Исаченко Сопротивление материалов ч.1 2010

III операция. Составление выражения для Qy и построение эпюры Qy

Qy = −RA = −m = const на всей длине l (см. рис. 4.23, б).

Рис. 4.23

Рис. 4.24

IV операция. Составление выражения для M z и построение эпюры M z

M z = −RA x + m x = −m x + m x = 0 на всей длине l (см.

рис. 4.23, в).

Эпюры Qy и M z находятся в строгом соответствии с дифференциальными зависимостями (4.3).

П р и м е р 11 (рис. 4.24)

Построить эпюры Qy и M z для консольной балки, загруженной

равномернораспределеннымимоментами, интенсивностьюm Нмм .

Qy = 0 ;

M z = m x ,
при x = 0	M z = 0 ,
при x = l	M z = ml .

181

Эпюры Qy и M z представлены соответственно на рис. 4.24, б и 4.24, в и находятся в строгом соответствии с (4.3). Так, M z =

x

= ∫(Qy + m)dx = m x , так как Qy = 0

0

П р и м е р 12

Построить эпюры Qy и M z для балки, изображенной на рис. 4.25.

Iоперация. Составление расчетной схемы (см. рис. 4.25, а). II операция. Определение опорных реакций. Составим урав-

нения равновесия:

∑X = 0 H A = 0 ;

∑mB = 0 RA l + m l − m l = 0 RA = 0 ;

∑mA = 0 − RB l − m l + m l = 0 RB = 0 .

Выносим значение реакций на расчетную схему.

Рис. 4.25

Рис. 4.26

III операция. Составление выражений для Qy и построение эпюр Qy .

Qy (x1 ) = 0 , Qy (x2 ) = 0 .

182

Эпюра Qy представлена на рис. 4.25, б.

IV операция. Составление выражений для M z и построение

эпюры M z .

M z (x1 ) = m x1 ; при x1 = 0 , M z = 0 ; при x1 = l , M z = ml ; M z (x2 ) = m x2 ; при x2 = 0 , M z = 0 ; при x2 = l , M z = ml .

Эпюра M z представлена на рис. 4.25, в.

4.1.5. Условия «обратных» задач на построение эпюр Qy , M z

Под «обратными» задачами понимают задачи, в которых по заданным эпюрам Qy , M z необходимо найти вид нагрузок на балку,

их величину, устройство опор балки.

Задача 4.1. Для однопролетной балки с правой консолью по заданной эпюре M z (рис. 4.26) изобразить нагрузку, определить

опорные реакции и построить эпюру Qy .

Задача 4.2. Для однопролетной балки с правой и левой консолью по заданной эпюре M z (рис.4.28) изобразить нагрузки, опре-

делить реакции опор и построить эпюру Qy . Все кривые, ограничивающие эпюру M z , – квадратные параболы.

Рис.4.27

183

Рис. 4.28

Рис. 4.29

Рис. 4.30

Задача 4.3. Для однопролетных балок по заданным эпюрам Qy и M z (рис. 4.28, 4.29 и 4.30) восстановить нагрузку на балки и определить опорные реакции.

Задача 4.4. Для однопролетной балки по заданной эпюре Qy

(рис. 4.31) воспроизвести нагрузку и эпюру изгибающих моментов, если известно, что сосредоточенная сила и распределенная моментная нагрузка в пролете отсутствует, на левой опоре изгибаю-

184

щий момент равен нулю. Эпюра Qy ограничена квадратной параболой.

Рис. 4.31

4.1.6.Решения, указания, ответы

4.1.Так как эпюра M z (см. рис. 4.26) ограничена прямыми линиями, то, следовательно, на балке отсутствует распределенная нагрузка. На эпюре M z отсутствуют скачки, что свидетельствует об

отсутствии сосредоточенных внешних моментов. Таким образом, балка загружена только сосредоточенными силами. В соответствии с направлением острия изломов на эпюре M z изобразим сосредо-

точенные силы, действующие на балку (рис. 4.32, а). Реакция H A = 0 , так как действуют только вертикальные силы ( ∑X = 0 !).

Значение реакции RA найдем из выражения изгибающего момента в сечении С:

M z (C) = RA 1,2 = 25 кН м RA = 20,85 кН.

Составляя выражения для M z других сечений, найдем и другие сосредоточенные силы:

M z (B) = −P2 0,6 = −25 кН м P2 = 41,7 кН,

M zправ(K ) = −P2 1,2 + RB 0,6 = 0 RB =83,4 кН, M zлев(K ) = RA 1,8 − P1 0,6 = 0 P1 = 62,55 кН.

185

Рис. 4.32

Проверка:

∑Y = 0 RA − P1 + RB − P2 = 0 , 0 ≡ 0 .

Эпюра Qy изображена на рис. 4.32, б.

