Исаченко Сопротивление материалов ч.1 2010

Рис. 5.11

На рис. 5.11 представлены наиболее часто встречающиеся эпюры, ограниченные квадратной и кубической параболой, а на рис. 5.12 показана трансформация эпюр сложной формы, при действии равномерно распределенной нагрузки интенсивностью q = const, ограниченных квадратными параболами.

В случае если обе эпюры (грузовая и единичная) ограничены прямыми неломаными линиями, то операция «перемножения» этих эпюр обладает свойством коммутативности, т.е. безразлично, умножается ли площадь первой эпюры на ординату второй или площадь второй – на ординату первой.

При «перемножении» эпюр, лежащих по одну сторону от базовой линии (эпюры изгибающих моментов одного и того же знака), получаем знак «+» (плюс), а эпюр, лежащих по разные стороны, – знак «–» (минус) в результате.

Результат «перемножения» двух эпюр в виде трапеций, «перекрученных» трапеций, треугольников (рис. 5.13) можно получить по следующей формуле:

	= ∑ωi		ci =	L	(2ac + 2bd + ad + bc) ,	(5.18)
		M
				6

при этом ординаты а, b, с, d берутся со своим знаком по отношению к базовой линии (ординаты над базовой линией имеют знак «+», а под базовой линией – «–»).

231

Рис. 5.12

Рис. 5.13

Для «перемножения» эпюр, одна из которых ограничена квадратной параболой, а другая – прямой (рис. 5.14), можно воспользоваться и формулой Симпсона – Корноухова:

	=	L	(ac + 4Hh + bd) ;	(5.19)
		6
			232

для этого случая можно воспользоваться и приемом расслоения эпюр по всей длине балки, который приведен в примере 8.

Рис. 5.14

П р и м е р 7

Для балки (см. рис. 5.9, а) определить способом Верещагина прогибы в сечениях С и D, угол поворота сечения D, изобразить изогнутую ось балки.

I операция. Изображение расчетной схемы (рис. 5.15, а).

IIоперация. Определение опорных реакций (см. операцию II

впримере 6).

IIIоперация. Построение эпюры изгибающих моментов M z

(грузовой эпюры!). Эпюра приведена на рис. 5.15, б. Рассмотрим подробно определение прогиба yD .

IV операция. Изображение единичной системы (рис. 5.15, в).

Для определения прогиба в сечении D загрузим это сечение еди-

ничной силой P0 =1, направленной вниз.

V операция. Определение опорных реакций для единичной сис-

темы. Используя уравнение равновесия в виде ∑X = 0 , ∑mB = 0 ,

233

∑mA = 0 , найдем H A = 0 , RA =1,5 , RB = 12 . Проверку правильно-

стиопределенияреакцийвыполним, составивуравнениевида ∑Y = 0 .

VI операция. Построение эпюры изгибающего момента для единичной системы (рис. 5.15, г).

VII операция. Найдем yD с помощью формулы (5.17):

		y			=			1				(ω							+ ω											+ ω									+ ω										) =
			D											M		c							2		M		c								3		M	c			4		M				c
								EJ z			1																		2
																	1																					3								4
	1								qa	2													qa			2					1										1					1
		1										3																																				qa2
=												a				a				−									a						1,5a				−												a	×
	EJ z				3			2					4											2																	2					4
																														2
				1						1					1					3		qa 2									1				2					11						qa 4
		×					a +					a	−													a											a		= −											.
				2						3							2			4											2				3					24						24

Для «перемножения» эпюр на участке АС можно воспользоваться и формулой (5.18):

							AC =
										ω2M				c	+ ω3Mc					=
														2				3
=	a		2		qa2	(−a) + 2	3	qa	2		−	1			+	qa2			−	1		+	3	qa	2		=
	6				2		4					2		a		2				2	a		4			(−a)

= −1124 qa4 .

Знак «–» в результате вычисления yD свидетельствует о том, что прогиб направлен вверх, в сторону, противоположную направ-

лению P0 =1 в сечении D.

На рис. 5.15, д показана единичная система для определения

прогиба yC ,								а на рис. 5.15, е приведена эпюра изгибающего мо-
мента				z		для этой единичной системы. Прогиб yC получим «пе-
		M
ремножив» грузовую эпюру M z																			с эпюрой рис. 5.15, е:
	1					qa		2		1		a		1		qa2						1			2		1		3qa	2		1		2
yC =									a				+						a							a +					a				a	=
	EJ									2		2		2			4					2			3		2		4			2		3
			z			2
																=		7			qa4			.
																		24 EJ z

234

Рис. 5.15

235

На рис. 5.15, ж показана единичная система для определения угла поворота θD , а на рис. 5.15, з приведена эпюра изгибающего

момента M z для этой единичной системы.

Угол поворота θD получим, «перемножив» грузовую эпюру M z с эпюрой рис.6.15, з:

	1		1			qa	2						qa	2				1				3			1		qa		2			1		1
θD =									a 1 −						a								a −							a			a +		a	−
	EJ z		3			2							2				2a					2			2		4							3
																																2a
						−			1		3	qa2 a				1			2			a		= −	10 qa3
																															.
									2		4					2a			3
																									24 EJ z

Знак «–» (минус) в результате вычисления θD свидетельствует о том, что угол поворота сечения D происходит по часовой стрелке,

т.е. в сторону, противоположную направлению M 0 =1 .

