kalashnikov_tom_1

3.3. ¥å ­¨ç¥áª¨¥ ᨫë

71

| ¢ â ©â¥áì § ६¥è®ª! | ªà¨ª­ã« à ¬¥à. ⨠६¥èª¨, ¢à®¤¥ àã- 祪 ¯®à⯫¥¤ , ¡ë«¨ ¢áî¤ã: ­ á⥭ å, ­ ¯®«ã, ­ ¯®â®«ª¥. ãå¢ â¨«áï § àãçªã, ®¦¨¤ ï, çâ® ¬¥­ï ࢠ­¥â ¯à¨ ®áâ ­®¢ª¥, ­® ¢ â®â ¦¥ ¬¨£ á 㤨¢«¥­¨¥¬ ¯®çã¢á⢮¢ «, çâ® ¢ à㪥 ­¥ ®éãé ¥âáï ­ ¯à殮­¨ï.

í⮬ ®¯¨á ­¨¨ ᮤ¥à¦¨âáï, ª®­¥ç­®, £àã¡ ï 䨧¨ç¥áª ï ®è¨¡ª : ¨á祧­®¢¥­¨¥ ¢¥á £¥à®ï ¢®¢á¥ ­¥ ®§­ ç ¥â ¨á祧­®¢¥­¨ï ¥£® ¨¬¯ã«ìá m~v. «ï ¨§¬¥­¥­¨ï ¨¬¯ã«ìá (®áâ - ­®¢ª¨) ­ã¦­ ᨫ , â ª çâ® ª®á¬®­ ¢â ¤®«¦­® ¡ë«® \ࢠ­ãâì" â®ç­® â ª ¦¥, ª ª ¨ ­¥¬«¥.

¨« ã¯à㣮áâ¨

ਠ¤¥ä®à¬ 樨 ⥫ ¢®§­¨ª îâ ᨫë ã¯à㣮áâ¨, ¯à¥¯ïâáâ¢ãî騥 í⮩ ¤¥ä®à¬ 樨 (¯®íâ®¬ã ¬ë ­¥ ¯à®¢ «¨¢ ¥¬áï ᪢®§ì ¯®«). ਠ­¥¡®«ì- è¨å ¤¥ä®à¬ æ¨ïå ¢®§­¨ª î騥 á¨«ë ¯à®¯®à樮­ «ì­ë ¢¥«¨ç¨­¥ ¤¥ä®à- ¬ 樨. ᫨ ¯à㦨­ ¢ ­®à¬ «ì­®¬ (­¥­ £à㦥­­®¬) á®áâ®ï­¨¨ ¨¬¥¥â ¤«¨­ã x0 ¨ ¬ë ¤¥ä®à¬¨à㥬 ¥¥ (à áâ¢ ¥¬ ¨«¨ ᦨ¬ ¥¬) ¥¥ ¤® ¤«¨­ë x, â® ­ ­ èã àãªã ¤¥©áâ¢ã¥â ᨫ ã¯à㣮áâ¨

F = ;k(x ; x0):

(3.14)

®íää¨æ¨¥­â k ­ §ë¢ ¥âáï ª®íää¨æ¨¥­â®¬ ¦¥á⪮á⨠¯à㦨­ë, §­ ª ¬¨­ãá 㪠§ë¢ ¥â, ç⮠ᨫ ã¯à㣮á⨠¯à¥¯ïâáâ¢ã¥â ¤¥ä®à¬ 樨 ¯àã- ¦¨­ë. à ¢­¥­¨¥ (3.14) | ¯à®á⥩訩 á«ãç © § ª®­ 㪠.

¨á. 3.4: ®á«¥¤®¢ ⥫쭮¥ ¨ ¯ à ««¥«ì­®¥ ᮥ¤¨­¥­¨¥ ¯à㦨­: ª § ¤ ç¥ 3.5. ®¡ ®¯à¥- ¤¥«¥­¨¨ ª®íää¨æ¨¥­â ¦¥á⪮á⨠á®áâ ¢­ëå ¯à㦨­

¤ ç 3.5. ª®¢ íä䥪⨢­ë© ª®íää¨æ¨¥­â ¦¥á⪮á⨠k ¤«ï ¯àã- ¦¨­ë, á®áâ ¢«¥­­®© ¨§ ¤¢ãå ¤àã£¨å ¯à㦨­ á ª®íää¨æ¨¥­â ¬¨ ¦¥á⪮-

á⨠k1 ¨ k2, ¥á«¨ ¯à㦨­ë ᮥ¤¨­¥­ë a) ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮, b) ¯ à ««¥«ì­®

(à¨á. 3.4).

72	« ¢ 3. ¨­ ¬¨ª ¬ â¥à¨ «ì­®© â®çª¨
¥è¥­¨¥.	᫨ à áâ¢ âì ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮 ᮥ¤¨­¥­­ë¥ ¯à㦨­ë, â®

¢®§­¨ª î騥 ¢ ª ¦¤®© ¨§ ­¨å ã¯à㣨¥ á¨«ë ®¤¨­ ª®¢ë ¨ à ¢­ë à áâï-

£¨¢ î饩 ᨫ¥ F (á¬. à¨á. 3.4,a) : â®çª ᮥ¤¨­¥­¨ï M ­ 室¨âáï ¢ à ¢- ­®¢¥á¨¨. «¥¤®¢ ⥫쭮, 㤫¨­¥­¨ï ¯à㦨­ à ¢­ë x1 = F=k1 x2 = F=k2. ®«­®¥ 㤫¨­¥­¨¥ á®áâ ¢­®© ¯à㦨­ë à ¢­® x = x1 + x2 = F(1=k1 + 1=k2). ä䥪⨢­ ï ¦¥á⪮áâì ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮 ᮥ¤¨­¥­­ëå ¯à㦨­ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¨§ ᮮ⭮襭¨ï:

