Практикум по высшей математике_часть 2

46) −e2 x

1

(2cos5x +5sin 5x)

+

1

(3cos3x − 2sin 3x)

+C ;

29

13

47)

e3x

[3cos 4x + 4sin 4x]+C ; 48) (x +1)arctg

x −

x +C ;

25

49)

1

2

−1)ln (x +1)− x

2

tgx

+ ln

tg

x

+C .

2

(x

ln x + x +C ; 50) −cos xln

2

6.5. 1) 2ln

x + 2

+

x2

− 2x +C ; 2)

ln

x − 2

+ x +C ;

2

x

+ 2

x −3

x2

x +1

3) 1 ln

+ 9 ln

x2 −9

+

+C ; 4)

1 ln

+C ; 5)

1 ln

x − 4

+C ;

x +3

x +5

x −1

6

2

2

4

3

6) ln

(x

+ 4)2

+C ; 7) ln

(x

+3)3

+C ; 8)

9

ln

2x +1

−

2

ln

x − 2

+C ;

x +1

x

+ 2

10

5

9)

1

ln (

x +1

3

3x −1

)+C ; 10)

1

x +5

− 1 ln

x +5

1

+C ;

ln

−

x +1

x +1

4(x +1)

12

16

4

x −1

11) 1

x +

+C ; 12) 1 ln

(x +1)(x −1)3

ln

+5ln

2

− 2ln

x

+C ;

(x +1)

3

3

2

13) ln

x +1

−

3

+C

; 14) 15ln

x − 2

−ln

x −1

+ x2 + 6x +C ;

x

x

+1

x3

x2

15) −17ln

x +3

+

4ln

x − 2

+

−

+ 7x +C ;

3

2

x −1

5ln

x2 −1

1 ln

x(x − 2)2

1 ln

x2

16) 2ln

+

+ x2 +C ; 17)

−

−

4

+C ;

x +1

(x + 2)2

2

2

4

18) −

1

(ln

x +3

−5ln

x −1

)−ln

x

+C ; 19)

11

x − 4

+

4

x

−1

−

5

x

+C ;

4

12 ln

3 ln

4 ln

20)

7

ln

x2

−9

+

1

ln

x −3

+C ; 21)

3

ln

x − 2

+ 2x +C ;

18

x2

2

x +3

4

(x + 2)5

22)

2

ln

x

−

3

+

9

ln

x

2

−9

+

x2

+C ; 23) ln

x −1

+C ;

3

x

+

3

2

2

x

24) −

1

(ln

x +3

19

x −1

)+ x + C ; 25)

1 ln

x2 (x − 2)

+C ;

3

4

8

(x + 2)

x2

x −5

x2

26)

1

ln

− 25

+

1

ln

+C ; 27)

21

ln

x +3

+

4

ln

x − 2

+

− x +C ;

50

x2

10

x

+5

5

5

2

218

28)

4ln

x +1

−

7 ln

2x +1

+C ; 29)

1

ln

x −3

−

4

ln

x + 2

+

1 ln

x −1

+C ;

2

10

15

6

30) ln

(x − 4)5 (x −1)4

+C ; 31) 26ln

x −3

−

7ln

x −

2

+

x2

+5x +C ;

(x +3)7

2

x4

x3

5x2

28

1

x2

32) 7ln

x +1

−2ln

x

+

−

+

−5x +C ; 33)

ln

x −

3

−

ln

x

+

+3x +C ;

4

3

2

3

3

2

1523

11

5

x3

5x2

34)

ln

x −5

ln

x −1

ln

x +1

+ 26x +C ;

−

+

+

+

12

4

6

3

2

35)

1 ln

(x +1)5 (x − 2)6

+ 8 ln

x2 − 4

+ ln

x

x2

+C ; 36) 1 ln

x +5

5x3

+C ;

+

+

x4

−

(x −1)(x + 2)6

6

3

2

x2

5

x

4

3

x −1

2

2

6.6. 1)

