Исаченко Сопротивление материалов ч.1 2010

Работа пары сил будет равна:

A 1 =

1

M θK1

=

Ml 2

,

A

2 =

1

M θK2

=

Ml 2

.

2

2EJ z

2

3EJ z

5.11. Определимся с расчетными схемами для первого и второго варианта нагружения (см. рис. 5.28).

Рис. 5.40

В первом варианте, так как плиту считаем абсолютно жесткой, а балка под действием нагрузки прогибается по симметричной кривой, то, следовательно, весь вес плиты будет передаваться на балку через сечения D и E (рис. 5.40, а). На рис. 5.40, б представлена расчетная схема для второго случая нагружения.

Для решения задачи воспользуемся способом Верещагина, для чего построим эпюры изгибающего момента для первого и второго

261

варианта нагружения (рис. 5.40, в, г); изобразим единичную систему (рис. 5.40, д), которая будет одинакова для обоих случаев; построим эпюру изгибающего момента для единичной системы

(рис. 5.40, е).

Из сравнения грузовых эпюр следует, что во втором варианте эпюра отличается только площадью ω (густая вертикальная штриховка). «Перемножение» этой площади и эпюры от единичного

усилия P0 =1 и даст величину, на которую отличается прогиб второго варианта нагружения от первого.

ω

2

2

1

1

13

13 Gl3

M

c

f =

=

Gl l

l

=

.

EJ z

4

2

8

48 EJ z

EJ z 3

5.12. Решение

задачи

выполним способом

Верещагина. На

рис. 5.41, а изображена расчетная схема, на рис. 5.41, б – грузовая эпюра, на рис. 5.41, в – единичная система, на рис. 5.41, г – эпюра

изгибающего момента M z для единичной системы.

Для «перемножения» эпюр воспользуемся формулой (5.18). «Перемножение» произведем для эпюр M z только на участке АС

балки (густая вертикальная штриховка), а затем увеличим результат на два (учет «перемножения» на участке СВ).

= L6 (2ac + 2bd + ad + bc) =

	x		3							1															1
=		2 P			x − Pl									x			+[− P(l						− x)]				x	=
	6		2																							2
										2
						=	1		Px3					−		1		Plx2 .
							3								4
Тогда прогиб сечения С будет равен
		yC			=	2		=				P					2		x	3	−	1	lx	2
																									.
						EJ z					EJ z						3					2
Приравнивая yC = 0 , найдем															3
										x0 =							l .
															4

262

Рис. 5.41

263

Тема 6

КРУЧЕНИЕ

6.1. Основные положения

Кручением называется деформация, вызванная взаимно уравновешенными парами сил, лежащими в плоскостях поперечных сечений бруса (стержня).

Брус, испытывающий кручение, принято называть валом.

При кручении в поперечном сечении вала возникает только один внутренний силовой фактор – крутящий момент M x .

Рассмотрим вал под действием двух скручивающих (внешних) моментов (рис. 6.1, а). Расчетная схема вала представлена на рис. 6.1, б.

Рис. 6.1

Рис. 6.2

В любом поперечном сечении крутящий момент равен алгебраической сумме внешних моментов, лежащих по одну сторону от сечения. За положительный крутящий момент будем считать момент, действующий против часовой стрелки при взгляде со стороны внешней нормали к сечению. Мысленно рассечем вал по сечению I − I (рис. 6.2). Из анализа рис. 6.2 следует, что скручивающий (внешний) момент, действующий по часовой стрелке (при

264

взгляде со стороны внешней нормали к рассматриваемому сечению) в выражении M x даст положительное слагаемое, и, наоборот, скручивающий момент, действующий против часовой стрелки – дает в выражении M x отрицательное слагаемое. Таким образом, в сечении I − I M x = M . Эпюра M x показана на рис. 6.1, в.

6.2.Кручение валов круглого поперечного сечения

6.2.1.Напряжения

Под действием крутящего момента M x в поперечном сечении

вала возникают касательные напряжения, перпендикулярные к радиусам, определяемые по формуле:

τxt =	M x ρ	.	(6.1)
	J p
Первый индекс у τ – адрес, т.е. указы-
вает на какой площадке (площадке с
нормалью х!) действует касательное
напряжение; второй индекс – направ-
ление, по которому оно действует;
ось t в каждой точке перпендикулярна
к радиусу. В формуле ρ – полярная
координата точки поперечного сече-
ния. Из формулы (6.1) видно, что τxt
в сечении изменяется по линейному
закону. Эпюра τxt представлена на			Рис. 6.3

рис. 6.3,

τxt(max) =		M x ρmax					=	M x	,	(6.2)
			J p					Wp
где ρmax = r , полярный момент сопротивления
Wp =	J p			πr	3		πd3
			=		=		.
	ρmax			2
							16

265

Условие прочности имеет вид

	τxt(max) =	M x(max) ρmax	=	M x(max)	≤[τ] ,	(6.3)
		J p		Wp

с помощью которого производим проверочный, проектировочный расчет и расчет грузоподвешности.

Выделим внутри вала элементарный объемный элемент с размерами dr, ds, dx (рис. 6.4, а); по боковым граням его действуют только касательные напряжения, определяемые формулой (6.1).

Рис. 6.4

Элементарный объем находится в условиях чистого сдвига (см. тему 2, разд. 2.1, рис. 2.5 и 2.6). На рис. 6.4, в представлено эквивалентное чистому сдвигу напряженное состояние: по главной диагонали касательных напряжений действует растягивающее σ1 = τ,

а по направлению вспомогательной диагонали – сжимающее

σ3 = τ .

