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1.5. «£¥¡à ¢¥ªâ®à®¢

31

¬ ªá¨¬ «ì­®© ¢ëá®âë ¯®¤ê¥¬ ⥫ ¨ ¤ «ì­®á⨠¥£® ¯®«¥â . ¡êï᭨⥠१ã«ì-

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5.­¥ª®© § ¤ ç¥ âॡ®¢ «®áì ­ ©â¨ í­¥à£¨î ⥫ , ¯à¨ç¥¬ ¢ ãá«®¢¨¨ 䨣ãà¨à®¢ «¨

á«¥¤ãî騥 ¯ à ¬¥âàë: ¬ áá m, ᪮à®áâì v, ã᪮७¨¥ g, ¢ëá®â h, ¢à¥¬ï t. ïâì áâ㤥­â®¢ ¯à¥¤áâ ¢¨«¨ ¯ïâì à §­ëå ®â¢¥â®¢: 1) mg2t2, 2) mv3=gh, 3) mg2t, 4) pgvt, 5) mh2. ª¨¥ ¨§ ­¨å § ¢¥¤®¬® ­¥¢¥à­ë? §¬¥à­®áâì í­¥à£¨¨ [E] = [ML2T ;2].

6. ¥«® ¬ áᮩ m ª®«¥¡«¥âáï ­ ª®­æ¥ ¯à㦨­ë á ¬¯«¨â㤮© A (â.¥. 4A | íâ® à ááâ®ï­¨¥, ¯à®å®¤¨¬®¥ ⥫®¬ § ¯¥à¨®¤ ª®«¥¡ ­¨©). ᯮ«ì§ãï ­ «¨§ à ¢­®¬¥à- ­®á⥩, ­ ©â¨ ¢¨¤ § ¢¨á¨¬®á⨠¯¥à¨®¤ ª®«¥¡ ­¨© ®â ¢¥«¨ç¨­ë m, A ¨ ª®íää¨- 樥­â ¦¥á⪮á⨠¯à㦨­ë k. ®á«¥¤­¨© ¢å®¤¨â ¢ § ª®­ 㪠F = ;kx, £¤¥ F | ᨫ , ­¥®¡å®¤¨¬ ï ¤«ï à áâ殮­¨ï ¯à㦨­ë ­ ¤«¨­ã x.

7.â® â ª®¥ á¨á⥬ ®âáç¥â ?

8.®ç¥¬ã £®¢®àïâ, çâ® ®«­æ¥ ¢®á室¨â ¨ § 室¨â? â® ¢ ¤ ­­®¬ á«ãç ¥ ï¥âáï ⥫®¬ ®âáç¥â ?

9.	áá ¦¨à ¨¤ã饣® ᪮ண® ¯®¥§¤ ᬮâà¨â ¢ ®ª­® ­			¢ £®­ë ¢áâà¥ç­®£® ¯®¥§¤ .
	â®â ¬®¬¥­â, ª®£¤ ¬¨¬® ¯à®è¥« ¯®á«¥¤­¨© ¢ £®­ ¢áâà¥ç­®£® ¯®¥§¤ , ¯ áá ¦¨àã
	¯®ª § «®áì, çâ® ¥£® ¤¢¨¦¥­¨¥ § ¬¥¤«¨«®áì. ®ç¥¬ã?
10.	®ç¥¬ã ¤®¦¤¥¢ë¥ ª ¯«¨ ¢ ¡¥§¢¥â७­ãî ¯®£®¤ã ®áâ ¢«ïîâ ­ ª«®­­ë¥ ¯àï¬ë¥ ¯®-
	«®áë ­ á⥪« å à ¢­®¬¥à­® ¤¢¨¦ã饣®áï ¦¥«¥§­®¤®à®¦­®£® ¢ £®­ ?
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« ¢ 2