−ln

−

+C

; 2) 3ln

x −1

−

+

+ 2x +C ;

x3

x −1

x

−1

2

(x −1)2

3

+C ; 4) ln

1

5x +3

3) −ln

x3

− x

x −1

+ x +C ; 5)

;

(x +1)(3 − x)

6)

15 ln

x −1

+ 2ln

x2 −1

9x −8

+

x2

+ 2x +C ; 7) ln

x −3

−

4x −9

+C ;

−

x +1

4(x −1)2

(x −3)2

8

2

8) ln

(x −

1)2

+ x +

1

+C ; 9) 6ln

x −1

−

9

+ x +C ; 10) ln

x +1

+

4

+C .

x

x

x

−1

x

+

2

6.7. 1)

1

+

1

2

1

−1

+C ;

2 arctgx

4 ln (x

+1)+

2 ln

x

2)

−

1 (arctgx + ln

x2 +1 + ln

x +1

)+ ln

x

+C ;

2

x

x

x

3)

1

5arctg

−3

2arctg

+C

; 4) −arctgx +

1

ln

−1

+ x +C ;

4

2

2

x

+

1

2

2x +1

1

(x

2

− 2x

+5)+C ; 6)

5

1

(x

2

+ x +1)+ ln

x +1

1

+C ;

5)

2 ln

arctg

−

2 ln

+

3

3

x +1

1

2

1

1

x −1

7)

2 ln

(x

+ 2x

+3)+C ; 8) − 2 arctgx − 4 ln

+C ;

x +1

2

2x +1

x2

+ x +1

9)

arctg

+ arctgx + ln

+C ;

3

3

x

2

+1

10)

1

1

arctg

2x

−1

+

1

ln (x

2

− x +

1)−ln (x − 2)−

1

+C .

3

3

3

2

x − 2

6.8. 1)

1

(sin 7x +

7sin x)+C ; 2) 1 cos3x −

1

cos11x +C ;

14

22

6

219

3)		1	sin 6x −					1			sin10x +C ; 4)								1		sin 6x +					1 sin 4x +C ; 5)				−				1	cos7x +					1 cos x +C ;
	12																12															14
						20																				8														2
6)		1 sin 4x −				1				sin10x +C ; 7) −										1		cos5x − 1 cos x +C ; 8)									1			sin 9x +				1 sin 3x +C ;
						20													10											18
	8																									2												6
9)		sin (m − n)x								−		sin (m + n)x				+C ; 10)								sin (m − n)x			+	sin (m + n)x								+C ;
		2												2										2		(m − n)		2(m + n)
				3		1						3		1			sin 2x								x				4					1		2				1
11) −cos					x			sin					x +		sin x	+							+			+C ; 12)	−cos			x					sin		x	+				+C ;
						6								8					32					16										6
																																							12

13)sin5 x −cos4 x + cos2 x + 2 +C ;

14)− 1 sin 5x − 1 sin 3x + 1 sin x cos x +1 +C ; 20 4 4 4 3 4 2

3x

sin8x

2

cos3 x

2

sin4 x

15)

−

1024 (2sin

4x

+3)+C ; 16) −

15

(3sin

x + 2)+C ; 17)

4

+C ;

128

18)

−

cos4

x

+C ; 19)

x

−

sin 6x

+C ; 20) sin 2x + 4sin x +3x +C ;

4

2

12

1

3x

1

3

21)

−

sin 4x + cos 2x

+

+C ; 22)

2

x +

+C ;

8

2

8

sin 2xcos

2

sin 2x +3x

23)

sin 2x

sin x

3x

+C ; 24) −

cos x

(3sin

4

x

+ 4sin

2

x +8)+C ;

16

−

2

+ 8

15

25)

−

cos x

(sin2 x + 2)+C ; 26)

sin x

(cos2 x + 2)+C ;

3

3

27)sin35x 5cos6 x + 6cos4 x +8cos2 x +16 +C ;

28)43 sin 2xcos x +3sin 2x + 343 sin x + 7x +C ;

