Практикум по высшей математике_часть 2

Продолжение таблицы 17.1

5

∞

n −1

∞

2

n

∑n=1 n2 + 2n − 4

∑n=1 3n (n2 −1)

∞

1

∞

n

6

∑

∑

3

3

+ ln n

2

n

n=1 n

n=1

4

−1

7

∞

1

∞

2n −3

∑n=1

ln 2n +3n2

∑n=1 (n +1)!

∞

n + 4

∞

n2 −3

8

∑

∑

n

2

+3n −1

4

n

+5

n

n=1

n=1

∞

1

∞

5

n

(n −3)

9

∑

∑

n

2

+ ln(e

n

+1)

(2n −1)!

n=1

n=1

∞

n +1

∞

5

n

10

∑

∑

3

n

6

+ 2n

4

−5

(n + 2)!

n=1

n=1

∞

1

∞

7n

11

∑n=1

n2 + 2n +1

∑n=1 2 +9n

∞

n

∞

2

12

∑

∑n

+ 2

n

3

n!

n=1

ln e +3n

=

n 1

∞

n3 +1

∞

5n (n2 + 2)

13

∑

∑

n

5

+ 2n

2

+3n

(2n +1)!

n=1

n=1

∞

1

∞

n

14

∑

∑

3

n

3

+ ln n

5

n

(2n +3)

n=1

n=1

∞

1

∞

n3 − 2

15

∑n=1

n4 + ln(en −1)

∑n=1 5n + 7n

16

∞

n3

∞

n 3n

∑n=1

n4 +3n −1

∑n=1 5n + 7n

∞

1

∞

3

17

∑

∑n

+ 2n

n

2

+ ln n

n=1

n=1

(n + 2)!

∞

3

n

∞

7

n

(n +5)

18

∑

∑

n +3

(2n −1)!

n=1

n=1

∞

1

∞

n

19

∑

∑

3

n

5

+3n

7

n

n=1

n=1

+5

∞

n +1

∞

4

n

+1

20

∑

∑

n +3

(2n −1)!

n=1

n=1

∞

n

∞

3n2

21

∑

∑

2

(2n +1)!

n=1

n

+ 2n

n=1

198

Окончание таблицы 17.1

∞

n2 +1

∞

3n

22

∑n=1

∑n=1 n!

n5 −3n2

∞

1

∞

n

−5

23

∑

∑

4n3 + ln n

n

n

n=1

n=1

2

+ 7

∞

n − 2

∞

2n

24

∑

∑

3

n

5

+ 2n

2

−1

7

n

(n

2

+ 2n −5)

n=1

n=1

25

∞

n3 − 4

∞

5n +1

∑n=1

n6 −5n4 +1

∑n=1 (2n −1)!

∞

n −3

∞

2

26

∑

∑

n

− 2

n

3

n

n

n=1

+ 2n − 4

n=1

6

+5

∞

n

∞

3n

27

∑n=1

n3 − 2n

∑n=1 5n (n3 +3)

28

∑

5

n

2

∞

n

3

∑

3

∞

n=1 n!

n=1

n + 2n

29

∞

1

∞

n +1

∑n=1

ln(en + 7)

∑n=1 5n +3n

∞

n +1

∞

2n

30

∑n=1

n3 + 2n +3

∑n=1 5n +3

Задание 17.2. Найти интервал сходимости степенного ряда (табл. 17.2):

Таблица 17.2

Номер

Номер

варианта

варианта

∞

n

n

1

∑

3 х

16

n=1

2n +1

∞

n

3

n

х

n

2

∑

(−1)

3

17

n=1

2n

+ n

∞

хn

3

∑n=1

18

6n (2n3 +

7)

∞

(−1)

n

х

n

4

∑

19

n=1

n!

