Исаченко Сопротивление материалов ч.1 2010

Рис. 6.29

Вариант

2.

Вместе контакта при

ρ

=

d

,

ρ

=

d

,

τс

τм

с

2

м

2

γ

с

= γ

м

=

=

, откуда в месте контакта τ

с

= 2τ

м

, что и показа-

G

G

c

м

но на эпюре τ (рис. 6.29).

Рис. 6.30

6.6. Запишем условие прочности для любого поперечного сечения, лежащего на расстоянии x от правового торца (рис. 6.30):

τxt(max) =

M x

≤[τ] ,

Wp (x)

тогда

M x =Wp (x)[τ] ,

M0 =Wp (0)[τ] ,

где Wp (x) =

πd3 (x)

≈ 0, 2d3 (x) , Wp (0) ≈ 0, 2d03 ,

16

M0

m

mx

M x = M0 + mx , откуда d3 (x) =

+

x = d03

+

.

0, 2[τ]

0,2[τ]

0, 2[τ]

281

6.7. Представим расчетную схему для трубки (рис. 6.31) и для стержня (рис. 6.32). Уравнение равновесия для трубки:

∑mx = 0 , −M Aт + M − M Dт	= 0 ,	(1)
а для стержня:
∑mx = 0 , −M Ac + M Dc − M Kc	= 0 .	(2)

Рис. 6.31

Рис. 6.32

С учетом того, что M Dт = M Dc , задача 2 раза статически неопределимая (имеем два уравнения и четыре неизвестных).

Дополнительные уравнения будут:
ϕтD = ϕcD ;	(3)
ϕcK = ϕcK (M Dc ) + ϕcK (M Kc ) = 0 .	(4)

Уравнения (1) – (4) дают возможность определить все моменты, а

следовательно, и крутящие моменты M x , найти M xт(max) ,									M xc(max) ,
	(τmax )c			M c	W т
после чего определить		=		x(max) p		.
	(τmax )т
			Wpc M xт(max)
					6.8. Покажем			направление
				моментов в				заделке	A, С
				(рис. 6.33, а),			откуда		следует,

что на участке AB	M x > 0 , на
участке BC – M x < 0 .
Построим эпюру углов за-
кручивания (рис. 6.33, б).			D
Согласно (6.7) γ	AB	l = ϕ
			0 2

Рис. 6.33

282

и γBC 2l = ϕ0 D2 – для сечения B; тогда γAB = ϕ0 2Dl , γBC = ϕ0 4Dl ,

τmaxAB = γABG = 2 !

τmaxBC γBCG

6.9. Согласно формулам (6.4) и (6.5) и указания I на гранях элемента будут действовать напряжения, как показано на рис. 6.34,

	τxt = τ =	σn	направлено против часовой стрелки, следовательно,
		sin 2α
	на участке l1		M x < 0 , тогда и момент в левой заделке должен

быть направлен против часовой стрелки (рис. 6.35), чем и определяется направление моментов M и M K .

Рис. 6.34

Рис. 6.35

Так как

d

M x ρ( A)

Ms

σ

2

n

τxt ( A) =

1

=

=

найдем M,

J p

π(2d)4

−

πd 4

sin 2α

32

32

Связь между Ms и M установим из условия, что

ϕs

=

M sl

+

Msl

−

Ml

= 0 ,

(*)

GJ ′p

GJ p

GJ ′p

где J p – полярный момент инерции на участке l1 ; J ′p

– полярный

момент инерции на участке l2 .

Из (*) найдем значение M.

6.10. Вариант 1. 1. После удаления моментов в трубке (т) и валике (в) возникнут крутящие моменты

283

Mт = Mв ,

(1)

так как система сохранит равновесие!

2. После приваривания трубки и удаления моментов M, сумма углов закручивания трубки и валика будет равна углу закручивания трубки от момента M, т.е.

Ml

=

Mвl

+

M тl

.

(2)

GJ вp

GJ вp

GJ pт

3. Из (1) и (2) получим

Mт

= Mв =

M

,

1 +

J вp

πd3

πD3δ

J pт

в

т

.

Определим максимальное касательное

где J p =

,

J p =

4

32

M xρmax

напряжение по формуле τmax =

.

