kalashnikov_tom_1

4.4. ®â¥­æ¨ «ì­ ï í­¥à£¨ï

101

¨á. 4.5: ¡®â ª®­á¥à¢ ⨢­ëå ᨫ ­¥ § ¢¨á¨â ®â ä®à¬ë âà ¥ªâ®à¨¨ ¨ ®¯à¥¤¥«ï- ¥âáï «¨èì ¯®«®¦¥­¨¥¬ ­ ç «ì­®© ¨ ª®­¥ç­®© â®ç¥ª, ¯®í⮬ã à ¡®â â ª¨å ᨫ ¯à¨ ®¡å®¤¥ § ¬ª­ã⮣® ª®­âãà à ¢­ ­ã«î

¥à¥¬¥á⨬ ⥯¥àì ⥫® ¨§ â®çª¨ 1 ¢ â®çªã 2 ¯® ¯ã⨠I,	§ ⥬ | ¨§
â®çª¨ 2 ¢ â®çªã 1 ¯® ¯ã⨠II. ®«­ ï ᮢ¥à襭­ ï à ¡®â ¯® § ¬ª­ã⮬ã
ª®­âãàã à ¢­ á㬬¥
A = A1;I;2 + A2;II;1 :	(4.32)

à ¢­¨¬ à ¡®âë ­ ¯ã⨠2, ¯à®å®¤¨¬®¬ ¢ ¯àאַ¬ ¨ ®¡à â­®¬ ­ ¯à -

¢«¥­¨ïå.	ª ¦¤®© â®çª¥ ¯ã⨠¤¥©áâ¢ãîâ ⥠¦¥ ᨫë,		­® ¨§¬¥­¥­¨¥
­ ¯à ¢«¥­¨ï ¤¢¨¦¥­¨ï ­		®¡à â­®¥ ¯à¨¢®¤¨â ª § ¬¥­¥ d~s ­	;d~s. ª¨¬
®¡à §®¬,	¨áª®¬ ï à ¡®â	à ¢­
		A2;II;1 = ;A1;II;2 :	(4.33)
ç¨âë¢ ï (4.31) ¨ (4.33), ¯¥à¥¯¨áë¢ ¥¬ (4.32) ¢ ¢¨¤¥
	A = A1;I;2 + A2;II;1 = A1;I;2 ; A1;II;2 = 0:		(4.34)
ë ¤®ª § «¨ íª¢¨¢ «¥­â­®áâì ã⢥ত¥­¨©, çâ® 1) à ¡®â			ª®­á¥à¢ ⨢-

­ëå ᨫ ­¥ § ¢¨á¨â ®â ä®à¬ë âà ¥ªâ®à¨¨ ¨ 2) à ¡®â â ª¨å ᨫ ¯à¨ ®¡å®¤¥ § ¬ª­ã⮣® ª®­âãà à ¢­ ­ã«î.

â ª, áâ 樮­ à­®¥ ¯®â¥­æ¨ «ì­®¥ ¯®«¥ ª®­á¥à¢ ⨢­®. ® ¢¥à­® ¨ ®¡à â­®¥: ª®­á¥à¢ ⨢­®¥ ¯®«¥ ¯®â¥­æ¨ «ì­®. ®ª ¦¥¬ íâ®. ¥à¥¬ ¯à®- ¨§¢®«ì­ãî â®çªã ~r0 ¨ § ¤ ¥¬ ¢ í⮩ â®çª¥ ¯à®¨§¢®«ì­®¥ §­ 祭¨¥ ¯®â¥­æ¨- «ì­®© í­¥à£¨¨ U(~r0). ਠ¯¥à¥å®¤¥ ¨§ â®çª¨ ~r0 ¢ «î¡ãî ¤àã£ãî â®çªã

~r ᮢ¥àè ¥âáï à ¡®â A~r0!~r, ­¥ § ¢¨áïé ï ®â ¯ã⨠¯¥à¥å®¤ .	®í⮬ã
¬®¦­® ®¯à¥¤¥«¨âì äã­ªæ¨î U ¤«ï ª ¦¤®© â®çª¨ à ¢¥­á⢮¬
U(~r) = U(~r0) ; A~r0!~r:	(4.35)

102	« ¢ 4.	¡®â ¨ í­¥à£¨ï
®¤ç¥àª­¥¬ ¥é¥ à §:	§ ¤ âì äã­ªæ¨î U ¢ ª ¦¤®© â®çª¥ ¯à®áâà ­áâ¢
¬®¦­® «¨èì ¢á«¥¤á⢨¥ ­¥§ ¢¨á¨¬®áâ¨ à ¡®âë ®â ¯ãâ¨.		­ ç¥, ¯à®å®¤ï

¨§ â®çª¨ ~r0 ¢ â®çªã ~r, ¬ë ¯®«ãç «¨ ¡ë à §­ë¥ १ã«ìâ âë, ¨ äã­ªæ¨ï U ¡ë« ¡ë ­¥®¤­®§­ ç­®©.

