kalashnikov_tom_1

4.2. ¨­¥â¨ç¥áª ï í­¥à£¨ï

91

¨á. 4.3: ¡®â , ᮢ¥àè ¥¬ ï ¯à¨ á¦ â¨¨/à áâ殮­¨¨ ¯à㦨­ë

dA = kx dx, â ª çâ® ¤«ï ¯®«­®© à ¡®âë ¯®«ãç ¥¬

		x		x2
		R
	A =		kx dx = k		2 :		(4.3)
		0
¬¥â¨¬, çâ® A ­¥ § ¢¨á¨â ®â §­ ª x:					¨ ¯à¨ à áâ殮­¨¨, ¨ ¯à¨ ᦠ-

⨨ ¯à㦨­ë ¢­¥è­ïï ᨫ ᮢ¥àè ¥â ®¤­ã ¨ âã ¦¥ ¯®«®¦¨â¥«ì­ãî à - ¡®âã.

4.2¨­¥â¨ç¥áª ï í­¥à£¨ï

᫨ ¢­¥è­ïï ᨫ ¤¥©áâ¢ã¥â ­ ¯®ª®ï饥áï ⥫®, ¯®á«¥¤­¥¥ ¯à¨®¡à¥â ¥â ­¥ª®â®àãî ᪮à®áâì ¨ ᯮᮡ­® á ¬® ᮢ¥àè¨âì à ¡®âã.

¯ á à ¡®âë, á¢ï§ ­­ë© á ¤¢¨¦¥­¨¥¬ ⥫ , ­ §ë¢ ¥âáï ª¨­¥-

â¨ç¥áª®© í­¥à£¨¥© ⥫ .

¯¨è¥¬ ãà ¢­¥­¨¥ ¤¢¨¦¥­¨ï ¬ â¥à¨ «ì­®© â®çª¨:

_	~	(4.4)
m~v = F

92			« ¢ 4. ¡®â ¨ í­¥à£¨ï
£¤¥	~
	F | १ã«ìâ¨àãîé ï ᨫ . ¬­®¦¨¬ ãà ¢­¥­¨¥ ¤¢¨¦¥­¨ï ᪠«ïà­®
­ d~s = ~vdt:
	_	~
	m~v ~vdt = F d~s:		(4.5)

¯à ¢®© ç á⨠ãà ¢­¥­¨ï ¬ë ¯®«ã稫¨ í«¥¬¥­â à­ãî à ¡®âã dA, ¢ «¥- ¢®© | ¢ëà ¦¥­¨¥, ª®â®à®¥ ¬®¦­® ¯à¥®¡à §®¢ âì ª ¢¨¤ã ¯®«­®£® ¤¨ää¥-

à¥­æ¨ « :			mv2
_	m			:
m~v ~vdt = m~v d~v =	2 d (~v ~v) = d		2
१ã«ìâ ⥠¨¬¥¥¬
~	mv2
dA = F d~s = d 2				(4.6)
		~
â.¥. í«¥¬¥­â à­ ï à ¡®â , ᮢ¥à襭­ ï ᨫ®© F ¯à¨ ¯¥à¥¬¥é¥­¨¨ d~s ¬ -
â¥à¨ «ì­®© â®çª¨ ¬ áᮩ m à ¢­	¯à¨à 饭¨î ¢¥«¨ç¨­ë mv2=2+ const

| ª¨­¥â¨ç¥áª®© í­¥à£¨¨, ®¯à¥¤¥«ï¥¬®© á â®ç­®áâìî ¤® ¯à®¨§¢®«ì­®© ¯®- áâ®ï­­®©. ®«ãç ¥âáï, ç⮠ᨫ ᮢ¥àè ¥â ­¥ª®â®àãî à ¡®âã, ¨ ­ â ª®¥ ¦¥ ª®«¨ç¥á⢮ ¢®§à á⠥⠪¨­¥â¨ç¥áª ï í­¥à£¨ï ⥫ (®¡ëç­®¥ ®¡®§­ - 祭¨¥ T ¨«¨ W ). ਠ®âà¨æ ⥫쭮© à ¡®â¥ á¨«ë ª¨­¥â¨ç¥áª ï í­¥à£¨ï ⥫ ã¡ë¢ ¥â: í­¥à£¨ï ¤¢¨¦¥­¨ï à á室ã¥âáï ­ ¯à¥®¤®«¥­¨¥ ¯à®â¨¢®- ¤¥©áâ¢ãî饩 ¥¬ã ᨫë. ¡ëç­® áç¨â îâ, çâ® ¯®ª®ï饥áï ⥫® ª¨­¥â¨- ç¥áª®© í­¥à£¨¥© ­¥ ®¡« ¤ ¥â, â ª çâ® ¯à®¨§¢®«ì­ãî ¯®áâ®ï­­ãî ¯®« - £ îâ à ¢­®© ­ã«î:

	T =	mv2			(4.7)
		2 :

