kalashnikov_tom_1

Fx(xm + x) ; xU00(xm):

4.6. á«®¢¨ï à ¢­®¢¥á¨ï ¬¥å ­¨ç¥áª®© á¨á⥬ë

111

¯¥à¢®© ®¡« á⨠¥¥ ¤¢¨¦¥­¨¥ ¡ã¤¥â ®£à ­¨ç¥­® (䨭¨â­®): ¯à¨ ¤ ­- ­®¬ § ¯ ᥠ¯®«­®© í­¥à£¨¨ ç áâ¨æ ­¥ ¬®¦¥â ¯à¥®¤®«¥âì \£®à®ª" ­ ᢮¥¬

¯ã⨠(¨å ­ §ë¢ îâ ¯®â¥­æ¨ «ì­ë¬¨ ¡ àì¥à ¬¨) ¨ ®¡à¥ç¥­ ¢¥ç­® ®áâ - ¢ âìáï ¢ \¤®«¨­¥" ¬¥¦¤ã ­¨¬¨. ¥ç­® | á â®çª¨ §à¥­¨ï ª« áá¨ç¥áª®© ¬¥å ­¨ª¨, ª®â®àãî ¬ë ᥩç á ¨§ãç ¥¬. ª®­æ¥ ªãàá ¬ë 㢨¤¨¬, ª ª

ª¢	­â®¢ ï ¬¥å ­¨ª ¯®¬®£ ¥â ç áâ¨æ¥ ¢ë¡à âìáï ¨§ § â®ç¥­¨ï ¢ ¯®â¥­-
æ¨	«ì­®© ﬥ | ®¡« á⨠x1 < x < x2.

® ¢â®à®© ®¡« á⨠¤¢¨¦¥­¨¥ ç áâ¨æë ­¥ ®£à ­¨ç¥­® (¨­ä¨­¨â­®), ®­ ¬®¦¥â 㤠«¨âìáï ¡¥áª®­¥ç­® ¤ «¥ª® ®â ­ ç « ª®®à¤¨­ â ­ ¯à ¢®, ­® á«¥¢ ¥¥ ¤¢¨¦¥­¨¥ ¯®-¯à¥¦­¥¬ã ®£à ­¨ç¥­® ¯®â¥­æ¨ «ì­ë¬ ¡ àì¥à®¬:

x x3.
â®çª å íªáâ६㬠¯®â¥­æ¨ «ì­®© í­¥à£¨¨ xmin	¨ xmax ᨫ , ¤¥©-
áâ¢ãîé ï ­ ç áâ¨æã, à ¢­ ­ã«î, ¯®â®¬ã çâ® à ¢­	­ã«î ¯à®¨§¢®¤­ ï
¯®â¥­æ¨ «ì­®© í­¥à£¨¨:
Fx = ;@U@x = 0:	(4.51)

б«¨ ¯®¬¥бв¨вм ¢ нв¨ в®зª¨ ¯®ª®пйгобп з бв¨жг, â® ®­ ®áâ ¢ « áì ¡ë â ¬ . . . ®¯ïâì-â ª¨ ¢¥ç­®, ¥á«¨ ¡ë ­¥ ä«ãªâã 樨 ¥¥ ¯®«®¦¥­¨ï. í⮬ ¬¨à¥ ­¥â ­¨ç¥£® áâண® ¯®ª®ï饣®áï, ç áâ¨æ ¬®¦¥â ¨á¯ëâë¢ âì ­¥¡®«ì- 訥 ®âª«®­¥­¨ï (ä«ãªâã 樨) ®â ¯®«®¦¥­¨ï à ¢­®¢¥á¨ï. ਠí⮬, ¥áâ¥- á⢥­­®, ¢®§­¨ª îâ ᨫë. ᫨ ®­¨ ¢®§¢à é îâ ç áâ¨æã ª ¯®«®¦¥­¨î à ¢­®¢¥á¨ï, â® â ª®¥ à ¢­®¢¥á¨¥ ­ §ë¢ ¥âáï ãá⮩稢ë¬. ᫨ ¦¥ ¯à¨ ®âª«®­¥­¨¨ ç áâ¨æë ¢®§­¨ª î騥 á¨«ë ¥é¥ ¤ «ìè¥ ã¢®¤ïâ ¥¥ ®â à ¢- ­®¢¥á­®£® ¯®«®¦¥­¨ï, â® ¬ë ¨¬¥¥¬ ¤¥«® á ­¥ãáâ®©ç¨¢ë¬ à ¢­®¢¥á¨¥¬, ¨ ç áâ¨æ ¢ â ª®¬ ¯®«®¦¥­¨¨ ®¡ëç­® ¤®«£® ­¥ § ¤¥à¦¨¢ ¥âáï. ® ­ «®£¨¨ á «¥¤ï­®© £®àª®© ¬®¦­® ¤®£ ¤ âìáï, çâ® ãáâ®©ç¨¢ë¬ ¡ã¤¥â ¯®«®¦¥­¨¥ ¢

¬¨­¨¬ã¬¥ ¯®â¥­æ¨ «ì­®© í­¥à£¨¨,			­¥ãáâ®©ç¨¢ë¬ | ¢ ¬ ªá¨¬ã¬¥.
®ª ¦¥¬, çâ® íâ® ¤¥©á⢨⥫쭮 â ª.				«ï ç áâ¨æë ¢ â®çª¥ íªáâà¥-
¬ã¬ xm (xmin ¨«¨ xmax) ¤¥©áâ¢ãîé ï ­				­¥¥ ᨫ	Fx(xm) = 0. ãáâì
¢á«¥¤á⢨¥ ä«ãªâã 樨 ª®®à¤¨­ â			ç áâ¨æë ¨§¬¥­ï¥âáï ­			­¥¡®«ìèãî
¢¥«¨ç¨­ã x. ਠ⠪®¬ ¨§¬¥­¥­¨¨ ª®®à¤¨­ âë ­					ç áâ¨æã ­ 筥⠤¥©-
á⢮¢ âì ᨫ
Fx(xm + x)		Fx(xm) + x F0 (xm) = x F 0(xm)				(4.52)
			x		x

(èâà¨å®¬ ®¡®§­ 祭 ¯à®¨§¢®¤­ ï ¯® ª®®à¤¨­ ⥠x). ç¨âë¢ ï, çâ® Fx = ;U0, ¯®«ãç ¥¬ ¤«ï á¨«ë ¢ëà ¦¥­¨¥

(4.53)