	1	=	x =	1		+	1	¨«¨
	k			k			k
			F
				1			2
	k	=	k1k2		:
			k1 + k2

ਠà áâ¢ ­¨¨ ¯ à ««¥«ì­® ᮥ¤¨­¥­­ëå ¯à㦨­ ®¤¨­ ª®¢ë ¨å 㤫¨­¥­¨ï x, â ª çâ® ¢ ª ¦¤®© ¨§ ­¨å ¢®§­¨ª ¥â ᢮ï ã¯à㣠ï ᨫ :

F1 = k1 x F2 = k2 x: 㬬 íâ¨å ᨫ à ¢­ à áâ¢ î饩 ᨫ¥ (á¬. à¨á. 3.4,b): F = F1 + F2 = (k1 + k2) x, â ª çâ® ª®íää¨æ¨¥­â ¦¥á⪮á⨠¯ à ««¥«ì­® ᮥ¤¨­¥­­ëå ¯à㦨­ à ¢¥­

k= F= x = k1 + k2:

à拉 § ¤ ç, ª®£¤ ª®íää¨æ¨¥­â ¦¥á⪮á⨠¢¥«¨ª, ¯à¥­¥¡à¥£ îâ ¢¥-

«¨ç¨­®© ¤¥ä®à¬ 樨, ­® ­¥ ¥¥ ¯®á«¥¤á⢨ﬨ | ¢®§­¨ª î騬¨ ᨫ ¬¨ ã¯à㣮áâ¨. ⮠⮦¥ ¯à¨¬¥à 䨧¨ç¥áª®© ¡áâà ªæ¨¨, ¬®¤¥«¨.

¨« â७¨ï

ਠᮯਪ®á­®¢¥­¨¨ ¯®¢¥àå­®á⥩ ⢥à¤ëå ⥫ ¬¥¦¤ã ­¨¬¨ ¢®§­¨ª îâ ᨫë, ­ §ë¢ ¥¬ë¥ ᨫ ¬¨ áã宣® â७¨ï. å å à ªâ¥à­ ï ç¥àâ : нв¨ б¨«л ­¥ ®¡а й овбп ¢ ­г«м ¤ ¦¥ ¯а¨ ®вбгвбв¢¨¨ ®в­®б¨в¥«м­®£® ¤¢¨- ¦¥­¨ï ᮯਪ á îé¨åáï ⥫.

७¨¥, ª®â®à®¥ ¬®¦¥â áãé¥á⢮¢ âì ¬¥¦¤ã ⥫ ¬¨, ­¥ ¤¢¨¦ã-

騬¨áï ¤à㣠®â­®á¨â¥«ì­® ¤à㣠,	­ §ë¢ ¥âáï â७¨¥¬ ¯®ª®ï.
¨« â७¨ï ¯®ª®ï ¢á¥£¤ à ¢­	¯® ¢¥«¨ç¨­¥ ¨ ¯à®â¨¢®¯®«®¦­ ¯®
­ ¯à ¢«¥­¨î ¢­¥è­¥© ᨫ¥, ª®в®а п ¢ ®вбгвбв¢¨¥ ва¥­¨п ¤®«¦­		¡ë«
¡ë ¢ë§¢ âì ®â­®á¨â¥«ì­®¥ ᪮«ì¦¥­¨¥ ⥫.

¤­ ª® ᨫ â७¨ï ¯®ª®ï ­¥ ¬®¦¥â ¯à¥¢®á室¨âì ­¥ª®â®à®© ¬ ªá¨-

¬ «ì­®© ¢¥«¨ç¨­ë fmax. ®ª ¢­¥è­ïï ᨫ ¬¥­ìè¥ fmax, ®â­®á¨â¥«ì­®¥ ᪮«ì¦¥­¨¥ ⥫ ­¥ ¢®§­¨ª ¥â, â.ª. ᨫ â७¨ï ¯®ª®ï \ ¢â®¬ â¨ç¥áª¨"

¯à¨­¨¬ ¥â §­ 祭¨¥, ª®¬¯¥­á¨àãî饥 ¤¥©á⢨¥ ¢­¥è­¥© ᨫë.

3.3. ¥å ­¨ç¥áª¨¥ ᨫë									73
¡«¨æ 3.1: ®íää¨æ¨¥­â â७¨ï ¯®ª®ï ¤«ï àï¤							ᮯਪ á îé¨åáï ¬ â¥à¨ «®¢
		1-© ¬ â¥à¨ «	áâ «ì	áâ «ì	áâ «ì		¬¥â ««	१¨­	¤¥à¥¢®
		2-© ¬ â¥à¨ «	«¥¤	áâ «ì	¯« á⬠áá		¤¥à¥¢®	áä «ìâ	¤¥à¥¢®
			0,015	0,15	0,3		0,5	0,55	0,65

¨«ë áã宣® â७¨ï ¬¥¦¤ã ®¡ê¥ªâ ¬¨, ¤¢¨¦ã騬¨áï ¤à㣠®â­®-

á¨â¥«ì­® ¤à㣠, ­ §ë¢ îâáï ᨫ ¬¨ â७¨ï ᪮«ì¦¥­¨ï.