¨­¥â¨ç¥áªãî í­¥à£¨î ¬ â¥à¨ «ì­®© â®çª¨ ¬®¦­® â ª¦¥ ¢ëà §¨âì ç¥à¥§ ¥¥ ¨¬¯ã«ìá p~ = m~v:

	T =	~v ~p	=		p2	:		(4.8)
					2m
	2
~				â® à ¡®â				ᨫ à ¢­ ­ã«î, á«¥¤®-
᫨ F = 0 (á¨á⥬ § ¬ª­ãâ ),

¢â¥«ì­®, à ¢­® ­ã«î ¯à¨à 饭¨¥ ª¨­¥â¨ç¥áª®© í­¥à£¨¨. ­ë¬¨ á«®-

¢¬¨, ª¨­¥â¨ç¥áª ï í­¥à£¨ï ¢ í⮬ á«ãç ¥ á®åà ­ï¥âáï: T = const. í⮬ ã஢­¥ ­ 襣® §­ ª®¬áâ¢ á § ª®­ ¬¨ ¯à¨à®¤ë âà㤭® ®¡­ à㦨âì

®á®¡ë© á¬ëá« ¢ ¢¢¥¤¥­¨¨ ­®¢®£® ¯®­ïâ¨ï | ª¨­¥â¨ç¥áª®© í­¥à£¨¨, ¯®- ᪮«ìªã ®­ ¯®«­®áâìî ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¨¬¯ã«ìᮬ ç áâ¨æë. ® ­¥ ¡ã¤¥¬

4.3. ®é­®áâì	93
â®à®¯¨âìáï á ¢ë¢®¤ ¬¨. áï £«ã¡¨­ ¯®­ïâ¨ï í­¥à£¨¨ ¡ã¤¥â ¢ë¥­	¢

¤ «ì­¥©è¥¬, ª®£¤ ¢ëïá­¨âáï, çâ® ª¨­¥â¨ç¥áª ï í­¥à£¨ï | «¨èì ®¤­ ¨§ ¬­®£®ç¨á«¥­­ëå ä®à¬ í­¥à£¨¨. ਬ¥à ¡ë« ¯à¨¢¥¤¥­ ¢ ­ ç «¥ í⮩ £« ¢ë.

ëà ¦¥­¨¥ (4.7) ãáâ ­ ¢«¨¢ ¥â ¥¤¨­¨æã ¨§¬¥à¥­¨ï í­¥à£¨¨. §¬¥à- ­®áâì í­¥à£¨¨ [W ] = [ML2T ;2]. ¥¤¨­¨æ í­¥à£¨¨ ­ §ë¢ ¥âáï ¤¦®- ã«¥¬ ( ¦): íâ® ª¨­¥â¨ç¥áª ï í­¥à£¨ï ¬ ááë 1 ª£, ¤¢¨¦ã饩áï ᮠ᪮à®- áâìî 1 ¬/á:

1 ¦ = 1 ª£á2¬2 = 1 ¬ â.¥. à §¬¥à­®áâ¨ à ¡®âë ¨ í­¥à£¨¨ ᮢ¯ ¤ îâ.

¤ ç 4.9. ©â¨ ª¨­¥â¨ç¥áªãî í­¥à£¨î ¥¬«¨ ¢ ¥¥ £®¤¨ç­®¬ ¤¢¨¦¥- ­¨¨ ¢®ªà㣠®«­æ . ááâ®ï­¨¥ ¤® ®«­æ l& = 150 ¬«­: ª¬:, ¬ áᥬ«¨ à ¢­ M& = 6 1024 ª£.

¥è¥­¨¥. ë §­ ¥¬, çâ® à ááâ®ï­¨¥ l = 2 l& ¥¬«ï ®¡¥£ ¥â § ¢à¥¬ï
t = 365:25 áãâ: = 365:25 24 60	60 = 3:16 107 á. âáî¤					᪮à®áâì
®à¡¨â «ì­®£® ¤¢¨¦¥­¨ï ¥¬«¨ à ¢­	v = 2 l&= t = 3			104		¬=á = 30
ª¬/á. ¨­¥â¨ç¥áª ï í­¥à£¨ï ¥¬«¨ T = M v2=2 = 6			1024		9		108=2 =
	&

2:7 1033 ¦.

à¨á. 4.4 ¯®ª § ­ë å à ªâ¥à­ë¥ §­ 祭¨ï í­¥à£¨© ­¥ª®â®àëå ¯à¨- த­ëå ¯à®æ¥áᮢ.

4.3®é­®áâì

।áâ ¢¨¬ á­®¢ í«¥¬¥­â à­ãî à ¡®âã ¢ ¢¨¤¥

~	~
dA = F	d~s = F ~vdt :	(4.9)

¡®â , ᮢ¥àè ¥¬ ï ¢ ¥¤¨­¨æ㠢६¥­¨, ­ §ë¢ ¥âáï ¬®é­®áâìî:

		dA	~		(4.10)
	N = dt
			= F ~v

â.¥. ¬®é­®áâì ¬®¦­® ¯à¥¤áâ ¢¨âì ª ª ᪠«ïà­®¥ ¯à®¨§¢¥¤¥­¨¥ ¢¥ªâ®à á¨«ë ­ ¢¥ªâ®à ᪮à®áâ¨, á ª®â®à®© ¤¢¨¦¥âáï â®çª ¯à¨«®¦¥­¨ï ᨫë.

