kalashnikov_tom_1

2.7. ¢¨¦¥­¨¥ ⥫ , ¡à®è¥­­®£® ¯®¤ 㣫®¬ ª £®à¨§®­âã

51

ãâì, ¯à®©¤¥­­ë© ⥫®¬. ¢à¥¬ï t ⥫® ¯à®å®¤¨â ¯ãâì

t t

S(t) = Z v(t0) dt0 = Z qvx2 + vy2 dt0 =

0 0 t

= Z qv02 ; 2v0g t0 sin + g2 t0 2 dt0: (2.46)

0

­â¥£à « ¡¥à¥âáï ¢ í«¥¬¥­â à­ëå äã­ªæ¨ïå, ­® ¨§-§ £à®¬®§¤ª®£® ®â¢¥â ¤«ï à áç¥â®¢ ¯à¥¤¯®çâ¨â¥«ì­¥¥ ¨á¯®«ì§®¢ ­¨¥ ª®¬¯ìîâ¥à .

ááâ®ï­¨¥ ®â ¬¥áâ áâ àâ . ¬®¬¥­â㠢६¥­¨ t à ááâ®ï­¨¥ ®â ¬¥áâ áâ àâ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¬®¤ã«¥¬ à ¤¨ãá-¢¥ªâ®à :

				g2t2
r = px2		+ y2 = trv0(v0 ; gt sin ) +
				4 :	(2.47)
¤¨ãá ªà¨¢¨§­ë âà ¥ªâ®à¨¨ ¢ § ¤ ­­®© â®çª¥.					®вбгвбв¢¨¥
ᮯà®â¨¢«¥­¨ï ¢®§¤ãå		⥫® ¤¢¨¦¥âáï á ¯®áâ®ï­­ë¬ ã᪮७¨¥¬ ᨫë

â殮á⨠~g, ª®â®à®¥ ¨ ï¥âáï ¯®«­ë¬ ã᪮७¨¥¬. ­£¥­æ¨ «ì­ ï ª®¬- ¯®­¥­â ã᪮७¨ï, å à ªâ¥à¨§ãîé ï ¡ëáâà®âã ¨§¬¥­¥­¨ï ¬®¤ã«ï ᪮à®- áâ¨, à ¢­

= dvdt =

d

q

=

a

v02 cos2 + (v0 sin ; gt)2

(2.48)

dt

=

;

g

v0 sin

; gt

:

2

2

+ (v0 sin

gt)

2

v0 cos

;

®à¬ «ì­ ï ª®¬¯®­¥­â

ã᪮àp¥­¨ï, ¨§¬¥­ïîé ï ­ ¯à ¢«¥­¨¥ ᪮à®áâ¨

⥫ , ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ᮮ⭮襭¨¥¬:

v0 cos

p

an =

2

2

;

2 :

(2.49)

g2 ; a2 = g

+ (v0 sin

gt)

v0 cos

ᯮ«ì§ãï á¢ï§ì (2.30) ­®à¬ p«ì­®© ª®¬¯®­¥­âë ã᪮७¨ï á à ¤¨ãᮬ

ªà¨¢¨§­ë, ­ 室¨¬ R:

v2

[v02 cos2 + (v0 sin

;

gt)2]3=2

R = an =

gv0 cos

:

(2.50)

ç¨á«¨â¥«¥ í⮣® ¢ëà ¦¥­¨ï á⮨â á⥯¥­ì ¬®¤ã«ï ᪮à®áâ¨. ®í⮬ã, ¤ ¦¥ ­¥ ¢ëç¨á«ïï ¯à®¨§¢®¤­®©, ¬ë ¬®¦¥¬ ®â¢¥â¨âì ­ ¢®¯à®á, ¢ ª ª®© â®çª¥ âà ¥ªâ®à¨¨ ªà¨¢¨§­ ¬ ªá¨¬ «ì­ ? ¤¨ãá ªà¨¢¨§­ë ¤®á⨣ ¥â

52 « ¢ 2. ¨­¥¬ ⨪ ¬ â¥à¨ «ì­®© â®çª¨

¬¨­¨¬ã¬ â ¬, £¤¥ ¬¨­¨¬ «ì­ ᪮à®áâì, íâ® á«ãç ¥âáï ¢ ¢¥àå­¥© â®çª¥ âà ¥ªâ®à¨¨, £¤¥ ®вбгвбв¢г¥в ¢¥ав¨ª «м­ п ª®¬¯®­¥­в бª®а®бв¨

v0 sin ; gt = 0 (£®à¨§®­â «ì­ ï, ¥é¥ à § ­ ¯®¬­¨¬, ¢áî¤ã ¨¬¥¥â ®¤­® ¨ â® ¦¥ §­ 祭¨¥). í⮩ â®çª¥ v = v0 cos an = g ¨ ¯®í⮬ã

Rmin =	v02 cos2		:	(2.51)
	g

«ï áà ¢­¥­¨ï: à ¤¨ãá ªà¨¢¨§­ë R0 ¢ ­ ç «ì­ë© ¬®¬¥­â t = 0 à ¢¥­

v2 R0 = g cos0 :

®«®¦¥­¨¥ 業âà ªà¨¢¨§­ë (¤«ï ¢ëá襩 â®çª¨ âà ¥ªâ®-

ਨ). ® ®¯à¥¤¥«¥­¨î à ¤¨ãá ªà¨¢¨§­ë 業âà ªà¨¢¨§­ë ¤«ï ¢ëá襩 â®çª¨ âà ¥ªâ®à¨¨ ­ 室¨âáï ¯àאַ ¯®¤ í⮩ â®çª®© ­ ¢ëá®â¥

v2

yR = ymax ; Rmin = 2g0 (3 sin2 ; 2)