	5x			5	x		5sin	3	x +	5sin x				1
29)		−cos x sin				+						+C ; 30)	−sin x −		+C ;
	16						24			16				sin x
			6

31)				1				−			1		+C ; 32)					1	−				1				+C ; 33) 1 ln							cos3x				+	1 tg2	3x +C ;
		3cos3					x				cos x						sin x				3sin3			x
																																3							6
34)	−		1 ctg3 2x + 1 ctg2x + x +C ; 35) −																				1 ln				sin 2x				− 1 ctg2				2x +C ;
			6								2												2									4
		x					1								sin 2x														1			arctg (			2tgx)+C ;
36)					−					arctg												+C ; 37)
			2					2																					2
												cos 2x + 2						2 +3
			1								3tgx				1	(x + ln												)+C ; 40)							2					2
38)						arctg					5			; 39)	2					sin x + cos x															5	sin x cos					x + 4	+C ;
			15

220

			1								8							2				1							4sin2 x − 2
41)				16sin x −									−								−					+C ; 42)								+C ;
										sin x						sin			3	x		sin	5	x							sin 2x
		5cos x
	1					4							3												ctgx				1				+C ;
43)			tgx 8		+					+								+C ; 44) −								2	+
	15					cos	2	x				cos		4														sin		2
															x											3					x

45)		ctg			x						+			π					+ x +C ; 46) x + 2ctg																														x			−ctg						2 x										−					2	ctg				3		x		− 2ln							sin			x			+C ;
								2																																									2										2														3							2											2
															4
		3ln					tg				x				−		3			ctg				2		x			+C ; 48)															2									x										π										+C ; 49)																cos x							+C ;
47)																																														ln				tg							+																											−
											3						2								3																		2																				8																							cos x					+sin x
																																																					2
		2												5							x				4																		1																	x
50)			arctg														tg					+							+C							; 51)									arctg								2tg																+C ;
		3												3							2				3																		2																2
			1																1										tgx
52)		−	2		ctgx +																		arctg																		+C .
																					2
																																			2
6.9. 1)					ln											x								+					10					−		5					+				10								−				5												+C ; 2)											3 x2 3 + 6arctg 6 x +C ;
									(1 +10 x )10
																												10 x									5 x							310 x3											2 5 x2																									2
3) 2		t +4(4 t +ln (1+ 4																											t ))+C ; 5)															6				6		x			+2ln									1+ 6											x			+				2							+C ;
																																																																																	6
																																																																													1+						x
6) 4 4			x + 6 6											x + 2412 x + 24ln																								12 x −1									+C ; 7) 4ln																							4 x +1									+C ;
1												2																	1 − x																					4						x −1											+C .
9) 2 ln					1 − x										+ 2arctg														1 + x +C ; 13)																					3			4
																																																							x + 2
6.12. 26) −															2 − x								+C ; 36)														e2 x																1																				+C ;
																	x																			5					sin 4x +												2			cos 4x
40)		−	arctgx											+			1		ln				x2 +1									−				1				+C ;
					3x3												6								x2										6x2
																																								1+ex
44)		2x					1+ex									−4						1+ex −2ln																										−1					+C ; 46) arcsin 2 x +C .
																																								1+ex								+1
6.13. 1)								1			; 2)						π				; 3)								1					; 4) 25; 5) 1; 6) ln																									3				; 7) e −1; 8)																				7			; 9) 1; 10) ln 2 ; 11) π												;
								4									6											ln 2																															2																								4
																																																																																																	3
12)		1	+e ; 13) –7,5; 14)																														π			; 15) 17,5 −6ln 6 ; 16)																																					4				; 17)						32				; 18)					19 ; 19) ln 2 ; 20)
		2																															8																																								3										3								4
	3	; 21)							1 ln							3			; 22) 3 −ln 2 ; 23)																										1 ln 2 ; 24) 1−																													2			; 25)								3 −2					; 26) –5; 27)							158	;
2																2																																																									2																								3
									2																																				2																																										4
28)		ln 7 ; 29) arctg																							2 −1; 30) arcsin																							1		; 31)							2 −												2 ; 32) 0. 6.14. 1)																						1				; 2)	3 ; 3) 1;
			5																																													4																	4																										2					2