¨­¥¬ ⨪ ¬ â¥à¨ «ì­®© â®çª¨

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¡®«¥¥ ¯à®áâëå ä®à¬ ¤¢¨¦¥­¨ï ⥫ ¨ ¯à¨ç¨­ë ¢ë§ë¢ î騥 í⨠¤¢¨¦¥
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­ âë ¨ ᪮à®áâ¨) ¢ ­¥ª®â®àë© ­ ç «ì­ë© ¬®¬¥­â ¢à¥¬¥­¨ t0,									â ª¦¥
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¤¢¨¦¥­¨ï	--- ãà ¢­¥­¨ï, ¯®§¢®«ïî騥 ®¯à¥¤¥«¨âì ¯®«®¦¥­¨¥ ¬ â¥à¨-
«ì­®© â®çª¨		(	á¨á⥬ë	)						-
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¢¥áâ­ë¬ ­ ç «ì­ë¬ ãá«®¢¨ï¬ ¯ëâ ¯®ª §ë¢ ¥â çâ® §­ ­¨ï ­ ç «ì

­ëå ᪮à®á⥩ ¨ ª®®à¤¨­ â á¨áâ¥¬ë ¤®áâ â®ç­® ¤«ï ¯à®á«¥¦¨¢ ­¨ï ¥¥ ¤ «ì­¥©è¥© áã¤ì¡ë. ¬ ⥬ â¨ç¥áª®© â®çª¨ §à¥­¨ï íâ® ®§­ ç ¥â, çâ® ãà ¢­¥­¨ï ¤¢¨¦¥­¨ï ­¥ ᮤ¥à¦ â ¡®«¥¥ ¢ë᮪¨å ¯à®¨§¢®¤­ëå ¯® ¢à¥- ¬¥­¨, ­¥¦¥«¨ ¢â®à ï (ª ª £®¢®àïâ, íâ® ãà ¢­¥­¨ï ¢â®à®£® ¯®à浪 ).®ç¥¬ã íâ® â ª --- ¢®¯à®á § ¯à¥é¥­­ë©. ª®¢ë í⨠ãà ¢­¥­¨ï ---

¬ë 㢨¤¨¬ ¢ ¤ «ì­¥©è¥¬.

¨­¥¬ ⨪ ¨§ãç ¥â ¤¢¨¦¥­¨¥ ⥫, ­¥ ¢¤ ¢ ïáì ¢ ¯à¨ç¨­ë, ¥£® ¢ë- §ë¢ î騥. ¨­¥¬ ⨪ ®¯¥à¨àã¥â á â ª¨¬¨ ¢¥«¨ç¨­ ¬¨, ª ª ¯¥à¥¬¥- 饭¨¥, ¯ãâì, ᪮à®áâì, ã᪮७¨¥.

2.1¡áâà ªæ¨ï ¢ ¬¥å ­¨ª¥

¨ ®¤­ 䨧¨ç¥áª ï § ¤ ç ­¥ ¬®¦¥â ¡ëâì à¥è¥­ ¡á®«îâ­® â®ç­®. ¥- è ï § ¤ ç㠯ਡ«¨¦¥­­®, ¯à¥­¥¡à¥£ îâ ­¥ª®â®à묨 ä ªâ®à ¬¨, ª®â®- àë¥ ¢ ¤ ­­®¬ á«ãç ¥ ­¥ áãé¥á⢥­­ë, â.¥. ¡бва £¨аговбп ®â ­¨å. ¤­ ¨§ ¡áâà ªæ¨© ¢ ¬¥å ­¨ª¥ | ¬ â¥à¨ «ì­ ï â®çª .

â¥à¨ «ì­®© â®çª®© ¢ 䨧¨ª¥ ­ §ë¢ îâ ⥫®, à §¬¥àë, ä®à¬ ¨ ¢­ãâ७­ïï áâàãªâãà ª®â®à®£® ¢ ¤ ­­®© § ¤ ç¥ ­¥áãé¥á⢥­­ë.