(­ ¯®¬­¨¬, çâ® ¬ë ®âáç¨âë¢ ¥¬ ¢¥à⨪ «ì­ë¥ à ááâ®ï­¨ï ®â ã஢­ï

¯ã誨,	­¥ ®â ã஢­ï ¬®àï). à¨	p			à ¤ =
		< arcsin 2=3 = 0:9553
54:7 íâ	ª®®à¤¨­ â ®âà¨æ â¥«ì­ , â.¥. 業âà ªà¨¢¨§­ë ­ 室¨âáï ­¨¦¥

¯ã誨. ªá¨¬ «ì­® ¢ë᮪®¥ ¯®«®¦¥­¨¥ 業âà ªà¨¢¨§­ë § ­¨¬ ¥â ¯à¨

= =2: yR max = v02=(2g), ç⮠ᮢ¯ ¤ ¥â á ¢¥àå­¥© â®çª®© âà ¥ªâ®à¨¨.®£¤ à ¤¨ãá ªà¨¢¨§­ë à ¢¥­ ­ã«î, ª ª íâ® á«¥¤ã¥â â ª¦¥ ¨§ (2.51). â®

§­ ç¨â, çâ® ªà¨¢¨§­ ¢ í⮩ â®çª¥ ¡¥áª®­¥ç­ , ¢ 祬 «¥£ª® ã¡¥¤¨âìáï, ¯à¥¤áâ ¢¨¢ ᥡ¥ âà ¥ªâ®à¨î ¯à¨ ¢¥à⨪ «ì­®¬ ¤¢¨¦¥­¨¨ á­ àï¤ .

2.8 à 饭¨¥ ¡á®«îâ­® ⢥म£® ⥫

í⮬ à §¤¥«¥ ¬ë à áᬮâਬ ª¨­¥¬ ⨪㠢 ⮬ á«ãç ¥, ª®£¤ ­¥«ì§ï ¯à¥­¥¡à¥çì à §¬¥à ¬¨ ⥫ . ë ¯à¨­¨¬ ¥¬ ¢â®à®© ã஢¥­ì ¡áâà ªæ¨¨,

¨¡ã¤¥¬ áç¨â âì ⥫® ¡á®«îâ­® ⢥à¤ë¬.

¢¨¦¥­¨¥, ¯à¨ ª®â®à®¬ «î¡ ï ¯àï¬ ï, á¢ï§ ­­ ï á ¤¢¨¦ã騬áï ⥫®¬, ®áâ ¥âáï ¯ à ««¥«ì­®© á ¬®© ᥡ¥, ­ §ë¢ ¥âáï ¯®áâ㯠⥫ì-

­ë¬.

®áâ㯠⥫쭮¥ ¤¢¨¦¥­¨¥ ¡á®«îâ­® ⢥म£® ⥫ ¬®¦­® ®å à ªâ¥- ਧ®¢ âì ¤¢¨¦¥­¨¥¬ ª ª®©-«¨¡® â®çª¨ í⮣® ⥫ , â ª ª ª ¯à¨ ¯®áâ㯠- ⥫쭮¬ ¤¢¨¦¥­¨¨ ¢á¥ â®çª¨ ⥫ ¤¢¨¦ãâáï á ®¤­¨¬¨ ¨ ⥬¨ ¦¥ ᪮à®- áâﬨ ¨ ã᪮७¨ï¬¨, âà ¥ªâ®à¨¨ ¨å ¤¢¨¦¥­¨ï ª®­£àãí­â­ë. ¯à¥- ¤¥«¨¢ ¤¢¨¦¥­¨¥ ª ª®©-­¨¡ã¤ì ¨§ â®ç¥ª ⢥म£® ⥫ , ¬ë ¢¬¥á⥠á ⥬

2.8. à 饭¨¥ ¡á®«îâ­® ⢥म£® ⥫	53
®¯à¥¤¥«¨¬ ¤¢¨¦¥­¨¥ ¢á¥å ®áâ «ì­ëå ¥£® â®ç¥ª.	®í⮬㠯ਠ®¯¨á ­¨¨

¯®áâ㯠⥫쭮£® ¤¢¨¦¥­¨ï ­¥ ¢®§­¨ª ¥â ­®¢ëå ¯à®¡«¥¬ ¯® áà ¢­¥­¨î á ª¨­¥¬ ⨪®© ¬ â¥à¨ «ì­®© â®çª¨.

à㣮© ¢ ¦­ë© ç áâ­ë© á«ãç © ¤¢¨¦¥­¨ï ⢥म£® ⥫ | íâ® ¤¢¨- ¦¥­¨¥, ¯à¨ ª®â®à®¬ ¤¢¥ â®çª¨ ⥫ ®áâ îâáï ­¥¯®¤¢¨¦­ë¬¨. àï¬ ï, ᮥ¤¨­ïîé ï í⨠â®çª¨, â ª¦¥ ­¥¯®¤¢¨¦­ ¨ ­ §ë¢ ¥âáï ®áìî ¢à 饭¨ï.¬® ¤¢¨¦¥­¨¥ í⮣® ⨯ ­ §ë¢ ¥âáï ¢à 饭¨¥¬ ¢®ªà㣠­¥¯®¤¢¨¦­®© ®á¨. ਠ⠪®¬ ¤¢¨¦¥­¨¨ ¢á¥ â®çª¨ ⥫ ¤¢¨¦ãâáï ¯® ®ªà㦭®áâï¬, à ᯮ«®¦¥­­ë¬ ¢ ¯«®áª®áâïå, ¯¥à¯¥­¤¨ªã«ïà­ëå ®á¨ ¢à 饭¨ï. ¥­âàë ®ªà㦭®á⥩ «¥¦ â ­ ®á¨ ¢à 饭¨ï. ਠí⮬ ®áì ¢à 饭¨ï ¬®¦¥â ­ - 室¨âìáï ¨ ¢­¥ ⥫ .