221

4) 1; 5) e − e ; 6)					1		; 7) 2; 8)							1		; 9)			π	; 10) e −1				; 11) 2 −							2 ; 12)			π		; 13) 3ln	π	;
					4 3									3					2															8			2
																						2e2							6
14)	1	(e −1); 15)		1	ln	4		; 16)					1			; 17)				π	; 18)	16	; 19) 2; 20)								1	. 6.16.				6( 3 − 2 )		.
	2			2		3						4ln 2								6		3									3					π
		1		20									1	(ln (e				2	+1)+ln 2). 6.25. 1)										22				4	5
6.17.			. 6.18.	9 . 6.19. 1−									2																3	; 2)			3		; 3) 8ln 2 ;
		e −1
4) 1; 5) 12; 6) 22				; 7)			32			6	; 8)			16			; 9) 63; 14)					4 .		8.1. 1) Нет;								2) Да; 3) Да; 5) Да;
		3						3						3								3
6) Да; 7) Нет, т.к. lim										n	n		= e		−1		; 8) Да, т.к.					lim					1		= 0	; 9) Нет; 10) Да.
										+1																2	+1
				n→∞			n															n→∞ n

8.2. 1) Расходится; 2) Расходится; 3) Сходится по радикальному признаку Ко-

∞ xdx

3

∞ xdx

ши; 4) Сходится, т.к. ∫1

=

8

; 5) Расходится, т.к. ∫1

=∞; 6) Сходится,

(1 + x)3

1 + x2

∞

dx

1

т.к. ∫1

=

; 7) Сходится по радикальному признаку Коши;

(x +1)ln2 (x +1)

ln 2

∞

dx

ln 3

8) Сходится; 9) Сходится, т.к. ∫1

; 10) Сходится; 11) Расходится;

=

4

4x2 −1

∞

dx

π

12) Сходится; 14) Сходится, т.к. ∫1

= 4

. 8.3. 1) Сходится (сравнить с рядом

1 + x2

∞

1

∑

); 2) Расходится (сравнить с гармоническим рядом); 3) Сходится; 4) Рас-

n−1

n=1

5

∞

1

ходится (сравнить с рядом ∑

); 5) Расходится; 6) Сходится; 7) Расходится

n

n=1

(сравнить с гармоническим рядом); 8) Сходится; 9) Расходится (сравнить с ря-

∞

1

дом ∑

); 10) Расходится; 11) Расходится; 12) Расходится; 13) Сходится;

3

n=1

n

14)

Сходится;

15)

Расходится; 16) Сходится.

8.4.

1) Сходится,

т.к.

lim an+1

=

1

<1;

2)

Сходится, т.к.

lim an+1

= 1 <1

; 3)

Расходится,

т.к.

n→∞

a

3

n→∞ a

n

2

n

lim an+1

=

3

>1; 4) Расходится, т.к. lim an+1 =∞; 5) Сходится, т.к. lim an+1 = 0 <1;

n→∞

a

2

n→∞

a

n→∞ a

n

n

n

6) Сходится; 7)

Сходится; 8) Расходится, т.к. lim an+1

= e >1; 9) Сходится, т.к.

n→∞ a

n

222

	lim an+1			=	3	<1; 10) Сходится, т.к. lim an+1		= 0 <1. 8.5. 1) Сходится условно;
					3
	n→∞	a	n			n→∞	a
							n

2) Сходится абсолютно; 3) Сходится условно; 4) Сходится абсолютно; 5) Сходится условно; 6) При a >1 сходится абсолютно, при a =1 сходится условно, при a <1 расходится; 7) Сходится абсолютно; 8) Сходится абсолютно; 9) Сходится абсолютно; 10) Сходится абсолютно; 11) Сходится условно; 12) Расходится; 13) Сходится абсолютно; 14) Сходится абсолютно; 15) Сходится условно; 16) Сходится абсолютно; 17) Сходится абсолютно. 8.6. 1) x [−3,3) ;

−1

3

3

2)

x R ; 3)

x [−5,3) ; 4)

x (e

,e) ; 5) x R ; 6)

x (−5,5]; 7) x −

,

;

2

2

1

1

9)

x −

,

; 10)

x = 0 ; 11) x [−2,8]; 12) x (−1,3) ; 14) x [0,1) ; 15) x = 0 .