32

2.1. ¡áâà ªæ¨ï ¢ ¬¥å ­¨ª¥

33

¥å ­¨ç¥áª ï á¨á⥬ | ᮢ®ªã¯­®áâì ⥫, ¢ë¤¥«¥­­ ï ¤«ï à áᬮ- â७¨ï. ᫨ «¨­¥©­ë¥ à §¬¥àë ⥫ ¬ «ë ¯® áà ¢­¥­¨î á à ááâ®ï­¨- ﬨ ¬¥¦¤ã ­¨¬¨, ¢à 饭¨¥¬ ⥫ ¢®ªà㣠®á¥©, ¯à®å®¤ïé¨å ç¥à¥§ ­¨å, ¬®¦­® ¯à¥­¥¡à¥çì, â® â ªãî á¨á⥬㠬®¦­® áç¨â âì á®áâ®ï饩 ¨§ ¬ â¥- ਠ«ì­ëå â®ç¥ª. ¯à¨¬¥à, ¢ëç¨á«ïï ¢à¥¬ï ¢â®¬®¡¨«ï ¢ ¯ãâ¨, ¬®¦­® ¯à¥­¥¡à¥çì ¥£® «¨­¥©­ë¬¨ à §¬¥à ¬¨ ¯® áà ¢­¥­¨î á ¯à®å®¤¨¬ë¬ à á- áâ®ï­¨¥¬, â® ¥áâì à áᬠâਢ âì ¥£® ª ª ¬ â¥à¨ «ì­ãî â®çªã. ® ¨§ã- ç ï ¢à 饭¨¥ ª®«¥á ¢â®¬®¡¨«ï, ¬ë ¤®«¦­ë ãç¥áâì ¥£® ä®à¬ã, ¬ ááã, à §¬¥àë. ª®© ã஢¥­ì ¡áâà ªæ¨¨ ­ á 㦥 ­¥ 㤮¢«¥â¢®à¨â, ¨ ¬ë ¯¥- à¥å®¤¨¬ ­ á«¥¤ãî騩 ã஢¥­ì.

â®à®© ã஢¥­ì ¡áâà ªæ¨¨ ¢ª«îç ¥â ¯®­ï⨥ ¡á®«îâ­® ⢥म£® ⥫ .

¡á®«îâ­® ⢥म¥ ⥫® | ⥫®, ¤¥ä®à¬ æ¨ï¬¨ ª®â®à®£® ¬®¦­® ¢ ãá«®¢¨ïå ¤ ­­®© § ¤ ç¨ ¯à¥­¥¡à¥çì.

¤¥áì ¬ë ­¥ ¯à¥­¥¡à¥£ ¥¬ à §¬¥à ¬¨ ⥫ , ­® áç¨â ¥¬ ­¥¨§¬¥­­ë¬¨ à ááâ®ï­¨ï ¬¥¦¤ã ¤¢ã¬ï ¥£® «î¡ë¬¨ â®çª ¬¨. í⮬ ã஢­¥ ¬®¦­®

à¥è âì § ¤ ç¨ ® ¢à 饭¨¨ ª®«¥á ¨ ¡«®ª®¢, ® à ¡®â¥ £¨à®áª®¯®¢ ¨ â.¯.­ ç¥ £®¢®àï, ⥠§ ¤ ç¨, £¤¥ ¤¥ä®à¬ 樨 ⥫ ¬ «ë ¯® áà ¢­¥­¨î á ¥£® «¨­¥©­ë¬¨ à §¬¥à ¬¨.

® ¥á«¨ ­ á ¨­â¥à¥áã¥â ¨¬¥­­® ¤¥ä®à¬ æ¨ï ⥫, ᪠¦¥¬, ¯à¨ à áç¥â å ¬®á⮢, ¯®¢¥¤¥­¨¨ ¡ «®ª ¨ ப, â® ¬ë ¨§ ®¡« á⨠ª« áá¨ç¥áª®© ¬¥å ­¨ª¨

¯®¯ ¤ ¥¬ ¢ áä¥àã ¤¥©áâ¢¨ï ¤àã£¨å ­ ãç­ëå ¤¨á樯«¨­ | ⥮à¥â¨ç¥áª®© ¬¥å ­¨ª¨, ⥮ਨ ã¯à㣮á⨠¨ â.¯. í⮩ ª­¨£¥ ¬ë ®£à ­¨ç¨¬áï ¯¥à- ¢ë¬¨ ¤¢ã¬ï ã஢­ï¬¨ ¡áâà ªæ¨¨.

¨á«® á⥯¥­¥© ᢮¡®¤ë ¬¥å ­¨ç¥áª®© á¨á⥬ë | íâ® ª®«¨- ç¥á⢮ ­¥§ ¢¨á¨¬ëå ᪠«ïà­ëå ¢¥«¨ç¨­, ®¤­®§­ ç­® ®¯à¥¤¥«ïîé¨å ¯®- «®¦¥­¨¥ á¨áâ¥¬ë ¢ ¯à®áâà ­á⢥ ¢ ¤ ­­ë© ¬®¬¥­â ¢à¥¬¥­¨.