94	« ¢ 4. ¡®â ¨ í­¥à£¨ï

¨á. 4.4: à ªâ¥à­ë¥ ¬ áèâ ¡ë í­¥à£¨¨ ¢ ¯à¨à®¤¥

¡®â , ᮢ¥àè ¥¬ ï §	¯à®¬¥¦ã⮪ ¢à¥¬¥­¨ ®â t1 ¤® t2					¬®¦¥â ¡ëâì
§ ¯¨á ­ ¢ ¢¨¤¥:
t2				t2
A = tZ1	~
	F ~vdt = tZ1				N(t)dt:	(4.11)
।­ïï ¬®é­®áâì § íâ®â ¦¥ ¯à®¬¥¦ã⮪ ¢à¥¬¥­¨ à ¢­
	1		t2
			tZ1
hNi =				N(t)dt:		(4.12)
		t2 ; t1

¥¤¨­¨æã ¬®é­®á⨠¯à¨­¨¬ ¥âáï â ª ï ¬®é­®áâì, ¯à¨ ª®â®à®© ¢ ¥¤¨­¨æ㠢६¥­¨ ᮢ¥àè ¥âáï ¥¤¨­¨æ à ¡®âë. ¥¤¨­¨æ¥© ¬®é­®á⨠ï¥âáï ¢ ââ ( â):

¦
1 â = 1		:	(4.13)
	á
¥á¨á⥬­ ï ¥¤¨­¨æ ¬®é­®á⨠| «®è ¤¨­ ï ᨫ («.á.)			| à ¢­	736
â. ¡ëâã ç áâ® ¨á¯®«ì§ãîâ ¥¤¨­¨æã í­¥à£¨¨ | 1 ª â			ç = 103	â
3600 á = 3:6 ¦:

4.3. ®é­®áâì

95

¤ ç 4.10. ¥à⮫¥â ¬ áᮩ m = 3 â ¢¨á¨â ¢ ¢®§¤ãå¥. ¯à¥¤¥«¨âì ¬®é­®áâì N, à §¢¨¢ ¥¬ãî ¬®â®à®¬ ¢¥à⮫¥â , ¥á«¨ ¤¨ ¬¥âà à®â®à à -

¢¥­ d = 8 ¬. ਠà áç¥â¥ ¯à¨­ïâì, çâ® à®â®à ®â¡à áë¢ ¥â ¢­¨§ 樫¨­- ¤а¨з¥бªго бваго ¢®§¤ге ¤¨ ¬¥в஬, à ¢­ë¬ ¤¨ ¬¥âàã à®â®à . «®â- ­®áâì ¢®§¤ãå = 1:29 ª£=¬3.

¥è¥­¨¥. ਠà¥è¥­¨¨ í⮩ § ¤ ç¨ ­ ¤® ¯à¨¬¥­¨âì ¢á¥ ¨§¢¥áâ­ë¥ ­ ¬ § ª®­ë ¤¨­ ¬¨ª¨. ®áª®«ìªã íâ® | ­¥ ®¤­®- ¨ ­¥ ¤¢ãå室®¢ ï § ¤ ç ,

¯®¯à®¡ã¥¬ á­ ç «	­ ©â¨ ¢¨¤ ®ª®­ç ⥫쭮£® ¢ëà ¦¥­¨ï, ¯®«ì§ãïáì						­ -
«¨§®¬ à §¬¥à­®á⨠(á¬. à §¤. 1.3).			᪮¬ ï ¬®é­®áâì § ¢¨á¨â ®â:				1)
¢¥á ¢¥à⮫¥â , 2) ¤¨ ¬¥âà ¢¨­â			¨ 3) ¯«®â­®á⨠¢®§¤ãå , â.¥. ¨áª®-
¬ ï ä®à¬ã« ¤®«¦­ ¨¬¥âì ¢¨¤ N = (mg) d .						§¬¥à­®áâì í­¥à£¨¨
à ¢­ [ML2T;2],	¬®é­®á⨠[N] = [ML2T ;3].					®áâ ¢«ï¥¬ à ¢¥­á⢮
à §¬¥à­®á⥩ ¢ ®¡¥¨å ç áâïå ¨áª®¬®© ä®à¬ã«ë:
[ML2T;3] = [MLT ;2] [L] [ML;3] = [M] + [L] + ;3 [T];2 :
¥è ï á¨á⥬ã ãà ¢­¥­¨©
	1 = +
	2 = + ; 3
	;3 = ;2					(4.14)
­ 室¨¬ = 3=2	= ;1=2 = ;1, â.¥. ¨áª®¬ ï ¬®é­®áâì
	N = C	(mg)3=2
		dp				(4.15)

£¤¥ C | ­¥ª¨© ç¨á«®¢®© ª®íää¨æ¨¥­â.