10

10

x

2

x

4

x

3

x

5

8.7. 1) cos(x − a) = 1 −

+

−... cos a +

x −

+

−... sin a ;

2!

4!

3!

5!

2

4

6

3

4

2)

sin2 x =

1

(2x)

−

(2x)

+ (2x)

−... ; 3) xex = x + x2 +

x

+

x

+... ;

2

4!

2!

6!

2!

3!

π

3

(mx)2

(mx)4

1

(mx)3

(mx)5

4)

sin mx

+

=

1 −

+

−...

+

mx −

+

−

... .

2

2!

4!

2

3!

5!

3

1 + x

x

3

x

5

8.10. 1) ln

= 2

x +

+

+... ;

1 − x

3

5

∞

x

n

2) ln(2 −3x + x2 ) = ln[(1 − x)(2 − x)]= ln 2 − ∑(1 + 2−n )

;

n=1

n

1 + x

3

x

2

2x

3

x

4

x

5

2x

6

∞

x

n

3) ln(1 − x + x2 ) = ln

= − x −

−

−

+

+

+... = −2∑cos πn

.

1 + x

3

6

2

4

5

n=1

3 n

8.11. 3 1 + x = (1 + x)1/ 3 =1 +

1 x −

2

x2 +...;

3 1,006 = 3 1 + 0,006 ≈1 + 0,006

=1,002 ;

3

18

3

3 0,991 = 3 1 −0,009 ≈1 − 0,009 = 0,997 ;

3

1

1

76

3 130 = 3 125 +5 = 5

3 1 +

≈

5 1

+

=

≈ 5,067 .

25

15

75

8.12. sin12° = sin

π

≈ sin(0, 2094) ≈ 0,2094

−

(0,2094)3

≈ 0,2079 .

15

3!

8.13. ∫sin xdx = C + x −

x3

+

x5

−... . 8.14. ∫ex dx

= C

+ ln x + x +

x2

+

x3

+....

5!5

2!2

3!3

x

3!3

x

8.15. 0,108 .

8.16. 0,023.

8.18. 0,658 .

223

	СОДЕРЖАНИЕ	3
РАЗДЕЛ 5. Функции многих переменных
Тема 1. Основные понятия		3
1.	Определение функции многих переменных	3
2.	Графическое изображение функции двух переменных. Линии уровня	3
3.	Предел и непрерывность функции двух переменных	4
4.	Примеры решения задач	5
Тема 2. Дифференцируемость функции двух переменных		7
1.	Частные производные	7
2.	Полный дифференциал функции двух переменных	8
3.	Производная по направлению. Градиент	9
4.	Примеры решения задач	11
5.	Задания для самостоятельного решения	13
6.	Производные сложных и неявных функций	19
7.	Частные производные и полные дифференциалы высших порядков	20
8.	Формула Тейлора	22
9.	Примеры решения задач	23
10.	Экономические примеры	25
11.	Задания для самостоятельного решения	28
Тема 3. Исследование функции двух переменных		33
1.	Экстремум функции двух переменных	33
2.	Наибольшее и наименьшее значения функции	34
3.	Условный экстремум	35
4.	Метод множителей Лагранжа вычисления условного экстремума для
	функции двух переменных	36
5.	Примеры решения задач	36
6.	Задания для самостоятельного решения	40
7.	Метод наименьших квадратов	43
8.	Выравнивание с помощью показательной кривой	45
9.	Примеры решения задач	46
10.	Задания для самостоятельного решения	50
11.	Понятие задачи математического программирования	52
12.	Графический метод решения задач линейного программирования	53
13.	Алгоритм графического метода	54
14.	Примеры решения задач	54
15.	Задания для самостоятельного решения	56
16.	Задания для индивидуальной работы № 11	57
17.	Задания для индивидуальной работы № 12	62
18.	Задания для индивидуальной работы № 13	65
РАЗДЕЛ 6. Интегральное исчисление		68
Тема1. Неопределенныйинтеграл. Основныеметодыинтегрирования		68
1.	Первообразная и неопределенный интеграл	68
2.	Основные свойства неопределенного интеграла	71
3.	Непосредственное интегрирование	72