112			« ¢ 4. ¡®â ¨ í­¥à£¨ï
â®çª¥ ¬¨­¨¬ã¬		¢â®à ï ¯à®¨§¢®¤­ ï ¯®â¥­æ¨ «ì­®© í­¥à£¨¨ ¯®«®-
¦¨â¥«ì­ :	U00(xmin)	> 0. ®£¤ ¯à¨ ¯®«®¦¨â¥«ì­ëå ®âª«®­¥­¨ïå ®â
¯®«®¦¥­¨ï à ¢­®¢¥á¨ï x > 0 ¢®§­¨ª îé ï ᨫ			®âà¨æ â¥«ì­ , ¯à¨
x < 0 ᨫ	¯®«®¦¨â¥«ì­ . ®¡®¨å á«ãç ïå ᨫ		¯à¥¯ïâáâ¢ã¥â ¨§¬¥­¥-

­¨î ª®®à¤¨­ âë ç áâ¨æë, ¨ ¯®«®¦¥­¨¥ à ¢­®¢¥á¨ï ¢ ¬¨­¨¬ã¬¥ ¯®â¥­æ¨- «ì­®© í­¥à£¨¨ ãá⮩稢®.

®¡®à®â, ¢ â®çª¥ ¬ ªá¨¬ã¬ ¢â®à ï ¯à®¨§¢®¤­ ï ®âà¨æ â¥«ì­ :

U00(xmax) < 0. ®£¤ 㢥«¨ç¥­¨¥ ª®®à¤¨­ âë ç áâ¨æë x ¯à¨¢®¤¨â ª ¢®§­¨ª­®¢¥­¨î ¯®«®¦¨â¥«ì­®© ¦¥ ᨫë, ¥é¥ ¡®«ìè¥ ã¢¥«¨ç¨¢ î饩 ®â-

ª«®­¥­¨¥ ®â ¯®«®¦¥­¨ï à ¢­®¢¥á¨ï. ਠx < 0 ᨫ ®âà¨æ â¥«ì­ , â.¥. ¨ ¢ í⮬ á«ãç ¥ ᯮᮡáâ¢ã¥â ¤ «ì­¥©è¥¬ã ®âª«®­¥­¨î ç áâ¨æë. ª®¥ ¯®«®¦¥­¨¥ à ¢­®¢¥á¨ï ­¥ãá⮩稢®.

ª¨¬ ®¡à §®¬, ¯®«®¦¥­¨¥ ãá⮩稢®£® à ¢­®¢¥á¨ï ¬®¦¥â ¡ëâì ­ ©- ¤¥­® ¯à¨ ᮢ¬¥áâ­®¬ à¥è¥­¨¨ ãà ¢­¥­¨ï ¨ ­¥à ¢¥­áâ¢

U0(x) = 0 U00(x) > 0:

(4.54)

¤ ç 4.12. ®â¥­æ¨ «ì­ ï í­¥à£¨ï ¤¢ãå ⮬­®© ¬®«¥ªã«ë (­ ¯à¨¬¥à, H2 ¨«¨ O2) ®¯¨áë¢ ¥âáï ¢ëà ¦¥­¨¥¬ ¢¨¤

	A	B
U(r) =		; r6	(4.55)
	r12
£¤¥ r | à ááâ®ï­¨¥ ¬¥¦¤ã ⮬ ¬¨,		A B | ¯®«®¦¨â¥«ì­ë¥ ¯®áâ®ï­-
­ë¥. ¯à¥¤¥«¨âì à ¢­®¢¥á­®¥ à ááâ®ï­¨¥ rm ¬¥¦¤ã			⮬ ¬¨ ¬®«¥ªã«ë.
á⮩稢 «¨ ¤¢ãå ⮬­ ï ¬®«¥ªã« ?

¥è¥­¨¥. ¥à¢ë© ç«¥­ ®¯¨áë¢ ¥â ®ââ «ª¨¢ ­¨¥ ⮬®¢ ­ ¬ «ëå à á- áâ®ï­¨ïå (¬®«¥ªã« ᮯà®â¨¢«ï¥âáï ᦠâ¨î), ¢â®à®© | ¯à¨â殮­¨¥ ­ ¡®«ìè¨å à ááâ®ï­¨ïå (¬®«¥ªã« ᮯà®â¨¢«ï¥âáï à §àë¢ã). ᮮ⢥â- á⢨¨ ᮠ᪠§ ­­ë¬, à ¢­®¢¥á­®¥ à ááâ®ï­¨¥ ­ 室¨âáï ¯à¨ à¥è¥­¨¨ ãà ¢- ­¥­¨ï dU=dr = 0. ¨ää¥à¥­æ¨àãï ¯®â¥­æ¨ «ì­ãî í­¥à£¨î, ¯®«ãç ¥¬

U0(r) = ;12A + 6B = 0

r13 r7

®âªã¤ rm = (2A=B)1=6. 室¨¬ ⥯¥àì ¢â®àãî ¯à®¨§¢®¤­ãî ¯®â¥­æ¨-

«ì­®© í­¥à£¨¨						6 7 B
U00(r) =	12 13 A				;
	r14					r8
¨ ¯®¤áâ ¢«ï¥¬ â㤠§­ 祭¨¥ à ¢­®¢¥á­®£® à ááâ®ï­¨ï rm:
U00(rm) =		18 B7=3
				4=3 > 0:				(4.56)
		2	1=3
				A
®«®¦¥­¨¥ à ¢­®¢¥á¨ï ãá⮩稢®.

4.7. ਬ¥àë ¯à¨¬¥­¥­¨ï § ª®­®¢ á®åà ­¥­¨ï

113

4.7ਬ¥àë ¯à¨¬¥­¥­¨ï § ª®­®¢ á®åà ­¥­¨ï

ਢ¥¤¥¬ ¢­ ç «¥ ¯à¨¬¥àë § ¤ ç-®æ¥­®ª, ª®£¤ ­¥ âॡã¥âáï â®ç­®£® à¥- 襭¨ï, ­® «¨èì ¡®«¥¥ ¨«¨ ¬¥­¥¥ ¤¥ª¢ â­ ï ®æ¥­ª ¯®à浪®¢ ¢¥«¨ç¨­.

¤ ç 4.13. ¢®§¤ì § ¡¨«¨ ¯ïâìî ã¤ à ¬¨ ¬®«®âª . 業¨âì, ª ªãî ᨫ㠭 ¤® ¯à¨«®¦¨âì, çâ®¡ë ¢ë¤¥à­ãâì £¢®§¤ì.