£«®¢ ï ᪮à®áâì, 㣫®¢®¥ ã᪮७¨¥

ਠ¢à 饭¨¨ ⥫ ¢®ªà㣠ª ª®©-«¨¡® ®á¨ ¢á¥ ¥£® â®çª¨ ®¯¨áë¢ îâ ®ªà㦭®áâ¨ à §«¨ç­®£® à ¤¨ãá ¨, á«¥¤®¢ ⥫쭮, ¨¬¥îâ à §«¨ç­ë¥ ¯¥- ६¥é¥­¨ï, ᪮à®á⨠¨ ã᪮७¨ï. ¥¬ ­¥ ¬¥­¥¥ ¬®¦­® ®¯¨á âì ¢à - é ⥫쭮¥ ¤¢¨¦¥­¨¥ ¢á¥å â®ç¥ª ⥫ ®¤¨­ ª®¢ë¬ ®¡à §®¬. «ï í⮣® ¨á¯®«ì§ãîâ ¨­ë¥ (¯® áà ¢­¥­¨î á ¬ â¥à¨ «ì­®© â®çª®©) ª¨­¥¬ â¨ç¥- ᪨¥ å à ªâ¥à¨á⨪¨ ¤¢¨¦¥­¨ï | 㣮« ¯®¢®à®â '~, 㣫®¢ãî ᪮à®áâì !~ , 㣫®¢®¥ ã᪮७¨¥ ~".

®«ì ¯¥à¥¬¥é¥­¨ï ~r ¯à¨ ¢à é ⥫쭮¬ ¤¢¨¦¥­¨¨ ¨£à ¥â ¢¥ªâ®à ¬ «®£® ¯®¢®à®â '~ ¢®ªà㣠®á¨ ¢à 饭¨ï OO0 (à¨á. 2.11). ­ ¡ã¤¥â ®¤¨- ­ ª®¢ ¤«ï «î¡®© â®çª¨ ¡á®«îâ­® ⢥म£® ⥫ (­ ¯à¨¬¥à, â®ç¥ª 1, 2,

3), ¢ 祬, ¢ áãé­®áâ¨, ¨ § ª«îç ¥âáï ¨á¯®«ì§ã¥¬ ï ¡áâà ªæ¨ï. ®¤ã«ì ¢¥ªâ®à ¯®¢®à®â à ¢¥­ ¢¥«¨ç¨­¥ 㣫 ¯®¢®à®â ' (㣮« ¨§¬¥àï¥âáï ¢ à ¤¨ ­ å). ¯à ¢«¥­¨¥ ¢à 饭¨ï § ¤ ¥âáï ¯® ¯à ¢¨«ã ¡ãà ¢ç¨ª (èâ®-

¯®à ): ¢¥ªâ®à '~ ¯ à ««¥«¥­ ®á¨ ¢à 饭¨ï ¨ ­ ¯à ¢«¥­ â㤠¦¥, ªã¤ ¢¢¨­ç¨¢ ¥âáï è⮯®à, ¢à 饭¨¥ àã窨 ª®â®à®£® ᮢ¯ ¤ ¥â á ­ ¯à ¢«¥-

­¨¥¬ ¢à 饭¨ï ⢥म£® ⥫ . ¥ªâ®àë, ­ ¯à ¢«¥­¨ï ª®â®àëå á¢ï§ ­ë á ¯à ¢¨«®¬ ¡ãà ¢ç¨ª , ­ §ë¢ î⠪ᨠ«ì­ë¬¨ (®â ­£«. axis | ®áì) ¢ ®â«¨ç¨¥ ®â ¯®«ïà­ëå ¢¥ªâ®à®¢, ª®â®à묨 ¬ë ¯®«ì§®¢ «¨áì à ­¥¥. «ï ®ç¥­ì ¬ «ëå 㣫®¢ ¯®¢®à®â d~' ¯ãâì, ¯à®å®¤¨¬ë© «î¡®© â®çª®©, ¬®¦­® áç¨â âì ¯àאַ«¨­¥©­ë¬, â.¥. ᮢ¯ ¤ î騬 á ¯¥à¥¬¥é¥­¨¥¬. ®í⮬ã á«®¦¥­¨¥ ®ç¥­ì ¬ «ëå 㣫®¢ ¯à®¨á室¨â ª ª á«®¦¥­¨¥ ¢¥ªâ®à®¢. à ¢­¥- ­¨¥ ¢à é ⥫쭮£® ¤¢¨¦¥­¨ï ãáâ ­ ¢«¨¢ ¥â ­ «¨â¨ç¥áªãî á¢ï§ì ¬¥¦¤ã 㣫®¬ ¯®¢®à®â ¨ ¢à¥¬¥­¥¬: '~ = '~(t) .

