = 4 y3 −3x2 + xcos y .

Тогда

dy	= −	∂f	∂f	=		6xy −sin y		.
dx		∂x	∂y		4 y3 −3x2 + xcos y
Пример	5.13.		Найти			частные	производные неявной функции

z2 −5x2 + xy =3y2 .

Решение. Имеем f (x, y, z) = z2 −5x2 + xy −3y2 и

∂∂fx = −10x + y , ∂∂fy = x −6 y , ∂∂fz = 2z .

Отсюда

∂z	= −	∂f ∂f	=	10x − y	,	∂z	= −	∂f ∂f	=	−x + 6 y .
∂x		∂x ∂z		2z		∂y		∂y ∂z		2z

Пример 5.14. Найти частные производные второго порядка от функции z = x2 + xy − y3 . Найти полный дифференциал второго порядка.

Решение. Находим частные производные первого порядка

z′x = 2x + y , z′y = x −3y2 .

Теперь находим частные производные второго порядка

z′′xx = (2x + y)′x = 2 , z′′xy =(2x + y)′y =1, z′′yy =(x −3y2 )′y = −6y .

Используя равенство (5.8), записываем полный дифференциал второго порядка

d 2 z = 2dx2 + 2dxdy −6 ydy2 .

Пример 5.15. Разложить по формуле Маклорена до членов третьего порядка включительно функцию f (x, y) = ey cos x .

24

Решение. Находим частые производные до третьего порядка включительно

fx′(x, y) = −ey sin x ,	fy′(x, y) = ey cos x ,		fx′′2 (x, y) = −ey cos x ,
f ′′2 (x, y) = ey cos x , f ′′(x, y) = −ey sin x		,	f ′′′2	(x, y) = −ey cos x ,
y	xy		x y
f ′′′2 (x, y) = −ey sin x ,	f ′′′3 (x, y) = ey sin x ,		f ′′′3 (x, y) = ey cos x .
xy	x		y

Определяем значения производных в точке (0;0) :

fx′(0;0) = 0 ,	fy′(0;0) =1,		fx′′2 (0;0) = −1,
f ′′2 (0;0) =1,	f ′′	(0;0) = 0,	f	′′′2		(0;0) = −1	,
y	xy			x	y
f ′′′2 (0;0) = 0,	f	′′′3 (0;0) = 0	,	f	′′′3 (0;0) =1.
xy	x			y

Найденные значения подставляем в формулу (5.10). Получаем

f (x, y) =1 + y + 2!1 (y2 − x2 )+ 3!1 (y3 −3x2 y)+Ο(ρ4 ),

где ρ = (x)2 +(y)2 . (Здесь ∆x = x и ∆y = y .)

Экономические примеры

Для комплексного анализа экономической ситуации широко используются два типа относительных показателей: средние и предельные величины (прибыли, выручки, издержек).

Средняя величина ( AF(x) ) определяется как отношение суммарной вели-

чины к независимой переменной AF(x) = F(xx) .

Маргинальная1 (предельная) величина ( MF(x) ) определяется как произ-

водная (частная производная для функции двух и более переменных) суммарной величины по независимой переменной MF(x) = F′(x) .

Пусть функция z = f (x, y) выражает зависимость объема производства от факторов производства A и B , количества которых составляют x и y еди-

ниц соответственно.

Предположим, что количество фактора A растет, а количество фактора B остается неизменным. Тогда рост выпуска продукции будет равен f (x + ∆x; y)− f (x; y), а прирост выпуска продукции по отношению к приросту

количества фактора A составляет

1 Маргинальный – от французского marginal, латинское margo – край, граница

25

f (x + ∆x; y)− f (x; y) .

∆x

Если ∆x → 0 , то предельная производительность фактора A будет равна

∂∂xz = fx′(x; y).

Аналогично определяется предельная производительность фактора B , а именно,

∂z

= fy′(x; y).

∂y

Пусть функции x1 = f1 (p1, p2 )

и x2 = f2 (p1,

p2 ) – функции спроса на това-

ры A и B , зависящие от цен на эти товары ( p1

и

p2 соответственно). Частные

эластичности спроса относительно цены p1 и p2

определяются равенствами

EAA =

p1

∂x1

,

EAB =

p2

∂x1

,

x1

∂p1

x1

∂p2

EBA =

p1

∂x2 ,

EBB =

p2

∂x2

.

x2

∂p1

x2

∂p2

Частная эластичность EAA спроса на товар

A относительно цены товара

A показывает, на сколько процентов вырастет (или снизится) спрос на товар A,

если цена товара

A вырастет на 1%, а цена товара B не измениться. Частная

эластичность EAB

спроса на товар A относительно цены товара B показывает,

на сколько процентов вырастет (или снизится) спрос на товар A, если цена товара B возрастает на 1%, а цена товара A не изменится.