¥è¥­¨¥. ãáâì m | ¬ áá ¬®«®âª , v | ¥£® ᪮à®áâì ¢ ¬®¬¥­â 㤠à .«ï ®æ¥­ª¨ ¬®¦­® ¯à¥¤¯®«®¦¨âì, çâ® £¢®§¤î ¯¥à¥¤ ¥âáï ¢áï ª¨­¥â¨ç¥-

᪠ï í­¥à£¨ï ¬®«®âª . ਠn 㤠à å íâ í­¥à£¨ï à ¢­ T = nmv2=2.­¥à£¨ï £¢®§¤ï à á室ã¥âáï ­ ¯à¥®¤®«¥­¨¥ ᨫë â७¨ï F ¯à¨ ¢å®¦¤¥-

­¨¨ £¢®§¤ï ¢ á⥭ã: ¯à¨ 㣫㡫¥­¨¨ £¢®§¤ï ­ à ááâ®ï­¨¥ l ᮢ¥àè ¥âáï

à ¡®â	A = F l. § à ¢¥­á⢠A = T ­ 室¨¬
	F =	nmv2	:	(4.57)
		2l
â	¦¥ ᨫ ¯à¥¯ïâáâ¢ã¥â ¢ëâ ᪨¢ ­¨î £¢®§¤ï. «ï ç¨á«¥­­®© ®æ¥­ª¨

¯à¨¬¥¬ à §ã¬­ë¥ ¨á室­ë¥ ¤ ­­ë¥: m = 1 ª£, v = 5 ¬=á, l = 5 ᬠ=
0:05 ¬. ®«ãç ¥¬ ⮣¤ : F = 5 1 52=(2 0:05) = 1250 : â ᨫ
¯à¨¬¥à­® íª¢¨¢ «¥­â­ ¢¥áã ¬ ááë ¢ 130 ª£.
ਠà¥è¥­¨¨ ¬ë ¯à¥­¥¡à¥£«¨ ¯®â¥àﬨ í­¥à£¨¨ ­		­ £à¥¢ ­¨¥ ¬®-
«®âª ,	£¢®§¤ï ¨ á⥭ª¨, ­® ¯¥à¥¤ ­ ¬¨ áâ®ï« § ¤ ç	¯®«ãç¨âì ¢á¥£®
«¨èì ®æ¥­ªã, ­¥ â®ç­®¥ à¥è¥­¨¥.
¤ ç	4.14. 業¨âì ¬®é­®áâì ¢ë¤¥«¥­¨ï ⥯« ¯à¨ íªáâ७­®¬ â®à-
¬®¦¥­¨¨ £à㧮¢¨ª .

¥è¥­¨¥. ãáâì m | ¬ áá £à㧮¢¨ª , ª®â®àë© ¤¢¨£ «áï ᮠ᪮à®áâìî v.

¨­¥â¨ç¥áª ï í­¥à£¨ï £à㧮¢¨ª ¤® â®à¬®¦¥­¨ï à ¢­ T = mv2=2, ¯®á«¥ | ­ã«î. §­®áâì íâ¨å ª¨­¥â¨ç¥áª¨å í­¥à£¨© ¯¥à¥è« ¢ ⥯«®: Q = mv2=2. ।­îî ᪮à®áâì £à㧮¢¨ª ¢ ¯à®æ¥áᥠâ®à¬®¦¥­¨ï ¬®¦­® ¯à¨- ­ïâì à ¢­®© v=2. ᫨ â®à¬®§­®© ¯ãâì à ¢¥­ l, â® ¤® ®áâ ­®¢ª¨ £à㧮¢¨ª ¯à®è«® ¢à¥¬ï t = 2l=v. âáî¤ ­ 室¨¬ ¬®é­®áâì ¢ë¤¥«¥­¨ï ⥯« :

	Q		mv3
P =	t		4l :

«ï ç¨á«¥­­®© ®æ¥­ª¨ ¯à¨¬¥¬: m = 10 â = 104 ª£, v = 72 ª¬=ç á = 20 ¬=á, l = 20 ¬. ®£¤ ­ 室¨¬: P 104 203=(4 20) = 106 â = 1 â!

¡á®«îâ­® ­¥ã¯à㣮£® 㤠à

114 « ¢ 4. ¡®â ¨ í­¥à£¨ï

ਢ¥¤¥¬ ⥯¥àì ¯à¨¬¥àë ᮢ¬¥áâ­®£® ¨á¯®«ì§®¢ ­¨ï § ª®­®¢ á®åà - ­¥­¨ï ¨¬¯ã«ìá ¨ í­¥à£¨¨ ¯à¨ ¨§ã祭¨¨ á®ã¤ ७¨ï ¤¢ãå ⥫. ਠá⮫ª- ­®¢¥­¨¨ ⥫ ¯à¥â¥à¯¥¢ îâ ¤¥ä®à¬ æ¨î. ਠí⮬ ª¨­¥â¨ç¥áª ï í­¥à- £¨ï, ª®â®à®© ®¡« ¤ «¨ ⥫ ¯¥à¥¤ 㤠஬, ç áâ¨ç­® ¨«¨ ¯®«­®áâìî ¯¥à¥- 室¨â ¢ ¯®â¥­æ¨ «ì­ãî í­¥à£¨î ã¯à㣮© ¤¥ä®à¬ 樨 ¨ ¢® ¢­ãâ७­îî í­¥à£¨î ⥫. ¢¥«¨ç¥­¨¥ ¢­ãâ७­¥© í­¥à£¨¨ ⥫ ¯à¨¢®¤¨â ª ¯®¢ëè¥- ­¨î ¨å ⥬¯¥à âãàë. ãé¥áâ¢ã¥â ¤¢ ¯à¥¤¥«ì­ëå ⨯ 㤠à : ¡á®- «îâ­® ã¯à㣨© ¨ ¡á®«îâ­® ­¥ã¯à㣨©.

¡á®«îâ­® ã¯à㣨¬ ­ §ë¢ ¥âáï 㤠à, ¯à¨ ª®â®à®¬ ¬¥å ­¨ç¥-

᪠ï í­¥à£¨ï ⥫ ­¥ ¯¥à¥å®¤¨â ¢ ¤à㣨¥ ¢¨¤ë í­¥à£¨¨.