ਬ¥­¨¬ (4.35) ¤«ï á®á¥¤­¥© â®çª¨ ~r + d~r:

U(~r + d~r) = U(~r0) ; A~r0!~r+d~r:

(4.36)

¡®âã ¯® ¯¥à¥¬¥é¥­¨î ¨§ â®çª¨ ~r0 ¢ â®çªã ~r +d~r ¯à¥¤áâ ¢¨¬ ª ª á㬬ã à ¡®â ¯® ¯¥à¥¬¥é¥­¨î ¨§ ~r0 ¢ ~r ¨ ¨§ ~r ¢ ~r + d~r: A~r0!~r+d~r = A~r0!~r +A~r!~r+d~r

(á­®¢	¯®«ì§ãïáì ­¥§ ¢¨á¨¬®áâìî à ¡®âë ®â ¯ãâ¨). ëç⥬ (4.36) ¨§
(4.35):
	U(~r)	;	U(~r + d~r) = A~r!~r+d~r:	(4.37)
«¥¢	á⮨⠯à¨à 饭¨¥	;dU, á¯à ¢ | í«¥¬¥­â à­ ï à ¡®â		dA. ®-
«ã祭­®¥ ᮮ⭮襭¨¥ dA =			;dU ¢«¥ç¥â § ᮡ®©, ª ª ¬ë ¢¨¤¥«¨, á®åà -
­¥­¨¥ ¢¥«¨ç¨­ë T + U, â.¥.			¢¢¥¤¥­­ ï ­ ¬¨ äã­ªæ¨ï U ¤¥©á⢨⥫쭮

ï¥âáï ¯®â¥­æ¨ «ì­®© í­¥à£¨¥© á¨á⥬ë. ª¨¬ ®¡à §®¬, ¯®«¥ ª®­á¥à- ¢ ⨢­ëå ᨫ ¯®â¥­æ¨ «ì­®.

¥ á«¥¤ã¥â ¤ã¬ âì, çâ® ¢á¥ ¯®«ï ¢ ¯à¨à®¤¥ ¯®â¥­æ¨ «ì­ë, ᨫë | ª®­á¥à¢ ⨢­ë. ¯à¨¬¥à, ᨫë â७¨ï ¨«¨ ᮯà®â¨¢«¥­¨ï áà¥¤ë ¢á¥£¤ ­ ¯à ¢«¥­ë ¯à®â¨¢ ¯¥à¥¬¥é¥­¨ï ¨, á«¥¤®¢ ⥫쭮, ¨¬¥îâ ®¤¨­ - ª®¢ë© §­ ª ­ ¢á¥© âà ¥ªâ®à¨¨ ⥫ . ਠá㬬¨à®¢ ­¨¨ í«¥¬¥­â à­ëå à ¡®â ¯® § ¬ª­ã⮬㠯ã⨠¬ë ­¥ ¯®«ã稬 ­ã«ï: à ¡®â ¡ã¤¥â § ¢¨á¥âì ®â ¤«¨­ë ¯à®©¤¥­­®£® ¯ãâ¨. ­ ç¨â, íâ¨ á¨«ë ­¥ ª®­á¥à¢ ⨢­ë.

ந§¢®«ì­ ï ¯®áâ®ï­­ ï U(~r0), 䨣ãà¨àãîé ï ¢ (4.35), ­¥ ¨£à ¥â ஫¨, â ª ª ª 䨧¨ç¥áª¨ ­ ¡«î¤ ¥¬ë¬ ï¥âáï ¨§¬¥­¥­¨¥ ¯®â¥­æ¨ «ì-

­®© í­¥à£¨¨, ­¥ ¥¥ ¡á®«îâ­®¥ §­ 祭¨¥. áâ®, ª®£¤ íâ® ¢®§¬®¦­®, ¢ ª ç¥á⢥ ~r0 ¢ë¡¨à îâ ¡¥áª®­¥ç­® 㤠«¥­­ãî â®çªã, ¨ ¯®« £ îâ §­ ç¥- ­¨¥ ¯®â¥­æ¨ «ì­®© í­¥à£¨¨ ¢ ­¥© à ¢­®© ­ã«î. ® íâ®â ¢ë¡®à ­¥ ¢á¥£¤ ¢®§¬®¦¥­, ª ª ¤¥¬®­áâà¨àã¥âáï ¢ á«¥¤ãî饬 à §¤¥«¥.

®áâ®ï­­®¥ ®¤­®à®¤­®¥ ¯®«¥ ᨫ â殮áâ¨

¡«¨§¨ ¯®¢¥àå­®á⨠¥¬«¨ ¢á¥ ⥫ ¯ ¤ îâ á ¯®áâ®ï­­ë¬ ã᪮७¨¥¬

~g, ­ ¯à ¢«¥­­ë¬ ª 業âàã ¯« ­¥âë. ᫨ ¬ë à áᬠâਢ ¥¬ ¤¢¨¦¥- ­¨¥ ¢ ®¡« áâ¨, «¨­¥©­ë¥ à §¬¥àë ª®â®à®© ¬­®£® ¬¥­ìè¥ à ¤¨ãá ¥¬«¨,

§¥¬­ãî ¯®¢¥àå­®áâì ¬®¦­® áç¨â âì ¯«®áª®©. í⮬ ¯à¨¡«¨¦¥­¨¨ ¯®«¥ â殮á⨠®¤­®à®¤­®: ᨫë, ¤¥©áâ¢ãî騥 ­ ⥫®, ¢ «î¡®© â®çª¥ ¨¬¥îâ

4.4. ®â¥­æ¨ «ì­ ï í­¥à£¨ï

103

®¤¨­ ª®¢®¥ ­ ¯à ¢«¥­¨¥ ¨ ¢¥«¨ç¨­ã ~ ®ª ¦¥¬ ¯®â¥­æ¨ «ì­®áâì

F = m~g.