Частная эластичность EBA спроса на товар B относительно цены товара

A равна проценту роста (или снижения) спроса на товар B , если цена товара A вырастет на 1%, а цена товара B не изменится. Частная эластичность EBB спро-

са на товар B относительно цены товара ния) спроса на товар B , если цена товара растет на 1%.

B равна проценту роста (или сниже- A не изменится, а цена товара B вы-

Пример 5.16. Для некоторого товара задана производственная функция f (x, y)= 20x +10 y − 2x2 − 4 y2 + 6xy ,

где x и y – факторы производства. Определить предельную производительность факторов x и y .

Решение. В нашем примере предельная производительность фактора x равна частной производной производственной функции относительно переменной x , т.е.

26

∂∂fx = 20 − 4x + 6 y .

Аналогично, предельная производительность фактора y

∂∂fy =10 −8 y + 6x .

Пример 5.17. Функция спроса на товар A имеет вид x1 = f (p1, p2 )= 25 −2 p1 + p2 .

Найти частные показатели эластичности, если p1 = 2 , p2 =3 .

Решение. Вычисляем частные производные функции x1 = f (p1, p2 ):

∂x1

= −2 ,

∂x1

=1.

∂p

∂p

1

2

Тогда

EAA

= −

2 p1

, EAB =

p2

.

25

− 2 p1

+ p2

25 − 2 p1 + p2

Если p1 = 2 ,

p2 =3 , то

EАА

= −

4

≈ −0,17 ,

EАВ =

3

= 0,125 .

24

24

Следовательно, если цена товара A вырастет на 1%, а цена товара B ос-

танется неизменной, то спрос на товар

A снизится примерно на 0,17%. Если

цена на товар B вырастет на 1% при неизменной цене товара A, спрос на товар A вырастет на 0,125%.

Пример 5.18. Производственная функция Кобба-Дугласа имеет вид

Y = 2K 0,3 L0,7 ,

где Y – выпуск продукции (национальный доход), K – капитал (стоимость задействованного оборудования), L – труд (количество отработанных человеко-часов). Вычислитьпредельнуюнормузамещения. Найтичастныекоэффициентыэластичности.

Решение. Так как

∂∂KY = 2 0,3 K −0,7 L0,7 , ∂∂YL = 2 0,7 K 0,3L−0,3 ,

то предельная норма замещения капитала трудом равна

27

MRS = − dK	= −	∂Y ∂L		= −	2	0,7	K 0,3L−0,3	= −	7		K .
					2	0,3	K −0,7 L0,7		3
dL		∂Y	∂K								L

Предельная норма замещения капитала трудом показывает, что при неизменном выпуске одна дополнительная единица труда освобождает MRS единиц капитала.

При этом на линии постоянного выпуска (Y = const )

EKL = dKdL : KL = −73 ≈ −2,33.

Следовательно, 1% дополнительной рабочей силы освобождает примерно 2,33% капитала.

Аналогично

ELK = dKdL : KL = −73 ≈ −0,43 ,

т.е. 1% дополнительного капитала вытесняет примерно 0,43% рабочей силы.

Задания для самостоятельного решения

5.34. Найти	dz	из уравнения z = u + 2 u2 + v2 , u = sin x, v = cos x . Сделать
	dx

проверку с помощью подстановки значений u и v в выражение для функции z .

5.35. Найти dzdt из уравнения z = x + 2 yx − 4 y2 , x = t − 4, y = t2 . Сделать проверку с помощью подстановки значений x и y в выражение для функции z .

5.36. Продифференцировать функции:

1)z = arccos(x + y), x =t2 , y = 2t ;

2)z = log2 (x + y), x = 2x , y = x2 ;

3)z = x2 +3y − y2 x, x = et , y =t − 2 ;

4)z = ln(x + y), x = et , y = e−t ;

5)z = arc tg 1x−+xyy , x = tgt, y = −ctgt ;

6)z = ln(x2 + y), x = t, y = 1t .