ਠ⠪®¬ 㤠ॠª¨­¥â¨ç¥áª ï í­¥à£¨ï ¯¥à¥å®¤¨â ¯®«­®áâìî ¨«¨ ç - áâ¨ç­® ¢ ¯®â¥­æ¨ «ì­ãî í­¥à£¨î ã¯à㣮© ¤¥ä®à¬ 樨. ⥬ ⥫ ¢®§- ¢à é îâáï ª ¯¥à¢®­ ç «ì­®© ä®à¬¥, ®ââ «ª¨¢ ï ¤à㣠¤à㣠, ¨ à §«¥- â îâáï ᮠ᪮à®áâﬨ, ¢¥«¨з¨­ ¨ ­ ¯а ¢«¥­¨¥ ª®в®але ®¯а¥¤¥«повбп ¤¢г¬п гб«®¢¨п¬¨ | á®åà ­¥­¨¥¬ ¯®«­®© í­¥à£¨¨ ¨ á®åà ­¥­¨¥¬ ¯®«­®£® ¨¬¯ã«ìá á¨áâ¥¬ë ¤¢ãå ⥫.

¡á®«îâ­® ­¥ã¯à㣨© 㤠à å à ªâ¥à¨§ã¥âáï ⥬, çâ® ¯®â¥­æ¨ «ì­®© í­¥à£¨¨ ã¯à㣮© ¤¥ä®à¬ 樨 ­¥ ¢®§­¨ª ¥â: ª¨­¥â¨ç¥áª ï í­¥à£¨ï ⥫ ¯®«­®áâìî ¨«¨ ç áâ¨ç­® ¯à¥¢à é ¥âáï ¢® ¢­ãâ७­îî (⥯«®¢ãî) í­¥à- £¨î.

®б«¥ бв®«ª­г¢и¨¥бп в¥« б®- ¥¤¨­повбп ¢®¥¤¨­® ¨ «¨¡® ¤¢¨¦гвбп б ®¤¨­ ª®¢®© бª®а®бвмо, «¨¡® ¯®- ª®пвбп.

ਠ¡á®«îâ­® ­¥ã¯à㣮¬ 㤠ॠ⥫ à ¡®â ¥â «¨èì § ª®­ á®åà ­¥­¨ï ¨¬¯ã«ìá , ¬¥å ­¨ç¥áª ï í­¥à£¨ï ­¥ á®åà ­ï¥âáï, ¯¥à¥å®¤¨â ¢ ⥯«®¢ãî (¢­ãâ७­îî), ¯®í⮬㠨¬¥¥â ¬¥áâ® § ª®­ á®åà ­¥­¨ï á㬬 à­®© í­¥à- £¨¨ | ¬¥å ­¨ç¥áª®© ¨ ¢­ãâ७­¥©.

â ª, ¨¬¥¥¬ ¤¢ áâ «ª¨¢ îé¨åáï è à , ®¡à §ãîé¨å § ¬ª­ãâãî á¨- á⥬ã. áᬮâਬ á­ ç « ¡á®«îâ­® ­¥ã¯à㣨© 㤠à. ç «ì­ë¥ ᪮à®á⨠è ஢ ~v1 ¨ ~v2, ¨å ¬ ááë m1 ¨ m2 ª®­¥ç­ ï ᪮à®áâì è ஢ | ~v. ਠá®ã¤ ७¨¨ ¢ë¯®«­ï¥âáï § ª®­ á®åà ­¥­¨ï ¨¬¯ã«ìá :

m1~v1 + m2~v2 = (m1 + m2)~v						(4.58)
®âªã¤
	~v =	m1~v1	+ m2~v2	:		(4.59)
		m1	+ m2

ª ¨ á«¥¤®¢ «® ®¦¨¤ âì, ᮥ¤¨­¨¢è¨¥áï è àë ¯®á«¥ á®ã¤ ७¨ï ¯à®- ¤®«¦ îâ ¤¢¨£ âìáï ᮠ᪮à®áâìî 業âà ¬ áá á¨áâ¥¬ë ¤® á®ã¤ ७¨ï.

4.7. ਬ¥àë ¯à¨¬¥­¥­¨ï § ª®­®¢ á®åà ­¥­¨ï

115

­¥à£¨ï, ¯¥à¥è¥¤è ï ¯à¨ í⮬ ¢® ¢­ãâ७­îî í­¥à£¨î è ஢, à ¢­ à §­®á⨠ª¨­¥â¨ç¥áª¨å í­¥à£¨© ¤® ¨ ¯®á«¥ á®ã¤ ७¨ï:

Q = m1~v12	+ m2~v22	(m1 + m2)~v 2	=	m1m2(~v1 ; ~v2)2	:	(4.60)
2	2 ;	2		2(m1 + m2)

¤ ç 4.15. à⨫«¥à¨áâë áâ५ïîâ â ª, ç⮡ë ï¤à® ¯®¯ «® ¢ ­¥¯à¨- ï⥫ì᪨© « £¥àì, ­ 室ï騩áï ¢ l0 = 7:2 ª¬ ®â ¯ã誨. ¬®¬¥­â ¢ë«¥â

ï¤à ¨§ ¤ã«	­ ­¥£® ¢áª ª¨¢ ¥â ¡ à®­ î­å 㧥­ ( ¡á®«îâ­® ­¥ã¯à㣨©
㤠à), ¬ áá	ª®â®à®£® ¢ n = 5 à § ¡®«ìè¥ ¬ ááë ï¤à . §-§ í⮣® ï¤à®

¯ ¤ ¥â, ­¥ ¤®«¥â¥¢ ¤® 楫¨. ª®¥ à ááâ®ï­¨¥ ¡ ஭㠯ਤ¥âáï ¯à®©â¨ ¯¥èª®¬, çâ®¡ë ¤®¡à âìáï ¤® ­¥¯à¨ï⥫ì᪮£® « £¥àï? ®¯à®â¨¢«¥­¨¥¬ ¢®§¤ãå ¯à¥­¥¡à¥çì.

¥è¥­¨¥. ᫨ ï¤à® ¢ë«¥â¥«® ¨§ ¤ã« ᮠ᪮à®áâìî v0, â® ¯®á«¥ ¢áª -

ª¨¢ ­¨ï ­

­¥£® ¡ à®­

¥£® ᪮à®áâì áâ « à ¢­®©

v =

mv0

M + m

£¤¥ m | ¬ áá

ï¤à ,

M | ¬ áá

î­å 㧥­ . ®«ì§ãïáì ä®à¬ã« ¬¨

à §¤. 2.7,

à⨫«¥à¨áâë à ááç¨âë¢ «¨ 㣮« ¢®§¢ë襭¨ï ®àã¤¨ï ¯®

ä®à¬ã«¥ (2.36) l0 =

v2

g0

sin 2 . ®áª®«ìªã ᪮à®áâì ¨§¬¥­¨« áì, 㣮«

®áâ «áï ¯à¥¦­¨¬, ¤ «ì­®áâì ¯®«¥â

á®áâ ¢¨â

v2

v

2

m

2

l =

g sin 2 =

l0 = l0

:

v0

M + m

®í⮬㠡 à®­ã ­ ¤® ¡ã¤¥â ¯à®©â¨ à ááâ®ï­¨¥

s = l0

;

l = l0

M(M + 2m) = l0 n(n + 2)

= 7:2

5 7 = 7 ª¬:

(M + m)2

(n + 1)2

62

­ë¬¨ á«®¢ ¬¨, ¡ à®­ã 㤠«®áì ¯à®«¥â¥âì ­

ï¤à¥ ⮫쪮 200 ¬.