­¨ ¤®¢®«ì­® á«®¦­ë¬ ®¡à §®¬ § ¢¨áïâ ®â ᪮à®á⨠®â­®á¨â¥«ì­®£® ¤¢¨¦¥­¨ï, ­® ¤«ï è¨à®ª®£® ª« áá ¥­¨© ¨ ᮯਪ á îé¨åáï ¬ â¥à¨ - «®¢ ¨å ¬®¦­® áç¨â âì ¯®áâ®ï­­ë¬¨ ¨ à ¢­ë¬¨ ¬ ªá¨¬ «ì­®¬ã §­ 祭¨î ᨫë â७¨ï ¯®ª®ï. ­¨ ­ ¯à ¢«¥­ë â ª, çâ®¡ë ¯à¥¯ïâá⢮¢ âì ®â­®á¨- ⥫쭮¬ã ¯à®áª «ì§ë¢ ­¨î ᮯਪ á îé¨åáï ⥫.

«ï ¬ ªá¨¬ «ì­®£® §­ 祭¨ï ᨫë â७¨ï ¯®ª®ï íªá¯¥à¨¬¥­â «ì­® ãáâ ­®¢«¥­® ᮮ⭮襭¨¥: § ª®­ ¬®­â®­ - ã«®­ :

	fmax = N		(3.15)
£¤¥ N | ᨫ ­®à¬ «ì­®£® ¤ ¢«¥­¨ï, ¯à¨¦¨¬ îé ï ⥫ ,			| ª®-

íää¨æ¨¥­â â७¨ï ¯®ª®ï, § ¢¨áï騩 ®â ᢮©á⢠ᮯਪ á îé¨åáï ¯®-

¢¥àå­®á⥩. à ªâ¥à­ë¥ §­ 祭¨ï ¯à¨¢¥¤¥­ë ¢ â ¡«¨æ¥ 3.1. «¥¤ã¥â ¨¬¥âì ¢ ¢¨¤ã, çâ® ª®íää¨æ¨¥­â â७¨ï ¯®ª®ï ᨫ쭮 § ¢¨á¨â ­¥ ⮫쪮

®â ¬ â¥à¨ «®¢ ᮯਪ á îé¨åáï ⥫, ­® ¨ ®â á®áâ®ï­¨ï (®¡à ¡®âª¨) ¨å ¯®¢¥àå­®á⥩ ¨ ­ «¨ç¨ï ¬¥¦¤ã ­¨¬¨ ⮩ ¨«¨ ¨­®© ᬠ§ª¨.

ਠª®­â ªâ¥ ⢥à¤ëå ⥫ ¬¥¦¤ã ­¨¬¨ ¤¥©áâ¢ãîâ ­¥ ⮫쪮 ᨫë áã宣® â७¨ï (¯®ª®ï ¨«¨ ᪮«ì¦¥­¨ï). §-§ ¤¥ä®à¬ 樨 ⥫ ¬®£ãâ ¢®§- ­¨ª âì â ª¦¥ ᨫë â७¨ï ª 祭¨ï. ­¨ £®à §¤® ¬¥­ìè¥ á¨« â७¨ï

¯®ª®ï, ¨ ¨¬¨ ®¡ëç­® ¯à¥­¥¡à¥£ îâ.
«¥¤ãî騩 ¯à¨¬¥à ¤¥¬®­áâà¨àã¥â á«ãç ©, ª®£¤ ᨫ	ॠªæ¨¨ ®¯®àë
­¥ ¯ à ««¥«ì­ ᨫ¥ â殮áâ¨. ãáâì ⥫® ¬ áᮩ m,	᪮«ì§¨â ¯® ­ -

ª«®­­®© ¯«®áª®áâ¨, ª®â®à ï á®áâ ¢«ï¥â 㣮« á £®à¨§®­â®¬ (à¨á. 3.5).«ï ⮣® ç⮡ë á®áâ ¢¨âì ãà ¢­¥­¨¥ ¤¢¨¦¥­¨ï, ­¥®¡å®¤¨¬® ãáâ ­®¢¨âì,

ª ª¨¥ á¨«ë ¤¥©áâ¢ãîâ ­ à áᬠâਢ ¥¬®¥ ⥫®. ਠí⮬ ­¥®¡å®¤¨¬® ¢­ ç «¥ ¢ëïá­¨âì, ¤¥©á⢨¥ ª ª¨å ¤à㣨å ⥫ ­ ¤ ­­®¥ ⥫® á«¥¤ã¥â ¯à¨­ïâì ¢® ¢­¨¬ ­¨¥. «ï ⥫ , ᪮«ì§ï饣® ¯® ­ ª«®­­®© ¯«®áª®áâ¨, áãé¥á⢥­­® ¢®§¤¥©á⢨¥ á® áâ®à®­ë ¥¬«¨ (®­® å à ªâ¥à¨§ã¥âáï ᨫ®© â殮á⨠m~g) ¨ ¢®§¤¥©á⢨¥ á® áâ®à®­ë ¯«®áª®á⨠(®­® å à ªâ¥à¨§ã¥âáï

74	« ¢ 3. ¨­ ¬¨ª ¬ â¥à¨ «ì­®© â®çª¨

¨á. 3.5: ¢¨¦¥­¨¥ ⥫	¯® ­ ª«®­­®© ¯«®áª®áâ¨
~		~	¯à¥¤¥«¨¢ ᨫë, ¤¥©áâ¢ã-
ᨫ®© ॠªæ¨¨ ®¯®àë Fn ¨ ᨫ®© â७¨ï Fâà).
î騥 ­ ⥫®, á®áâ ¢«ïîâ ãà ¢­¥­¨¥ ¢â®à®£® § ª®­				ìîâ®­ :
	~	~		(3.16)
m~a = m~g + Fn + Fâà:

â®¡ë ­ ©â¨ ã᪮७¨¥ ⥫ , ­¥®¡å®¤¨¬® ¯¥à¥©â¨ ®â ¢¥ªâ®à®¢ ª ¨å ¯à®- ¥ªæ¨ï¬ ­ ᮮ⢥âáâ¢ãî騬 ®¡à §®¬ ¢ë¡à ­­ë¥ ­ ¯à ¢«¥­¨ï. ( ¡ëç­® 楫¥á®®¡à §­® ¢ ª ç¥á⢥ ®¤­®© ¨§ ª®®à¤¨­ â­ëå ®á¥© ¢ë¡à âì ®áì ¢¤®«ì

­¯à ¢«¥­¨ï ¤¢¨¦¥­¨ï). ¯à®¥ªâ¨à㥬 ¢¥ªâ®àë, ¢å®¤ï騥 ¢ ãà ¢­¥­¨¥

­­ ¯à ¢«¥­¨¥ Ox ¨ Oy (á¬. à¨á. 3.5):

ma = mg sin ; Fâà	(3.17)
0 = Fn ; mg cos :
ç¨âë¢ ï, ç⮠ᨫ â७¨ï ᪮«ì¦¥­¨ï Fâà = Fn, ­ 室¨¬
Fâà = mg cos :	(3.18)

«¥¤®¢ ⥫쭮, ¬ë ¯à¨å®¤¨¬ ª ãà ¢­¥­¨î ¤«ï ã᪮७¨ï ᪮«ì§ï饣® ⥫ :

a = g(sin ; cos ):	(3.19)
§ í⮣® ¢ëà ¦¥­¨ï á«¥¤ã¥â, çâ® ¯à¨ tg = ã᪮७¨¥ a à ¢­® ­ã«î,
¨ ⥫® ¯®ª®¨âáï. ਠ¥é¥ ¬¥­ìè¨å 㣫 å ­ ª«®­	( arctg ) ⥫®,

®ç¥¢¨¤­®, ⮦¥ ¯®ª®¨âáï ¨, ª ª ¢ë⥪ ¥â ¨§ (3.17) ¯à¨ a = 0, ᨫ â७¨ï à ¢­ ᪠âë¢ î饩 ᨫ¥:

Fâà = mg sin :

®áª®«ìªã ¢ í⮬ á«ãç ¥ Fâà | ᨫ â७¨ï ¯®ª®ï | ­¥ ¤®á⨣ ¥â ᢮- ¥£® ¬ ªá¨¬ «ì­®£® §­ 祭¨ï, à ¢­®£® ᨫ¥ â७¨ï ᪮«ì¦¥­¨ï, ä®à¬ã« (3.18) ­¥ à ¡®â ¥â.

3.3. ¥å ­¨ç¥áª¨¥ ᨫë						75
¨«		ᮯà®â¨¢«¥­¨ï á।ë
ਠ¤¢¨¦¥­¨¨ ⥫ ¢ ¦¨¤ª®© ¨«¨ £ §®®¡à §­®© á।¥ ­						­¥£® ¤¥©áâ¢ã¥â
ᨫ	ᮯà®â¨¢«¥­¨ï á।ë, § ¢¨áïé ï ®â ᪮à®á⨠⥫ .					ਠ¬ «ëå ᪮-
à®áâïå ¤¢¨¦¥­¨ï ᨫ			ᮯà®â¨¢«¥­¨ï ¯à®¯®à樮­ «ì­			~
						᪮à®á⨠Fr =
;k1~v,		¯à¨ 㢥«¨ç¥­¨¨ ᪮à®á⨠⥫		ᨫ ᮯà®â¨¢«¥­¨ï § ¢¨á¨â ®â ᪮			-
			~
				= ;k2v ~v. ®¡®¨å á«ãç ïå ᨫ á®-
à®á⨠¯® ª¢ ¤à â¨ç­®¬ã § ª®­ã Fr
¯à®â¨¢«¥­¨ï ­ ¯à ¢«¥­			¯à®â¨¢ ¢¥ªâ®à		᪮à®á⨠⥫ .
¢¨á¨¬®áâì á¨«ë ®â ᪮à®á⨠⥫					¯à¨¢®¤¨â ª áãé¥á⢮¢ ­¨î â.­.

ãáâ ­®¢¨¢è¥©áï ᪮à®á⨠¤¢¨¦¥­¨ï, ª®£¤ ᨫ ᮯà®â¨¢«¥­¨ï ¤®á⨣ ¥â ¢¥«¨ç¨­ë ¤¢¨¦ã饩 ᨫë.

¤ ç 3.6. à èîâ¨áâ, ¬ áá ª®â®à®£® m = 80 ª£, ᮢ¥àè ¥â § âï¦- ­®© ¯à릮ª. ¨« ᮯà®â¨¢«¥­¨ï ¢®§¤ãå ¯à®¯®à樮­ «ì­ ª¢ ¤à âã

᪮à®á⨠¯ à èîâ¨áâ Fr = kv2, £¤¥ ª®íää¨æ¨¥­â ᮯà®â¨¢«¥­¨ï à ¢¥­

k = 0:6 ª£=¬. ç «ì­ ï ᪮à®áâì ¯ à èîâ¨áâ à ¢­ ­ã«î. ¯à¥¤¥- «¨âì, ç¥à¥§ ª ª®© ¯à®¬¥¦ã⮪ ¢à¥¬¥­¨ t ᪮à®áâì ¯ ¤¥­¨ï ¯ à èîâ¨áâ

¡ã¤¥â à ¢­ 0.9 ®â ᪮à®á⨠vc ãáâ ­®¢¨¢è¥£®áï ¤¢¨¦¥­¨ï.