∞

2n хn

5

∑n=1

20

3n2 −3

∞

(−1)

n

х

n

6

∑

21

n2 + 2n

n=1

∞				n			х	n
∑	(−1)2
n=1	5n			+ n
∞				х	n
∑
	9	n	(3n + 4)
n=1
∞			х	n
∑
			2	+1
n=1	3n
∞	(−1)n хn
∑	3		n	+ 2			n
n=1
∞	(−1)				n		х		n
∑
	n					2	+ 2)
n=1	5 (3n
∞				х	n
∑
	7	n	(2n +1)
n=1

199

Окончание таблицы 17.2

∞

х

n

∞

(−n1)

n

х

n

7

∑

22

∑

5

n

(3n +1)

n=1

n=1

3 (n +1)

∞

2

n

х

n

∞

(−1)

n

х

n

8

∑

23

∑

2n

2

3 2n2 + n

n=1

−3

n=1

∞

(−1)

n

х

n

∞

х

n

9

∑

24

∑

n3 + 7n

5

n

n

n=1

n=1

∞

(−1)n хn

∞

хn

10

∑

n

n

25

25. ∑

5

+

2

5n +3

n=1

n=1

11

∞

(−1)n хn

26

∞

(−1)n хn

∑

n2 +1

∑

5

n

+

2

n

n=1

n=1

12

∑

(−1)

n

3 3 х

n

27

∞

7

n

3 х

n

∑

∞

n

n=1

3n +1

n=1

2n +1

∞

х

n

∞

(−1)

n

х

n

13

∑

28

∑

n

n3 +1

n=1

3 (3n +5)

n=1

∞

n

х

n

∞

(−1)

n

х

n

14

∑

52

29

∑

+ 2

n

2

+ 7)

n=1

n

n=1

2 (5n

∞

(−1)2

n

х

n

∞

х

n

15

∑

30

∑

+ n

2n +1

n=1

2n

n=1

Задание 17.3. С помощью разложения в ряд Маклорена подынтегральной функции, вычислить с точностью до 0,001 определенный интеграл (табл. 17.3):

Таблица 17.3

Номер						Номер
варианта						варианта
	0,3	sin x	2				1		1
1	∫			dx		16	∫							dx
		x							1 +		х	8
	0						0
	0,9						0,6		1 −cos9x2 dx
2	∫е−0,4 х2 dx					17	∫
	0						0				x
	1						0,7				−3х
3	∫1 −cos5xdx					18	∫		1 −е					dx
	0	x					0		х
4	0,6 ln(1 + x2 )				dx	19	0,5 sin 2x						2	dx
	∫	х					∫		x	2
	0						0
	0,7	1					0,7		1 −е−7 х
5	∫0			dx		20	∫0							dx
		1 + х4							х

200

		0,7		sin 3xdx
	6	∫
		0		3x
	7	0,7		е−х4	dx
		0,1∫		х
		0,8
	8	∫cos 4x2dx
		0
	9	0,9		1 −е−5 х		dx
		∫0		5х
		0,7 1 −е−3х
	10	∫0		х		dx
		0,8		sin 22x3 dx
	11	∫
		0		2x
	12	0,2 ln(1 + x4 )					dx
		∫0			х2
		0,3		sin x2 dx
	13	∫
		0		x
		0,5
	14	∫cos x2dx
		0
	15	∫1	е−8 х3 dx
		0

	Окончание таблицы 17.3
21	0,6	1 −cos7x				dx
	∫	2x		2
	0
	0,3
22	∫	1 + х5 dx
	0
23	0,1 ln(1		+ x5 )		dx
	∫0	х3
	0,7	sin 3x3 dx
24	∫
	0	x
	0,7
25	∫ е−х2 dx
	0
	0,7	ln(1 + x3 )dx
26	∫
	0		х
	0,7
27	∫ cos3xdx
	0
	0,4
28	∫ е−х5 dx
	0
	0,7	1
29	∫0			dx
		1 + х4
	0,7	1 −cos x2 dx
30	∫
	0		x

201

ПРИЛОЖЕНИЕ

Комплексные числа. Число вида

z = a +ib , a, b R ,

где i2 = −1 и a, b − действительные числа, называется комплексным числом. Число i называется мнимой единицей, причем i = −1 .

Квадратное уравнение. Уравнение вида ax2 +bx +c = 0 (a ≠ 0) называется квадратным

уравнением. Величина D = b2 −4ac называется дискриминантом квадратного уравнения.

