Практикум по высшей математике_часть 2

который отличен от нуля, то радиус сходимости степенного ряда (8.14) равен:

	R =	1	= lim		an		.
		D		a
			n→∞
					n+1

Признак Коши. Если существует ненулевой предел

D = lim n an ,

n→∞

то радиус сходимости степенного ряда (8.14) равен:

R =	1	= lim		1				.
	D
		n→∞ n			an

Примеры решения задач

Пример 8.11. Найти область сходимости степенного ряда

	x +	x2	+	x3	+... +	xn	+....
		2		3		n

Решение: В данном случае an = 1n , an+1 = n 1+1 , поэтому

	R = lim		a	n			n +1			1
						= lim		= lim 1	+		=1.
			an+1				n
	n→∞					n→∞		n→∞		n

Следовательно, данный ряд сходится на интервале (−1,1) . Исследуем поведение ряда на концах интервала, т.е. при x = ±1.

1)При x =1 получаем гармонический ряд, который расходится.

2)При x = −1 получаем знакочередующийся ряд

−1 + 12 − 13 +... + (−n1)n +...,

который сходится по признаку Лейбница. Таким образом, областью сходимости данного степенного ряда является интервал [−1,1).

∞

Пример 8.12. Найти область сходимости степенного ряда ∑xn .

n=0

Решение. Используем признак Коши:

D = lim n		a	n		= lim n		1		=1.
n→∞					n→∞

188

Тогда радиус сходимости равен R =1, интервал сходимости – (−1;1). Исследуем сходимость ряда на концах интервала. При x = −1, получаем

∞
числовой ряд ∑(−1)n , для которого lim an ≠ 0 . Следовательно, не выполняется
n=0	n→∞

необходимый признак сходимости ряда, ряд расходится. Аналогичный результат получаем при x =1. Итак, исходный ряд сходится в интервале (−1;1).

∞	nx	n
Пример 8.13. Найти область сходимости степенного ряда ∑			.
	n!
n=0

Решение. Радиус сходимости ряда найдем с помощью признака Д’Аламбера:

R = lim

an

= lim

n

:

(n +1)

= lim

n

(n +1)!

=

an+1

n!

(n +1)!

(n +1)

n→∞

n→∞

n→∞

n!

n(n +1)

= lim

= ∞.

(n +1)

n→∞

Следовательно, ряд сходится для всех x (−∞;∞).

ТЕМА 3

РАЗЛОЖЕНИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ

В РЯДЫ ТЕЙЛОРА И МАКЛОРЕНА. ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ

Пусть функция f (x) имеет в точке x0 и в некоторой ее окрестности производные до n -го порядка включительно, и пусть x – произвольное значение аргумента из указанной окрестности (x ≠ x0 ). Тогда между точками x0 и x найдется такая точка c , что будет справедливой формула Тейлора:

f (x) = f (x ) +

f ′(x0 )

(x − x ) +

f ′′(x0 )

(x − x )2

+

0

1!

0

2!

0

+

f ′′′(x0 )

(x − x

)3 +... +

f (n) (x0 )

(x − x )n + R

(x) ,

(8.16)

3!

0

n!

0

n

где R

(x) =

f (n) (c)

(x − x

)n

–

остаточный

член

формулы

Тейлора,

n

n!

0

c = x0 +θ(x − x0 ) , 0 <θ <1.

Формулой Маклорена называют формулу Тейлора при x0 = 0 :

189

f (x) = f (0) +

f ′(0)

x +

f ′′(0)

x2 +

1!

2!

+

f ′′′(0)

x3

+... +

f (n) (0)

xn + R (x) ,

(22.4)

3!

n!

n

где R

(x) =

f (n) (c)

xn –

остаточный член формулы Маклорена, точка c нахо-

n

n!

дится между 0 и x (c =θx, 0 <θ <1).

Из формул Тейлора и Маклорена получаются, соответственно, ряды Тей-

лора и Маклорена:

f (x) = f (x ) +

f

/ (x )

(x − x ) +

f // (x )

(x − x )

2

+... +

0

0

0

1!

0

2!

0

+

f (n) (x )

(x − x )

n

+...,

0

n!

0

f (x) = f (0) +

f / (0)

x +

f // (0)

x2

+... +

f (n) (0)

xn +... ,

1!

2!

n!

сходящиеся к f (x) при тех значениях x , для которых lim R (x) = 0 .

n→∞

n

Приведем разложения некоторых элементарных функций в степенные

ряды (ряд Маклорена):

ex =1 + x +

x2

+

x3

+... +

xn

+...,

x R ,

2!

3!

n!

sin x = x −

x3

x5

n

x2n+1

x R ,

+

−... +

(−1)

+...,

3!

5!