ª ª ª ­ è¥ ¯à®áâà ­á⢮ âà¥å¬¥à­®, ç¨á«® á⥯¥­¥© ᢮¡®¤ë ¬ â¥- ਠ«ì­®© â®çª¨ à ¢­® â६. «ï á¨áâ¥¬ë ¨§ N ¬ â¥à¨ «ì­ëå â®ç¥ª, ¬¥¦¤ã ª®â®à묨 ­¥â ¦¥á⪨å á¢ï§¥©, ç¨á«® á⥯¥­¥© ᢮¡®¤ë à ¢­®, ¥áâ¥á⢥­­®, 3N. ਠ­ «¨ç¨¨ ¦¥á⪨å á¢ï§¥© ¬¥¦¤ã â®çª ¬¨ ç¨á«® á⥯¥­¥© ᢮¡®¤ë 㬥­ìè ¥âáï. ª, ¤«ï § ¤ ­¨ï ¯®«®¦¥­¨ï ¡á®«îâ­®

⢥म£® ⥫ ­ ¬ ­ ¤® 1) § ¤ âì âਠª®®à¤¨­ âë, 䨪á¨àãî騥 ¯®«®- ¦¥­¨¥ ª ª®©-â® â®çª¨ í⮣® ⥫ ¢ ¯à®áâà ­á⢥ 2) ¤¢ 㣫 ¤«ï ®¯à¥- ¤¥«¥­¨ï ­ ¯à ¢«¥­¨ï ®á¨, ¯à®å®¤ï饩 ç¥à¥§ ¢ë¤¥«¥­­ãî â®çªã ⥫ 3) 㣮« ¯®¢®à®â ⥫ ®â­®á¨â¥«ì­® í⮩ ®á¨. ª¨¬ ®¡à §®¬, ç¨á«® áâ¥-

¯¥­¥© ᢮¡®¤ë ¤«ï ¡á®«îâ­® ⢥म£® ⥫ à ¢­ï¥âáï è¥-

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34	« ¢ 2. ¨­¥¬ ⨪ ¬ â¥à¨ «ì­®© â®çª¨

áâ¨. «ï ª ¦¤®© á⥯¥­¨ ᢮¡®¤ë á¨áâ¥¬ë ¤®«¦­® ¡ëâì ­ ¯¨á ­® ᢮¥ ãà ¢­¥­¨¥ ¤¢¨¦¥­¨ï, â® ¥áâì ª®«¨ç¥á⢮ ᪠«ïà­ëå ãà ¢­¥­¨© ¤¢¨¦¥­¨ï á¨áâ¥¬ë ¤®«¦­® ᮢ¯ ¤ âì á ç¨á«®¬ ¥¥ á⥯¥­¥© ᢮¡®¤ë.

2.2¥à¥¬¥é¥­¨¥

¥¯à¥à뢭 ï «¨­¨ï, ª®â®àãî ®¯¨áë¢ ¥â â®çª ¯à¨ ᢮¥¬ ¤¢¨¦¥­¨¨,

­ §ë¢ ¥âáï âà ¥ªâ®à¨¥©.

®­ï⨥ âà ¥ªâ®à¨¨ ï¥âáï áãé¥á⢥­­® ª« áá¨ç¥áª¨¬ ¨ â¥àï¥â ¯à¨- ¢ëç­ë© á¬ëá« ¢ ª¢ ­â®¢®© ¬¥å ­¨ª¥. § ¢¨á¨¬®á⨠®â ä®à¬ë âà ¥ª- â®à¨¨ à §«¨ç îâ ¯àאַ«¨­¥©­®¥ ¤¢¨¦¥­¨¥, ¤¢¨¦¥­¨¥ ¯® ®ªà㦭®á⨠¨ ¤à㣨¥ ¢¨¤ë ªà¨¢®«¨­¥©­®£® ¤¢¨¦¥­¨ï.