1) Корни квадратного уравнения. Если D ≥ 0 , то уравнение имеет два действительных корня (при D = 0 корни совпадают):

x	= −b ± D .
1,2		2a

Если D < 0 , то уравнение имеет два комплексных корня (действительных корней нет), вычисляемые по формуле

x	= −b ±i D .
1,2		2a

Таблица простейших интегралов

1.

∫xα dx =

xα+1

+C,

(α ≠ −1);

∫dx

α +1

2.

= ln

x

+C;

x

ax

3.

∫ax dx =

+C,

(a > 0,

a ≠1);

ln a

4.

∫ex dx = ex +C;

5.

∫

dx

= arcsin

x

+C

(a ≠ 0); .

a

2

2

a

− x

∫

dx

1

x

6.

= a arctg

+C,

(a ≠ 0); .

a2 + x2

a

7.∫sin xdx = −cos x +C;

8.∫cos xdx = sin x +C;

9.∫cosdx2 x = tgx +C;

10.∫sindx2 x = −ctgx +C;

∫

dx

1

x −a

+C,

(a

11.

=

ln

≠ 0);

x2 −a2

2a

x +a

∫

dx

x2

±а

+C,

(a ≠ 0);

12.

= ln

x +

2

x ±а

+ a2

x

17.

∫

a2 − x2 dx = 1 x

a2

− x2

arcsin

+C, (a ≠ 0);

a

2

2

202

ОТВЕТЫ

5.1. 1) D ={(x, y) R2 : x2 4 + y2 16 ≤1}, часть плоскости, ограниченной эллипсом x2 4 + y2 16 =1 вместе с границей; 2) вся плоскость R2 ;

3)D ={(x, y) R2 :x > 0, y > 0 }, внутренние точки первого координатного угла;

4)вся плоскость R2 за исключением точек прямой x = y ;

5)D ={(x, y) R2 : x ≥ −1; y ≠ 0}, часть плоскости, расположенная справа от прямой x = −1, включая прямую, за исключением оси Oy ;

6)D ={(x, y) R2 : x2 ≠ y2}, вся плоскость, за исключением биссектрис коорди-

натных углов; 7)	{			}	под прямой
	D =	(x, y) R2 : y < x 4; x ≠1 , полуплоскость
y = x 4 , за исключением точек этой прямой и прямой x =1;
{	< −x	}	, полуплоскость под биссектрисой второго и четвер-
8) D = (x, y) R2 : y
того координатных	углов; 9)			D ={(x, y) R2 : y < 4x; x2 + y2 <1},	внутренняя

часть окружности x2 + y2 =1 , лежащая ниже прямой y = 4x ; 10) вся плоскость, кроме биссектрисы второго и четвертого координатных углов; 11) вся плоскость; 12) внутренняя часть окружности x2 + y2 = 4 ; 13) вся плоскость, кроме внутренней части круга x2 + y2 =16 и его контура; 14) внутренние точки первого и третьего координатных углов; 15) вся плоскость, кроме внутренней части кругаx2 + y2 = 9 ; 16) внутренние точки первого координатного угла; 17) вся

плоскость; 18) два тупых вертикальных угла, образованных прямыми x = 0 и y = 0,5x , включая точки прямых, кроме точки (0;0) ; 19) вся плоскость; 20) вся

плоскость, кроме прямых		x + y = 0,5 + k, k = 0, ±1,± 2,...; 21) полуплоскость над
биссектрисой второго и четвертого координатных углов;
22)	{	}				внутри параболы
	D = (x, y) R2 : y ≥ x2	3 , полуплоскость, лежащая
y = x2 3 , включая саму параболу; 23)			D =	{	(x, y) R2 : y2	}
						16 − x2 16 ≤1 , часть
плоскости, лежащая внутри гиперболы			y2	16 − x2 16 =1, вместе с параболой;

24) внутренние точки первого координатного угла; 25) вся плоскость, кроме прямых x + y =π2 + k, k = 0, ±1,± 2,... ; 26) D ={(x, y) R2 : x2 ≠ y2}, вся плос-

кость, за исключением биссектрис координатных углов; 27) полуплоскость под прямой y = x + 4 , за исключением точек этой прямой; 28) внутренние точки

первого и третьего координатных углов; 29) D ={(x, y) R2 :x >1, y >1}, внутренний верхний правый угол, образованный прямыми x =1, y =1;

30) D ={(x, y) R2 : x ≥ 2,5; y ≠ −1}, часть плоскости, расположенная справа от прямой x = 2,5, включая прямую, за исключением прямой y = −1.