На рис. 5.15, и штриховой линией изображена изогнутая ось балки. Здесь на участке DA эпюра M z отрицательна, следователь-

но, кривизна ρ1 < 0 , а на участке АВ кривизна ρ1 > 0 , так как эпюра

M z имеет положительный знак.

П р и м е р 8

Для балки (рис. 5.16, а) определить способом Верещагина угол поворота сечения D.

Вариант первый

I операция. Составление расчетной схемы (см. рис. 5.16, а). II операция. Определение опорных реакций. Используя урав-

нения равновесия в виде ∑X = 0 , ∑mB = 0 , ∑mA = 0 , найдем,

что H A = 0 , RA = 43 ql , RD = 23 ql . Для проверки можно восполь-

зоваться уравнением вида ∑Y = 0 .

III операция. Построение эпюры изгибающего момента

(рис. 5.16, б).

236

Рис. 5.16

237

IV операция. Изображение единичной системы (рис. 5.16, в).

Здесь балка загружена только единичным сосредоточенным мо-

ментом M 0 =1 , приложенным в том сечении (сечение D!), угол поворота которого определяется.

V операция. Определение опорных реакций для единичной системы. Значение реакций приведено на рис. 5.16, в.

VI операция. Построение эпюры изгибающего момента для единичной системы (рис. 5.16, г).

VII операция. Определение θD способом Верещагина:

			θ					=		1						(ω									+ ω									+ ω												) ;
						D													M			c				2		M	c										3			M		c
											EJ z				1
																							1						2															3
																1				4									1								2									2
		AB		= ω M								c		=										ql 2 l																l			=						ql3 .
								1								2 3											6l											3 27
													1
Рассмотрим определение																								BC = ω2										c				двумя способами. По
																															M				2
формуле (5.19):
		2l		4										1						13									2								6										3				37
BC	=						ql 2									+ 4									ql 2								+							ql			2							=		ql3 .
		6		3										6						6									6							3								6							27

Путем расслоения эпюры M z согласно рис. 5.12, а, как показано для данной задачи на рис. 5.17:

				I			I				II					II								III					III			1					4								2										1			5
BC	= ω			2 M		c2		+ ω2				M				c2				+ ω2						M			c2		=											ql							2l											l	+
																																	2				3																		6l			3
	1		6	ql 2				1									7									2			q(2l)2															1												37			ql3 .
+								2l												l		+														2l													2l					=
	2		3									6l					3									3			8																		6l									27
																1						6				2											1													54				ql3 ;
			CD = ω3M c										=											ql				3l			1			−									2l						=
																						3															6l													27
								3								2
										1							3													93		ql		3							31					ql			3
						θD =										∑ωi									c =												=														.
																							M
										EJ z																				27 EJ z
																	1									i																	9				EJ z

Вариант второй

По этому варианту в III операции эпюру M z построим, проведя расслоение эпюры по всей длине балки. Для этого строим эпюры M ′z откаждоговнешнегоусилия, лежащеголевееопорыD (рис. 5.16, д).

238

Рис. 5.17

От реакции RA эпюра ограничена прямой линией, площадь которой обозначим через ω1′ ; от равномерно распределенной нагрузки интенсивностью q эпюра M z на участке ВС ограничена квадратной параболой, площадь эпюры обозначим через ω′2 . На участке CD эпюра ограничена прямой линией, площадь эпюры разобьем на две части: ω′3 (прямоугольник) и ω′4 (треугольник).

VII операция. Определение θD способом Верещагина:

		θD		=		1					(ω1′				c′		+ ω′2						c′				+ ω′3				c′		+ ω′4								c′	) =
													M								M									M										M
						EJ z									1									2					3												4
			1							24										1				2										1			6
				1
=												ql 2 6l																6l +				−							ql		2 2l			×
		EJ z					2			3										6l				3										3			3
	1				3										6			2			1															1			18			2
×			l +						2l			+		−			ql		3l										4,5l +					−							ql		3l		×
	6l				4										3											6l										2			3

239

	1		2			31			ql 3
×		3l +		3l	=					.
	6l		3			9
									EJ z

Знак «+» (плюс) в результате свидетельствует о том, что θD по направлению совпадает с направлением единичного момента M 0 =1 , т.е. сечение D поворачивается против часовой стрелки.

5.6. Задачи

Задача 5.1. Однопролетная сосновая балка прямоугольного поперечного сечения загружена на участке AC (рис. 5.18) равномерно распределенной нагрузкой интенсивностью q = 3 кН/м. Определить

стрелу прогиба, если длина пролета l = 6 м, E = 0,1 105 МПа, h = 20 10−2 м, b =15 10−2 м.

Рис. 5.18

Рис. 5.19

Задача 5.2. Консольная балка постоянной жесткостью поперечного сечения EJ z (рис. 5.19) загружена распределенной нагрузкой

240