¥è¥­¨¥. ¯à ¢«¥­¨¥ ¢¤®«ì ã᪮७¨ï ᢮¡®¤­®£® ¯ ¤¥­¨ï (¢¥à⨪ «ì­® ¢­¨§) ¢ë¡¨à ¥¬ § ¯®«®¦¨â¥«ì­®¥ ­ ¯à ¢«¥­¨¥ ®á¨. à ¢­¥­¨¥ ¢â®à®£® § ª®­ ìîâ®­ § ¯¨áë¢ ¥¬ ¢ ¢¨¤¥:

mdvdt = mg ; kv2:

(3.20)

¯à¥¤¥«¨¬ á­ ç «

гбв ­®¢¨¢игобп бª®а®бвм ¤¢¨¦¥­¨п. § ᪮à®áâì

¯¥а¥бв ¥в ¬¥­пвмбп, ¯à®¨§¢®¤­ ï ¢ «¥¢®© ç áâ¨ à ¢­

­ã«î. âáî¤

mg = kv2 (ᨫ â殮á⨠ãà ¢­®¢¥è¨¢ ¥âáï ᨫ®© ᮯà®â¨¢«¥­¨ï), ¨

r

vc

=

mg

=

80

9:8

36 ¬=á:

(3.21)

r k

0:6

«¥¥ ¨§ (3.20) ­ 室¨¬:

dv

= dt

=) Z

dv

= Z

dt:

(3.22)

g ; (k=m)v2

g

; (k=m) v2

­â¥£à « ¢ «¥¢®© ç á⨠ãà ¢­¥­¨ï ¡¥à¥âáï, ¥á«¨ ¨á¯®«ì§®¢ âì à §«®¦¥-

­¨¥

1

=

1

g (k=m) v2

(p

v) (p

+

; p

k=m

p

k=m v)

g

g

;

1

1

1

!

=

+

(3.23)

2p

p

(p

+

v

; p

k=m v

p

k=m

g

g

g

v(t) =

=

76 « ¢ 3. ¨­ ¬¨ª ¬ â¥à¨ «ì­®© â®çª¨

¨ ãç¥áâì, çâ®

Z

dv

;r

mk

ln p

; p

v

=

k=m

g

p

; k=m v

g

p

dv

m

Z

=

r k

ln pg + pk=m v :

(3.24)

p

+

k=m v

g

§ (3.23), (3.24) á«¥¤ãp¥â, çâ®

dv

1

m

Z

=

2 rkg hln pg + pk=m v ; ln pg ; pk=m v i =

g ; (k=m) v2

p

1

+

k=m v

m

g

=

2 rkg

ln p

; p

v:

(3.25)

k=m

g

­â¥£à « ¢ ¯à ¢®© ç á⨠(3.22) à ¢p¥­ t + C, £¤¥ C | ¯®áâ®ï­­ ï ¨­â¥-

£à¨à®¢ ­¨ï. ®«ãç ¥¬ ⮣¤

à ¢¥­á⢮

p

1

+

k=m v

m

g

2 rkg

ln p

; p

v

= t + C:

(3.26)

k=m

g

­ ç «ì­ë© ¬®¬¥­â

t = 0

᪮à®áâì à ¢­

­ã«î

.

®¤áâ ¢«ïï

t = 0 v = 0,

p

­ 室¨¬ C = 0. «¥¥ ¬ë ¯®¤áâ ¢¨¬ §­ 祭¨¥ v = 0:9vc

p

= 0:9

mg=k.

室¨¬ ⮣¤ :

1

p

+ 0:9p

ln 19

m

g

g

m

t =

2 rkg

ln p

; 0

:9p

=

2

rkg =

g

g

=

ln 19

r

80

= 5:43

á:

(3.27)

2

0:6 9:8

¤ ç à¥è¥­ , ­® ¬ë ¯®©¤¥¬ ­¥áª®«ìª® ¤ «ìè¥. ©¤¥¬ § ¢¨á¨¬®áâì ᪮à®á⨠¯ ¤¥­¨ï ®â ¢à¥¬¥­¨. § (3.26) á«¥¤ã¥â (C = 0):

pg + pk=m v = e2tpkg=m pg ; pk=m v

®âªã¤

rmg exp(2tpkg=m) ; 1 = k exp(2tpkg=m) + 1

rmg 1 ; exp(;2tpkg=m): k 1 + exp(;2tpkg=m)

(3.28)

(3.29)

3.4. ª®­ á®åà ­¥­¨ï ¨¬¯ã«ìá

77

¥à¢®¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨¥ ᪮à®á⨠㤮¡­® ¯à¨ ¬ «ëå ¢à¥¬¥­ å, ¢â®à®¥ | ¯à¨ ¡®«ìè¨å. à ªâ¥à­®¥ ¢à¥¬ï ãáâ ­®¢«¥­¨ï ᪮à®á⨠¤ ¥âáï ª®¬¡¨- ­ 樥©

		1	m
		= 2 rgk = 1:84 á:			(3.30)
®£¤	íªá¯®­¥­âë ¢ (3.29) ¬®£ãâ ¡ëâì § ¯¨á ­ë ¢ ¢¨¤¥ exp( t= ). à¨
t =	¨¬¥¥¬ v	0:46vc. ë ¢¨¤¥«¨, ç⮠᪮à®áâì 0:9 vc ¤®á⨣ ¥âáï §
¯à®¬¥¦ã⮪, ¯à¨¬¥à­® à ¢­ë© â६ (ln 19 = 2:94) å à ªâ¥à­ë¬ ¢à¥¬¥-
­ ¬ .