¥è¨¬ ⥯¥àì íâã ¦¥ § ¤ çã â®ç­®. ãáâì v | ᪮à®áâì áâà㨠¢®§- ¤ãå , ®â¡à áë¢ ¥¬®© ¢¨­â®¬. ¢à¥¬ï t ç áâ¨æë ¢®§¤ãå ¯à®å®¤ïâ à ááâ®ï­¨¥ h = v t. ­ë¬¨ á«®¢ ¬¨, § ¢à¥¬ï t ¢¨­â ¢¥à⮫¥â ¯à¨¤ ¥â ᪮à®áâì v ¢á¥¬ ç áâ¨æ ¬ ¢®§¤ãå , ­ 室ï騬áï ¢ 樫¨­¤à¥ á

¯«®é ¤ìî ®á­®¢ ­¨ï d2=4	¨ ¢ëá®â®© h. áá ¢®§¤ãå					m ¢ í⮬
®¡ê¥¬¥ à ¢­
m = v t			d2
				4		(4.16)
¥£® ª¨­¥â¨ç¥áª ï í­¥à£¨ï T ¤ ¥âáï ¢ëà ¦¥­¨¥¬
	mv2				3 2
T =	2	= t		8	v d :	(4.17)

96 « ¢ 4. ¡®â ¨ í­¥à£¨ï

®áª®«ìªã ¬®â®à ¯¥à¥¤ ¥â ¢®§¤ãåã ª¨­¥â¨ç¥áªãî í­¥à£¨î T, â® â - ª®¢ ¨ ᮢ¥àè ¥¬ ï ¨¬ à ¡®â . ®í⮬ã à §¢¨¢ ¥¬ ï ¬®â®à®¬ ¬®é­®áâì à ¢­

N =	T			3	2
	t	=	8	v	d	:	(4.18)

í⮬ ¢ëà ¦¥­¨¨ ­ ¬ ­ ¤® ¥é¥ ­ ©â¨ ᪮à®áâì áâà㨠¢®§¤ãå , ®â- ¡à áë¢ ¥¬®© ¢¨­â®¬. ¬¯ã«ìá p, ¯¥à¥¤ ¢ ¥¬ë© ç áâ¨æ ¬ ¢®§¤ãå § ¢à¥¬ï t, à ¢¥­

p = m v = t v2	d2	:	(4.19)
4

§ ¢â®à®£® § ª®­	ìîâ®­ á«¥¤ã¥â, çâ® á।­ïï ᨫ , ¤¥©áâ¢ãîé ï ­
®â¡à áë¢ ¥¬ë© ¢­¨§ ¢®§¤ãå à ¢­		F = p= t. ® âà¥â쥬㠧 ª®­ã ìî-
â®­ â ª ï ¦¥ ᨫ	¤¥©áâ¢ã¥â ­	¢¥à⮫¥â á® áâ®à®­ë ¢®§¤ãå . â ᨫ
ª®¬¯¥­á¨àã¥â ¢¥á ¢¥à⮫¥â : F = mg. âáî¤							¯®«ãç ¥¬ ãà ¢­¥­¨¥
	mg = v2			d2			(4.20)
		4
¯®§¢®«ïî饥 ­ ©â¨ ᪮à®áâì áâà㨠¢®§¤ãå :
			4mg
	v = r d2 :						(4.21)

®¤áâ ¢«ïï ­ ©¤¥­­ãî ᪮à®áâì ¢ (4.18), ¯®«ãç ¥¬ ®ª®­ç ⥫ì­ë© à¥- §ã«ìâ â:

			4mg		3=2	1 (mg)3=2
N =	8	d2	d2			= p		dp		:	(4.22)

ë ¢¨¤¨¬, çâ® ¢ëà ¦¥­¨¥ ¤«ï ¬®é­®á⨠¤¥©á⢨⥫쭮 ®ª § «®áì â - ª¨¬, ª ª¨¬ ®¦¨¤ «®áì ­ ®á­®¢¥ ­ «¨§ à §¬¥à­®á⥩. ®¤áâ ¢«ïï ç¨- á«®¢ë¥ ¤ ­­ë¥, ­ 室¨¬

N =	1		(3 103	9:8)	3=2	= 3:13		105	â = 313 ª â:
	p		8 p1:29

4.4. ®â¥­æ¨ «ì­ ï í­¥à£¨ï

97

4.4®â¥­æ¨ «ì­ ï í­¥à£¨ï

ëè¥ ¬ë 㦥 ¯®«ã稫¨ ¢ëà ¦¥­¨¥ ¤«ï à ¡®âë, ᮢ¥àè ¥¬®© ¯à¨ à áâï- ¦¥­¨¨ ¯à㦨­ë. бᬮва¨¬ б«¥¤гойго б¨бв¥¬г. ¥à áâï­ãâ ï ¯àã- ¦¨­ «¥¦¨â ­ £« ¤ª®© £®à¨§®­â «ì­®© ¯«®áª®áâ¨, ®¤¨­ ¥¥ ª®­¥æ § ªà¥¯- «¥­, ª® ¢â®à®¬ã ¯à¨ªà¥¯«¥­ £à㧨ª ¬ áᮩ m. ç «® ª®®à¤¨­ â­®© ®á¨ ¯®¬¥á⨬ ¢ â®çªã, £¤¥ ­ 室¨âáï ᢮¡®¤­ë© ª®­¥æ ¯à㦨­ë. ë ®â-