¯®«ï ᨫë â殮á⨠㠯®¢¥àå­®á⨠¥¬«¨ (à¨á. 4.6).

¨á. 4.6: 宦¤¥­¨¥ ¯®â¥­æ¨ «ì­®© í­¥à£¨¨ ¯®«ï ᨫ â殮áâ¨

«¥¬¥­â à­ ï à ¡®â ¯à¨ ¯¥à¥¬¥é¥­¨¨ d~s à ¢­

~
dA = F d~s = m~g d~s = ;mg dh	(4.38)

£¤¥ ;dh | ¯à®¥ªæ¨ï ¯¥à¥¬¥é¥­¨ï ­ ­ ¯à ¢«¥­¨¥ ¤¥©á⢨ï ᨫë, â.¥. dh | ¨§¬¥­¥­¨¥ ¢ëá®âë ⥫ . ®«­ ï à ¡®â ¯à¨ ¯¥à¥¬¥é¥­¨¨ ⥫ ¨§ â®çª¨ 1 ¢ â®çªã 2 à ¢­

A1!2 = ;mg Z2 dh = ;mg(h2 ; h1): (4.39)

1

ª¨¬ ®¡à §®¬, ¢ ¯®«¥ ᨫ â殮áâ¨ à ¡®â ­¥ § ¢¨á¨â ®â ¯ãâ¨, ¯® ª®â®- ஬㠤¢¨¦¥âáï ç áâ¨æ , ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ⮫쪮 ­ ç «ì­ë¬ ¨ ª®­¥ç­ë¬ ¯®«®¦¥­¨ï¬¨ ç áâ¨æë ¢ ¯à®áâà ­á⢥. ®®â¢¥âá⢥­­®, ¯®â¥­æ¨ «ì­ ï í­¥à£¨ï ¢ ¯®«¥ ᨫ â殮á⨠­ 室¨âáï ¢ ᮮ⢥âá⢨¨ á ®¡é¨¬ à¥æ¥¯â®¬

ª ª

U(h) = U(h0) ; Ah0!h = U(h0) + mg(h ; h0):

(4.40)

᫨ ®âáç¨âë¢ âì ¢ëá®â㠮⠯®¢¥àå­®á⨠¥¬«¨, ¯à¨¯¨á ¢ ¯à¨ í⮬ â®çª¥ ­ ¯®¢¥àå­®á⨠­ã«¥¢ãî ¯®â¥­æ¨ «ì­ãî í­¥à£¨î, ¬ë ¬®¦¥¬ ®¯à¥- ¤¥«¨âì ¯à®¨§¢®«ì­ãî ¯®áâ®ï­­ãî ¢ (4.40). ®« £ ï h = 0 ¨ U(0) = 0,

104	« ¢ 4. ¡®â ¨ í­¥à£¨ï

­ 室¨¬ U(h0) = mgh0, â ª çâ® ¤«ï ¯à®¨§¢®«ì­®© ¢ëá®âë ¯®â¥­æ¨ «ì­ ï í­¥à£¨ï ¯à¨®¡à¥â ¥â å®à®è® §­ ª®¬ë© ¢¨¤

U(h) = mgh:

¤ ç 4.11. áå®¤ï ¨§ ãà ¢­¥­¨© ¤¢¨¦¥­¨ï, ¯®ª § âì á®åà ­¥­¨¥ ¯®«- ­®© í­¥à£¨¨ ⥫ , ¤¢¨¦ã饣®áï ¢ ®¤­®à®¤­®¬ ¯®«¥ ᨫë â殮áâ¨.

¥è¥­¨¥. 롥६ ­ ç «® ª®®à¤¨­ â ­ ¯®¢¥àå­®á⨠¥¬«¨ ¨ ®áì Oz ­ ¯à ¢¨¬ ¢¥à⨪ «ì­®. ª ª ª ⥫® ¤¢¨¦¥âáï á ¯®áâ®ï­­ë¬ ã᪮७¨¥¬ ~g, ¥£® âà ¥ªâ®à¨ï ®¯¨áë¢ ¥âáï à ¤¨ãá-¢¥ªâ®à®¬

~g t2 ~r(t) = ~r0 + ~v0t + 2 :

¨ää¥à¥­æ¨àãï ¯® ¢à¥¬¥­¨, ­ 室¨¬ ᪮à®áâì ⥫ :

~v(t) = ~v0 + ~g t:

¨­¥â¨ç¥áª ï í­¥à£¨ï ⥫	à ¢­
T =	mv2(t)	=	m(~v0 +	~g t)2
	2		2	=
	mv2			mg2t2
=	2 0 + m~v0 ~g t +			2 :

ëá®âã ⥫ ­ ¤ ¯®¢¥àå­®áâìî (â.¥. ¯à®¥ªæ¨î ~r) ¬®¦­® ­ ©â¨ ¨§ ᪠- «ïà­®£® ¯à®¨§¢¥¤¥­¨ï ~r ~g, ¯à¨­¨¬ ï ¢® ¢­¨¬ ­¨¥, çâ® ¢¥ªâ®à ã᪮७¨ï