203

5.2. 1)

x2 + y2 +z2 <1; 2)

x >0, y >0, z >0 ; 3)

x >0, y >0, z >0 или x <0, y <0, z >0 ; 4)

−1≤ x + y +z <1; 5) x >0, y >0, z >0 ; 6) y ≠−z ; 7) z ≠0 ; 8) y >−x, z ≠0 .

5.6. 1) z′x = 6xy − y2 +15x2 , z′y = 3x2 − 2xy − 4 ; 2) z′x = −6xsin x −sin 2 y − yexy ,

z′y

= 2x cos 2 y − xexy ; 3) z′x = 3y 5x+y ln 5, z′y

= 3y 5x+y ln15 ; 4) z′x = 3

y +

3y2

,

x3

3x

2 y

1

z′y

=

−

; 5) z′x =8xln (4x

2 + y

2 )+

, z′y = 2 y ln (4x2 + y2 );

2

2

x

y

x

cos

6) z′x

=3x2 −3ay , z′y

=3y2 −3ax ; 7) z′x = 2xy 8x2 y ln8, z′y = x2 8x2 y ln8 ;

8) z′x =

1

1

10x

5

, z′y =

; 9) z′x = −

, z′y = −

;

x(y + ln x)

y + ln x

(y + x2 )2

(y + x2 )2

y

1

1

x

x

x

y

y

10) z′x

= −

, z′y = x

; 11) z′x =

5

ln 5 , z′y

= −

5

ln 5 ;

x2

y

y2

3 y (4 y − x)

3 x2 (x − 4 y)

y−1

3

12) z′x

=

, z′y

=

; 13) z′x

= yx

−

,

33 xy (2 y + x)2

33

y2 (x + 2 y)2

y2 − x

y

6 y

y

y

sin

y

1

y

sin

y

y

z′y = x

z′x

x , z′y

x ; 15) z′x

ln x +

; 14)

= −

cos

e

= x cos

e

=

,

y2 − x

x2

x

x

cos2 (x +5)

z′y

= tg (x +5); 16) z′x = −2xsin (2x2 + 2 y2 ), z′y = −2 y sin (2x2 + 2 y2 );

17) z′x

=

ey

, z′y

=

ey

xy (2 y −1)

; 18) z′x

=

2x

, z′y =

1

;

2 xy

2 y2

(x2 + y)ln 2

(x2 + y)ln 2

19) z′x

2x +1

33 x2 + x

z′x =

2 y

, z′y

2x

=

,

z′y = −

(y +1)2

; 20)

= −

;

3 (x2 + x)2 (y +1)

(x + y)2

(x + y)2

21) z′x

=

x

, z′y = −

1

; 22) z′x

= y ln (x2 + y)

+

2x2 y

,

x2

− 2 y

x2 + 2 y

2

x + y

z′y

= x ln (x2 + y)+

xy

; 23) z′x

=

y

,

z′y = −

x

;

2

x

+ y

(x2 + y2 )arctg

x

(x2 + y2 )arctg

x

y

y

24) z′x

= y cos x cos xy −sin xsin xy , z′y

= x cos x cos xy ; 25) z′x

=

y

,

(x2 + y

2 )arcctg2

x

y

z′y

x

; 26) z′x

1

x

y

y

x

y

= −

=

cos

cos

+

sin

sin

,

(x2 + y2 )arcctg2

x

y

y

x

x2

y

x

y

204

z′y = −

x

x

y

1

x

y

; 27) z′x

=

πx cosπ (x2 + y)

,

cos

cos

− x sin

sin

y2

y

x

y

x

sinπ (x2 + y)

z′y =

π cosπ (x2 + y)

; 28) z′x = z′y = −

tg

x + y

; 29) z′x =

2xy

,

x + y

y − x4

2

sinπ (x2 + y)

2

x2

x2

y

−y

y

−y

z′y = arcsin

−

; 30)

z′x

= −e

cos x + e

sin x

, z′y

= e

cos x −e

sin x ;