ਠ¬ «ëå ¢à¥¬¥­ å t ¬®¦­® à §«®¦¨âì íªá¯®­¥­âë (e 1 + )
¨ ¯®«ãç¨âì
	mg 2			kg=m t
v r k			p 2			= gt
â® ¥áâì á­ ç « ᪮à®áâì ¯ ¤¥­¨ï ¬ « , ᮯà®â¨¢«¥­¨ï ¢®§¤ãå ­¥ çã¢-

áâ¢ã¥âáï ¨ ¯ à èîâ¨áâ ã᪮àï¥âáï ª ª ¥á«¨ ¡ë ¯ ¤ « ¢ ¢ ªã㬥. ® ¬¥à¥ à®áâ ᪮à®á⨠à áâ¥â ᮯà®â¨¢«¥­¨¥, ã᪮७¨¥ ¯ ¤ ¥â, ᪮à®áâì áâ६¨âáï ª §­ 祭¨î vc, ª ª íâ® ¯®ª § ­® ­ à¨á. 3.6.

¨á. 3.6: à 䨪 § ¢¨á¨¬®á⨠᪮à®á⨠¯ à èîâ¨áâ (¢ ¥¤¨­¨æ å vc) ®â ¢à¥¬¥­¨ (¢ ¥¤¨­¨æ å ) | ª § ¤ ç¥ 3.6.

3.4ª®­ á®åà ­¥­¨ï ¨¬¯ã«ìá

ë ¢¨¤¥«¨, çâ® ¨¬¯ã«ìá ¬ â¥à¨ «ì­®© â®çª¨, ­ ª®â®àãî ­¥ ¤¥©áâ¢ã¥â ᨫ , á®åà ­ï¥âáï. áᬮâਬ ⥯¥àì á¨á⥬ã N ¬ â¥à¨ «ì­ëå â®ç¥ª

78	« ¢ 3. ¨­ ¬¨ª ¬ â¥à¨ «ì­®© â®çª¨
M1 : : : MN , ¯®«®¦¥­¨ï ª®â®àëå § ¤ îâáï à ¤¨ãá-¢¥ªâ®à ¬¨ ~r1 : : : ~rN ,
	¨¬¯ã«ìáë à ¢­ë p~1 : : : p~N , ᮮ⢥âá⢥­­®. ।¨ ᨫ, ¤¥©áâ¢ãîé¨å
­	í⨠¬ â¥à¨ «ì­ë¥ â®çª¨, ¡ã¤¥¬ à §«¨ç âì ¢­ãâ७­¨¥ á¨«ë ¬¥¦¤ã

⥫ ¬¨, ¢å®¤ï騬¨ ¢ á¨á⥬ã, ¨ ¢­¥è­¨¥ ᨫë, ¤¥©áâ¢ãî騥 ­ á¨á⥬ã

á® áâ®à®­ë ⥫, ¢ ­¥¥ ­¥ ¢ª«î祭­ëå. ­ãâ७­¨¥ á¨«ë ¡ã¤¥¬ ®¡®§­ ç âì

ª ª ~ £¤¥ ¨­¤¥ªáë ¯®ª §ë¢ îâ çâ® ¤ ­­ ï ᨫ ¤¥©áâ¢ã¥â ­ ⥫® á

Fi j, ,

­®¬¥à®¬ i á® áâ®à®­ë ⥫ á ­®¬¥à®¬ j. ஬¥ ⮣®, ­ ⥫® á ­®¬¥à®¬ i
~
¤¥©áâ¢ã¥â ª ª ï-â® ¢­¥è­ïï ᨫ Fi.
¯¨è¥¬ ãà ¢­¥­¨¥ ¢â®à®£® § ª®­ ìîâ®­	(᪮à®áâì ¨§¬¥­¥­¨ï ¨¬-
¯ã«ìá ⥫ à ¢­ á㬬¥ ¢á¥å ¤¥©áâ¢ãîé¨å ­	⥫® ᨫ) ¤«ï ¢á¥å N
¬ â¥à¨ «ì­ëå â®ç¥ª á¨á⥬ë.

d~p1

dt d~p2

dt

: : :

d~pN

dt

~	~	~	~
= F1 2	+ F1 3	+ : : : F1 N + F1

~~ ~ ~

=F2 1 + F2 3 + : : : F2 N + F2

:: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

~	~	~	~	(3.31)
= FN 1	+ FN 2	+ : : : FN N;1	+ FN :

«®¦¨¬ ¢¬¥á⥠í⨠N ãà ¢­¥­¨©. 㬬 ¢á¥å ¢­ãâ७­¨å ᨫ ¢ ¯à ¢®©

ç á⨠¯®«ãç¨âáï à ¢­®© ­ã«î. ¥©á⢨⥫쭮, ®­ á®á⮨⠨§ ¯ à­ëå
á« £ ¥¬ëå ⨯	~	~	¨ â.¤. ® âà¥â쥬㠧 ª®­ã ìîâ®­ á¨«ë ¢§ -
	F1 2	+ F2 1