J p

Вариант 2. Потенциальная энергия стержня (валика – в) с вы-

		M 2l
	ступами при приложении момента M0 до приварки: U =	0	.
		2GJ вp

Потенциальная энергия системы после приварки трубки (т) (при этом M0 уменьшается на М), а Mв = M т = M , будет равна:

Uсистемы =

(M

0

− M )2 l

+

M 2l

.

2GJ вp

2GJ pт

На основании теоремы

о

минимуме

потенциальной энергии

(теорема о наименьшей работе):

dU

системы

d

(M 2

− 2M

0

M + M 2 )l

M 2l

=

0

+

=

dM

dM

2GJ в

2GJ т

p

p

= −

M0l

+

Ml

+

Ml

= 0 ,

GJ pт

GJ вp

GJ вp

откуда M = Mв = M т

=

M0

.

J

1

+

вp

J pт

284

6.11. 1. Цилиндрической поверхностью с осью х сделаем сечение в плите (радиус цилиндра ρ!). В сечении будут действовать только τ (рис. 6.36). Уравнение равновесия будет:

∑mx = 0 ; −M + τ 2πρ h ρ = 0 τ =

M

.

2πρ2 h

2.

Тогда

τ2

∞

M 2

M 2

U = ∫

dv = ∫

2πρ h dρ =

.

(2πρ2h)2 2G

v 2G

r

4πhr2G

3.

Работа

M ϕ

M

A =

=U , откуда ϕ =

.

2

2πhr2G

Рис. 6.36

Рис. 6.37

6.12. 1. Расчетная схема представлена на рис. 6.37.

2. Тогда уравнение равновесия будет:

∑x = 0 , −RA + P − Rc = 0 ,

(1)

т.е. задача один раз статически неопределимая.

3. Дополнительное уравнение имеет вид

λ

AB

=

λ

BC

=

8D3 n

R

A

=

8D3 2n

R ,

(2)

Gd 4

Gd 4

B

и с учетом (1) определим RA и RB .

R(max) D 8

4. По формуле (6.18) найдем τmax =

, а смещение се-

π d3

чения B будет λ

B

= λAB

R

A

, или λ

B

= λBC R .

0

0

C

285

Рис. 6.38

6.13. 1. Из силовой и деформационной схемы (рис. 6.38) будем иметь:

∑mA = 0 , Q 3a − P3 3a − P2 2a − P1 a = 0 ,

(1)

λ1

=

λ2

=

λ3

3a

a

2a

8D3

n

или, подставляя значения λ

i

=

i

P , получим

Gdi4

i

P3

81

P1

=

96

P2

=125

.

(2)

d 4

d

4

d 4

1

2

3

2. По условию равнопрочности τmax(1) = τmax(2) = τmax(3) =[τ] , где

τmax(i) =	Pi Di 8	, будем иметь
	π di3						P3
			P1		P2
		3		= 4		= 5		.	(3)
			d3		d3
							d3
		1		2		3

3. Возведем (2) в третью, а (3) в четвертую степень и разделим одно на другое (таким образом, избавимся от di !) и получим

				(5)
(3)	4	P =	(4)4	P =	(5)4	P ,
(81)3		1	(96)3	2	(125)3	2

(4)

т.е. получим два дополнительных уравнения (4) и (5).

4. Решая совместно (1), (4), (5), найдем P1 , P2 , P3 . Из условия

	прочности для каждой пружины τmax =	Pi Di 8	≤[τ] найдем di !
		πdi3
	286

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

(жирным шрифтом выделена рекомендуемая литература)

1.Аксельрод Э.Р., Бернацкий С.А., Возлинский В.И. и др. Методические указания к решению задач по сопротивлению материалов для подготовки к студенческим олимпиадам. – Ч. 1. – М.:

МАДИ, 1983. – 64 с.

2.Ахметзянов М.Х., Геронимус В.Б., Грес П.В. и др. Сборник олимпиадных задач по сопротивлению материалов. – Новосибирск:

СГАПС, 1995.

3.Беляев Н.М. Сборник задач по сопротивлению материа-

лов. – М.: ГИТТЛ, 1956. – 347 с.