¥¯¥àì à áᬮâਬ

¡á®«îâ­® ã¯à㣨© 㤠à.

£à ­¨ç¨¬áï á«ã-

ç ¥¬ 業âà «ì­®£® ã¤ à ¤¢ãå	®¤­®à®¤­ëå è ஢. ¤ à ­ §ë¢ ¥âáï 業-
âà «ì­ë¬, ¥á«¨ è àë ¤® 㤠à	¤¢¨¦ãâáï ¢¤®«ì ¯àאַ©, ¯à®å®¤ï饩 ç¥-

१ ¨å 業âàë. àë à áᬠâਢ ¥¬ ª ª ¬ â¥à¨ «ì­ë¥ â®çª¨, â.¥. ¯à¥- ­¥¡à¥£ ¥¬ ¨å ¢®§¬®¦­ë¬ ¢à 饭¨¥¬. ª ¨ ¢ ¯à¥¤ë¤ã饬 á«ãç ¥, ¯à¥- ­¥¡à¥¦¥¬ â ª¦¥ â७¨¥¬ ® ¯®¢¥àå­®áâì, ¯® ª®â®à®© ¤¢¨¦ãâáï è àë. - ¯¨è¥¬ ãà ¢­¥­¨ï á®åà ­¥­¨ï ¬¥å ­¨ç¥áª®© í­¥à£¨¨ ¨ ¨¬¯ã«ìá . à á- ᬠâਢ ¥¬®¬ á«ãç ¥ 業âà «ì­®£® 㤠à ᪮à®á⨠è ஢ ¯®á«¥ 㤠à

116	« ¢ 4. ¡®â ¨ í­¥à£¨ï

¡ã¤ãâ ­ ¯à ¢«¥­ë ¢¤®«ì ⮩ ¦¥ ¯àאַ©, ¯® ª®â®à®© ¤¢¨£ «¨áì 業âàë è ஢ ¯¥à¥¤ 㤠஬. ®í⮬㠢¥ªâ®àë ᪮à®á⥩ ¬®¦­® § ¬¥­¨âì ¨å ¯à®¥ªæ¨ï¬¨ ­ «¨­¨î á®ã¤ ७¨ï:

m1v2	+	m2v 2	=	m1v2	+	m2v2		(4.61)
10		20		1		2
2		2		2		2
m1v10 + m2v20			=	m1v1 + m2v2				(4.62)

£¤¥ m1 ¨ m2 | ¬ ááë è ஢, v10 ¨ v20 | ᪮à®á⨠è ஢ ¤® ã¤ à ¨ v1 ¨ v2 | ᪮à®á⨠è ஢ ¯®á«¥ 㤠à (᪮à®á⨠¯®­¨¬ îâáï ¢ «£¥¡à ¨ç¥áª®¬

á¬ëá«¥: §­ ª 㪠§ë¢ ¥â ­ ¯à ¢«¥­¨¥ ¤¢¨¦¥­¨ï ¢¤®«ì «¨­¨¨ á®ã¤ ७¨ï).८¡à §ã¥¬ ãà ¢­¥­¨ï á®åà ­¥­¨ï í­¥à£¨¨ ¨ ¨¬¯ã«ìá ª ¢¨¤ã:

m1(v10 ; v1)(v10	+ v1)	=	m2(v2	; v20)(v2 + v20)	(4.63)
m1(v10	; v1)	=	m2(v2	; v20):	(4.64)

ëà ¦¥­¨ï, áâ®ï騥 ¢ «¥¢®© ¨ ¯à ¢®© ç áâïå (4.64), ¡ã¤¥¬ áç¨â âì ®â-

«¨ç­ë¬¨ ®â ­ã«ï (¨­ ç¥ v10 = v1 ¨ v20 = v2 | ᪮à®á⨠è ஢ ­¥ ¨§¬¥- ­¨«¨áì, â.¥. á⮫ª­®¢¥­¨ï ­¥ ¯à®¨§®è«®). §¤¥«¨¬ ãà ¢­¥­¨¥ (4.63) ­

(4.64), ¯®á«¥ 祣® ¯®«ã稬:

					v10 + v1 = v2 + v20 :						(4.65)
¬­®¦¨¬ (4.65)	­ m2		¨ ¢ëç⥬ ¨§ ­¥£® (4.64). 室¨¬:
		1			2m2v20	+ (m1	;	m2)v10			(4.66)
		v		=					:
						m1 + m2
¬­®¦¨¬ (4.65)	­ m1		¨ á«®¦¨¬ á (4.64). ¬¥¥¬:
		v2		=	2m1v10	+ (m2	; m1)v20		:		(4.67)
						m1 + m2

®â«¨ç¨¥ ®â ­¥ã¯à㣮£® á⮫ª­®¢¥­¨ï, §¤¥áì ᪮à®á⨠è ஢ ¯®á«¥

á®ã¤ ७¨ï ­¥ ¬®£ãâ ¡ëâì à ¢­ë. á ¬®¬ ¤¥«¥, ¥á«¨ v1 = v2, â® ¨§ (4.66), (4.67) á«¥¤ã¥â, çâ® ¤® á®ã¤ ७¨ï ᪮à®á⨠⮦¥ ¡ë«¨ à ¢­ë v10 = v20.® ¢ í⮬ á«ãç ¥ á®ã¤ ७¨¥ ­¥ ¬®¦¥â ¯à®¨§®©â¨. ਠ業âà «ì­®¬

㤠ॠè àë á⮫ª­ãâáï, ¥á«¨ ®­¨ ¤¢¨¦ãâáï ­ ¢áâà¥çã ¤à㣠¤àã£ã ¨«¨ ®¤¨­ è à ¤®£®­ï¥â ¤à㣮©.