54	« ¢ 2. ¨­¥¬ ⨪ ¬ â¥à¨ «ì­®© â®çª¨

¨á. 2.11: à 饭¨¥ ¡á®«îâ­® ⢥म£® ⥫

¥ªâ®à­ ï ¢¥«¨ç¨­

!~ = lim	'~	= d~'	(2.52)
t!0	t	dt

­ §ë¢ ¥âáï 㣫®¢®© ᪮à®áâìî ¢à 饭¨ï. £«®¢ ï ᪮à®áâì ¢á¥£¤ ï- ¥âáï ªá¨ «ì­ë¬ ¢¥ªâ®à®¬, ¯®áª®«ìªã ¯®áâ஥­ ¨§ ¬ «ëå ¯®¢®à®â®¢ d~'.ਠ¢à 饭¨¨ ¢®ªà㣠­¥¯®¤¢¨¦­®© ®á¨ 㣫®¢ ï ᪮à®áâì ­¥ ¬¥­ï¥â ᢮- ¥£® ­ ¯à ¢«¥­¨ï. à¨ à ¢­®¬¥à­®¬ ¢à 饭¨¨ ®áâ ¥âáï ¯®áâ®ï­­®© ¨ ¥¥

¢¥«¨ç¨­ (!~ = const). í⮬ á«ãç ¥ ¢à 饭¨¥ ¬®¦­® ®å à ªâ¥à¨§®¢ âì ¥£® ¯¥à¨®¤®¬ T :

	! = j!~ j =	2	:		(2.53)
		T
¥à¨®¤ ¢à 饭¨ï | íâ® ¢à¥¬ï, §					ª®â®à®¥ ⥫® ᮢ¥àè ¥â
®¤¨­ ®¡®à®â (¯®¢®à®â ­ 㣮« 2 ).

áâ® ¨á¯®«ì§ãîâ â ª¦¥ ç¨á«® ®¡®à®â®¢ ¢ ¥¤¨­¨æ㠢६¥­¨

	=	1	=	!		(2.54)
		T		2

2.8. à 饭¨¥ ¡á®«îâ­® ⢥म£® ⥫

55

®âªã¤ ! = 2 .

«ï ¢à 饭¨© á ¯¥à¥¬¥­­®© 㣫®¢®© ᪮à®áâìî ®â«¨ç­® ®â ­ã«ï 㣫®- ¢®¥ ã᪮७¨¥.

£«®¢®¥ ã᪮७¨¥ "~ |			ªá¨ «ì­ë© ¢¥ªâ®à, ®¯à¥¤¥«ï¥¬ë© ª ª
¯à®¨§¢®¤­ ï ¯® ¢à¥¬¥­¨ ®â 㣫®¢®© ᪮à®áâ¨:
	~" = lim	~!	=	d~!	=	d2'~	:		(2.55)
		t		dt
	t!0					dt2

¥ªâ®à 㣫®¢®© ᪮à®á⨠⠪¦¥ ­ ¯à ¢«¥­ ¯ à ««¥«ì­® ®á¨ ¢à 饭¨ï.ਠ¢®§à áâ ­¨¨ 㣫®¢®© ᪮à®á⨠! ã᪮७¨¥ ᮢ¯ ¤ ¥â á ­¥© ¯® ­ - ¯à ¢«¥­¨î, ¯à¨ ã¡ë¢ ­¨¨ | ­ ¯à ¢«¥­® ¢ ¯à®â¨¢®¯®«®¦­ãî áâ®à®­ã.

¢ï§ì 㣫®¢ëå ¨ «¨­¥©­ëå ᪮à®á⥩ ¨ ã᪮७¨©

¦¤ ï ¨§ â®ç¥ª ¢à é î饣®áï ⥫ ¤¢¨¦¥âáï á ®¯à¥¤¥«¥­­®© «¨­¥©­®© ᪮à®áâìî ~v, ­ ¯à ¢«¥­­®© ¯® ª á ⥫쭮© ª ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 ®ªàã¦-

­®á⨠(á¬. à¨á. 2.11). ãáâì ¬ â¥à¨ «ì­ ï â®çª ¢à é ¥âáï ¢®ªà㣠®á¨ OO0 ¯® ®ªà㦭®áâ¨ à ¤¨ãᮬ R. ¬ «ë© ¯à®¬¥¦ã⮪ ¢à¥¬¥­¨ t ®­

¯à®©¤¥â ¯ãâì s, ᮮ⢥âáâ¢ãî騩 㣫㠯®¢®à®â

'. ®£¤

s = R '

¨ ᪮à®áâì ¬ â¥à¨ «ì­®© â®çª¨

v = lim

s

= lim

R '

= R lim

'

t!0

t

t!0

t

t!0

t

â® ¥áâì

(2.56)

v = ! R:

ª ª ª ­®à¬ «ì­®¥ ã᪮७¨¥ an = v2=R, â® á ãç¥â®¬ (2.56)

an = !2R:

(2.57)

®à¬ «ì­®¥ ã᪮७¨¥ â®ç¥ª ¢à é î饣®áï ⢥म£® ⥫

ç áâ® ­ §ë-

¢ îâ 業âà®áâ६¨â¥«ì­ë¬ ã᪮७¨¥¬.

¨ää¥à¥­æ¨àãï ¯® ¢à¥¬¥­¨ ¢ëà ¦¥­¨¥ ¤«ï v,

­ 室¨¬

dv

d!

(2.58)

a = dt = R dt = " R

£¤¥ a | â ­£¥­æ¨ «ì­®¥ ã᪮७¨¥ â®çª¨, ¤¢¨¦ã饩áï ¯® ®ªà㦭®áâ¨ à ¤¨ãᮬ R.