224

4.	Метод подстановки (метод замены переменной) в неопределенном ин-
	теграле	73
5.	Введение переменной под знак дифференциала	74
6.	Простейшие интегралы, содержащие квадратный трехчлен	75
7.	Интегрирование по частям	76
8.	Задания для самостоятельного решения	79
Тема 2. Основные классы интегрируемых функций		84
1.	Интегрирование рациональных функций	84
2.	Интегрирование тригонометрических выражений	88
3.	Интегрирование простейших иррациональных выражений	92
4.	Задания для самостоятельного решения	96
Тема 3. Определенный интеграл		103
1.	Понятие определенного интеграла. Формула Ньютона – Лейбница	103
2.	Свойства определенного интеграла	103
3.	Определенный интеграл как функция верхнего предела	105
4.	Формулы замены переменной и интегрирования по частям в опреде-
	ленном интеграле	106
5.	Приближенное вычисление определенных интегралов	106
6.	Примеры решения задач	107
7.	Задания для самостоятельного решения	110
Тема 4. Несобственные интегралы		114
1.	Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования	114
2.	Признаки сходимости несобственного интеграла первого рода	114
3.	Несобственные интегралы от неограниченных функций	115
4.	Примеры решения задач	116
5.	Задания для самостоятельного решения	120
Тема 5. Геометрическое приложение определенного интеграла		122
1.	Вычисление площадей в декартовой системе координат	122
2.	Вычисление объема тела вращения	123
3.	Вычисление длины дуги плоской линии, заданной в декартовой систе-
	ме координат	124
4.	Примеры решения задач	124
5.	Задания для самостоятельного решения	126
6.	Задание для индивидуальной работы № 14	128
7.	Задание для индивидуальной работы № 15	139
РАЗДЕЛ 7. Дифференциальные уравнения		143
Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка		143
1.	Основные понятия. Задача Коши	143
2.	Дифференциальные уравнения с разделенными и разделяющимися пе-
	ременными	144
3.	Примеры решения задач	145
4.	Однородные дифференциальные уравнения	149
5.	Линейные уравнения первого порядка	152
6.	Примеры решения задач	154
7.	Уравнение Бернулли	158

225

8.	Примеры решения задач	158
9.	Задания для самостоятельного решения	161
Тема 2. Дифференциальные уравнения второго порядка		164
1.	Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие пони-
	жение порядка	164
2.	Примеры решения задач	165
3.	Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоян-
	ными коэффициентами	167
4.	Примеры решения задач	170
5.	Задания для самостоятельного решения	175
РАЗДЕЛ 8. Ряды		177
Тема 1. Числовые ряды		177
1.	Основные определения	177
2.	Необходимый признак сходимости числового ряда	177
3.	Критерий сходимости числового ряда. Достаточные признаки сходи-
	мости числового ряда	178
4.	Знакопеременныеряды. Признакисходимостизнакопеременныхрядов	179
5.	Примеры решения задач	180
6.	Задания для самостоятельного решения	184
Тема 2. Степенные ряды		187
1.	Примеры решения задач	188
Тема 3. Разложение элементарных функций в ряды Тейлора и Мак-		189
	лорена. Приближенное вычисление
1.	Задания для самостоятельного решения	192
2.	Задание для индивидуальной работы № 16	194
3.	Задание для индивидуальной работы № 17	197
Приложение		202
Ответы		203

226