᢮¡®¤­®£® ¯ ¤¥­¨ï ­ ¯à ¢«¥­ ¢­¨§: ~r ~g = xgx+ygy+zgz = 0 x+0 y;g z = ;gz, ®âªã¤ ¯®â¥­æ¨ «ì­ ï í­¥à£¨ï ⥫ ¬®¦¥â ¡ëâì § ¯¨á ­ ¢ ¢¨¤¥

U = mgz = ;m~r ~g = ;m~r0 ~g ; m~v0 ~g t ;	mg2t2
	2 :

ª« ¤ë¢ ï U á ¢ëà ¦¥­¨¥¬ ¤«ï ª¨­¥â¨ç¥áª®© í­¥à£¨¨, ¬ë ã¡¥¦¤ ¥¬áï ¢ ᮪à 饭¨¨ á« £ ¥¬ëå, § ¢¨áïé¨å ®â ¢à¥¬¥­¨:

	mv2		mv2
E = T + U =	2 0	; m~r0 ~g =	2 0	+ mgz0:

­ ç¥ £®¢®àï, ¢ «î¡®© ¬®¬¥­â ¢à¥¬¥­¨ t ¯®«­ ï í­¥à£¨ï à ¢­ ­ ç «ì- ­®© ¯®«­®© í­¥à£¨¨ ¯à¨ t = 0, â.¥. á㬬¥ ­ ç «ì­ëå ª¨­¥â¨ç¥áª®© ¨ ¯®â¥­æ¨ «ì­ëå í­¥à£¨© ⥫ .

4.4. ®â¥­æ¨ «ì­ ï í­¥à£¨ï

105

®«¥ 業âà «ì­ëå ᨫ

®«¥ 業âà «ì­ëå ᨫ â ª®¢®, çâ® á¨«ë ¢ ª ¦¤®© â®çª¥ ­ ¯à - ¢«¥­ë ¯® à ¤¨ãá-¢¥ªâ®àã ¨ § ¢¨áïâ ®â à ááâ®ï­¨ï ¤® ­¥ª®£® 業âà .

᫨ ¢ë¡à âì ­ ç «® ª®®à¤¨­ â ¢ í⮬ 業âà¥, ⮠業âà «ì­ë¥ ᨫë
¯à¥¤áâ ¢¨¬ë ¢ ¢¨¤¥	~	ਬ¥à ¬¨ ¬®£ãâ á«ã¦¨âì ¯®«¥
	F (~r) = (~r=r)F (r).

â®ç¥ç­®£® í«¥ªâà¨ç¥áª®£® § àï¤ ¨«¨ £à ¢¨â 樮­­®¥ ¯®«¥ áä¥à¨ç¥áª¨ ᨬ¬¥âà¨ç­®£® ®¡ê¥ªâ .

«¥¬¥­â à­ ï à ¡®â 業âà «ì­ëå ᨫ (à¨á. 4.7) § ¯¨áë¢ ¥âáï ⮣¤

ª ª

~
dA = F d~s = F (r) ~nr d~s = F (r)dr	(4.41)

£¤¥ ~nr = ~r=r | ¥¤¨­¨ç­ë© ¢¥ªâ®à ¢¤®«ì à ¤¨ãá-¢¥ªâ®à . âáî¤ ¯®«­ ï à ¡®â

r2
A1!2 = rZ1	F(r)dr	(4.42)
­¥ § ¢¨á¨â ®â ä®à¬ë âà ¥ªâ®à¨¨, â.¥. ᨫë, ¤¥©áâ¢ãî騥 ­		ç áâ¨æã ¢

業âà «ì­®¬ ¯®«¥ ª®­á¥à¢ ⨢­ë. ®®â¢¥âá⢥­­®, ¬®¦­® ¢¢¥á⨠¯®â¥­- æ¨ «ì­ãî í­¥à£¨î

r
U(r) = U(r0) ; rZ0	F (r0)dr0	(4.43)

ª®â®à ï ¡ã¤¥â § ¢¨á¥âì ⮫쪮 ®â à ááâ®ï­¨ï ¤® 業âà , ­® ­¥ ®â ­ ¯à - ¢«¥­¨ï à ¤¨ãá-¢¥ªâ®à .

®ª ¦¥¬, çâ® ®¯¥à æ¨ï \£à ¤¨¥­â", ¯à¨¬¥­¥­­ ï ª ¯®â¥­æ¨ «ì­®© í­¥à£¨¨ U(r), ¤¥©á⢨⥫쭮 ¤ ¥â ­ ¬ ¯®«¥ 業âà «ì­ëå ᨫ á ¬®¤ã«¥¬ F(r), ­ ¯à ¢«¥­­ëå ¯® à ¤¨ãá-¢¥ªâ®àã ~r. ¥à¥¬ ¯à®¨§¢®¤­ãî ®â U(r) ¯® ª®®à¤¨­ ⥠x ª ª ¯à®¨§¢®¤­ãî á«®¦­®© ä㭪樨:

@x@ U(r) = dUdr @x@r :

ந§¢®¤­ ï ¯® r ¢ëç¨á«ï¥âáï ¡¥§ âà㤠¨§ (4.43): dUdr = ;F (r):