4.7. ਬ¥àë ¯à¨¬¥­¥­¨ï § ª®­®¢ á®åà ­¥­¨ï

117

­ «¨§ ¯®«ã祭­ëå ᮮ⭮襭¨©.

1.᫨ ¢â®à®© è à ¯¥à¢®­ ç «ì­® ¯®ª®¨«áï (v20 = 0), â® ¯®á«¥ á®ã¤ - ७¨ï ᪮à®á⨠è ஢ § ¤ îâáï ᮮ⭮襭¨ï¬¨

v1	=	(m1 ; m2)v10 v2 =	2m1v10	:
		m1 + m2	m1 + m2
­ ª ᪮à®á⨠v2	ᮢ¯ ¤ ¥â á® §­ ª®¬ v10: ¯®ª®¨¢è¨©áï è à ®¡ï-

§ ⥫쭮 ­ 筥⠤¢¨£ âìáï ¢ ­ ¯à ¢«¥­¨¨ ¤¢¨¦¥­¨ï ­ «¥â î饣® è à . ­ ª ᪮à®á⨠v1 § ¢¨á¨â ®â ᮮ⭮襭¨ï ¬ áá è ஢: ¥á«¨ ¯®ª®¨¢è¨©áï è à ¡®«¥¥ ¬ áᨢ¥­, â® ­ «¥â ¢è¨© ®â᪮ç¨â ¢ ®¡à â- ­®¬ ­ ¯à ¢«¥­¨¨, ¥á«¨ ¡®«¥¥ ¬ áᨢ¥­ ­ «¥â î騩 è à, ®­ ¯à®¤®«-

¦¨â ¤¢¨¦¥­¨¥ ¢ ⮬ ¦¥ ­ ¯à ¢«¥­¨¨. à¨ à ¢¥­á⢥ ¬ áá ­ «¥â î- 騩 è à ®áâ ­®¢¨âáï.

áᬮâਬ ¤¢ ¯à¥¤¥«ì­ëå á«ãç ï:

(a)áá ¯®ª®ï饣®áï è à £®à §¤® ¡®«ìè¥ ¬ ááë ­ «¥â î饣®: m2 m1. ®£¤ v2 0 (â殮«ë© è à ®áâ ¥âáï ­¥¯®¤¢¨¦- ­ë¬) ¨ v1 ;v10 («¥£ª¨© è à ®â᪠ª¨¢ ¥â á ⮩ ¦¥ ᪮à®áâìî ¢ ®¡à â­®¬ ­ ¯à ¢«¥­¨¨).

(b)áá ­ «¥â î饣® è à ­ ¬­®£® ¯à¥¢®á室¨â ¬ ááã ¯®ª®ïé¥- £®áï: m1 m2. ®£¤ v1 v10 (â殮«ë© è à ­¥ ¬¥­ï¥â ᢮¥© ᪮à®áâ¨) ¨ v2 2v10.

2.᫨ ¬ ááë è ஢ à ¢­ë (m1 = m2), â® ¨§ (4.66) ¨ (4.67) á«¥¤ã¥â v1 = v20, v2 = v10, â.¥. è àë ¯à¨ á®ã¤ ७¨¨ ®¡¬¥­¨¢ îâáï ᪮à®- áâﬨ. ç áâ­ë¬ á«ãç ¥¬ í⮣® ¥­¨ï ¬ë ¯®§­ ª®¬¨«¨áì ¢ëè¥: ¤® á®ã¤ ७¨ï ¯®ª®¨«áï è à 2, ¯®á«¥ | è à 1.

3.᫨ ®¡ è à ¤¢¨£ îâáï, ­® ¬ áá ®¤­®£® è à ¬­®£® ¡®«ìè¥ ¬ ááë ¤à㣮£® (m2 m1), â® v1 2v20 ;v10 v2 v20. ­ ç¥ £®¢®àï, ¬ áᨢ- ­ë© è à ­¥ \§ ¬¥ç ¥â" á®ã¤ ७¨ï á «¥£ª¨¬ è ஬ ¨ ¯à®¤®«¦ ¥â ¤¢¨£ âìáï á ¯à¥¦­¥© ᪮à®áâìî. ª®à®áâì ¦¥ «¥£ª®£® è à ¬¥­ï- ¥âáï: ¬ë ¯®«ã稫¨ ª®¬¡¨­ æ¨î १ã«ìâ ⮢ ¯¯. 1a), 1b).

®§­ ª®¬¨¢è¨áì á ª®­ªà¥â­ë¬¨ ¯à¨¬¥à ¬¨ ¯à¨¬¥­¥­¨ï § ª®­®¢ á®- åà ­¥­¨ï, ¬ë ¬®¦¥¬ ⥯¥àì áä®à¬ã«¨à®¢ âì ­¥ª¨¥ ®¡é¨¥ ¢ ¦­ë¥ ¯®«®- ¦¥­¨ï. ¥ ¢á¥ ¨§ ­¨å ¢ë⥪ îâ, ¯à ¢¤ , ¨§ ¢ëè¥áª § ­­®£®, ­® íâ® ¨ ­¥ 㤨¢¨â¥«ì­®: á ¬® ¯®­ï⨥ í­¥à£¨¨ £®à §¤® è¨à¥ ¥£® ¯à®ï¢«¥­¨ï ¢ ¬¥å ­¨ª¥, ¨ ¬ë ⮫쪮 ­ 稭 ¥¬ á ­¨¬ §­ ª®¬¨âìáï. â ª.

118	« ¢ 4. ¡®â ¨ í­¥à£¨ï
1.	ª®­ë á®åà ­¥­¨ï ­®áïâ äã­¤ ¬¥­â «ì­ë© å à ªâ¥à ¨ â¥á­® á¢ï-
	§ ­ë á ᨬ¬¥âਥ© ¯à®áâà ­á⢠¨ ¢à¥¬¥­¨. ª®­ á®åà ­¥­¨ï í­¥à-
	£¨¨ á¢ï§ ­ á ®¤­®à®¤­®áâìî ¢à¥¬¥­¨, â.¥. à ¢­®§­ ç­®áâìî ¢á¥å ¬®-

¬¥­â®¢ ¢à¥¬¥­¨. ª®­ á®åà ­¥­¨ï ¨¬¯ã«ìá á¢ï§ ­ á ®¤­®à®¤­®áâìî ¯à®áâà ­á⢠, â.¥. à ¢­®§­ ç­®áâìî ¢á¥å â®ç¥ª ¯à®áâà ­á⢠.