®«®¦¥­¨¥ ¬ â¥à¨ «ì­®© â®çª¨ M ¢ ¯à®áâà ­á⢥ § ¤ ¥âáï à ¤¨ãá-

¢¥ªâ®à®¬ ~r (á¬. à §¤¥« 1.4). ®áª®«ìªã ¬ë à áᬠâਢ ¥¬ ¤¢¨¦¥­¨¥ â®çª¨, à ¤¨ãá-¢¥ªâ®à § ¢¨á¨â ®â ¢à¥¬¥­¨: ~r = ~r(t). ᫨ ¢ ª ª®©-â® ¬®¬¥­â ¢à¥¬¥­¨ t1 ¯®«®¦¥­¨¥ ¬ â¥à¨ «ì­®© â®çª¨ ¢ ¯à®áâà ­á⢥ ¡ë«®

~r1 = ~r(t1), ¢ ¬®¬¥­â ¢à¥¬¥­¨ t2 áâ «® ~r2 = ~r(t2), â® £®¢®àïâ ® ¯¥à¥¬¥é¥- ­¨¨ ¬ â¥à¨ «ì­®© â®çª¨ ¨§ â®çª¨ 1 ¢ â®çªã 2.

¥à¥¬¥é¥­¨¥ | íâ® ¢¥ªâ®à ~r12, ¯à®¢¥¤¥­­ë© ¨§ ¯®«®¦¥­¨ï â®çª¨

¢¬®¬¥­â ¢à¥¬¥­¨ t1 ¢ ¥¥ ¯®«®¦¥­¨¥ ¢ ¬®¬¥­â t2.

§ à¨á. 2.1) ®ç¥¢¨¤­®, çâ®

~r12 = ~r(t2) ; ~r(t1)	j~r12j	(2.1)
¥à¥¬¥é¥­¨¥ ª ª ¢¥ªâ®à å à ªâ¥à¨§ã¥âáï ¢¥«¨ç¨­®©		¨ ­ ¯à ¢«¥-
­¨¥¬, ¯à¨ç¥¬ ¯¥à¥¬¥é¥­¨ï ᪫ ¤ë¢ îâáï ¯® ¯à ¢¨«ã ¯ à ««¥«®£à ¬¬ .

â ¯¥à¥¬¥é¥­¨ï á«¥¤ã¥â ®â«¨ç âì ¯à®©¤¥­­ë© ¬ â¥à¨ «ì­®© â®çª®© ¯ãâì.

| ᪠«ïà­ ï 䨧¨ç¥áª ï ¢¥«¨ç¨­ , à ¢­ ï ¤«¨­¥ ãç á⪠âà ¥ªâ®à¨¨, ¯à®©¤¥­­®£® â®çª®© § à áᬠâਢ ¥¬ë© ¯à®¬¥¦ã⮪ ¢à¥-

¬¥­¨.

ãâì | ­¥®âà¨æ â¥«ì­ ï, ­¥ã¡ë¢ îé ï äã­ªæ¨ï ¢à¥¬¥­¨. ®¦¥â á«ã- ç¨âìáï â ª, çâ® ¯¥à¥¬¥é¥­¨¥ à ¢­® ­ã«î, ¯ãâì ¤®á⨣ ¥â §­ ç¨â¥«ì- ­®© ¢¥«¨ç¨­ë. ¯à¨¬¥à, ¢ë ãâ஬ ¢ë¥§¦ ¥â¥ ¨§ £ à ¦ , ¥§¤¨â¥ æ¥«ë© ¤¥­ì ¯® £®à®¤ã ¨ ª ¢¥ç¥àã áâ ¢¨â¥ ¬ 設㠭 ¯à¥¦­¥¥ ¬¥áâ®. ®áª®«ìªã

­ ç «ì­®¥ ¨ ª®­¥ç­®¥ ¯®«®¦¥­¨ï ᮢ¯ «¨ (~r1 = ~r2), ¯¥à¥¬¥é¥­¨¥ à ¢­®

­ã«î: ~r12 = ~r2 ; ~r1 = 0, ¯à®©¤¥­­ë© ¯ãâì ®â¬¥ç¥­ ­ áç¥â稪¥.â®¡ë ¢ëç¨á«¨âì ¯à®©¤¥­­ë© ¯ãâì, ­ ¤® âà ¥ªâ®à¨î à §¡¨âì ­ ¬ -

«¥­ìª¨¥ ãç á⪨ (à¨á. 2.2). ®£¤ ¤«¨­ ¢¥ªâ®à ¯¥à¥¬¥é¥­¨ï j ~rj ¡ã¤¥â

ª®à®áâì

2.3. ª®à®áâì

35

¨á. 2.1: ¥ªâ®à ¯¥à¥¬¥é¥­¨ï	¨á. 2.2: «¨­ ¢¥ªâ®à ¯¥à¥-
¬ â¥à¨ «ì­®© â®çª¨ ¨§ ¯®«®-	¬¥é¥­¨ï j ~rj ᮢ¯ ¤ ¥â á ¯à®©-
¦¥­¨ï 1 ¢ ¯®«®¦¥­¨¥ 2	¤¥­­ë¬ ¯ã⥬ s ⮫쪮 ¤«ï
	¡¥áª®­¥ç­® ¬ «ëå ¯¥à¥¬¥é¥­¨©.