â¢ ¥¬ ¯à㦨­ã ­ à ááâ®ï­¨¥ xmax ¨ ®â¯ã᪠¥¬ £à㧨ª ¡¥§ ­ ç «ì­®© ᪮à®áâ¨. ª®¢® ¤¢¨¦¥­¨¥ £à㧨ª ?

£à㧨ª ¤¥©áâ¢ã¥â ⮫쪮 ã¯à㣠ï ᨫ à áâï­ã⮩ ¯à㦨­ë, áâà¥- ¬ïé ïáï ¢¥à­ãâì ¥£® ª ­ ç «ã ª®®à¤¨­ â (¯®«®¦¥­¨î à ¢­®¢¥á¨ï). ®¤ ¤¥©á⢨¥¬ í⮩ á¨«ë £à㧨ª ¯à¨å®¤¨â ¢ ¤¢¨¦¥­¨¥. ᫨ ¥£® ª®®à¤¨­ â

¢ ª ª®©-â® ¬®¬¥­â ¢à¥¬¥­¨ à ¢­	x, â® ¢ íâ®â ¬®¬¥­â ­	£à㧨ª ¤¥©-
áâ¢ã¥â á® áâ®à®­ë ¯à㦨­ë ã¯à㣠ï ᨫ F = ;kx. ®í⮬ã ãà ¢­¥­¨¥
¤¢¨¦¥­¨ï £à㧨ª ¨¬¥¥â ¢¨¤
mx = ;kx:		(4.23)
¬­®¦¨¬ ®¡¥ ç áâ¨ à ¢¥­á⢠­	᪮à®áâì £à㧨ª x. ந§¢¥¤¥­¨¥ ¢

«¥¢®© ç á⨠¬®¦­® ¯à¥¤áâ ¢¨âì ¢ ¢¨¤¥ ¯à®¨§¢®¤­®©

mxx = m

d x2

d mx2

2 =

2

dt

dt

¯à®¨§¢¥¤¥­¨¥ ¢ ¯à ¢®© ç á⨠| ¢ ¢¨¤¥ ¯à®¨§¢®¤­®©

d x2

d kx2

;kxx = ;k

2 = ;

2 :

dt

dt

®í⮬ã ãà ¢­¥­¨¥ (4.23) ¬®¦­® § ¯¨á âì ⥯¥àì ¢ ¢¨¤¥

d

mx2

kx2

+ 2

= 0:

(4.24)

dt

2

§ ¯à®¨§¢®¤­ ï ¢ëà ¦¥­¨ï ¢ ᪮¡ª å à ¢­ ­ã«î, á ¬® íâ® ¢ëà ¦¥­¨¥ ­¥ § ¢¨á¨â ®â ¢à¥¬¥­¨, ®­® ¯®áâ®ï­­® (á®åà ­ï¥â ᢮¥ ­ ç «ì­®¥ §­ ç¥- ­¨¥):

mx2		kx2
2	+	2 = const:	(4.25)
ª ¡ë ­¨ ¤¢¨£ «áï £à㧨ª ­	¯à㦨­ª¥, ¢ë¯¨á ­­ ï á㬬		¤¢ãå á« £ -

¥¬ëå ­¥ ¬¥­ï¥âáï. ¯¥à¢®¬ á« £ ¥¬®¬ ¬ë 㧭 ¥¬ ª¨­¥â¨ç¥áªãî í­¥à- £¨î £à㧨ª , ¢® ¢â®à®¬ | à ¡®âã ¯® à áâ殮­¨î (ᦠâ¨î) ¯à㦨­ë

98	« ¢ 4. ¡®â ¨ í­¥à£¨ï

­ à ááâ®ï­¨¥ x. ®¢¥à訢 íâã à ¡®âã, ¬ë § ¯ á ¥¬ í­¥à£¨î ã¯à㣮© ¤¥ä®à¬ 樨 ¯à㦨­ë (¥¥ ­ §ë¢ îâ ¯®â¥­æ¨ «ì­®© í­¥à£¨¥©). «î¡®© ¬®¬¥­â ¢à¥¬¥­¨ £à㧨ª ®¡« ¤ ¥â ª ª®©-â® ª¨­¥â¨ç¥áª®© í­¥à£¨¥©, ¯àã- ¦¨­ | ¯®â¥­æ¨ «ì­®©.

㬬 ª¨­¥â¨ç¥áª®© ¨ ¯®â¥­æ¨ «ì­®© í­¥à£¨© ­ §ë¢ ¥âáï ¯®«-

­®© ¬¥å ­¨ç¥áª®© í­¥à£¨¥© E á¨á⥬ë.