¨¬®¤¥©áâ¢¨ï ¤¢ãå ¬ â¥à¨ «ì­ëå â®ç¥ª i ¨ j à ¢­ë ¯® ¢¥«¨ç¨­¥ ¨ ¯à®-

⨢®¯®«®¦­® ­ ¯à ¢«¥­ë					(¤¥©áâ¢ãîâ ¢¤®«ì ¯àאַ©, ᮥ¤¨­ïî饩 íâ¨
			~			~
¬ â¥à¨ «ì­ë¥ â®çª¨): Fi j = ;Fj i. ®í⮬㠢 ¯à ¢®© ç á⨠㠭 á ®áâ -
­¥âáï ⮫쪮 á㬬 ¢á¥å ¢­¥è­¨å ᨫ:
		d						~	~
		dt(p~1 + p~2
					: : : + p~N ) = (F1				+ : : : + FN ):	(3.32)
㬬 p~ =	P		iN p~i ¨¬¯ã«ìᮢ ç áâ¨æ, ®¡à §ãîé¨å ¬¥å ­¨ç¥áªãî á¨-
á⥬ã, ­ §ë¢ ¥âáï ¨¬¯ã«ìᮬ á¨á⥬ë. ¬¯ã«ìá á¨á⥬ë 㤮¢«¥â¢®àï¥â
ãà ¢­¥­¨î
					d~p		N	~
							X
					dt	=		Fi:		(3.33)
							i=1
¨á⥬	⥫, ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢ãîé¨å ⮫쪮 ¬¥¦¤ã ᮡ®© ¨ ­¥ ¢§ -
¨¬®¤¥©áâ¢ãîé¨å á ¤à㣨¬¨ ⥫ ¬¨,								­ §ë¢ ¥âáï § ¬ª­ã⮩.

­ë¬¨ á«®¢ ¬¨, ­ § ¬ª­ãâãî á¨á⥬㠭¥ ¤¥©áâ¢ãîâ ¢­¥è­¨¥ ᨫë.а¨ ®вбгвбв¢¨¨ ¢­¥и­¨е б¨« d~p=dt = 0 p~ = const.

3.4. ª®­ á®åà ­¥­¨ï ¨¬¯ã«ìá

79

㬬 à­ë© ¨¬¯ã«ìá ~p = PNi p~i § ¬ª­ã⮩ á¨áâ¥¬ë ¯®- áâ®ï­¥­.

â® ã⢥ত¥­¨¥, ¨§¢¥áâ­®¥ ª ª § ª®­ á®åà ­¥­¨ï ¨¬¯ã«ìá , á¢ï- § ­® á äã­¤ ¬¥­â «ì­ë¬¨ ᢮©á⢠¬¨ ¯à¨à®¤ë (®¤­®à®¤­®áâìî ¯à®áâà ­- á⢠), ¨ ¯®â®¬ã á¯à ¢¥¤«¨¢® ­¥ ⮫쪮 ¤«ï ª« áá¨ç¥áª®© ¬¥å ­¨ª¨, ­® ¨ ¤«ï ¥¥ ¢®§¬®¦­ëå ®¡®¡é¥­¨©.

®§¬®¦­ë á¨âã 樨, ª®£¤ ¢­¥è­¨¥ á¨«ë ­¥ à ¢­ë ­ã«î, ­® à ¢­ ­ã«î ¯à®¥ªæ¨ï ¨å à ¢­®¤¥©áâ¢ãî饩 ­ ª ª®¥-â® ­ ¯à ¢«¥­¨¥. ®£¤ ,

ª ª á«¥¤ã¥â ¨§ ¢¥ªâ®à­®£® ᮮ⭮襭¨ï (3.33), ¡г¤¥в б®еа ­пвмбп ¯а®- ¥ªæ¨ï ¨¬¯ã«ìá á¨áâ¥¬ë ­ íâ® ¦¥ ­ ¯à ¢«¥­¨¥. ਬ¥à®¬ ¬®¦¥â á«ã-

¦¨âì 㦥 à áᬮâ७­®¥ ¤¢¨¦¥­¨¥ ⥫ , ¡à®è¥­­®£® ¯®¤ 㣫®¬ ª £®à¨- §®­âã. ⥫® ¤¥©áâ¢ã¥â ᨫ â殮áâ¨, ­ ¯à ¢«¥­­ ï ¢¥à⨪ «ì­® ¢­¨§.¥ ¯à®¥ªæ¨ï ­ £®à¨§®­â «ì­ãî ®áì à ¢­ ­ã«î, ¨ ¯®â®¬ã £®à¨§®­â «ì-

­ ï ¯à®¥ªæ¨ï ¨¬¯ã«ìá			á®åà ­ï¥âáï (¯®áâ®ï­­ £®à¨§®­â «ì­ ï ¯à®¥ªæ¨ï
᪮à®áâ¨).
ਬ¥­¥­¨¥ § ª®­			á®åà ­¥­¨ï ¨¬¯ã«ìá ¯®§¢®«ï¥â à¥è¨âì ¬­®£¨¥ § -
¤ ç¨, ª®£¤		­¥¨§¢¥áâ­ë â®ç­ë¥ ᨫë, ¤¥©áâ¢ãî騥 ¢ á¨á⥬¥.
¤ ç	3.7. â५ïï ¨§ ¢â®¬ â			-47, ᮫¤ â ¨á¯ëâë¢ ¥â ®â¤ çã:
­ ­¥£® ¤¥©áâ¢ã¥â á।­ïï ᨫ				Fáà, íª¢¨¢ «¥­â­ ï ¢¥áã ¬ ááë M =
6:5 ª£.	ç¨âë¢ ï, çâ® ¬ áá ¯ã«¨ m = 7 £ ¨ ¢ë«¥â ¥â ®­				á ­ ç «ì-
­®© ᪮à®áâìî v = 850 ¬=á, ®¯à¥¤¥«¨âì ᪮à®áâ५쭮áâì n					¢â®¬ â .
¥è¥­¨¥.		¢à¥¬ï t ¢ë¯ã᪠¥âáï N = n t ¯ã«ì. ­¨ ã­®áïâ ¨¬-