106	« ¢ 4. ¡®â ¨ í­¥à£¨ï

¨á. 4.7: ®«¥ 業âà «ì­ëå ᨫ ¢á¥£¤ ¯®â¥­æ¨ «ì­®

ந§¢®¤­ ï r ¯® x à ¢­

@r

@

p

x2

+ y2 + z2

2x

x

@x

=

@x

=

= r

:

p

2

x2 + y2 + z2

ª¨¬ ®¡à §®¬,

@

x

U(r) = ;F (r) r:

@x

­ «®£¨ç­ë¥ ¢ëà ¦¥­¨ï ¯®«ãç âáï ¯à¨ ¤¨ää¥à¥­æ¨à®¢ ­¨¨ ¯® ª®®à¤¨- ­ â ¬ y z. ¨â®£¥

	~	@	~	@	~	@		F (r)	~ ~	~
;grad U(r) =						@zU(r) =
	;i	@xU(r) ; j		@yU(r) ; k				r	i x + j y + k z =
=	F (r) ~rr = ~nr F (r):

ë ã¡¥¤¨«¨áì, çâ® ¨á室­®¥ 業âà «ì­®¥ ¯®«¥ ᨫ ¢®ááâ ­ ¢«¨¢ ¥âáï ¯®

ä㭪樨 ¯®â¥­æ¨ «ì­®© í­¥à£¨¨ ~

: F = ;grad U:

®¢®àï ® 業âà «ì­ëå ᨫ å, ¬ë â ª¦¥ ¨á¯®«ì§ã¥¬ ­¥ª®â®àãî ¡- áâà ªæ¨î. â® ®§­ ç ¥â ᨫ®¢®© 業âà, ª ª®â®à®¬ã (¨«¨ ®â ª®â®à®£®) ­ ¯à ¢«¥­® ¯®«¥ ᨫ? ë ¯à¥¤¯®« £ ¥¬, ç⮠業âà ­¥¯®¤¢¨¦¥­, ­® à¥- «ì­® ®­ ®¡à §®¢ ­ ª ª¨¬¨-⮠䨧¨ç¥áª¨¬¨ ⥫ ¬¨ | § àï¤ ¬¨ ¢ á«ã- ç ¥ í«¥ªâà¨ç¥áª®£® ¯®«ï, ¬ áá ¬¨ | ¢ á«ãç ¥ £à ¢¨â 樮­­®£®. à®áâ® ¯à¨ ®¯à¥¤¥«¥­­ëå ãá«®¢¨ïå ¤¢¨¦¥­¨¥¬ 業âà ¬®¦­® ¯à¥­¥¡à¥çì. ª - ¦¥¬, ¨§ãç ï ¤¢¨¦¥­¨¥ á¯ãâ­¨ª ¢®ªà㣠¥¬«¨ ¬ë, áâண® £®¢®àï, ¤®«¦­ë ãç¥áâì, çâ® á¯ãâ­¨ª ¨ ¥¬«ï ¤¢¨¦ãâáï ¢®ªà㣠®¡é¥£® 業âà ¬ áá. ®

4.5. ª®­ á®åà ­¥­¨ï í­¥à£¨¨

107

¬ áá ¥¬«¨ ­ ¬­®£® ¯à¥¢ëè ¥â ¬ ááã á¯ãâ­¨ª , 業âà ¬ áá á¨áâ¥¬ë ¯à ªâ¨ç¥áª¨ ᮢ¯ ¤ ¥â á 業â஬ ¥¬«¨, ¨ ¥¥ ¬®¦­® áç¨â âì ­¥¯®¤¢¨¦- ­ë¬ 業â஬ £à ¢¨â 樮­­®£® ¯®«ï.

᫨ ¦¥ â ª®£® ¤®¯ã饭¨ï ᤥ« âì ­¥«ì§ï, â® à áᬠâਢ îâ ᨫë

¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢¨ï ¬¥¦¤ã ⥫ ¬¨.	®£¤	á¨«ë ­ ¯à ¢«¥­ë ¢¤®«ì «¨­¨¨,
ᮥ¤¨­ïî饩 ⥫ , ¨å ¢¥«¨ç¨­	§ ¢¨á¨â ⮫쪮 ®â ¢§ ¨¬­®£® à ááâ®-
ï­¨ï r12 = j~r1 ; ~r2j, ¬ë ¨¬¥¥¬ ¤¥«® á		­ «®£®¬ 業âà «ì­ëå ᨫ. ¤¥áì
⮦¥ ¬®¦­® ¢¢¥á⨠¯®â¥­æ¨ «ì­ãî í­¥à£¨î ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï ⥫ ¬¥¦¤ã

ᮡ®© U(r12), â ª ç⮠ᨫ			~	¬¥¦¤ã ⥫ ¬¨ 1	¨ 2 㤮¢«¥â¢®àï¥â á®®â-
			F12
~	d~r12	= ;dU(r12):
­®è¥­¨î F12

4.5ª®­ á®åà ­¥­¨ï í­¥à£¨¨

ãáâì § ¤ ­ á¨á⥬ N ¬ â¥à¨ «ì­ëå â®ç¥ª á ¬ áá ¬¨ m1 : : : mN .