2.ª®­ë á®åà ­¥­¨ï ­®áïâ ®¡é¨© å à ªâ¥à ¨ ­¥ § ¢¨áï⠮⠪®­ªà¥â- ­®© á¨áâ¥¬ë ¨ ¥¥ ¤¢¨¦¥­¨ï. § § ª®­®¢ á®åà ­¥­¨ï ¢ë⥪ ¥â, çâ® ª ª¨¥-â® ¯à®æ¥ááë § ¢¥¤®¬® ®ª §ë¢ îâáï ­¥¢®§¬®¦­ë¬¨. ª, ¢

1775 £. à ­æã§áª ï ª ¤¥¬¨ï à¥è¨« ­¥ ¯à¨­¨¬ âì ª à áᬮâà¥- ­¨î ¯à®¥ªâë ¢¥ç­ëå ¤¢¨£ ⥫¥© ª ª ¯à®â¨¢®à¥ç é¨å § ª®­ã á®åà - ­¥­¨ï í­¥à£¨¨.

3.ª®­ë á®åà ­¥­¨ï ¯®§¢®«ïîâ à áᬮâà¥âì ®¡é¨¥ ᢮©á⢠¤¢¨¦¥- ­¨ï ¡¥§ à¥è¥­¨ï ãà ¢­¥­¨© ¨ ¤¥â «ì­®© ¨­ä®à¬ 樨 ® ¯à®â¥ª ­¨¨ ¯à®æ¥áᮢ ¢® ¢à¥¬¥­¨. ®í⮬㠧 ª®­ë á®åà ­¥­¨ï ¬®£ãâ ¡ëâì ¨á-

¯®«ì§®¢ ­ë ¤ ¦¥ ¢ â¥å á«ãç ïå, ª®£¤ ᨫë â®ç­® ­¥ ¨§¢¥áâ­ë. ª, ¢ ç áâ­®áâ¨, ®¡á⮨⠤¥«® ¢ 䨧¨ª¥ í«¥¬¥­â à­ëå ç áâ¨æ. ¦¥ ¢ â¥å á«ãç ïå, ª®£¤ á¨«ë § ¤ ­ë ¢ â®ç­®áâ¨, § ª®­ë á®åà ­¥­¨ï ¬®- £ãâ ®ª § âì áãé¥á⢥­­ãî ¯®¬®éì ¯à¨ à¥è¥­¨¨ § ¤ ç ® ¤¢¨¦¥­¨¨

çáâ¨æ.

4.8ª®­ á®åà ­¥­¨ï ¬®¬¥­â ¨¬¯ã«ìá

ë 㦥 £®¢®à¨«¨, çâ® § ª®­ë á®åà ­¥­¨ï í­¥à£¨¨ ¨ ¨¬¯ã«ìá á¢ï§ ­ë á ®¤­®à®¤­®áâìî ¢à¥¬¥­¨ ¨ ¯à®áâà ­á⢠, ᮮ⢥âá⢥­­®. ® ã âà¥å¬¥à- ­®£® ¯à®áâà ­á⢠, ¢ ®â«¨ç¨¥ ®â ®¤­®¬¥à­®£® ¢à¥¬¥­¨, ¨¬¥¥âáï ¥é¥ ®¤­ ᨬ¬¥âà¨ï. à®áâà ­á⢮ á ¬® ¯® ᥡ¥ ¨§®âய­®, ¢ ­¥¬ ­¥â ¢ë¤¥«¥­­ëå ­ ¯à ¢«¥­¨©. í⮩ ᨬ¬¥âਥ© á¢ï§ ­ § ª®­ á®åà ­¥­¨ï ¬®¬¥­â ¨¬¯ã«ìá . â á¢ï§ì ¯à®ï¢¨âáï ¢ ⮬, çâ® ¬®¬¥­â ª®«¨ç¥á⢠¤¢¨¦¥- ­¨ï, ª ª ¬ë 㢨¤¨¬ ¢ ¤ «ì­¥©è¥¬, ï¥âáï ®¤­®© ¨§ ®á­®¢­ëå ¢¥«¨ç¨­,

®¯¨áë¢ îé¨å ¢à é ⥫쭮¥ ¤¢¨¦¥­¨¥.~
® ®¯à¥¤¥«¥­¨î ¬®¬¥­â ¨¬¯ã«ìá		L ®â¤¥«ì­®© ç áâ¨æë à ¢¥­ ¢¥ª-
â®à­®¬ã ¯à®¨§¢¥¤¥­¨î à ¤¨ãá-¢¥ªâ®à		~r ç áâ¨æë ­	¥¥ ¨¬¯ã«ìá p~:
	~		(4.68)
	L = [~r p~] = [~r m~v]:
¯à ¢«¥­¨¥ ¢¥ªâ®à	~
	L ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¯® ¯à ¢¨«ã ¡ãà ¢ç¨ª (è⮯®à ),
¥£® ¢¥«¨ç¨­ à ¢­	L = rp sin ', £¤¥ ' | 㣮« ¬¥¦¤ã ~r ¨ p~. ¥«¨ç¨­

4.8. ª®­ á®åà ­¥­¨ï ¬®¬¥­â ¨¬¯ã«ìá

119

~

¨á. 4.9: ®¬¥­â ¨¬¯ã«ìá L ç áâ¨æë ¬ áᮩ m

l = r sin ' à ¢­ à ááâ®ï­¨î ®â ­ ç « ª®®à¤¨­ â O ¤® ¯àאַ©, ¢¤®«ì

ª®â®à®© ­ ¯à ¢«¥­ ¨¬¯ã«ìá ç áâ¨æë.						â ¢¥«¨ç¨­ ­ §ë¢ ¥âáï ¯«¥ç®¬
~								­ ç «	ª®®à¤¨­ â, ¯®-
¨¬¯ã«ìá (à¨á. 4.9). ¥ªâ®à L § ¢¨á¨â ®â ¢ë¡®à
í⮬㠣®¢®àï ® ­¥¬, ®¡ëç­® 㪠§ë¢ îâ: \¬®¬¥­â ¨¬¯ã«ìá									®â­®á¨â¥«ì­®
â®çª¨ O".
áᬮâਬ ¯à®¨§¢®¤­ãî ¯® ¢à¥¬¥­¨ ®â ¬®¬¥­â ¨¬¯ã«ìá :
~	d
ddtL =			[~r ~p] = [d~rdt		p~] + [r~ d~pdt ]:				(4.69)
	dt
				_				0. ® ¢â®à®¬ á« £ -
¥à¢®¥ á« £ ¥¬®¥ à ¢­® ­ã«î, â.ª. [~r p~] = [~v m~v]
¥¬®¬, ᮣ« á­® ¢â®à®¬ã § ª®­ã ìîâ®­ , ¯à®¨§¢®¤­ãî ¨¬¯ã«ìá ¬®¦­®
§ ¬¥­¨вм ­ ¤¥©бв¢гойго ­				⥫® ᨫã.
¥ªâ®à­®¥ ¯à®¨§¢¥¤¥­¨¥ à ¤¨ãá-¢¥ªâ®à ­								ᨫ㠭 §ë¢ ¥âáï ¬®-
¬¥­â®¬ á¨«ë ®â­®á¨â¥«ì­® â®çª¨ O:
		~		~					(4.70)
			M = [~r F ]:

¯à ¢«¥­¨¥ ¬®¬¥­â á¨«ë ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ⥬ ¦¥ ¯à ¢¨«®¬ ¡ãà ¢ç¨ª .