¯à¨¡«¨§¨â¥«ì­® à ¢­ ¯à®©¤¥­­®¬ã ¯ã⨠s, ¯à¨ç¥¬ ᮢ¯ ¤¥­¨¥ ¡ã¤¥â

⥬ â®ç­¥¥, 祬 ¬¥«ìç¥ ­ è¥ à §¡¨¥­¨¥. à¨ à §¡¨¥­¨¨ ­ ¡¥áª®­¥ç­® ¬ «ë¥ ãç á⪨ d~r ¨¬¥¥¬ à ¢¥­á⢮

ds = jd~rj = p		(dx)2 + (dy)2 + (dz)2				:	(2.2)
«ï ­ 宦¤¥­¨ï ¯®«­®£® ¯ã⨠s ­ ¤® ¯à®á㬬¨à®¢ âì ¢á¥ í⨠¡¥áª®­¥ç­®
¬ «ë¥ ¯ãâ¨, â® ¥áâì ¢ëç¨á«¨âì ¨­â¥£à «
s = Z1	2		ds = Z1	2	jd~rj:		(2.3)

¤¥áì ¨­â¥£à¨à®¢ ­¨¥ ¢¥¤¥âáï ¢¤®«ì âà ¥ªâ®à¨¨ ®â ­ ç «ì­®© â®çª¨ ~r1 ¤® ª®­¥ç­®© ~r2.

2.3ª®à®áâì

ª®à®áâì | ¢¥ªâ®à­ ï ¢¥«¨ç¨­ , å à ªâ¥à¨§ãîé ï ­¥ ⮫쪮 ¡ëáâà®âã ¯¥à¥¬¥é¥­¨ï ç áâ¨æë ¯® âà ¥ªâ®à¨¨, ­® ¨ ­ ¯à ¢«¥­¨¥, ¢ ª®â®à®¬ ¤¢¨- ¦¥âáï ç áâ¨æ ¢ ª ¦¤ë© ¬®¬¥­â ¢à¥¬¥­¨.

®¯à¥¤¥«ï¥âáï ®â­®è¥­¨¥¬ ¯¥à¥¬¥é¥­¨ï ~r ª ¯à®¬¥- ¦ãâªã ¢à¥¬¥­¨ t, § ª®â®à®¥ íâ® ¯¥à¥¬¥é¥­¨¥ ¯à®¨§®è«®. ®ç­¥¥,

᪮à®áâì | íâ® ¯à¥¤¥« ¤ ­­®£® ®â­®è¥­¨ï ¤«ï ¡¥áª®­¥ç­® ¬ «ëå ¯à®- ¬¥¦ã⪮¢ ¢à¥¬¥­¨:

36	« ¢ 2. ¨­¥¬ ⨪ ¬ â¥à¨ «ì­®© â®çª¨

~v = lim	~r	=	d~r	_		(2.4)
	t		dt	= ~r:
t!0

¤¥áì ¨ ¤ «¥¥ ¬ë ç áâ® ¤«ï 㤮¡á⢠¡ã¤¥¬ ¨á¯®«ì§®¢ âì ¢®á室ï饥 ªìîâ®­ã ®¡®§­ 祭¨¥ ¯à®¨§¢®¤­®© ¯® ¢à¥¬¥­¨ ¢ ¢¨¤¥ â®çª¨ ­ ¤ á®®â- ¢¥âáâ¢ãî饩 ¢¥«¨ç¨­®©: d~r=dt ~r_. ® £¥®¬¥âà¨ç¥áª®¬ã á¬ëá«ã ¯à®¨§- ¢®¤­®© ¢¥ªâ®à ᪮à®á⨠¢ ª ¦¤®© â®çª¥ âà ¥ªâ®à¨¨ ­ ¯à ¢«¥­ ¯® ª á - ⥫쭮© ª âà ¥ªâ®à¨¨ ¢ í⮩ â®çª¥ (¢ áâ®à®­ã ¤¢¨¦¥­¨ï). ®¬¯®­¥­âë ¢¥ªâ®à ᪮à®á⨠¥áâì ¯à®¨§¢®¤­ë¥ ¯® ¢à¥¬¥­¨ ®â ª®¬¯®­¥­â à ¤¨ãá- ¢¥ªâ®à :

