Практикум по высшей математике_часть 2

Примеры решения задач

Пример 5.5. Найти частные производные функции z = x3 +5y x +									x2	.
							∂z		y
Решение. При вычислении частной производной								переменная y рас-
сматривается как величина постоянная (y = const ), тогда							∂х
∂z	= 3х2 +		5у			+ 2х .
∂х		2 х
						у
При вычислении частной производной ∂z переменная x рассматривается
как величина постоянная, т.е.						∂y
						x = const и
∂z	= 5 х −		х2	.
∂у			у2

Пример 5.6. Найти полный дифференциал функции z = cos2 x − xsin y . Решение. Находим сначала частные производные функции

∂z	= −2cos xsin x −sin y = −sin 2x −sin y,			∂z	= −xcos y .
∂x				∂y
Тогда полный дифференциал функции
dz = −(sin 2x +sin y)dx − xcos ydy .
Пример 5.7. Вычислить приближенно значение					2,3 + 2е0,01 ,	исходя из
значения функции z = f (x, y) =		х+ 2еу	в точке M (2;0) .
Решение.	В точке	M (2;0)	функция	принимает		значение
f (2,0) = 2 + 2е0	= 2 . Из (5.1) и определения dz следует, что

f (x0 + ∆x, y0 + ∆y) = f (x0 , y0 ) +∆z ≈ f (x0 , y0 ) + dz .

Если (x0 , y0 ) = (2;0) , то ∆x = 2,3 − 2 = 0,3 и ∆y = 0,01 −0 = 0,01. Тогда

2,3 + 2е0,01 ≈ 2 + 2е0 + dz = 2 + dz ,

где dz – приращение функции z = х+ 2еу , соответствующее приращению аргументов ∆x = 0,3 и ∆y = 0,2 . Находим частные производные. Полагая, что y = const , получаем

11

∂z

=

1

.

∂x

2

х+ 2еу

Полагая, что x = const , находим частную производную по переменной y

∂z

=

еу

.

∂y

х+ 2еу

Отсюда

dz =

1

dx +

еу

dy ,

х+ 2еу

следовательно,

2 х+ 2еу

dz (M )=

1

0,3 +

е0

0,01 = 0,075 + 0,005 = 0,08.

2 2 + 2е0

+

2е0

2

Тогда

2,3 + 2е0,01

≈ 2 + dz = 2,08 .

Пример 5.8. Вычислить производную функции z =3x2 y + 2x3 − y + 2 в

точке M (2, −1) по направлению вектора

= (4,3) .

l

Решение. Находим единичный вектор

, совпадающий по направлению с

l0

вектором

:

l

4

3

4

3

l

l 0

=

=

;

=

;

= (0,8; 0,6),

| l

|

42 +32

42 +32

5

5

т.е. cosα = 0,8 , cos β = 0,6 .

Находим частные производные функции z :

∂z	= 6xy + 6x ,	∂z	= 3x2 −1.
∂x		∂у

Вычисляем значения частных производных в точке (2, −1) :

∂z			= 0 ,	∂z		=11.
∂x				∂у
		(2;−1)				(2;−1)

Из равенства (5.4) получаем

12

1) z =

3) z =

5) z =

7) z =

∂∂lz = 0 0,8 +11 0,6 = 6,6 .

Пример 5.9. Найти градиент функции z = x2 −2xy − у2 в точке M (1, − 2) . Решение. Вычисляем частные производные данной функции:

∂z	= 2х− 2 у,	∂z	= −2х− 2 у.
∂x		∂у

Находим значение частных производных в точке M (1, − 2) :

∂z			= 6 ,	∂z		= 2 .
∂x				∂у
		(1;−2)				(1;−2)

Тогда grad z(М) =(6;2).