£® ¢¥«¨ç¨­ M = rF sin , £¤¥ | 㣮« ¬¥¦¤ã à ¤¨ãá-¢¥ªâ®à®¬ ¨ ᨫ®©. ­ «®£¨ç­® ⮬ã, ª ª íâ® ¡ë«® ᤥ« ­® ¢ëè¥, ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¨

¯«¥ç® ᨫë l = r sin | à ááâ®ï­¨¥ ®â â®çª¨ O ¤® «¨­¨¨ ¤¥©á⢨ï ᨫë.

¨â®£¥ ¨§ (4.69) ¯®«ãç ¥¬ ãà ¢­¥­¨¥ ¤¢¨¦¥­¨ï ¤«ï ¬®¬¥­â					¨¬-
¯ã«ìá ç áâ¨æë:
	~
		dL	~		(4.71)
		dt
			= M:

120 « ¢ 4. ¡®â ¨ í­¥à£¨ï

® ä®à¬¥ ãà ¢­¥­¨¥ ­ «®£¨ç­® ¢â®à®¬ã § ª®­ã ìîâ®­ : ¢¬¥áâ® ¨¬-

¯ã«ìá ç áâ¨æë á⮨⠬®¬¥­â ¨¬¯ã«ìá , ¢¬¥á⮠ᨫë | ¬®¬¥­â ᨫë.
~	~
᫨ M = 0, â® L = const, â.¥. ¬®¬¥­â ¨¬¯ã«ìá ç áâ¨æë ¯®áâ®-
п­¥­ ¢ ®вбгвбв¢¨¥ ¬®¬¥­в®¢ б¨«, ¤¥©áâ¢ãîé¨å ­							­¥¥.
	~	= (~r=r) F(r) ¨ ¬®¬¥­â á¨«ë ®â­®á¨â¥«ì­®
«ï 業âà «ì­ëå ᨫ F
ᨫ®¢®£® 業âà à ¢¥­ ­ã«î:
	~	~	F(r)		[~r ~r] 0:
	M = [~r F] =		r				(4.72)
				~		~
ª¨¬ ®¡à §®¬, ¤«ï 業âà «ì­ëå ᨫ dL=dt = 0,						â.¥. L = const. à㣨¬¨
á«®¢ ¬¨,
¢ ¯®«¥ 業âà «ì­ëå ᨫ ¬®¬¥­â ¨¬¯ã«ìá ⥫							á®åà ­ï-
¥âáï.
âáî¤	¢ë⥪ ¥â ¢ ¦­®¥ á«¥¤á⢨¥. ®áª®«ìªã ¬®¬¥­â ¨¬¯ã«ìá ®à-
⮣®­ «¥­ ¯«®áª®áâ¨, § ¤ ¢ ¥¬®© ¨¬¯ã«ìᮬ ⥫						¨ à ¤¨ãá-¢¥ªâ®à®¬, ¯à®-
¢¥¤¥­­ë¬ ¨§ 業âà ᨫ, íâ		¯«®áª®áâì ­¥ ¬¥­ï¥â ᢮¥£® ¯®«®¦¥­¨ï á®
¢à¥¬¥­¥¬.	­ë¬¨ á«®¢ ¬¨, ®à¡¨â		ª ¦¤®£® ⥫			¢ ¯®«¥ 業âà «ì­ëå ᨫ

«¥¦¨â ¢ ®¤­®© ¯«®áª®áâ¨, ¯à®å®¤ï饩 ç¥à¥§ 業âà ᨫ (å®âï ¤«ï à §­ëå ⥫ í⨠¯«®áª®á⨠¬®£ãâ à §«¨ç âìáï). ª¨¬ ®¡à §®¬, ¢ ¯®«¥ 業âà «ì- ­ëå ᨫ ­¥¢®§¬®¦­ë, ­ ¯à¨¬¥à, ¢¨­â®¢ë¥ âà ¥ªâ®à¨¨.

áᬮâਬ ⥯¥àì á¨á⥬ã, á®áâ®ïéãî ¨§ ¤¢ãå ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢ãîé¨å

çáâ¨æ. à ¢­¥­¨ï ¤¢¨¦¥­¨ï íâ¨å ç áâ¨æ ¨¬¥îâ ¢¨¤:

					_	~	~
				p~1		= F12	+ F1
					_	~	~				(4.73)
				p~2		= F21	+ F2
~	~	| ¢­¥è­¨¥ ᨫë,				~	~
£¤¥ F1	¨ F2					F12 =	;F21 | ¢­ãâ७­¨¥ á¨«ë ¢§ ¨¬®-
¤¥©áâ¢¨ï ¬¥¦¤ã ç áâ¨æ ¬¨, ­ ¯à ¢«¥­­ë¥ ¢¤®«ì «¨­¨¨, ¨å ᮥ¤¨­ïî饩
~	~r1 ;	~r2). ¬­®¦¨¬ ¯¥à¢®¥ ãà ¢­¥­¨¥ ¢¥ªâ®à­® á«¥¢ ­ à ¤¨ãá-
(F12 k
¢¥ªâ®à ¯¥à¢®© ç áâ¨æë ~r1,					¢â®à®¥ | ¢¥ªâ®à­® á«¥¢						­ à ¤¨ãá-¢¥ªâ®à
¢â®à®© ç áâ¨æë ~r2:
			_			~		~
		[~r1 p~1] = [~r1 F12] + [~r1 F1]
			_		=	~		~			(4.74)
		[~r2 p~2]				[~r2 F21] + [~r2 F2]:
ç¨âë¢ ï, çâ®
		_		d		_			d
									dt [~r p~]
		[~r p~] =		dt	[~r ~p] ; [~r p~] =						(4.75)