5.37. Найти частные производные:

1)z = x2 ln y, x =u v, y = 2u + v ;

2)z = x2 y − xy2 , x =u cosv, y =usin v ;

3)z = ln(x2 + y2 ), x = uv, y = uv ;

28

4)z = f (x, y), x = u u+ v , y = u −v ;

5)z = f (x, y), x = cos(u + v), y =sin(u −v) .

5.38. Найти ∂∂xz и ∂∂yz , если:

1)z = arctg(u v) , где u = xy , v = xy ;

2)z =u v , где u = ex cos y, v = ex sin y ;

3)z = sin uv , где u = xy, v = ln (xy).

5.39. Найти производные неявных функций:

1) x2 + 2 y2 −3x +6 y − 2 = 0 ; 3) xe2 y + ye2 x = 0 ;

5) x2 + y2 =1;

7) x3 +3x2 y − xex +5y = 2 ; 9) xey + yex −exy = 0 ;

5.40. Найти ∂∂xz и ∂∂yz , если

2)x +1 − y +1 =1;

4) 2sin(x + y) = x + y ; 6) y2 − xln y + x = 0 ; 8) ln(x2 + y2 ) − xy = 0 ; 10) xy = yx (x ≠ y) .

1)

x2 + y2 + z2 =3 ;

2)

sin(x + y + z) = x + y + z ;

3)

z2 = xy ;

4)

x2 + y2 − xyz = 0 ;

5) ez = x + y + z ;

6)

xln y2 − y ln x2 = yz ;

7)

2x −sin y = sin z ;

8)

ln

x2 + y2

= xarctg z .

5.41. Найти

вторые частные

производные.

Проверить равенство

∂2 z

=

∂2 z

.

∂x∂y

∂y∂x

1)

z = x3 −3x2 y +5y −6 ;

2)

z = xy−1 ;

3)

z = xcos y − y sin x :

4)

z = ex+y −ln(xy) ;

5)

z =

x2

;

6)

z

= ln ctg

y

;

x − y +

1

x

7)

z = ln(x2 + y2 ) ;

8)

z = arctg(xy) ;

9)

z = tg

x2

;

10) z = x2 cos( y − x) ;

y

11) z = xy2 ;

12) z = (1+ xy)y ;

13) z = arctg

x

;

14) z = ln

1

;

y

x2

+ y2

29

15) z = (sin y)x ;	16) z = xyesin x .
	π

5.42. Найти вторые частные производные функций:

х

2

z = sin

x

1)

z =

+ хsin(xy) ;

2)

;

у

y

х

3)

z = lg(x2 + у) −4х у;

4)

z = arc tg

.

х

+

у

5)

z = cos(xy + y) ;

6)

z = 3

ху +ех

+

ух2

;

2

z = (x + y)exy ;

7)

8)

z = yxln(x + y) ;

9)

z = 2x2 +y ;

10)

z = arcsin

xy ;

11) z = ex2 +y2 +xy ;

12)

z = ln(x + xy ) ;

у

2

13) z = xсos

;

14)

z = x

сos xy ;

х

15) z =

х

−

х

;

16)

z = log2 (ху) − х у ;

у2

2 у −

х

17) u = exyz ;

18)

u = xln y

+ zx ;

19) u = x3 −4xy2 z − z2 ;

20)

u = xcos y − z2 ;

21) u =

5z+x

+ z5 − 4ху;

22)

u = cos(x −2 y) + zx+y +5хz .

3

5.43. Найти вторые частные производные функции z = f (x, y) , заданной

неявно, если:

1)

x2 + y2 + z2 = 4 ;

2)

z2 + 2xyz −1 = 0 ;

3)

z3 −3xyz =1;

4)

x2

+

y2

+

z2

=1;

c2

z +ez − x2 − y2 = 0 ;

a2

b2

5)

6)

z2 + 2xz + y2 =5.

5.44. Найти полный дифференциал второго порядка от функций:

1) z = xy + xy2 ;

2)

z =

1

;

x2 + y2

3)

z = cos(x − y) ;

4)

z = xtg2 y .

5)

z = 4x3 +3xy2 −2x2 y +5y3 ;

6)

z = x4 + x2 y2 + y4 ;

7)

z = arctg xy ;

8)

z = x2 y2 ln

y

;

x

u =3x 2 +xyz2 −5z2 y + 2х4 ;

u = exyz .

9)

10)

5.45. Найти частные производные третьего порядка:

1)

z =sin2 (x + y) ;

2)

z = x3 +3x2 y − 4xy +5;

3)

z =sin(x + cos y) ;

4)

z = cos(x +ey ) ;

30