Задания для самостоятельного решения

5.1. Найти и изобразить область определения функции двух переменных:

1 − x2 + y2 ;

4 16

1x + 1y ;

x +1 ; y

x − 4 y ;

1 − x

9) z = 4x −2 y 2 ; ln(1 − x −y )

11) z = x2 +1 y2 ;

13) z = log3 (x2 + y2 −16) ;

15) z = x2 + y2 −9 ; 17) z = x2 xy+ y2 ;

19) z = xx2 +− yy2 ; 21) z = ln(x + y) ;

	2)	z = x + cos y ;
	4)	z =		ex−y		;
			x − y
	6)	z =		xsin y			+	5;
			x2 − y2
	8)	z =			−x − y ;
	10) z =			1					;
					3 −x − y

12) z = ln (4 − x2 − y2 );

14) z = ln xy ;

16) z = ln x −ln y ;

18) z = arccos x −y y ; 20) z = tg(π(x + y));

22) z = x −3y2 ;

13

23)

z = ln(x2 − y2 +16) ;

24)

z =

x

−

y

;

x

y

25)

z = ctg(x + y) ;

26)

z =

xy

;

x2 − y2

z = lg(x − y + 4) ;

27)

28)

z = ln(xy) ;

29)

z =

1

−

1

;

30)

z =

2x −5

.

x −1

y −1

y +1

5.2. Найти область определения функции трех переменных:

1)

u = ln(1− x2 − y2 − z2 ) ;

2)

u =

1

+

1

+

1

;

y

z

x

3)

u = ln xy + ln z ;

4)

u = arccos(x + y + z) ;

5) u = lg x + lg y + lg z ;

6)

u =

x2

;

y + z

sin (x + y)

7)

u =

;

8)

u =

x + y −

1 .

z

z

5.3.Построить линии уровня для функции z = x2 + y2 при z = 0;4;9;16 .

5.4.Построить линии уровня данных функций для z = −2;−1;0;1;2 :

1) z = x2 y ;	2) z = xy2 + 2 y .
5.5. Найти поверхности уровней функций:
1) u = x − y − z ;	2) u = x2 + y2 + z2 .

5.6.

Найти частные производные первого порядка от функций:

1)

z =3x2 y − xy2 +5x3 − 4 y + 2 ;

2)

z =3cos x2 − xsin 2 y −exy ;

3)

z =3y 5x+y ;

4)

z =3x y

−

y2

;

x

5)

z = ln(4x2 + y2 ) + tgx ;

6)

z = x3 + y3 −3axy ;

7)

z =8x2 y ;

8)

z = ln( y + ln x) ;

9)

z =

5

;

10)

z =

y

;

y + x2

x

x

y

3

x2 y

11) z = 5 y

z =

+5 x ;

12)

;

2 y + x

13) z = xy

+3ln( y2 − x) ;

z = esin

y

14)

x

;

15) z = y tg(x +5) ;

16)

z = cos2 (x2 + y2 ) ;

17) z =

xey

;

18)

z = log2 (x2 + y);

xy

14

19)

z =

3

3 x2 + x

;

y +1

21)

z =

x2 −2 y ;

23)

z = ln arctg

x

;

y

x

−1

25)

z =

arcctg

;

y

27)

z =

sin π(x2 + y);

29)

z = y arcsin

x2

;

y

31)

z = x

arcctg

y

;

x

33)

z = 5

x2 y +sin x ;

35)

z = x(ex

−ey );

1

1

37)

z = ln

−

;

3

3

x

y

39)

z =arcsin

x2

− y2

, y >0 ;

x2

+ y2

20)

z =

x − y

;

x + y

22)

z = xy ln (x2 + y);

24)

z = cos xsin xy ;

26)

z = sin

x

cos

y

;

x

y

28)

z = ln cos

x + y ;

30)

z = ey cos x + e−y sin x ;

x

2

y

2

2

32)

z =

+

x

+ y

;

2

34)

z = ln

x + y

;

x − y

36)

z = cos(x − y)

;

sin(x + y)

z = e

y2

y

38)

x

+5

x2

;

40)

z =

2

1 −

xy

.