56	« ¢ 2. ¨­¥¬ ⨪ ¬ â¥à¨ «ì­®© â®çª¨

ª¨¬ ®¡à §®¬, ª ª â ­£¥­æ¨ «ì­®¥, â ª ¨ ­®à¬ «ì­®¥ ã᪮७¨ï à - áâãâ «¨­¥©­® á à®á⮬ à ¤¨ãá R | à ááâ®ï­¨ï ®â ®á¨ ¢à 饭¨ï. ®«­®¥ ã᪮७¨¥ â ª¦¥ «¨­¥©­® § ¢¨á¨â ®â R:

					p
	a =	a2	+ a2 = R		!4 + "2:				(2.59)
		n
¤ ç 2.3. ¯à¥¤¥«¨âìp«¨­¥©­ãî ᪮à®áâì v ¨ 業âà®áâ६¨â¥«ì­®¥
ã᪮७¨¥ an â®ç¥ª, «¥¦ é¨å ­ §¥¬­®© ¯®¢¥àå­®áâ¨: 1) ­									íª¢ â®à¥ ¨ 2)
­ è¨à®â¥ ®áª¢ë = 56 .
¥è¥­¨¥.	ë §­ ¥¬ ¯¥à¨®¤ ¢à 饭¨ï ¥¬«¨ ¢®ªà㣠ᮡá⢥­­®© ®á¨:
T = 24 ç á	= 24 60 60 = 86400 c. âáî¤ ­ 室¨âáï 㣫®¢ ï ᪮à®áâì
¢à 饭¨ï ! = 2 =T = 7:27			10;5 á;1.		¤¨ãá ¥¬«¨ R			&	= 6370 ª¬ =
6:37 106 ¬. ááâ®ï­¨¥ ¤® ®á¨
			¢à 饭¨ï ­ è¨à®â¥ à ¢­® R = R& cos .
âáî¤ ­ 室¨¬ «¨­¥©­ãî ᪮à®áâì

v= !R = !R& cos = (463 ¬=á) cos

¨æ¥­âà®áâ६¨â¥«ì­®¥ ã᪮७¨¥

an = !2R = !2R& cos = (3:37 10;2 ¬=á2) cos = (3:37 á¬=á2) cos :

íª¢ â®à¥ = 0 cos = 1, á«¥¤®¢ ⥫쭮 ®â¢¥âë 㦥 ¢ë¯¨á ­ë ¢ëè¥ ¢ ᪮¡ª å. è¨à®â¥ ®áª¢ë cos = cos 56 = 0:559 ¨ ¯®«ãç ¥¬: v =

259 ¬=á an = 1:88 á¬=á2. ë ¢¨¤¨¬, çâ® ¢«¨ï­¨¥ ¢à 饭¨ï ¥¬«¨ ­¥ áâ®«ì ¢¥«¨ª®: ®â­®è¥­¨¥ 業âà®áâ६¨â¥«ì­®£® ã᪮७¨ï ­ íª¢ â®à¥

ª ã᪮७¨î ᢮¡®¤­®£® ¯ ¤¥­¨ï à ¢­® an=g = 3:37 10;2=9:81 = 3:4 10;3 :¥¬ ­¥ ¬¥­¥¥, ª ª ¬ë 㢨¤¨¬ ¢ ¤ «ì­¥©è¥¬, íä䥪âë ¢à 饭¨ï ¥¬«¨

¢¯®«­¥ ­ ¡«î¤ ¥¬ë.

¢ï§ì ¬¥¦¤ã ¢¥ªâ®à ¬¨ ~v ¨ !~

®«ã祭­ë¥ ¢ ¯à¥¤ë¤ã饬 ¯ à £à ä¥ á®®â­®è¥­¨ï § ¯¨á ­ë ¤«ï ¬®¤ã«¥© ¢¥ªâ®à®¢ ~v ¨ !~ . â®¡ë § ¯¨á âì í⨠ᮮ⭮襭¨ï ¢ ¢¥ªâ®à­®¬ ¢¨¤¥, ¨á¯®«ì§ã¥¬ ¯®­ï⨥ ¢¥ªâ®à­®£® ¯à®¨§¢¥¤¥­¨ï.

ãáâì Oz | ®áì ¢à 饭¨ï ¡á®«îâ­® ⢥म£® ⥫ . ®çª A ¢à é ¥âáï ¯® ®ªàã¦-

­®áâ¨ à ¤¨ãᮬ R. ਬ¥¬ â®çªã O § ­ ç «® ª®®à¤¨­ â (à¨á. 2.12). ®£¤		v = !R =
!r sin ¨ â ª ª ª ~v?!~ , ~v?~r, â® ¯® ®¯à¥¤¥«¥­¨î ¢¥ªâ®à­®£® ¯à®¨§¢¥¤¥­¨ï
~v = !~ ~r:		(2.60)
~
® ~r = ~rc + R ¨
~	~
~! ~r = ~! (~rc + R) = ~! ~rc + ~! R:

2.8. à 饭¨¥ ¡á®«îâ­® ⢥म£® ⥫

57

¨á. 2.12: ¢ï§ì ¬¥¦¤ã ¢¥ªâ®à ¬¨ ~v ¨ ~!

¥à¢®¥ á« £ ¥¬®¥ à ¢­® ­ã«î, â.ª. ¢¥ªâ®à­®¥ ¯à®¨§¢¥¤¥­¨¥ ª®«¨­¥ à­ëå ¢¥ªâ®à®¢ à ¢­® ­ã«î. «¥¤®¢ ⥫쭮,

	~		(2.61)
~	~v = !~ R		¥£® ¬®¤ã«ì à ¢¥­
£¤¥ ¢¥ªâ®à R ¯¥à¯¥­¤¨ªã«ï७ ®á¨ ¢à 饭¨ï ¨ ­ ¯à ¢«¥­ ®â ­¥¥,
à ¤¨ãáã ®ªà㦭®áâ¨, ¯® ª®â®à®© ¤¢¨¦¥âáï ¬ â¥à¨ «ì­ ï â®çª .