	।¯®«®¦¨¬, çâ® ­ â®çªã á ­®¬¥à®¬ i ¤¥©áâ¢ãîâ 1) ¢­ãâ७­¨¥ ª®­-
	~	á® áâ®à®­ë ¤à㣨å â®ç¥ª j á¨á⥬ë, 2) ¢­¥è­¨¥
	á¥à¢ ⨢­ë¥ ᨫë Fij
	ª®­á¥à¢ ⨢­ë¥ ᨫë	~
		Fi ¨ 3) ª ª¨¥-â® ­¥ª®­á¥à¢ ⨢­ë¥ ᨫë i. à ¢-
	­¥­¨¥ ¤¢¨¦¥­¨ï i;© â®çª¨ ¨¬¥¥â ¢¨¤
		N
	_	X	~	~	~
	mi~vi =		Fij	+ Fi	+ i	i = 1 : : : N:	(4.44)

j=1 j=6i

¬­®¦¨¬ ®¡¥ ç á⨠­ í«¥¬¥­â à­®¥ ¯¥à¥¬¥é¥­¨¥ d~ri = ~vi dt ¨ á«®¦¨¬ ¢á¥ ãà ¢­¥­¨ï ¤«ï â®ç¥ª á ­®¬¥à ¬¨ i = 1 : : : N. ਠí⮬ ãç⥬, çâ®

~v_i dt = d~vi:

	N		N	N
	X		X X		~
		mi~vi d~vi =			Fij
	i=1		i=1
				j=1

j=6i

N

d~ri + Fi

X ~

i=1

		N
		X	~
	d~ri +		i d~ri: (4.45)
		i=1

áᬮâਬ ¯®-®â¤¥«ì­®á⨠ª ¦¤ë© ç«¥­ ¢ í⮬ ãà ¢­¥­¨¨.

«¥¢®© ç á⨠á⮨⠢¥«¨ç¨­

N	mi~vi d~vi =	N	mi d		vi2		= d	N mivi2	! = dT	(4.46)
i=1		i=1			2			i=1 2
X		X						X

ª®â®à ï á ®ç¥¢¨¤­®áâìî ï¥âáï ¯à¨à 饭¨¥¬ ¯®«­®© ª¨­¥â¨ç¥áª®© í­¥à- £¨¨ T ç áâ¨æ á¨á⥬ë.

108 « ¢ 4. ¡®â ¨ í­¥à£¨ï

¥à¢®¥ á« £ ¥¬®¥ ¢ ¯à ¢®© ç áâ¨ à ¢¥­á⢠(4.45) ¬®¦­® ¯à¥®¡à §®-

¢ âì,	¥á«¨ ãç¥áâì, çâ® ¢ ­¥£® ¢å®¤ïâ ®¤¨­ ª®¢ë¥ ¯® ¬®¤ã«î á¨«ë ¢§					-
		~	~	¨ â.¤.	â ª, ¯®
¨¬®¤¥©áâ¢¨ï ¬¥¦¤ã ç áâ¨æ ¬¨, ­ ¯à¨¬¥à, F12			= ;F21
	~	~

âà¥â쥬㠧 ª®­ã ìîâ®­ Fji = ;Fij , ¨ ¬ë ¬®¦¥¬ § ¯¨á âì íâã á㬬ã

â ª, ç⮡ë á㬬¨à®¢ ­¨¥ ¢ë¯®«­ï«®áì ⮫쪮 ¯® ¨­¤¥ªá ¬ i < j. ¬¥-

áâ® ®¡é¥£® ¢ë¢®¤ ¯à¨¢¥¤¥¬ ¯à¨¬¥à ¯à¥®¡à §®¢ ­¨ï í⮣® á« £ ¥¬®£® ¯à¨ N = 3:

3

3

X X

~

~

~

~

~

~

~

Fij d~ri

= (F12

+ F13) d~r1

+ (F21 + F23) d~r2 + (F31 + F32) d~r3 =

i=1 j=1

j=6i

~

~

d~r1 + (

~

~

d~r2 + (

~

~

d~r3

=

= (F12 + F13)

F12

+ F23)

;

F13

;

F23)

~

~ ;

~

= F~12

d~(~r1 ; ~r~2) + F13

d(~~r1 ;

~r3) + F23

d(~r2

; ~r3) =

= F12 dr12 + F13 d~r13 + F23 d~r23:

¥¯¥àì, ãç¨âë¢ ï ª®­á¥à¢ ⨢­®áâì ¢­ãâ७­¨å ᨫ, ¬ë ¬®¦¥¬ ¢ëà -

§¨âì ª ¦¤®¥ ¨§ á« £ ¥¬ëå ¢ ¯®á«¥¤­¥© áâà®çª¥ ç¥à¥§ ¨§¬¥­¥­¨¥ ¯®â¥­æ¨-
~	~	= ;dU(r12) ¨
«ì­®© í­¥à£¨¨ ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 ¯ àë ç áâ¨æ: F12	dr12
â.¤.