(

2n +1)!

x2

x4

n

x2n

cos x =1 −

+

−... +

(−1)

+..., x R ,

2!

4!

(

2n)!

ln(1 + x) = x −

x2

+

x3

−

x4

+... + (−1)n

xn+1

+...,

−1 < x ≤1,

n +1

2

3

4

(1 + x)a =1 + a x + a(a −1) x2 + a(a −1)(a − 2) x3

+... +

1

1 2

1 2 3

+ a(a −1)...(a − n +1) xn +...,

x

<1

n!

190

arctgx = x −

x3

+

x5

−... + (−1)

n

x

2n+1

+...,

x

≤1,

3

5

2n +1

arcsinx = x +

x3

+

1

3

x

5

+... +

2

3

22 2! 5

+

1 3 5 ... (2n −1)

x2n+1

+...,

x

<1;

2n (n −1)!

2n

+1

1 + x

x

3

x

5

x

2n+1

ln

= 2

x +

+

+... +

+... ,

−1 < x <1.

1 − x

2n +1

3 5

Разложения функций в степенные ряды часто применяют в приближенных вычислениях. При этом в приближенных вычислениях необходимо знать приближенную оценку отброшенных членов ряда, т.е. остатка. Остаток знакочередующегося ряда в свою очередь является знакочередующимся рядом. Выше было сказано (см. признак Лейбница), что сумма сходящегося знакочередующегося ряда по абсолютной величине меньше первого члена этого ряда. Следовательно, остаток ряда по абсолютной величине меньше an+1 , и имеет тот же знак, что и an+1 .

Пример 8.14. Вычислить с точностью до 0,001 значение sin18°.

Решение. Заметим, что x =18° = 10π . Воспользуемся разложением функ-

ции sin x в ряд Маклорена:

sin

π

=

π

−

π3

+

π5

−....

10

10

103

3!

105

5!

Поскольку

π

> 0,001,

π

3

> 0,001,

π5

< 0,001, то с точностью до

10

103

3!

105

5!

0,001 имеем

sin18° ≈

π

−

π3

≈ 0,309 .

10

103

3!

Пример 8.15. Вычислить с точностью до 0,001 интеграл 1/∫3 e−x2 dx .

0

Решение: Формула Ньютона-Лейбница здесь не применима, так как первообразная от e−x2 в элементарных функциях не выражается (т.е. имеем неберущийся интеграл). Воспользуемся разложением в ряд Маклорена функции ex :

191

e−x2	=1 − x2 +				x4						−			x6				+... .
				2!								3!
Далее имеем
1/ 3	2	1/ 3																		x		4						x			6
∫ e−x		dx = ∫	1 − x2 +																					−									+...			dx		=
0		0																2!											3!
								x			3									x	5										x		7					1 3
		= x		−								+														−									+...			=
																5 2!														7			3!
							3																															0
		= 1 −					1						+											1									−			1			+... .
											3																				5				7			7
		3		3 3													5 2! 3																			3! 3
Поскольку	1	> 0,001,										1							=					1					> 0,001,									1			=	1	< 0,001, то с
	3						3								3								81																	5		2430
												3																										5 2! 3
точностью до 0,001 получаем
1/∫3 e−x2 dx ≈ 1 −							1				≈ 0,321.
0		3		81

Задания для самостоятельного решения

8.6. Определить интервал сходимости ряда и исследовать его сходимость на границах интервала сходимости:

			x			x2		x3
1)	1 +			+			+		+... ;
		2	3		3	2		3
						3		4 3

2)x + x2 + +... ;

11 2 1 2 3

3)(x +1)1 + (x +1)2 + (x +1)3 +...; 1 40 2 41 3 42x3

4)

ln x + ln2 x +... + lnn x +...;

5)

sin x + sin 2x

+... + sin nx

+... ;

22

n2

∞

n−1

x

n−1

∞

2

n−1

x

n−1

6)

∑

(−1)n−1

;

7) ∑

;

n

n=1

5

n=1

(2n −1)2 3n−1

∞

2

n−1

x

n−1

∞

n

x

n

8)

∑

;

9) ∑10

;

n

n=1

(4n −3) 5n−1

n=1

∞

∞

n

10) ∑(nx)n ;

11) ∑(x −3)n

;

n=1

n=1

n 5

192

	∞	(x −1)	2n					∞	(2x +1)	n
12)	∑					;	13)	∑		;
		(n +1)		4	n				3n + 2
	n=1							n=1
	∞			n				∞	n
		(2x −1)							(−1)
14)	∑				;		15)	∑			.
		3n − 2							−1 5
	n=1							n=1	(x +1)

8.7.Разложить в ряды по степеням x функции:

1) cos(x − a) ;

2) sin

2

x ; 3)

xe

x

;

π

4) sin mx +

.