1 +

xy

5.7. Найти частные производные первого порядка по каждой независимой переменной от функций:

1) u = exyz (x − y2 + z3 ) ;

3) u =	1	xy + xz + zy ;
	4

5) u = ln tgex+y2 +z3 ;

y

7) u = x z ;

9) u = zxy ;

11)u = tg xyz ;

=x z

13)u ;

y

2) u = ln tgxyz ;

4)u = lnsin (x − y + z);

6)u = sin2 (x − y)+ cos2 (y + z);

8) u = z cos(x2 + y) ; 10) u = xy + yz ;

	12)	u =	x2	+ y	;
			z

14) u = x − y2 arcsin 2z ;

15

z

z

15)

u = exy ctg

;

16)

u = z ln

x − y ;

x + y

17)

u = (z2 +1)ecos( x+y+z) ;

18)

u = x−1z cos y2 .

5.8. Найти полный дифференциал функции:

y

1)

z = xy arccos

;

2)

z = ln(x + y) ;

x

1

3) z = x −3y2 ;

4) z =

;

x2 + y2 −1

5)

z =

x2

+ 4 y2

−1

;

6)

z =

x2 −4 y2 −1

;

ln 3

ln8

7)

z =

tg(x + y)

;

8)

z = ecos( x+y) ;

tg(x − y)

9)

z =

1

;

10)

z =

1

;

1

−ex+y

1

+ ex−y

11)

z = ln

xy ;

12)

z = ln cos

x

;

y

13)

z = ex2 +y2

;

14)

u = arctg(xyz) ;

15)

u = xln

x

+ z ln

z

;

16)

u =

x2 + y2 + z2

;

y

y

17)

u = ln (x2 + y2 + z2 );

18)

u =

xy + z2 ;

19)

u = arctg (x − y)z ;

20)

u = ln

1 −

x2 + y2 + z2

.

1 +

x2 + y2 + z2

5.9. Показать, что если z = 2ln (

x + y ), то x

∂z + y ∂z

=1.

∂x

∂y

5.10.Показать, что если z = e y2 , то 2x ∂∂xz + y ∂∂yz = 0 .

5.11.Показать, что если z = ln (ex + ey ), то ∂∂xz + ∂∂yz =1.

5.12.Показать, что если z = x sin xy , то x ∂∂xz + y ∂∂yz = 2z .

5.13.Показать, что если z = cos(xx y y ), то ∂∂xz = ∂∂yz .

5.14.Найти ∂∂ux + ∂∂uy + ∂∂uz , если u = ln (x3 + y3 + z3 −3xyz).

5.15.Найти x ∂∂ux + y ∂∂uy + z ∂∂uz , если u = 3 (x2 + y2 + z2 )2 .x

16

5.16.Вычислить приближенно значение z =1,992,01 , используя значения функции z = ху при x = 2 и y = 2 .

5.17.Вычислить приближенно значение ln(27,01 +1,012 ) , исходя из значения функции z = ln(x3 + y2 ) в точке M (3,1) .

5.18.Вычислить приближенно 4,01 + 0,012 , исходя из значения функции

z = x2 + y2 при x = 2 и y = 0 . 5.19. Вычислить приближенно:

1)	1,012 +1,983 ;	2)	ln (3 1,02 + 4 16,01 − 2);
3)	e0,02 + 2,013 ;	4)	3 2 21,99 + ln1,03 ;
5)	3,952 +3,032 ;	6) 1,042,02 .

5.20. На сколько процентов приближенно изменится спрос, если число производителей товара уменьшиться на единицу, а цена вырастет на 0,02 у.е.

Известно, что функция спроса имеет вид z = 6782e n+p2 , где n – число производителей товара, p – цена товара. На рынке товара имеется 11 производителей и

цена товара – 5 у.е.