®¡é¥¬ á«ãç ¥ ¯¥à¢®¥ á« £ ¥¬®¥ ¢ ¯à ¢®© ç á⨠(4.45) ¯à¨­¨¬ ¥â ¢¨¤:

N	N				N	N
			~	d~rij =			[;dU(rij )] =
i=1			Fij		i=1
	j=1					j=1
X X					X X
	j>i					j>i
		N N
= ;d				U(rij)		= ;dU¢­ãâà:		(4.47)
		i=1			i
		hX Xj=1
			j>i
¤¥áì ¢¢¥¤¥­® ®¡®§­ 祭¨¥ ~rij				= ~ri ;	~rj.
ë ¯®«ã稫¨, çâ® ¯¥à¢®¥ á« £ ¥¬®¥ à ¢­® (á ®¡à â­ë¬ §­ ª®¬) ¨§-

¬¥­¥­¨î á㬬 à­®© ¯®â¥­æ¨ «ì­®© í­¥à£¨¨ ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢¨ï ¢á¥å ¯ à ç - áâ¨æ, â.¥. ã¡ë«¨ ¯®«­®© ¢­ãâ७­¥© ¯®â¥­æ¨ «ì­®© í­¥à£¨¨ á¨á⥬ë.

â®à®¥ á« £ ¥¬®¥ ¢ (4.45) ®¡ëç­ë¬ ®¡à §®¬ ¢ëà ¦ ¥âáï ç¥à¥§ ¨§¬¥- ­¥­¨¥ ¯®«­®© ¯®â¥­æ¨ «ì­®© í­¥à£¨¨ á¨áâ¥¬ë ¢ ¯®«¥ ¢­¥è­¨å ª®­á¥à¢ -

4.5. ª®­ á®åà ­¥­¨ï í­¥à£¨¨

109

⨢­ëå ᨫ:

N			N		dU(ri) = ;d "	N	U(ri)# = ;dU¢­¥è­:
	~	;
i=1	Fi d~ri =		i=1			i=1
X			X			X
à¥âì¥ á« £ ¥¬®¥ à ¢­® à ¡®â¥ ­¥ª®­á¥à¢ ⨢­ëå ᨫ:
			N
		X		~
				i d~ri = X dAi = dA:

i=1

¡ê¥¤¨­ïï ¢á¥ í⨠१ã«ìâ âë, ¯®«ãç ¥¬

dT = ;dU¢­ãâà ; dU¢­¥è­ + dA

¨«¨, ¢¢®¤ï ®¡®§­ 祭¨¥ E = T + U¢­ãâà + U¢­¥è­,

dE = dA:

(4.48)

(4.49)

(4.50)

¥«¨ç¨­ E ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ¯®«­ãî ¬¥å ­¨ç¥áªãî í­¥à£¨î á¨á⥬ë.᫨ ­ ⥫ á¨áâ¥¬ë ¤¥©áâ¢ãîâ ⮫쪮 ª®­á¥à¢ ⨢­ë¥ ᨫë, â® dA = 0 ¨, ª ª á«¥¤ã¥â ¨§ (4.50), dE = 0 ¨ ¥¥ ¯®«­ ï ¬¥å ­¨ç¥áª ï í­¥à£¨ï

E ­¥ ¨§¬¥­ï¥âáï. ª¨¬ ®¡à §®¬, § ª®­ á®åà ­¥­¨ï ¬¥å ­¨ç¥áª®©

í­¥à£¨¨ £« á¨â, çâ®

¢ ®вбгвбв¢¨¥ ­¥ª®­б¥а¢ в¨¢­ле б¨« ¯®«­ п ¬¥е ­¨з¥- ᪠ï í­¥à£¨ï á¨á⥬ë á®åà ­ï¥âáï:

E = T + U¢­ãâà + U¢­¥è­ = const:

­®£¤ ¢ á¨á⥬¥ ¤¥©áâ¢ãîâ ­¥ª®­á¥à¢ ⨢­ë¥ ᨫë, à ¡®â ª®â®àëå à ¢­ ­ã«î. í⮬ á«ãç ¥ í­¥à£¨ï â ª¦¥ á®åà ­ï¥âáï. ® ¥á«¨ ­¥ª®­- б¥а¢ в¨¢­л¥ б¨«л п¢«повбп б¨« ¬¨ ва¥­¨п, ᮯà®â¨¢«¥­¨ï áà¥¤ë ¨ â.¯., â® ¨å à ¡®â ¢á¥£¤ ®âà¨æ â¥«ì­ (â ª¨¥ á¨«ë ­ ¯à ¢«¥­ë ¯à®â¨¢ ¯¥-

६¥é¥­¨ï), ®âªã¤ á«¥¤ã¥â dE < 0 | ¬¥å ­¨ç¥áª ï í­¥à£¨ï á¨á⥬ë ã¡ë¢ ¥â.