~		~	~
~v = i vx + j vy			+ k vz
_	~	~	~	(2.5)
~v = ~r = i x + j y + k z

®¤ã«ì ¢¥ªâ®à ᪮à®áâ¨ à ¢¥­

v = px2 + y2 + z2:

£® â ª¦¥ ¬®¦­® ®¯à¥¤¥«¨âì ç¥à¥§ ¯à®¨§¢®¤­ãî:

v = j~vj = lim j ~rj:

t!0 t

(2.6)

(2.7)

ë 㦥 ®¡á㦤 «¨, çâ® ¯à¨ j ~rj ! 0 ¢¥«¨ç¨­ j ~rj ¢á¥ ¬¥­ìè¥ ¨ ¬¥­ìè¥ ®â«¨ç ¥âáï ®â ᮮ⢥âáâ¢ãî饣® ¯ã⨠s (á¬. à¨á. 2.2). ®í⮬ã

lim j ~rj = 1

t!0 s

¨ ¢ ¯à¥¤¥«¥

v = ~v	= lim j ~rj = lim j ~rj s	= ds	:	(2.8)
j j	t!0 t t!0 s t	dt

­ë¬¨ á«®¢ ¬¨, ¬®¤ã«ì ᪮à®á⨠| íâ® ¯à®¨§¢®¤­ ï ¯à®©¤¥­­®£® ¯ã⨠¯® ¢à¥¬¥­¨. ᫨ ­ ¬ ¨§¢¥á⥭ ¯à®©¤¥­­ë© ¯ãâì s § ª ª®¥-â® ª®­¥ç­®¥ ¢à¥¬ï t, â® ®â­®è¥­¨¥

váà =	s	(2.9)
	t
­ §ë¢ ¥âáï á।­¥© ¯ã⥢®© ᪮à®áâìî. ­		¬®¦¥â ¨ ­¥ ᮢ¯ áâì á

¬®¤ã«¥¬ ᪮à®á⨠v, ­® ¡ã¤¥â ⥬ ¡«¨¦¥ ª ­¥¬ã, 祬 ¬¥­ìè¥ ¯à®¬¥¦ã⮪

2.3. ª®à®áâì

37

¢à¥¬¥­¨ t. â á।­¥© ¯ã⥢®© ᪮à®á⨠᫥¤ã¥â ®â«¨ç âì á।­îî ᪮à®áâì § ª ª®©-â® ¯à®¬¥¦ã⮪ ¢à¥¬¥­¨

h~vi =	~r	(2.10)
	t

å®âï ¡ë ¯®â®¬ã, çâ® ¯®á«¥¤­ïï ï¥âáï ¢¥ªâ®à®¬.

áᬮâਬ ¯à¨¬¥à. ãáâì â®çª ¤¢¨¦¥âáï ¢ ®¤­ã áâ®à®­ã. à¨á.

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38 « ¢ 2. ¨­¥¬ ⨪ ¬ â¥à¨ «ì­®© â®çª¨

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¢â®¬®¡¨«ì ¥¤¥â ᮠ᪮à®áâìî V = 60 ª¬/ç? ) ª ¨§¬¥­¨âáï váà, ¥á«¨ ᪮à®áâì ¢â®¬®¡¨«ï V 㢥«¨ç¨âáï ¢ ¤¢ à § ? ) ª®¢ ¯à¥¤¥«ì­® ¢®§-

¬®¦­ ï ¯à¨ ¤ ­­ëå ãá«®¢¨ïå á।­ïï ¯ã⥢ ï ᪮à®áâì max váà ¤¢¨¦¥­¨ï ¢â®âà ­á¯®àâ ¢ £. «ã¯®¢¥?