5.21.Высота конуса h = 30 см., а радиус основания r =10 см. на сколько измениться объем конуса, если высота увеличится на 3 мм, а радиус основания уменьшиться на 3 мм?

5.22.Найти производные функций по направлению вектора l в заданной точке M (x0 , y0 ) :

	1)	z = x2 y + xy2 + y3 ,		= (1,1) в точке M (2,2) ;
			l
							π		π
	2)	z = xsin y + y cos x , l = (−1,1)						,		;
						в точке M	3
									6

3)z = ln(x2 + y3 ) , l = (2,1) в точке M (1,1) ;

4)z = x2 yx+ y2 , l = (0,2) в точке M (5,3) ;

			x
	5)	z = arcsin			, l = (1,3)			в точке M (−2,4) .
			y

5.23. Для заданных функций вычислить производные по направлению

вектора l в точке M (x0 , y0 , z0 ) , если:

1)f (x, y, z) = x2 + y2 + z2 , l (1,1,1), M (0,1,1);

2)f (x, y, z) = x2 yz + arctgz, l (3,4,0), M (−1,−1,1);

3)f (x, y, z) = x2 y2 z2 , l (1,2,1), M (1,0,1);

x

y

1

4)

f (x, y, z) =

+

, l (4,

−1,1), M

2,−1,

;

y

z

2

17

5)f (x, y, z) = (x − y)2 +(y − z)2 , l (1,1,1), M (1,1,1);

6)f (x, y, z) = x + ln (y2 + z2 ), l (−2,1,1), M (2,1,1);

7)f (x, y, z) = (x + 2 y)2 + xz2 , l (1,2,3), M (1,1,1);

8)f (x, y, z) = x2 −arctg(y + z), l (3,0,−4), M (2,1,1);

9)f (x, y, z) = xy + yz + xz, l (1,1,1), M (1,0,0);

10)f (x, y, z) = x2arctgy + xln (x + z2 ), l (0,6,1), M (0,0,e);

11)f (x, y, z) = x2 + y2 + z2 , l (1,2,− 2), M (2,3,6);

12)f (x, y, z) = x2 + y2 + z2 , l (1,3,−1), M (2,1,1);

13)f (x, y, z) = ln (x2 + y2 )+ xyz, l (1, −1,5), M (1,−1,2).

5.24. Найти градиент функции в точке M (x0 , y0 ) :

	1)	z =	x + y	в точке M (1, −1) ;
			x − y
	2)	z =	ex+y	в точке M (1,0) ;
			x

3)z = sin xy в точке M (−4,π) ;

4)z = 3 ху + у2 в точке M (2, 2) ;

5)z = ху3 +5х+у в точке M (4, −3) .

5.25. Найти градиент функции в точке M (x0 ; y0 ; z0 ) :

1)f (x, y, z) = xy2 z3 в точке M (1;1;−1) ;

2)f (x, y, z) = x2 + y2 + xz в точке M (1;0;−1) ;

3)f (x, y, z) = z tg(xy) + x в точке M (1;π;−1) ;

4)f (x, y, z) = 1 + x2 + y2 + z2 в точке M (1;−1;1) ;

5)f (x, y, z) = ln(x2 + y2 + z2 ) в точке M (e;2e;−e) ;

6)f (x, y, z) = ln (x + y + z) в точке M (2;1;2) ;

7)f (x, y, z) = tg(x2 + y2 ) + xyz в точке M (1;2;−4) ;

8)f (x, y, z) = (x + y + z)2 − xyz в точке M (0;1;−1) ;

9)f (x, y, z) = x2 y + yz в точке M (1;2;3) .

	5.26. Найти угол между градиентами функции z = arcsin	x		в точках
		x + y
	M1(1;1) и M2 (3;4) .
	5.27. Найти угол между градиентами функций z =		x2 + y2 и
	z = x − y + 3xy , вычисленными в точке (3;4).