4.Беляев Н.М. Сопротивление материалов. – М.: Наука, 1976. – 608 с.

5.Бидерман Т.В., Боровникова Н.Н. Методические указания к

решению задач Всероссийской олимпиады по сопротивлению материалов. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1997. – 12 с.

6.Варданян Г.С., Андреев В.И., Атаров Н.М., Горшков А.А. Сопротивление материалов с основами теории упругости и пластичности / Под ред. Г.С. Варданяна. – М.: Ассоциация строительных вузов, 1995. – 568 с.

7.Всероссийская студенческая олимпиада по сопротивлению ма-

териалов в НГТУ г. Новочеркасска / Сост. Р.К. Вафин, 1997. – 1 с.

8.Исаченко В.В. Статически неопределимые задачи при растя- жении-сжатии. – М.: МИФИ, 2003. – 68 с.

9.Исаченко В.В. Учебно-методическое пособие для решения задач студенческих олимпиад по сопротивлению материалов. –

Ч. 1 – 4. – М.: МИФИ. Ч. 1. 1998; Ч. 2. 2000; Ч. 3. 2000; Ч. 4. 2001.

10.Исаченко В.В., Мартиросов М.И., Щербаков В.И. Учебное пособие по решению конкурсных задач по сопротивлению материалов / Под ред. В.В. Исаченко. – Изд. 2-е, испр. и доп. –

М.: МИФИ, 2006. – 248 с.

11.Итоги и задачи внутривузовских, областных и региональных олимпиад по сопротивлению материалов. Методическая разработка / Сост. Ю.В. Глявин, Н.А. Ильичев. – Горький: ГПИ, 1990. – 44 с.

287

12.Клюева Г.П., Сосновский Е.В. Методические указания к решению задач Всероссийской олимпиады по сопротивлению материалов/ Подред. Д.Н. Спицыной. – М.: МГТУим. Н.Э. Баумана, 1992.

13.Нестандартные задачи по сопротивлению материалов. Учебное пособие. – В 2-х ч. – Ч. 1 / Сост. Ю.В. Глявин, Н.А. Ильичев и др. – Самара: НПЦ «Авиатор», 1995. – 170 с.

14.Нестандартные задачи по сопротивлению материалов. Учебное пособие. – В 2-х ч. – Ч. 2 / Сост. Ю.В. Глявин, Н.А. Ильичев и др. – Самара: НПЦ «Авиатор», 1996. – 60 с.

15.Окопный Ю.А., Радин В.П., Хроматов В.Р и др. Механика материалов и конструкций. Справочные материалы / Под ред. В.П. Чиркова. – М.: изд-во МЭИ, 2005. – 124 с.

16.Олимпиады по сопротивлению материалов. Сборник зада-

ний / Сост. Д.Ф. Бибиков. – Йошкар-Ола: МарПИ, 1987. – 40 с.

17.Писаренко Г.С., Яковлев А.П., Матвеев В.В. Справочник по сопротивлениюматериалов. – Киев: НауковаДумка, 1988. – 725 с.

18.Пособие к решению задач по сопротивлению материалу. – М.: Высшая школа, 1985.

19.Предметные олимпиады. Организация и задачи / Сост. Ю.В. Глявин, Н.А. Ильичев и др. – Горький: ГПИ, 1986. – 104 с.

20.Феодосьев В.И. Избранные задачи и вопросы по сопротивлению материалов. – М.: Наука, 1973.

21.Феодосьев В.И. Сопротивление материалов. – М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2000. – 592 с.

22.Щербаков В.И., Мартиросов М.И. Московские городские

олимпиады по сопротивлению материалов (1992 – 1998 гг.). Задачи, решения и итоги. – М.: МГТУ «МАМИ», МГАИ (ТУ), 1998.

______________________

Редактор и технический редактор М.В. Макарова

Подписано в печать 23.03.2010. Формат 60х84 1/16

Уч.-изд.л. 18,0. Печ.л. 18,0. Тираж 500 экз.

Изд. № 098-1. Заказ № 114

Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ». Типография НИЯУ МИФИ.

115409, Москва, Каширское ш., 31

288