®à¬ «ì­®¥ (業âà®áâ६¨â¥«ì­®¥) ã᪮७¨¥ (2.57) â ª¦¥ ¬®¦­® § ¯¨á âì ¢ ¢¥ª-

â®à­®© ä®à¬¥:
			2 ~			(2.62)
	~an = ;! R
¯à¨ç¥¬ §­ ª \;" ¯®ª §ë¢ ¥â, çâ® ®­® ­ ¯à ¢«¥­® ª ®á¨ ¢à 饭¨ï.						¨ää¥à¥­æ¨àãï
ᮮ⭮襭¨¥ (2.61) ¯® ¢à¥¬¥­¨, ­ 室¨¬ ¤«ï ¯®«­®£® ã᪮७¨ï
	d~v	d~!	~		~
					dR
~a =	dt	= dt	R + !~ dt =
		~
=	"~ R + !~ ~v:					(2.63)
¥à¢®¥ á« £ ¥¬®¥ 1) ­ ¯à ¢«¥­® ¯® ª á ⥫쭮© ª âà ¥ªâ®à¨¨ â®çª¨ ­						¢à é î饬áï
			~		à ¢­¨¢ ï á (2.58), ¯à¨å®¤¨¬ ª
⥫¥ ¨ 2) ¥£® ¬®¤ã«ì à ¢¥­ " R (¯®áª®«ìªã "~ ? R).
¢ë¢®¤ã, çâ® íâ® | ¢¥ªâ®à â ­£¥­æ¨ «ì­®£® ã᪮७¨ï
	~a		~			(2.64)
		= ~" R:

«¥¤®¢ ⥫쭮, ¢â®à®¥ á« £ ¥¬®¥ ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ­®à¬ «ì­®¥ ã᪮७¨¥ í⮩ ¦¥ â®çª¨:

	~an = ~! ~v:	(2.65)

¥©á⢨⥫쭮, ®­® ­ ¯à ¢«¥­® ª ®á¨ ¢à 饭¨ï ¨ ¥£® ¬®¤ã«ì à ¢¥­ an = ! v = !2R (â.ª. ~! ? ~v). ®í⮬ã ᮮ⭮襭¨¥ (2.65) | ¤à㣠ï ä®à¬ § ¯¨á¨ (2.62).

58	« ¢ 2. ¨­¥¬ ⨪ ¬ â¥à¨ «ì­®© â®çª¨

®­â஫ì­ë¥ ¢®¯à®áë

1.ਢ¥¤¨â¥ ¯à¨¬¥àë, ª®£¤ ¥¬«î ¬®¦­® ¯à¥¤áâ ¢¨âì ª ª ¬ â¥à¨ «ì­ãî â®çªã ¨ ª®£¤ í⮣® ­¥«ì§ï ᤥ« âì.

2.â® â ª®¥ ¬£­®¢¥­­ ï ᪮à®áâì ¨ ª ª ®­ ®à¨¥­â¨à®¢ ­ ®â­®á¨â¥«ì­® âà ¥ªâ®- ਨ?

3.®¦¥â «¨ á«ãç¨âìáï â ª, çâ® á।­ïï ᪮à®áâì h~vi § ª ª®©-â® ¯à®¬¥¦ã⮪ ¢à¥- ¬¥­¨ ®ª ¦¥âáï à ¢­®© ­ã«î, á।­ïï ¯ã⥢ ï ᪮à®áâì váà ¡ã¤¥â ®â«¨ç­ ®â ­ã«ï? ¬®¦¥â «¨ ¡ëâì váà = 0 ¨ h~vi 6= 0?

4.® ¢à¥¬ï ¥§¤ë ­ ¢â®¬®¡¨«¥ ç¥à¥§ ª ¦¤ãî ¬¨­ãâã á­¨¬ «¨áì ¯®ª § ­¨ï áç¥â- 稪 ª¨«®¬¥âà ¦ . ®¦­® «¨ ¯® í⨬ ¤ ­­ë¬ ®¯à¥¤¥«¨âì ᪮à®áâì ¤¢¨¦¥­¨ï

¢â®¬®¡¨«ï? ª ï ¨¬¥­­® ᪮à®áâì ¡ã¤¥â ­ ©¤¥­ â ª¨¬ ®¡à §®¬? 5. ªãî ᪮à®áâì ¯®ª §ë¢ ¥â ᯨ¤®¬¥âà ¢â®¬®¡¨«ï?

6. 㫨æ å £®à®¤®¢ ¢ë¢¥è¨¢ îâáï ®á®¡ë¥ §­ ª¨, § ¯à¥é î騥 ¤¢¨¦¥­¨¥ ᮠ᪮- à®áâﬨ, ¯à¥¢ëè î騬¨ 㪠§ ­­ãî ­ §­ ª¥. ª ª®© ᪮à®á⨠§¤¥áì ¨¤¥â à¥çì?

7.ª ª®¬ á«ãç ¥ ¬£­®¢¥­­ ï ¨ á।­ïï ᪮à®áâ¨ à ¢­ë ¬¥¦¤ã ᮡ®©?

8.¥«® ¯à®è«® 1 ¬ § ¯¥à¢ãî ᥪ㭤ã, 2 ¬ | § ¢â®àãî, 3 ¬ | § âà¥âìî ¨ â.¤.®¦­® «¨ áç¨â âì íâ® ¤¢¨¦¥­¨¥ à ¢­®ã᪮७­ë¬?

9. ®¤ ­¥ª®в®ал¬ г£«®¬ ª £®а¨§®­вг ¨§ и« ­£ ¡м¥в бвагп ¢®¤л. ®ç¥¬ã ¢®á室ïé ï ¢¥â¢ì áâà㨠ᯫ®è­ ï, ­¨á室ïé ï à ááë¯ ¥âáï ­ ®â¤¥«ì­ë¥ ª ¯«¨?

10.¢â®¬®¡¨«ì ¢à¥§ ¥âáï ᮠ᪮à®áâìî 100 ª¬/ç á ¢ ⢥à¤ãî á⥭ã. ¤¥­¨î á ª ª®© ¢ëá®âë íª¢¨¢ «¥­â¥­ íâ®â 㤠à?