­ 祭¨¥ ¯®áâ®ï­­®© ¨­â¥£à¨à®¢ ­¨ï ¢ (4.25) ­ 室¨¬, ¢á¯®¬¨­ ï ­ - ç «ì­ë¥ ãá«®¢¨ï: ¯à¨ t = 0 ¬ë ®â¯ãá⨫¨ £à㧨ª ¡¥§ ­ ç «ì­®© ᪮à®áâ¨

x(0) = 0 ­ à ááâ®ï­¨¨ x(0) = xmax ®â ­ ç « ª®®à¤¨­ â. âáî¤

	mx2		kx2		kx2
E =		+		=	max	:		(4.26)
	2		2		2
­ ç «ì­ë© ¬®¬¥­â ¢à¥¬¥­¨ ª¨­¥â¨ç¥áª ï í­¥à£¨ï £à㧨ª à ¢­								­ã«î,
¨ ¯®«­ ï í­¥à£¨ï á¨á⥬ë à ¢­		⮩ à ¡®â¥, ª®â®àãî ¬ë á­ ç «						ᮢ¥à-
訫¨, à áâï­ã¢ ¯à㦨­ã ­ à ááâ®ï­¨¥ xmax.							⥬ £à㧠¤¢¨£ ¥âáï ª
­ ç «ã ª®®à¤¨­ â á ¢®§à áâ î饩 ᪮à®áâìî.							¬®¬¥­â ¯à®å®¦¤¥­¨ï

¯®«®¦¥­¨ï à ¢­®¢¥á¨ï (x = 0) ¯®â¥­æ¨ «ì­ ï í­¥à£¨ï ¯à㦨­ë à ¢­ ­ã«î, á«¥¤®¢ ⥫쭮 ª¨­¥â¨ç¥áª ï ¤®á⨣ ¥â ¬ ªá¨¬ã¬ . à㧨ª ¯à®å®-

¤¨â ¯®«®¦¥­¨¥ à ¢­®¢¥á¨ï,	ᨫ ã¯à㣮á⨠¬¥­ï¥â §­ ª ¨ ­ 稭 ¥â ¥£®
â®à¬®§¨âì. ª®à®áâì £àã§	®¡à é ¥âáï ¢ ­ã«ì ¯à¨ x = ;xmax, ª®£¤ ¯®«-
­ ï í­¥à£¨ï á¨á⥬ë á­®¢	á®á⮨⠫¨èì ¨§ ¯®â¥­æ¨ «ì­®© í­¥à£¨¨ (­

íâ®â à § ᦠ⮩) ¯à㦨­ë. «¥¥ ¯à®æ¥áá \¯¥à¥ª 窨" ¯®â¥­æ¨ «ì­®© í­¥à£¨¨ ¢ ª¨­¥â¨ç¥áªãî ¨ ­ ®¡®à®â ¯à®¨á室¨â ¢ ®¡à â­®¬ ­ ¯à ¢«¥- ­¨¨, ¯®ª £à㧨ª ­¥ ®ª ¦¥âáï ¢ ­ ç «ì­®¬ ¯®«®¦¥­¨¨. ¢á¥ ¯®¢â®à¨âáï á­ ç « .

í⮬ ç áâ­®¬ ¯à¨¬¥à¥ ¬ë § ¬¥â¨«¨, çâ®

á®åà ­ï¥âáï ¯®«­ ï í­¥à£¨ï E á¨áâ¥¬ë £à㧨ª-¯à㦨­ª , à ¢­ ï á㬬¥ ª¨­¥â¨ç¥áª®© í­¥à£¨¨ T = mx2=2 £à㧨ª ¨ ¯®â¥­æ¨ «ì­®© í­¥à£¨¨ U = kx2=2 ¯à㦨­ª¨

¯®â¥­æ¨ «ì­ ï í­¥à£¨ï ¯à㦨­ë á¢ï§ ­ á à ¡®â®© ¯® ¥¥ à áâ殮- ­¨î (ᦠâ¨î): U = A

ᨫã ã¯à㣮á⨠F = ;kx á® áâ®à®­ë ¤¥ä®à¬¨à®¢ ­­®© ¯à㦨­ë ¬®¦­® ¯®«ãç¨âì ¤¨ää¥à¥­æ¨à®¢ ­¨¥¬ ¯®â¥­æ¨ «ì­®© í­¥à£¨¨ ¯® ª®- ®à¤¨­ â¥: F = ;@U=@x.