¯ã«ìá p = mv N = mvn t. ® § ª®­ã á®åà ­¥­¨ï â ª®© ¦¥ ¨¬¯ã«ìá ¯¥à¥¤ ¥âáï ¢â®¬ âã. ®í⮬㠯® ¢â®à®¬ã § ª®­ã ìîâ®­ á।­ïï ᨫ ®â¤ ç¨ à ¢­

p

Fáà = t = mvn:

® ãá«®¢¨î Fáà = Mg. âáî¤ ­ 室¨¬ ᪮à®áâ५쭮áâì ®à㦨ï:

n = Fmváà = Mgmv = 7 610:5;3 9:8850 = 10:7 á;1 642 ¬¨­;1:

áâ¥á⢥­­®, ¯à¨ áâ५졥 ®ç¥à¥¤ï¬¨ ¨, ⥬ ¡®«¥¥, ®¤¨­®ç­ë¬¨ ¢ëáâà¥- « ¬¨ ç¨á«® ¢ëáâ५®¢ ¢ ¬¨­ãâ㠡㤥⠬¥­ì訬.

80	« ¢ 3. ¨­ ¬¨ª ¬ â¥à¨ «ì­®© â®çª¨

3.5¥­âà ¬ áá

­®¢ à áᬮâਬ âã ¦¥ á¨á⥬㠬 â¥à¨ «ì­ëå â®ç¥ª. ®áâந¬ à ¤¨ãá-

~

¢¥ªâ®à Rc ¯® á«¥¤ãîé¥¬ã ¯à ¢¨«ã:

~

i mi~ri

Rc

= P i mi

(3.34)

£¤¥ ~ri - à ¤¨ãá-¢¥ªâ®à i-© ¬ â¥à¨ «ì­®©P

â®çª¨ á¨á⥬ë,

mi | ¥¥ ¬ áá .

¤¨ãá

¢¥ªâ®à

~

®¯à¥¤¥«ï¥â ¯®«®¦¥­¨¥ ¢ ¯à®áâà ­á⢥ 業âà ¨­¥à

-

Rc

-

樨 (業âà ¬ áá) á¨á⥬ë.

®¢á¥ ­¥ ®¡ï§ ⥫쭮, çâ® ¢ 業âॠ¬ áá

á¨áâ¥¬ë ®ª ¦¥âáï ª ª ï-â® ¬ â¥à¨ «ì­ ï â®çª .

~

~

¯à¥¤¥«¨¬, á ª ª®© ᪮à®áâìî Vc

= dRc=dt ¤¢¨¦¥âáï 業âà ¨­¥à樨

á¨á⥬ë. ¨ää¥à¥­æ¨à㥬 ¯® ¢à¥¬¥­¨ ®¡¥ ç á⨠(3.34):

_

i mi~r_i

i mi~vi

~ ~

P i mi

= P i mi

Vc = Rc =

:

(3.35)

P

P

ç¨á«¨â¥«¥ ¢ëà ¦¥­¨ï ¢ ¯à ¢®© ç áâ¨

(3.35)

á⮨â á㬬 ¨¬¯ã«ìᮢ

¢á¥å â®ç¥ª, â® ¥áâì ¨¬¯ã«ìá p~ á¨á⥬ë.

§­ ¬¥­ ⥫¥ á⮨⠯®«­ ï

¬ áá á¨á⥬ë

X

M =

mi:

(3.36)

i

ë ¯®«ã稫¨,

ç⮠᪮à®áâì 業âà

¨­¥à樨 á¢ï§ ­

á ¨¬¯ã«ìᮬ á¨-

áâ¥¬ë ¨ ¥¥ ¯®«­®© ¬ áᮩ â ª¨¬ ¦¥ ᮮ⭮襭¨¥¬, ª ª®¥ á¯à ¢¥¤«¨¢® ¤«ï ¬ â¥à¨ «ì­®© â®çª¨:

~	(3.37)
p~ = MVc:

ª¨¬ ®¡à §®¬ ¬®¦­® áç¨â âì ç⮠᪮à®áâì ~ ï¥âáï ᪮à®áâìî á¨

, , Vc -

áâ¥¬ë ª ª 楫®£®. ­ , à §ã¬¥¥âáï, ¬®¦¥â ®â«¨ç âìáï ®â ᪮à®á⥩ ª - ¦¤®£® ¨§ ⥫, ¢å®¤ïé¨å ¢ á¨á⥬ã.

¥­âà ¬ áá § ¬ª­ã⮩ á¨áâ¥¬ë ¤¢¨¦¥âáï ¢á¥£¤ á ¯®áâ®ï­­®© ᪮à®- áâìî, ¯®áª®«ìªã ¨¬¯ã«ìá â ª®© á¨á⥬ë á®åà ­ï¥âáï.

᫨ ¯à®¤¨ää¥à¥­æ¨à®¢ âì ⥯¥àì ᮮ⭮襭¨¥ (3.37) ¯® ¢à¥¬¥­¨ ¨

ãç¥áâì, çâ® ¯à®¨§¢®¤­ ï ¨¬¯ã«ìá				á¨áâ¥¬ë ¥áâì à ¢­®¤¥©áâ¢ãîé ï ¢­¥è-
­¨å ᨫ, â® ¯®«ã稬 ãà ¢­¥­¨¥ ¤¢¨¦¥­¨ï 業âà									¬ áá á¨áâ¥¬ë ¢
®¡é¥¬ á«ãç ¥:
		2	~		N
		d Rc			P	~			(3.38)
	M		2	=		Fi	:
		dt			i=1