ª®­ á®åà ­¥­¨ï í­¥à£¨¨ ï¥âáï ¢á¥®¡ê¥¬«î騬. ®ª ¬ë ¨¬¥¥¬

¤¥«® ⮫쪮 á ¬¥å ­¨ç¥áª®© í­¥à£¨¥©, ­® ¥áâì ¨ ¤à㣨¥ ¥¥ ä®à¬ë, ¢ ⮬ ç¨á«¥, ¡¥§ ᮬ­¥­¨ï, ­ ¬ ¯®ª ­¥ ¨§¢¥áâ­ë¥. ᫨ ®¡­ à㦨¢ ¥âáï, çâ®

¢ª ª®¬-«¨¡® 䨧¨ç¥áª®¬ ¯à®æ¥áá¥ í­¥à£¨ï ­¥ á®åà ­ï¥âáï, ¬ë ¯à¨¤ã¬ë-

¢¥¬ ­®¢ãî ä®à¬ã í­¥à£¨¨, çâ®¡ë ®¡¥á¯¥ç¨âì ¥¥ â®ç­ë© ¡ « ­á. ®-

áâ㯠ï â ª, ¬ë ¢®¢á¥ ­¥ \¦ã«ì­¨ç ¥¬" ¨ ­¥ ¤¥« ¥¬ ­¥ç¥áâ­®© ¯®¯ë⪨ áªàëâì ­¥¤®áâ ⮪ ­ è¨å §­ ­¨© ® ¯à¨à®¤¥. ª ãç¥­ë¥ \¯à¨¤ã¬ «¨"

x < +1.

110	« ¢ 4. ¡®â ¨ í­¥à£¨ï

¨á. 4.8: ¡« á⨠¤¢¨¦¥­¨ï ç áâ¨æë ¢¡«¨§¨ ¯®«®¦¥­¨© ãá⮩稢®£® ¨ ­¥ãá⮩ç¨- ¢®£® à ¢­®¢¥á¨ï

⥯«®¢ãî, í«¥ªâ஬ £­¨â­ãî, 拉à­ãî ¨ ¤à. ä®à¬ë í­¥à£¨¨. ¤¨­ ¨§ ®á­®¢®¯®«®¦­¨ª®¢ ⥮ਨ ®â­®á¨â¥«ì­®á⨠­à¨ ã ­ª ॠ¯¨á «: \ ®- ᪮«ìªã ¬ë ­¥ ¢ á®áâ®ï­¨¨ ¤ âì ®¡é¥¥ ®¯à¥¤¥«¥­¨¥ í­¥à£¨¨, § ª®­ á®åà - ­¥­¨ï í­¥à£¨¨ á«¥¤ã¥â à áᬠâਢ âì ¯à®áâ®, ª ª 㪠§ ­¨¥ ­ â®, çâ® áãé¥áâ¢ã¥â ­¥çâ®, ®áâ î饥áï ¯®áâ®ï­­ë¬ (¢ «î¡®¬ 䨧¨ç¥áª®¬ ¯à®- æ¥áá¥). ª ª¨¬ ¡ë ®âªàëâ¨ï¬ ­¨ ¯à¨¢¥«¨ ­ á ¡ã¤ã騥 íªá¯¥à¨¬¥­âë, ¬ë § à ­¥¥ §­ ¥¬, çâ® ¨ ⮣¤ ¡ã¤¥â ­¥çâ®, ®¡« ¤ ой¥¥ б¯®б®¡­®бвмо б®еа ­пвмбп, ¨ íâ® ­¥çâ® ¬ë ¬®¦¥¬ ­ §ë¢ âì í­¥à£¨¥©".

4.6á«®¢¨ï à ¢­®¢¥á¨ï ¬¥å ­¨ç¥áª®© á¨á⥬ë

ª®­ á®åà ­¥­¨ï í­¥à£¨¨ ¯®§¢®«ï¥â ¯à®¢¥á⨠­ «¨§ ®¡é¨å ®á®¡¥­­®- á⥩ ¤¢¨¦¥­¨ï, ¥á«¨ ¨§¢¥áâ­ äã­ªæ¨ï ¯®â¥­æ¨ «ì­®© í­¥à£¨¨. áᬮ- âਬ ¤«ï ¯à¨¬¥à ¬ â¥à¨ «ì­ãî â®çªã (ç áâ¨æã), ¤¢¨¦гйгобп ¢¤®«м

®á¨ Ox ¢ ¯®â¥­æ¨ «ì­®¬ ¯®«¥, ¯®ª § ­­®¬ ­ à¨á. 4.8. ®áª®«ìªã ¢ ®¤- ­®à®¤­®¬ ¯®«¥ ᨫ â殮á⨠¯®â¥­æ¨ «ì­ ï í­¥à£¨ï ¯à®¯®à樮­ «ì­ ¢ë-

á®â¥ ¯®¤ê¥¬ ⥫ , ¬®¦­® ¯à¥¤áâ ¢¨âì ᥡ¥ «¥¤ï­ãî £®àªã (¯à¥­¥¡à¥£ ¥¬ â७¨¥¬) á ¯à®ä¨«¥¬, ᮮ⢥âáâ¢ãî騬 ä㭪樨 U(x) ­ à¨áã­ª¥.

§ § ª®­ á®åà ­¥­¨ï í­¥à£¨¨ E = T +U ¨ ¨§ ä ªâ , çâ® ª¨­¥â¨ç¥áª ï í­¥à£¨ï T = E ; U ¢á¥£¤ ­¥®âà¨æ â¥«ì­ , á«¥¤ã¥â, çâ® ç áâ¨æ ¬®¦¥â ­ 室¨âìáï «¨èì ¢ ®¡« áâïå, £¤¥ E U. à¨áã­ª¥ ç áâ¨æ á ¯®«­®©

í­¥à£¨¥© E ¬®¦¥â ¤¢¨£ âìáï ⮫쪮 ¢ ®¡« á⨠[x1 x2] ¨ x3