4.4. ®â¥­æ¨ «ì­ ï í­¥à£¨ï

99

®â¥­æ¨ «ì­®¥ ¯®«¥ ᨫ

¡®¡é¨¬ ⥯¥àì ­ è ç áâ­ë© á«ãç ©. ãáâì ­ ç áâ¨æã ¢ ª ¦¤®© â®çª¥

¯à®áâà ­á⢠¤¥©áâ¢ã¥â ®¯à¥¤¥«¥­­ ï ᨫ ~ § ¢¨áïé ï ⮫쪮 ®â

F(~r t),

¯®«®¦¥­¨ï ç áâ¨æë ¨, ¡ëâì ¬®¦¥â, ®â ¢à¥¬¥­¨. ®áª®«ìªã ¤¥©áâ¢ãîé ï ᨫ ­¥ § ¢¨á¨â ®â ¤¢¨¦¥­¨ï ç áâ¨æë, ¬ë ¬®¦¥¬ áç¨â âì ¥¥ âਡã⮬ ¯à®áâà ­á⢠. í⮬ á«ãç ¥ £®¢®àïâ, çâ® ¢ ¯à®áâà ­á⢥ § ¤ ­® ᨫ®¢®¥ ¯®«¥. ਬ¥à®¬ ¬®£ãâ á«ã¦¨âì ¯®«¥ ᨫ â殮áâ¨, í«¥ªâà¨ç¥áª®¥ ¯®«¥ ¨

â.¤.

।¨ ᨫ®¢ëå ¯®«¥© ¬ë ¢ë¤¥«¨¬ ¯®â¥­æ¨ «ì­ë¥ ¯®«ï, ª®â®àë¥ ¬®¦­®

®¯¨á âì ­¥ª®â®à®© ᪠«ïà­®© ä㭪樥© U = U(~r t) = U(x y z t), â ª®©, çâ®

		@U			@U				@U
	Fx = ; @x			Fy = ; @y			Fz = ;		@z	:	(4.27)
							~	~		~	~
(¨á¯®«ì§®¢ ­ë ª®¬¯®­¥­âë ᨫ®¢®£® ¯®«ï F								= i Fx		+ j Fy + k Fz). ¢¥­-

á⢠(4.27) ¬®¦­® § ¯¨á âì ¢ ¢¥ªâ®à­®© ä®à¬¥. «ï í⮣® ¢¢®¤ïâ ®¯¥à -

æ¨î £à ¤¨¥­â | ᢮¥£® த		\¢¥ªâ®à­®¥" ¤¨ää¥à¥­æ¨à®¢ ­¨¥ ä㭪樨
(­¥ ¯ãâ âì á ¤¨ää¥à¥­æ¨à®¢ ­¨¥¬ ¢¥ªâ®à ):
	~	~	@U	~	@U	~	@U
	F = ;grad U = ;i @x			; j	@y	; k @z		:	(4.28)

ਬ¥­¥­¨¥ ®¯¥à 樨 \£à ¤¨¥­â" (grad) ª ᪠«ïà­®¬ã ¯®«î (ä㭪樨 ª®®à¤¨­ â) ¯®à®¦¤ ¥â ¢¥ªâ®à­®¥ ¯®«¥. á­®, çâ® à áç¥âë ¤¢¨¦¥­¨ï ¢

¯®â¥­æ¨ «ì­ëå ¯®«ïå ¤®«¦­ë ¡ëâì ¯à®é¥ å®âï ¡ë ¯®â®¬ã, çâ® ¢¬¥áâ® âà¥å ä㭪権 (ª®¬¯®­¥­âë ᨫë) ¬ë ¡ã¤¥¬ ¨¬¥âì ¤¥«® «¨èì á ®¤­®© ä㭪樥© U.

áᬮâਬ áâ 樮­ à­®¥ ¯®â¥­æ¨ «ì­®¥ ᨫ®¢®¥ ¯®«¥ (â.¥. ¯®â¥­-

æ¨ «ì­®¥ ¯®«¥ U(x y z), ­¥ § ¢¨áï饥 ® ®â ¢à¥¬¥­¨). ©¤¥¬ í«¥¬¥­- â à­ãî à ¡®âã ᨫ ¯®«ï ¯à¨ ¯¥à¥¬¥é¥­¨¨ d~s:

~
dA = F d~s = Fxdx + Fydy + FZdz =
@U	@U	@U
= ; @x dx ; @y dy ; @z dz			(4.29)

â.¥. í«¥¬¥­â à­ ï à ¡®â dA = ;dU(x y z) ¯à¥¤áâ ¢«ï¥âáï ª ª ¢§ïâë© á ®¡à â­ë¬ §­ ª®¬ ¯®«­ë© ¤¨ää¥à¥­æ¨ « ä㭪樨 U. ¤à㣮© áâ®- à®­ë, ¯®áª®«ìªã à ¡®â à ¢­ ¯à¨à 饭¨î ª¨­¥â¨ç¥áª®© í­¥à£¨¨ ⥫

dA = dT , ¯®«ãç ¥¬ ®âáî¤ dT = ;dU ¨«¨ d(T + U) = 0, â® ¥áâì á®- åà ­ï¥âáï á㬬 E = T + U = const. ª¨¬ ®¡à §®¬, ¤«ï áâ 樮­ à­ëå

100	« ¢ 4. ¡®â ¨ í­¥à£¨ï

¯®â¥­æ¨ «ì­ëå ¯®«¥© á¯à ¢¥¤«¨¢ë ¢á¥ ¢ë¢®¤ë, ᤥ« ­­ë¥ ­ ¬¨ ¯à¨ à á- ᬮâ७¨¨ ç áâ­®£® á«ãç ï £à㧨ª ­ ¯à㦨­ª¥. â «® ¡ëâì, ᪠«ïà­ ï äã­ªæ¨ï U(~r), ®¯¨áë¢ îé ï â ª®¥ ¯®«¥, ¥áâì ­¥ çâ® ¨­®¥ ª ª ¯®â¥­æ¨- «ì­ ï í­¥à£¨ï ç áâ¨æë ¢ í⮬ ᨫ®¢®¬ ¯®«¥.