3

1

8.8.

Показать,

что

при

x

<1

имеет

место

равенство

∞

=

∑n(n +1) (−x)n−1 .

(1 + x)

3

n=1

2

8.9.

Показать,

что

при

x

<1

имеет

место

равенство

1

=

1 −

1 x2 +

1 3

x4 −1 3 5 x6

+....

22 2!

1 + x2

2

23 3!

8.10.Разложить в ряды по степеням x функции:

1) ln	1 + x	; 2)	ln	(	2 −3x + x2	)	;	3) ln 1 − x + x2	)	.
1 − x								(
8.11. Записать			биномиальный					ряд для 3 1 + x		и вычислить 3 1,006 ,

30,991 , 3 130 , ограничившись двумя членами ряда.

8.12.Вычислить sin12°, ограничившись двумя членами ряда для функ-

ции y =sin x .

8.13.Представить в виде ряда интеграл ∫sinx xdx .

8.14.Представить в виде ряда интеграл ∫exx dx .

8.15. Вычислить с точностью до 0,001 интеграл 1/∫2 ln(1 + x)dx , разложив

0

подынтегральную функцию в ряд Маклорена.

8.16. Вычислить с точностью до 0,001 интеграл π ∫/10 xcos5xdx , разложив

0

функцию y = cos5x в ряд Маклорена.

0,1

8.17. Вычислить интеграл с точностью до 0,001 интеграл ∫e−6 x2 dx .

0

8.18. Вычислить с точностью до 0,001 интеграл 1/∫2 arccos xdx , разложив

0

подынтегральную функцию в ряд Маклорена.

8.19. Разложить в ряд Тейлора функцию f (x) =ln x по степеням (x −1) .

193

Задание для индивидуальной работы № 16

Задание 16.1. Найти частное решение дифференциального уравнения

(табл. 16.1):

Таблица 16.1

Номер
варианта
1	(			2	)				′								2
		x			+1 y					+			2xy					= 0 ,			y(0) = −1
2	y′ = 6x 3 y , y(1)=8
3	2cos 2 y cos2 xdy − dx = 0 , y(0) =π
4	x y′+							1					= 0 , y (2)=1
							x	+1
5	(x2 + 4)dy −(y2 + 4)dx = 0 , y(0) = 0
6	y dx −cos									2	x dy = 0 , y										π
																						=1
																					4
7			′		(							2		)		(			2	)	, y(0)=1
	y			= 1 − y													1 − x
8	( y +1) dx −x dy = 0 , y(1)= 2
9	sin xy′ = y cos x ,																	y(π 4)=1
10	y ln y dx −ctgxdy = 0 ,																				y(0)=1
11	(x2 −3)y′ = 2xy , y(4) =1
12	y′ = 2e−y ln x , y(e)=1
13	(x2 −3)dy −5xy2dx = 0 ,																					y(2) =1
14			′								(				2			)				y(0)=π 4
	y cos x = −													y		+1 sin x ,
15	(x − 2)2 dy +(y +3)2 dx = 0 , y(3) =1
16	( x +1)(y +1)dy −(y − 2)dx = 0 , y(0)=3
17	e2 y y′ = 5x + 6 , y(0)= 0

194

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

Задание

(табл. 16.2):

Окончание таблицы 16.1

y +1 dx − dyx = 0 , y(2)= 3

y′ =	(2x +3)sin x	, y (0)=1
	yey

sin 2 y cos x dx −sin xcos 2 y = 0 , y(0) =π4

(1 − x)y′+5y3 = 0 , y(1)= 0

y′+5(x − 2) 3			y −1 = 0 , y(0) =1
x y′ =	y	,	y(0) =1
	2 + y

(x −1)2 dy +3( y − 2)dx = 0 , y(1) = 4 x2dy − 2e−4 ydx = 0 , y(2)= 3

sin x dx − ydy = 0 , y(1) = 0 xy′ =(x +1)( y −1) , y(0)= 2

( y −6) dx − dyx = 0 , y(1)= 2 xey y′ = 2ln x , y(e)= 2

2 + y dx −x2 dy = 0 . y(1)= 7

16.2. Найти общее решение дифференциального уравнения

Таблица 16.2

Номер

Номер

варианта

варианта

1

x( y − y′) = (1 + x2 )ex

16

y′+

y

= ln(3 + 2x)

x −3

2

y′+ y = x + 2

17

y′+ 6 y −sin 3x = 0

y′+ y −sin 2x = 0

1

x

3

18

y′+

y = e

x +1

4

y′+

y

= x +3

19

y′+5 y = −x + 4

x +13

195

Окончание таблицы 16.2

5

y′+

y

=

4

20

2xy′+

y

=

2

x

−1

x(x2 +1)

ln x +

1

ln x

6

y′

−

2

y = e

x

(x

+1)