4

y

2

y − x

y

y x

x x

1 x

2

−1

x

31) z′x

= arcctg

+

,

z′y

= −

; 32) z′x =

y

+

,

(x

+ y

2

)

x + y

2

x2

x

2

y 2

+ y2

1

x

2

x

y

2xy + cos x

x2

z′y = −

y

ln

+

; 33) z′x

=

, z′y =

;

y

2

x2

+ y2

5 (x2 y +sin x)4

2

2

5

(x2 y +sin x)4

34)

z′

=

y

, z′ =

x

; 35)

z′ = ex (1 + x)−ey

y2

− x2

x2 − y2

x

y

x

z′x

cos(2 y)

z′y = −

cos(2x)

36)

= −

,

; 37) z′x = −

sin2 (x + y)

sin2 (x + y)

z′y =

3

x

; 38) z′x

y2

y2

2 y

y

ln 5 , z′y

2

= −

e x −

x3

5x

3y (3 y − 3

x )

x2

39)

z′x

=

2xy

, z′y = −

2x2

(x2 + y2 )

(x2 + y2 ) x2 − y2

x2 − y2

,	z′y = −xey ;
	3 y				,
3x(3 y − 3 x )
=	2 y e	y2	+	1		5	y	ln 5 ;
		x					x
				x2
	x

;

40) z′x = −

y

, z′y

= −

x

.

x

(1 −

xy )(1 +

xy )3

y

(1 − xy )(1 +

xy )3

5.7. 1) u′x

= exyz (yz (x − y2 + z3 )+1), u′y

= exyz (xz (x − y2 + z3 )− 2 y),

u′z

= exyz (xy (x − y2 + z3 )+3z2 ); 2) u′x

=

2 yz

,

u′y =

2xz

,

u′z =

2xy

;

sin (2xyz)

sin (2xyz)

sin (2xyz)

3)

u′x

=

y + z

, u′y =

x + z

, u′z =

x + y

;

8 xy + xz + zy

8 xy + xz + zy

8 xy + xz + zy

4)

u′x

= ctg (x − y + z), u′y

= −ctg (x − y + z), u′z

= ctg (x − y + z);

5)

u′x

=

2e

x+y2 +z3

, u′y

=

4 ye

x+y2 +z3

, u′z =

6z

2

e

x+y2

+z3

; 6) u′x

= sin (2(x − y)),

sin (

2ex+y

+z

)

sin (2ex+y

+z

)

sin (

2ex+y

+z

)

u′y = −sin (2

(x − y))−sin (2(y + z)), u′z

= sin (2

(y + z)); 7)

u′x

=

y

xy z−1 ,

z

205

1

y

z

u′z = −

y

y

z

; 8) u′x

2

+ y) , u′y

2

u′y = z x

ln x

,

x

ln x

= −2xz sin(x

= −z sin(x

+ y) ,

z2

u′z

= cos(x2 + y) ; 9) u′x = yzxy ln z , u′y

= xzxy ln z , u′z

= xyzxy−1 ; 10) u′x = yxy−1 ,

u′y

= xy ln x + zyz−1 , u′z

= yz ln z ; 11) u′x

=

y

,

u′y

=

x

,

u′z

= −

xy

;

z cos2

xy

z cos2

xy

z2 cos2

xy

z

z

x z−1

z

12) u′x

=

x

, u′y =

1

,

u′z

= −

x2

+ y

; 13) u′x =

z

= z x

z−1

y

−z

,

z x2

+ y

z

2

y

2z x2 + y

y

xz

x

z

−1

z

arcsin

z

2

u′y

= −

= −zxz y−z+1 , u′z

=

x

ln

x

; 14) u′x

=

,

2

y

2 x

− y2

y

y

y

−y arcsin

z

x − y2

u′y =

2

, u′z =

;

x − y2

4 − z2

z

z

z

z

15) u′x

= −exy

ctg

+

,

2

y

2

z

x

x +

y

(x + y)

2

sin

x + y

z

z

z

z

u′y

= −exy

ctg

,

+

2

+ y

z

xy

x

(x + y)