4.2. В сечении D на эпюре M z (см. рис. 4.22) имеется скачек, что свидетельствует о наличии в этом сечении сосредоточенного момента M =80 кН м. Направление момента легко определить, просматривая балку, например, справа налево: от значения M z = = −80 кН м в сечении D происходит скачек до значения M z = 0 ,

т.е. прибавляется положительное значение изгибающего момента, а это положительное значение может дать сосредоточенный момент М, направленный против часовой стрелки, тогда балка, прилегающая к сечению D слева будет изгибаться вогнутостью вверх («вода не сливается»!). На эпюре M z в сечении В имеется излом, острие

которого направлено вниз, следовательно, в этом сечении действует сосредоточенная сила – реакция опоры RB , направленная вверх;

в сечении D имеется излом, острие которого направлено вверх, следовательно, в сечении D действует сосредоточенная сила – реакция опоры RD , направленная вниз. Для того, чтобы снять сомне-

ния в направлении острия излома в сечении D, необходимо мысленно избавиться от скачка на эпюре, равного 80 кН м, т.е. свести

186

пересечение касательных под углом βправD и βлевD в одну точку, и тогда будет очевидно, что так как βлевD >βправD , острие излома на-

правлено вверх; в сечении К острие направлено вверх и, следовательно, в этом сечении действует сосредоточенная сила Р, направленная вниз (рис. 4.33, а).

На участке АВ действует равномерно распределенная нагрузка интенсивностью q1 < 0 (направлена вниз), аналогично на участке

ВС действует q2 < 0 , а на участке CD действует равномерно распределенная нагрузка интенсивностью q3 > 0 (направлено вверх).

Значение силы Р найдем, записав выражение для изгибающего момента в сечении D при просмотре балки справа налево:

M z (D) = −P 2 = −80 кН м P = 40 кН.

При просмотре балки справа налево запишем выражения для изгибающих моментов в сечении 2 − 2 и С:

M z (2 − 2) = −P 5 + M − RD 3 + q3 3

3

= −90 кН м,

(1)

2

6

M z (C) = −P 8 + M − RD

6 + q3 6

= 0 .

(2)

2

Решая

совместно

(1) и (2),

получим,

что RD = 20 кН,

q3 = 20

кН

.

м

в сечении В (при просмотре балки слева

Из выражения для M z

направо):

M

z

(B) = −q 2

2

= −80 кН м, получим, что q = 40

кН

.

1

2

1

м

Решив совместно уравнения (3) и (4), получим значения q2 , RB :

M

z

(1

−1) = −q 2(1

+

2,5) + R

B

2,5 − q

2

2,5

2,5

= 45 кН м,

1

2

M

z

(C) = −q 2(1 + 4) + R

B

4 − q

2

4

4

= 0 ,

1

2

кН

откуда q2

= 20

, RB =180 кН.

м

187

Нагрузки на балку показаны на рис. 4.33, а, а эпюра Qy изображена на рис. 4.33, б.

Рис. 4.33

4.3 (к рис. 4.28). Из вида эпюры Qy следует, что в сечении А (на левой опоре) действует сосредоточенная сила – реакция RA = Z2 и

направленная вниз, а в сечении В (на правой опоре) реакция

RB = Z2 и направленная вверх (рис. 4.34).

На пролете АВ отсутствуют сосредоточенные силы (нет скачков на эпюре Qy ), распределенная нагрузка q = dQdxy = 0 , так как Qy = = const , сосредоточенные моменты (нет скачков на эпюре M z ).

188

На участке ВС, при просмотре балки справа налево,										M z возрас-
тает		за	счет			действия только		реакции	RB ,	так	как
RB	l	= M z (C) =				Z l	.
						4
2
На участке АС реакция RA создает отрицательный изгибающий
момент			величиной, в сечении с					абсциссой	х, равной		M z =
= −RA x = −				Z	x ,	но в действительности на участке АС изгибаю-
			2

щий момент линейно возрастает, что следует из эпюры M z (см.

рис. 4.28). Учитывая вышесказанное, на участке АС должна действовать равномерно распределенная моментная нагрузка интенсив-

ностью m

Н м

, направленная по часовой стрелке, т.е. создаю-

м

щая положительный изгибающий момент

M z , которая вместе с

реакцией RA должна дать в сечении С M z (C) = Z l / 4 , т.е.

M z (C)

= Z − RA

l

+ m

l

= −

Z

l

+ m

l

=

Zl

,

2

2

2

2

2

4

откуда Z = m (см. рис. 4.34).

Рис. 4.34

4.3 (к рис. 4.29). Проведя аналогичные к решению 4.3 (к рис. 4.28) рассуждения, получим, что к балке приложена равномерно распределенная моментная нагрузка интенсивностью m ( Z = m ), как показано на рис. 4.35.

189

Рис. 4.35

4.3 (к рис. 4.30). Из эпюры Qy следует, что на опоре А действует реакция RA = 2 кН, направленная вниз, а на опоре В – реакция RB = 2 кН, направленная вверх.

На крайних шарнирных опорах А и В приложены сосредоточенные моменты, равные M1 = M 2 = M = 3 кН·м, которые приложены

так, что создают положительные изгибающие моменты M z на пролете АВ, т.е. M1 направлен по часовой стрелке, а M 2 – против часовой стрелки (рис. 4.36).

Рис. 4.36

На пролете АВ отсутствуют сосредоточенные силы, сосредото-

ченные моменты, распределенная нагрузка.
Моменты	M1 и M 2	дают постоянное значение M z	= 3 кН·м.
Реакция же,	например,	RA = 2 кН дает переменный	момент

M *z = −RA x ; чтобы уравновесить этот момент, т.е. его действие

190