2

21

y′−

y

= −2

ln x

x +1

x

x

7

y′+3y − x =1

22

y′− y cos x = sin 2x

8

2(1 − x2 )y′+ xy = x(1 − x2 )

23

y′+ 2xy = xe−x2 sin x

(

)

(

)

9

1 + x

2

y

′

− 2xy =

1 + x

2

2

24

2 y′+ 7 y + cos5x = 0

10

y′

+

y

= 4(x +

4)

2

25

y′+ y +3x = 7

x + 4

4 y

′

11

y′+ 4x +1 = ln(3x +1)

26

y

− 4 y tg4x=x −13

2xy

′

+ y = (2x +1)e

2 x

y′

12

27

cos x − y = −2sin x

y′+ 4 y = x +3

y′+

3y

x

13

28

−arctg

= 0

3x −

5

4

14

xy′− y = −ln x

29

y′+

y

=

x

2

x +3

2

y

′

− 2 y tg2x=6x −1

2

′

−

= −

15

30

x y

xy

2

Задание

16.3. Найти

частное

решение

дифференциального

уравнения

(табл. 16.3):

Таблица 16.3

Номер

варианта

1

у

′′

−9 у = х

2

′

+3x, y(0) = 3, y (0) = 0

2

y′′+3y′+ 2 y = e−x , y(0)= 0, y′(0)= 0

3

y

′′

+3y

′

− 4 y = e

4 x

,

′

y(1) =1, y (1) = 0

4

4 y′′+ y = cos(x 2),

y (π )= 2,

y′(π )=1 2

5

4 у

′′

+ 4 у

′

′

+ у = cos 2x, y(0) = 0, y (0) =1

6

y′′−6 y′+8 y = 4e2 x , y(0)= 0, y′(0)= 0

7

y

′′

+ 6 y

′

+9 y = xe

−x

,

′

y(0) = ln 2, y (0) =1

8

y′′+3y′+ 2 y = e−x , y(0)= 0, y′(0)= 0

9

у′′+ 6 у′+13у = sin x + cos x, y(π 2)=1,

y′(π 2)= 0

10

y′′+ 4 y = 4cos 2x,

y(0)= 2,

y′(0)= 0

11

y′′+ y = 4ex , y(0)= 0, y′(0)= 0

196

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

Окончание таблицы 16.3 y′′+ 6 y′+8y = 4xex , y(0) = 0, y′(0) = 0

3у′′− 2 у′−8у = e2 х, y(0) =1, y′(0)=1

y′′+ y′ = e−x , y(0) = ln 27,						y′(0) = 0
y′′+9 y = 4cos3x,					y(0) =1,	y′(0) = 0
у	′′	+ 4 у = х	2	+3x −			′	=1
					1, y(1) =1, y (1)
y′′−3y′ = 6x2 −5, y(1) =1, y′(1)= 2
у′′+ у′− 2 у = cos3x, y (0) = 0,							y′(0) =1
y′′+ 4 y = 4sin2x,					y (π 4)= 3,		y′(π 4)= 2
y′′+16 y = sin 4x,					y (π 8)= 3,		y′(π 8)= 2π
у′′+5у′ = 3х2 − 2x + 4, y (0)=1, y′(0)= 0
y′′+9 y = 4sin 3x,					y(0)=1,	y′(0)= 0
y′′− 4 y′+ 4 y = 2e2 x , y(0)= 0, y′(0)= 0
y′′+ y = 2cos x +3sin x, y (0)= 0,								y′(0)= 0

2 у′′+ у′− у = х2 −3x + 2, y (0)= 2, y′(0)= 2

y′′+ 4 y = 4cos2x, y (0)= 0,	y′(0)= 0
у′′+ у′− 2 у = cos3x, y (0)= 0,	y′(0)=	1

y′′+ 2 y′ = x2 + 2x −1, y(1)=1, y′(1)=1 у′′+ 4 у′−5у = 3e2 х, y(0)=1, y′(0)=1

y′′+16 y = cos 4x, y (π8)= 3, y′(π8)= 2π

Задание для индивидуальной работы № 17

Задание 17.1. Исследовать на сходимость числовые ряды (табл. 17.1):

Таблица 17.1

Номер

варианта

∞

1

∞

5n

1

∑n=1

n2 + ln(en + 7)

∑n=1 (n +3)!

∞

n −1

2

∞

2n

2

∑

∑

(n + 2)!

3

n=1

n

+ 7n

n=1

3

∞

n2 −5

∞

n2 +3

∑n=1

n3 −3n

∑n=1 7n +3n

∞

1

∞

n

4

∑

∑

3 (n + 2)

n=1

ln n +3n

n=1

n!

197