11.¥«®¢¥ª, ­ 室ï騩áï ¢ ª®¬­ ⥠­ ¯ï⮬ íâ ¦¥, ¢¨¤¨â, ª ª ¬¨¬® ¥£® ®ª­ ¯à®- «¥â ¥â ᢥàåã 梥â®ç­ë© £®à讪. ááâ®ï­¨¥, à ¢­®¥ ¢ëá®â¥ ®ª­ 2 ¬, £®à讪

¯à®«¥â¥« § 0.1 á. ëá®â ®¤­®£® íâ ¦ 4 ¬. ç¨â ï g = 10 ¬=á2, ®¯à¥¤¥«¨âì, á

ª ª®£® íâ ¦ ¢ë¯ « 梥â®ç­ë© £®à讪.

12.§ ¢â®¬ â -47 ¯à®¨§¢¥«¨ ®¤¨­®ç­ë© ¢ëáâ५ ¢ £®à¨§®­â «ì­®¬ ­ ¯à ¢«¥­¨¨.

	â® à ­ìè¥ ã¯ ¤¥â ­ ¥¬«î: ¯ã«ï ¨«¨ áâà¥«ï­ ï £¨«ì§ , ¥á«¨ áç¨â âì, çâ® ¯ã«ï
	¨ £¨«ì§	¢ë«¥â îâ ®¤­®¢à¥¬¥­­® ¨ ¢ £®à¨§®­â «ì­®¬ ­ ¯à ¢«¥­¨¨? ®¯à®â¨¢«¥-
	­¨¥¬ ¢®§¤ãå ¯à¥­¥¡à¥çì.
13.	à¨á.	2.13 ¯à¨¢¥¤¥­ £à 䨪 ã᪮७¨ï ç áâ¨æë, ¤¢¨¦ã饩áï ¢¤®«ì ®á¨ x.
	ç¥àâ¨â¥ £à 䨪 § ¢¨á¨¬®á⨠¥¥ ᪮à®á⨠¨ ª®®à¤¨­ âë ®â ¢à¥¬¥­¨, ¯®« £ ï
	x = 0 v = 0 ¯à¨ t = 0.
14.	à®­ î­å 㧥­, «¥âï ­ ¯ãè¥ç­®¬ ï¤à¥ ¢ « £¥àì ¯à®â¨¢­¨ª , ¯¥à¥¤ã¬ « ¤¥« âì
	ª àì¥àã à §¢¥¤ç¨ª ¨ ¯¥à¥áª®ç¨« ᮠ᢮¥£® ï¤à ­ ¢áâà¥ç­®¥, зв®¡л ¢¥а­гвмбп
	­ § ¤. ¡ ï¤à ¢ íâ®â ¬®¬¥­â ¨¬¥«¨ ®¤¨­ ª®¢ë¥ ¯® ¢¥«¨ç¨­¥ ¨ ¯à®â¨¢®¯®«®¦­®

­ ¯à ¢«¥­­ë¥ ᪮à®á⨠v = 100 ¬=á. 業¨âì ¨á¯ëâ ­­®¥ ¡ à®­®¬ ã᪮७¨¥. ¥- ¤®áâ î騥 ç¨á«®¢ë¥ ¤ ­­ë¥ ¢®§ì¬¨â¥ \¨§ ¦¨§­¨". ª § ­¨¥: ¯¥à¥áª®ç¨âì ¬®¦­®,

2.8. à 饭¨¥ ¡á®«îâ­® ⢥म£® ⥫

59

¨á. 2.13: à 䨪 ã᪮७¨ï ç áâ¨æë (ª ¢®¯à®áã 13)

¯®ª ï¤à ­ 室ïâáï ¤à㣠®â ¤à㣠­ à ááâ®ï­¨¨ L ¯à릪 祫®¢¥ª , â.¥. ¬ ª- ᨬ «ì­®¥ ¢à¥¬ï \¯¥à¥áª®ª " 2L=2v = L=v.

15.	¨­®áꥬª ᯮà⨢­ëå á®à¥¢­®¢ ­¨© ¯®ª § « ,	ç⮠⮫ª ⥫¨ ï¤à ¯®áë« îâ
	᢮© á­ àï¤ ¯®¤ 㣫®¬ ' = 42 -43 ª £®à¨§®­âã,	­¥ 45 , ª ª ®¦¨¤ «®áì. ®ç¥¬ã?
16.	㤠­ ¯à ¢«¥­ ¢¥ªâ®à 㣫®¢®© ᪮à®á⨠áãâ®ç­®£® ¢à 饭¨ï ¥¬«¨: ®â ᥢ¥à­®£®
	¯®«îá ª ®¬ã ¨«¨ ®â ®£® ª ᥢ¥à­®¬ã?

17.® ᪮«ìª® à § 㣫®¢ ï ᪮à®áâì ç ᮢ®© áâ५ª¨ ¡®«ìè¥ áª®à®á⨠áãâ®ç­®£® ¢à - 饭¨ï ¥¬«¨?

18.¢â®¬®¡¨«ì ­ 稭 ¥â á¡à áë¢ âì ᪮à®áâì. 㤠(­ «¥¢® ¨«¨ ­ ¯à ¢® ¯® ®â­®- 襭¨î ª ¤¢¨¦¥­¨î) ­ ¯à ¢«¥­ë 㣫®¢ ï ᪮à®áâì ¨ 㣫®¢®¥ ã᪮७¨¥ ¥£® ª®«¥á?