Примем следующее правило знаков для касательных напряжений. Положительный крутящий момент M x > 0 вызывает в поперечном сечении вала положительные касательные напряжения τxt > 0 , т.е. такие касательные напряжения, которые стремятся повернуть элементарный объем по часовой стрелке. Тогда τtx = τ < 0 (рис. 6.4, б), так как стремятся повернуть элементарный

объем против часовой стрелки.

Введение вышеприведенного правила знаков необходимо для использования формул, начиная с (2.6) и далее темы 2, и настоящей темы 6.

266

Выделим в элементарном объеме площадку общего положения, определяемую нормалью

n и углом α = xn , где х – ось
параллельная оси х вала. На-
помним, что угол α > 0 откла-
дывается против часовой стрел-
ки, а α < 0 – по часовой стрелке	Рис. 6.5

(рис. 6.5).
Напряжения на площадке общего положения будут:
σn = −τxt sin α ,	(6.4)
τ′nt = τxt cos 2α,	(6.5)

где τxt – напряжения, действующие в поперечном сечении вала.

Указание I. Если нормаль n находится в пределах угла ±45° от главной диагонали, то σn растягивающее, т.е. направлена от пло-

щадки, а если нормаль лежит в пределах угла ±45° от вспомогательной диагонали – σn сжимающее, т.е. направлено к площадке общего положения, как показано на рис. 6.5.

Указание II. Возле угла β > 45° направление τ′nt определяется аналогично закону парности касательных напряжений, но по отно-

шению к τtx (см. рис. 6.5).

Указания I, II строго соответствуют знакам формул (6.4) и (6.5).

6.3.1. Деформации. Условие жесткости

Связь между напряжениями и деформациями устанавливается законом Гука для сдвига

	τxt = γxtG ,	E	(6.6)
	где γxt – угол сдвига, модуль сдвига G =		. Связь между уг-
		2(1 +μ)
	лом сдвига и углом закручивания ϕ определяется из выражения:
	γdx = ρdϕ,		(6.7)

что следует из рис. 6.6. Здесь γ – угол сдвига; ϕ – угол закручивания.

267

Рис. 6.6

Следует иметь в виду, что формула (6.7) справедлива и при конечных размерах (см. задачу 6.8).

Угол закручивания (угол поворота одного сечения по отношению к другому) определяется по формуле:

			ϕ =			M xl		,			(6.8)
						GJ p
тогда относительный угол закручивания будет
	Θ =	ϕ =			dϕ		=		M x	,	(6.9)
			l		dx				GJ p
откуда γ = dϕ	ρ = Θρ, а τ = ΘρG ;						крутящий момент определится
dx
по формуле:	M x = ΘJ pG .										(6.10)
Из (6.9) имеем, что			dϕ
				= cM x ,							(6.11)
			dx

где c = GJ1 p . Тогда (6.11) можно использовать для проверки соот-

ветствия эпюры M x и эпюры ϕ, так как ddxϕ = cM x = tgΨ , т.е. тан-

генсу угла наклона касательной к функции ϕ. Так же как при рас- тяжении-сжатии, изгибе, для определения перемещений (угла закручивания ϕ) может быть использован интеграл Мора и его графоаналитическое решение по способу Верещагина (см. задачи 6.2).

Валы, работающие на кручение и испытывающие большие углы закручивания, в связи с возможностью возникновения нежелательных крутильных колебаний, должны проверяться и по условию жесткости:

268

ϕ	0	=	M x(max)l0 57,3						≤[ϕ] ,	(6.12)
			GJ p
где [ϕ] имеет размерность град./м,						l0 =1 м независимо от длины
вала.
6.2.3. Работа и потенциальная энергия деформации
Работа определяется формулой
			A =		M ϕ		,			(6.13)
				2
потенциальная энергия деформации
				M 2dx
			U = ∫		x			,		(6.14)
					2GJ p
			l
а через удельную потенциальную энергию деформации
			U = ∫udv ,							(6.15)
				v
где			u =		τ2	.				(6.16)
					2G

Работа численно равна потенциальной энергии деформации, т.е.

A =U .

6.3. Кручение брусьев некруглого поперечного сечения

При кручении таких брусов нарушается гипотеза плоских сечений, происходит депланация сечений. Распределение касательных напряжений в сечении существенно отличается от распределения в брусьях круглого поперечного сечения. На рис. 6.7 показана эпюра τ для бруса прямоугольного поперечного сечения. В этом случае используются следующие формулы:

		M x			′
τmax =				;
		Wк			τmax = γ* τmax ;
					(6.17)
	M xl
ϕ =			,
	GJк

где Jк = βhb3 , Wк = αhb2 .

269

Рис. 6.7

Коэффициенты α, β, γ*, как правило, приводятся во всех учебниках и справочниках по сопротивлению материалов.

6.4. Статически неопределимые задачи при кручении

Решение задач аналогично решению методом сил для статически неопределимых задач при растяжении-сжатии (см. тему 1, разд. 1.2.1). Отличие заключается в том, что отбрасывая «лишнюю» связь и заменяя ее «лишним» неизвестным скручивающим моментом, составляем дополнительное уравнение в виде равенства нулю угла закручивания в сечении «лишней» неизвестной (см. задачу 6.7).

6.5.К расчету винтовых цилиндрических пружин

смалым шагом витка

Впоперечном сечении витка пружины возникают два внутренних силовых фактора: крутящий момент и сила сдвига; вклад последней настолько незначителен, что ею пренебрегают, и расчет пружин ведут, исходя только из крутящего момента (рис. 6.8). Так, напряжения определяют по формуле

	τmax		=	Mкр		=	P D 8		,	(6.18)
				Wp			π d3
	где Mкр = P	D	, Wp =			πd3		.
Рис. 6.8		2				16
		270