®­á¥à¢ ⨢­ë¥ ᨫë

ந­â¥£à¨à㥬 ¯®«ã祭­®¥ ᮮ⭮襭¨¥ dA = ;dU ¢¤®«ì âà ¥ªâ®à¨¨ ⥫ ¨ ¯®«ã稬 ¢ ¦­®¥ ᢮©á⢮ áâ 樮­ à­ëå ¯®â¥­æ¨ «ì­ëå ¯®«¥©:

	2		2
A12 =	R	dA = ;	R	dU = U1	;U2:	(4.30)
	1		1

¤¥áì U1 = U(~r1) ¨ U2 = U(~r2) | §­ 祭¨ï ¯®â¥­æ¨ «ì­®© í­¥à£¨¨ ¢ ­ ç «ì­®© ~r1 ¨ ª®­¥ç­®© ~r2 â®çª å ¯¥à¥¬¥é¥­¨ï. ®®â­®è¥­¨¥ (4.30)

®§­ ç ¥â, çâ®

çâ® à ¡®â A12, ᮢ¥àè ¥¬ ï ­ ¤ ç áâ¨æ¥© ᨫ ¬¨ áâ 樮­ à­®£® ¯®â¥­æ¨ «ì­®£® ¯®«ï, ­¥ § ¢¨á¨â ®â ä®à¬ë âà ¥ªâ®à¨¨ ¤¢¨¦¥­¨ï ç -

áâ¨æë ¨ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ⮫쪮 ¥¥ ­ ç «ì­ë¬ ¨ ª®­¥ç­ë¬ ¯®«®¦¥­¨¥¬ ¢ ¯à®áâà ­á⢥.

¨«ë â ª®£® ¯®â¥­æ¨ «ì­®£® ¯®«ï ­ §ë¢ îâáï ª®­á¥à¢ ⨢-

­ë¬¨.

᫨ à ¡®â ᨫ ¯®«ï ¯®«®¦¨â¥«ì­ (ç áâ¨æ ¯¥à¥¬¥é ¥âáï ¯®¤ ¤¥©-

á⢨¥¬ ᨫ ¯®«ï), â® ¥¥ ¯®â¥­æ¨ «ì­ ï í­¥à£¨ï 㬥­ìè ¥âáï: U2 < U1.᫨ ¦¥ à ¡®â ᨫ ¯®«ï ®âà¨æ â¥«ì­ (­ ¯à¨¬¥à, ¢­¥è­ïï ᨫ ¢ë­ã-

¦¤ ¥â ç áâ¨æã ¤¢¨£ âìáï ¯à®â¨¢ ᨫ ¯®«ï), â® ¯®â¥­æ¨ «ì­ ï í­¥à£¨ï ç áâ¨æë 㢥«¨ç¨¢ ¥âáï. áâ¢ ï ¯à㦨­ã ¢ ­ 襬 ¯à¨¬¥à¥, ¬ë á®- ¢¥àè «¨ à ¡®âã ¯à®â¨¢ ᨫ ã¯à㣮á⨠¨ 㢥«¨ç¨¢ «¨ ¯®â¥­æ¨ «ì­ãî í­¥à£¨î á¨á⥬ë.

®«­ ï à ¡®â ª®­á¥à¢ ⨢­ëå ᨫ ¯®«ï ¯® ¯¥à¥¬¥é¥-

­¨î ç áâ¨æë ¯® § ¬ª­ã⮩ âà ¥ªâ®à¨¨ à ¢­ ­ã«î.

¥©á⢨⥫쭮, ¢ í⮬ á«ãç ¥ ­ ç «ì­ ï ¨ ª®­¥ç­ ï â®çª¨ ᮢ¯ ¤ îâ,

U1 = U2 ¨ A12 = 0. ®ª ¦¥¬ íâ® ¡®«¥¥ ¤¥â «ì­®. áᬮâਬ ¤¢¥ ¯à®- ¨§¢®«ì­ë¥ â®çª¨ 1 ¨ 2 ¨ ¤¢ ¯à®¨§¢®«ì­ëå ¯ã⨠I ¨ II, ¨å ᮥ¤¨­ïîé¨å

(à¨á. 4.5). ãáâì ¯®«¥ ᨫ ª®­á¥à¢ ⨢­®, â.¥. à ¡®âë ­	íâ¨å ¯ãâïå
ᮢ¯ ¤ îâ:
A1;I;2 = A1;II;2:	(4.31)