19.ᥠ«¨ â®çª¨ ®ªà㦭®á⨠ª âï饣®áï ª®«¥á ¨¬¥îâ ®¤¨­ ª®¢ë¥ «¨­¥©­ë¥ ᪮à®- á⨠®â­®á¨â¥«ì­® ¥¬«¨? ¢â®¬®¡¨«ì ¤¢¨¦¥âáï ᮠ᪮à®áâìî 60 ª¬/ç á, ª®«¥á ¢à é îâáï ¡¥§ ¯à®áª «ì§ë¢ ­¨ï. ¥¬ã à ¢­ë «¨­¥©­ë¥ ᪮à®á⨠â®ç¥ª O, A, B,

C (á¬. à¨á. 2.14)?

20. ®ç¥¬ã ¢¥àå­¨¥ ᯨæë ª âï饣®áï ª®«¥á ¨­®£¤ ᫨¢ îâáï ¤«ï £« §, ¢ â® ¢à¥¬ï ª ª ­¨¦­¨¥ ¢¨¤­ë à §¤¥«ì­®?

¨á. 2.14: ¢¨¦¥­¨¥ ª®«¥á (ª ¢®¯à®áã 19)

¨­ ¬¨ª

« ¢ 3

¨­ ¬¨ª ¬ â¥à¨ «ì­®© â®çª¨

¨áá«¥¤ã¥â § ª®­ë ¨ ¯à¨ç¨­ë, ¢ë§ë¢ î騥 ¤¢¨¦¥­¨¥ ⥫, â.¥. ¨§ãç ¥â ¤¢¨¦¥­¨¥ ¬ â¥à¨ «ì­ëå ⥫ ¯®¤ ¤¥©á⢨¥¬ ¯à¨«®¦¥­­ëå ª ­¨¬ ᨫ. ¥å ­¨ª --- ®¤­ ¨§ ¤à¥¢­¥©è¨å ­ ãª, à §¢¨â¨¥ ª®â®à®© áâ¨- ¬ã«¨à®¢ «®áì ¯à ªâ¨ª®©, ­ã¦¤ ¬¨ ®¡é¥á⢠. ¯¥а¢л¬ в¥®а¥в¨з¥бª¨¬ ва ªв в ¬ ¯® ¬¥е ­¨ª¥ ®в­®бпвбп `` ¨§¨ª " ¨ `` ¥å ­¨ª " à¨áâ®â¥«ï (4 ¢. ¤® ­.í.). ãç­ë¥ ®á­®¢ë áâ ⨪¨ (⥮à¨ï àëç £ , ã祭¨¥ ® 業âॠâ殮áâ¨, ­ ç « £¨¤à®áâ ⨪¨) à §à ¡®â « à娬¥¤ (3 ¢. ¤® ­.í.). «ì­¥©è¥¥ à §¢¨â¨¥ ¬¥å ­¨ª¨ (á«®¦¥­¨¥ ᨫ ¯® ¯à ¢¨«ã ¯ - à ««¥«®£à ¬¬ , ã祭¨¥ ® ¬®¬¥­â¥ ᨫë) á¢ï§ ­® á ¨¬¥­ ¬¨ ¨â «ìï­æ¥®­ म ¤ ¨­ç¨ (15 ¢.), ä« ¬ ­¤æ ¨¬®­ ⥢¨­ (16 ¢.) ¨ ¤àã- £¨å ã祭ëå. á­®¢ã ᮢ६¥­­®© ª« áá¨ç¥áª®© ¬¥å ­¨ª¨ á®áâ ¢«ïîâ âਠ§ ª®­ ìîâ®­ . ¥å ­¨ª ìîâ®­ ¡ §¨àã¥âáï ­ ®á­®¢®¯®« £ - îé¨å ¯à¨­æ¨¯ å «¨«¥ï.

3.1ਭ樯 ¨­¥à樨 «¨«¥ï

. «¨«¥© (1564-1642) á¯à ¢¥¤«¨¢® áç¨â ¥âáï ®á­®¢ ⥫¥¬ 䨧¨ª¨ ª ª ­ 㪨. ¬ã ¬ë ®¡ï§ ­ë à §¢¨â¨¥¬ ᮢ६¥­­®£® ¬¥â®¤ ¨áá«¥¤®¢ ­¨©,

ªà ⪮ ¢ëà ¦ î饣®áï ¢ 楯®çª¥: íªá¯¥à¨¬¥­â =) ¬®¤¥«ì (¢ë¤¥«¥­¨¥ ¢
¥­¨¨ £« ¢­ëå ®á®¡¥­­®á⥩, â.¥. ¯à¨¬¥­¥­¨¥ ¡áâà ªæ¨¨) =) ¬ â¥	-
¬ â¨ç¥áª®¥ ®¯¨á ­¨¥ =) á«¥¤áâ¢¨ï ¬®¤¥«¨ =) ­®¢ë© íªá¯¥à¨¬¥­â ¤«ï ¨å
¯à®¢¥àª¨.
।¨ ¯à®ç¨å ­ ãç­ëå ¤®á⨦¥­¨©, ¢ ¬¥å ­¨ª¥ ¨¬ ¡ë«¨ ¢¢¥¤¥­ë ¤¢

®á­®¢®¯®« £ îé¨å ¯à¨­æ¨¯ : ¯à¨­æ¨¯ ¨­¥à樨 ¨ ¯à¨­æ¨¯ ®â­®á¨â¥«ì-

­®áâ¨. ਭ樯 ¨­¥à樨 «¨«¥ï ¡ë« ¯®¢â®à¥­ . ìîâ®­®¬ (16431727) ¢ ª ç¥á⢥ ¯¥à¢®£® § ª®­ ¬¥å ­¨ª¨. ¥à¢ë© § ª®­ ìîâ®­ £« á¨â:

60