2

sin

2

x

+ y

z

1

z

1

z

xy

u′z

= −e

ctg

+

; 16)

u′x =

,

z

2(x − y)

xy

x + y

(x + y)sin

2

u′y

= ln

x − y ; 17) u′x

x + y

,

= − 2(x − y), u′z

= −(z

2

+1)sin (x + y + z)e

cos( x+y+z)

z

u′y

= −(z2

+1)sin (x + y + z)ecos( x+y+z) , u′z

= (2z −(z2

+1)sin (x + y + z))ecos( x+y+z) ;

18) u′x

z cos y2

, u′y =

−2 yz sin y2

u′z

cos y

2

= −

,

=

.

x

2

x

x

y

y

y

1

5.8. 1) dz =

y arccos

+

dx + x arccos

−

dy ;

x

− y2

x

x

x − y2

2) dz = dx + dy ; 3) dz =

1

(dx −6 ydy); 4) dz =

2

(xdx + ydy);

2 x −3y2

x2

+ y2 −1

x + y

206

5) dz =																				1														(xdx + 4 ydy); 6) dz =																												1						(xdx − 4 ydy);
									ln 3								x2 + 4 y2 −1																																						ln8					x2 − 4 y2 −1
7) dz =																				4														(−sin 2 y cos2 xdx +sin 2xcos 2 ydy);
									(sin 2x −sin 2 y)																							2
8) dz = −ecos( x+y) sin (x + y)(dx + dy); 9) dz =																																																								ex+y							(dx + dy);
																																																						(				x+y			)	2
																																																						1 −e
																																																																		tg					x
																e		x−y																													1			dx					dy																y												x
10) dz =																										(dy − dx); 11) dz =
																																																						+				; 12) dz =																−dx +											dy		;
										(												)		2
																					x−y																											2 x								y													y														y
												1 + e
13) dz = 2ex2 +y2 (xdx + ydy)																																						; 14) du =														1				(yzdx + xzdy + xydz);
																																													1 + x2 y2 z2
																	x															1				(x + z)dx +																z
15)			du =								ln										+1 dx −																							ln									+1 dz				;
																	y															y
																																																				y
16) du =																				1											(xdx + ydy + zdz); 17) du =																																	2			(xdx + ydy + zdz);
															x2 + y2 + z2																																												x2 + y2 + z2
18) du =																		1									(ydx + xdy + 2zdz);
										2						xy + z2
19) du =														(x − y)z−1															(xdx − zdy +(x − y)ln (x − y)dz);
										1										2 z
														+(x − y)
20) du = −																																	2																			(xdx + ydy + zdz).
																	x2 + y								2 + z						2				1 − x2 − y2 − z													2	)
																																	(
										3																		8			(x					2	+ y		2	+ z	2	)	5 3
5.14.																				. 5.15. 3																											. 5.16.							≈ 3,987. 5.17. ln 28 +0,010 =3,343 .
					x + y + z
5.18. z =4,01. 5.19. 1) 2,923 (3); 2) 0,00698; 3) ≈ 3,023; 4) 1,998; 5) ≈ 4,978;
6) 0,08. 5.21. уменьшится на 10π . 5.22. 1) 18 2 ; 2)																																																														π		3	; 3)					5 ; 4)							−	8					;
																																																																4
																																																																													15
5)			30					. 5.23. 1) 4 3 ; 2) 2; 3) 0; 4) 0; 5) 0; 6) 0; 7)																																																					37			14	; 8)				8 ; 9)							2 3					; 10) 0;
			24																																																											14															3
																										3																																											5
11)			4				; 12)									2				10					; 13) −											7		3		. 5.24.					1)					(1 2;1 2); 2)												(0;e); 3)												2π			;−						2
																				5																		9																																−															;
			21																																																																						32							8
4)	(1;1 3); 5) (108 +5ln 5;−27 +5ln 5). 5.25. 1) (–1; –2; 3); 2) (1; 0; 1);
3)	(1−π;−1;0); 4)																									(1 2;−1 2;1 2); 5) (1 3e;2 3e;−1 3e); 6) (1 5;1 5;1 5);
7)			2											−8;						4								−4;2									; 8) (1; 0; 0); 9) (4; 5; 2). 5.26. arccos																																7				2		.
								2		5										cos			2		5																																													10
	cos

207