18

5.28. Найти угол между градиентами функции	u =	x2	−	y2	+ z2	в точках
	2		2

M1(1;1;1) и M2 (2;1;−1) .

5.29.Найти координаты точки, в которой градиент функции z = ln x + 1

y

	−	16
равен 1;		9	.

5.30. Найти координаты	точек, в которых модуль градиента функции
z = (x2 + y2 )3 равен 2.
5.31. Функция z = f (x, y)	называется однородной, если выполняется ра-

венство f (tx,ty) =tn f (x, y) . Дифференцируя обе части этого равенства по переменной t и затем предположив, что t =1, доказать теорему Эйлера об однород-

ных функциях: x ∂∂xz + y ∂∂yz = nz .

5.32. Проверить, будет ли верна теорема Эйлера (см. пример 5.31) для нижеприведенных функций. Если да, то указать n :

1)

z =

y

;

2)

z = x2 y − xy +5 ;

x

y

y

3)

z = cos

;

4)

z = sin

;

x

y

x

5)

z = ln

;

6)

z =

x

2

;

x

x + y

7)

z = ln(x2 + y2 ) ;

8)

z = xy .

5.33. Проверить, будут ли однородными данные функции. Если функция однородная, то определить степень однородности:

1)

z = x2 + 2xy + 7 y2 ;

2)

z =

x

+ 4

x2

+1;

y

y2

3)

z =

x2

+ 4

x2

;

4)

z = e

2 x

+ e

2 y

.

y

y2

Производные сложных и неявных функций

Пусть на множестве D задана функция двух переменных z = f (u,v) , где

u = u(x)	и v = v(x) . Если функция		z = f (u,v)	дифференцируема	в точке
(u0 ,v0 ) D , где u0 =u(x0 ) , v0 = v(x0 ) и u = u(x) ,				v = v(x) – дифференцируемые
функции	независимой	переменной	x , то производная сложной		функции
z = F(x) = f (u(x),v(x))		вычисляется по формуле

19

dz

=

∂z

du +

∂z

dv .

(5.6)

dx

∂u

∂v

dx

dx

Формулу (5.6) можно распространить на случай, когда u и v – функции

двух переменных u = u(x, y) , v = v(x, y) :

∂z

=

∂z

∂u +

∂z

∂v ,

∂z =

∂z

∂u +

∂z

∂v .

(5.7)

∂x

∂u

∂x

∂v

∂x

∂y

∂u

∂y

∂v

∂y

Пусть (x , y )

– решение уравнения F (x, y) = 0 , производная

∂F

≠ 0 и не-

0

0

∂y

прерывна в некоторой окрестности точки (x0 , y0 ) . Тогда уравнение F (x, y) = 0

определяет в окрестности точки x0					переменную y как непрерывную неявную
функцию переменной x .
	∂F	Если в окрестности точки (x0			, y0 ) существует и непрерывна производная
		, то неявная функция имеет производную, которая определяется по формуле
	∂x
		dy	= −∂f	∂f .
		dx	∂x	∂y

Уравнение F(x, y, z) = 0 при аналогичных условиях определяет переменную z как неявную функцию двух переменных x и y , а ее частные производные определяются формулами

	∂z	= −∂f ∂f ,	∂z	= −∂f ∂f .
	∂x	∂x ∂z	∂y	∂y ∂z
Частные производные и полные дифференциалы высших порядков
Пусть функция z = f (x, y)				имеет первые частные производные	∂z(х, у)	,
∂z(х, у)					∂x
	в точке M (x, y) . Полученные производные вновь являются функциями
∂у

двух переменных и от каждой из них можно найти по две производные (если они существуют), которые называются частными производными второго порядка. Они обозначаются:

∂		∂f (х, у)	=	∂2 f (х, у)		= fxx′′(х, у) ;
				∂x	2
∂x		∂x

20