¥è¥­¨¥. ãáâì ¢â®¬®¡¨«ì ¯à®¥§¦ ¥â ¯ãâì S. ¥§ ᢥâ®ä®à®¢ ­ íâ® ¯®­ ¤®¡¨«®áì ¡ë ¢à¥¬ï ts = S=V . ® ¥¬ã ¯à¨¤¥âáï ®áâ ­®¢¨âìáï ­ S=l

ᢥâ®ä®à å, ­	ç⮠㩤¥â ¢à¥¬ï tl = S=l. ®«­®¥ ¢à¥¬ï ¢ ¯ãâ¨ à ¢­®
t = ts + tl = S(1=V + =l). ।­ïï ¯ã⥢ ï ᪮à®áâì ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ª ª
váà = S=t, ®âªã¤	­ 室¨¬

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			:
		1 + V =l
¥¯¥àì ¯®«ãç ¥¬ ®â¢¥âë ­	¢®¯à®áë § ¤ ç¨: A) váà = 30 ª¬/ç ) ¯à¨
V = 120 ª¬/ç ­ 室¨¬ váà	= 40 ª¬/ç, â.¥. á।­ïï ¯ã⥢ ï ᪮à®áâì

㢥«¨ç¨âáï ¢á¥£® ­ 1/3 ) ¬ ªá¨¬ «ì­ãî á।­îî ¯ã⥢ãî ᪮à®áâì ¯®«ãç ¥¬ ¢ ¯à¥¤¥«¥ V ! 1: max váà = l= = 60 ª¬/ç.

2.4ëç¨á«¥­¨¥ ¯à®©¤¥­­®£® ¯ã⨠¨ ¯¥à¥¬¥é¥­¨ï

᫨ ¯ãâì s, ¯à®©¤¥­­ë© ¬ â¥à¨ «ì­®© â®çª®© § ¯à®¬¥¦ã⮪ ¢à¥¬¥­¨

t2 ; t1, à §¡¨âì ­ ¤®áâ â®ç­® ¬ «ë¥ ãç á⪨ si, â® ¤«ï ª ¦¤®£® i-£® ãç á⪠¢ë¯®«­ï¥âáï ãá«®¢¨¥

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®£¤ ¢¥áì ¯ãâì ¬®¦­® § ¯¨á âì ¢ ¢¨¤¥ á㬬ë
					N			X
s = s1 + s2 + : : : + sN =				X		si			vi ti:	(2.12)
					i=1			i
ਠáâ६«¥­¨¨ ¢á¥å ti	ª ­ã«î íâ® ¯à¨¡«¨¦¥­­®¥ à ¢¥­á⢮ áâ ­®¢¨âáï
¡®«¥¥ â®ç­ë¬, â.¥.
		X			t2
s =	lim		vi ti =		tZ1	v(t)dt:				(2.13)
ti!0		i

¬®¤ã«¥

2.4. ëç¨á«¥­¨¥ ¯à®©¤¥­­®£® ¯ã⨠¨ ¯¥à¥¬¥é¥­¨ï

39

¨á. 2.4: à 䨪 § ¢¨á¨¬®á⨠¬®¤ã«ï ᪮à®á⨠®â ¢à¥¬¥­¨: ¯«®é ¤ì § èâà¨å®¢ ­­®© ç áâ¨ à ¢­ ¯ãâ¨, ¯à®©¤¥­­®¬ã § ¯¥à¨®¤ ¢à¥¬¥­¨ ®â t = t1 ¤® t = t2

ë ¬®£«¨ ¡ë áà §ã ¯à®¨­â¥£à¨à®¢ âì ¡¥áª®­¥ç­® ¬ «ë© ¯ãâì ds = v dt, çâ®¡ë ¯®«ãç¨âì íâ®â ¦¥ १ã«ìâ â.

®¤ç¥àª­¥¬, çâ® §¤¥áì à¥çì ¨¤¥â ® ᪮à®áâ¨. ᫨ § ¢¨á¨- ¬®áâì ¬®¤ã«ï ᪮à®á⨠®â ¢à¥¬¥­¨ ¢ëà §¨âì £à ä¨ç¥áª¨, â® ¯ãâì, ¯à®©- ¤¥­­ë© ¬ â¥à¨ «ì­®© â®çª®© § ¢à¥¬ï t2 ; t1, ç¨á«¥­­® à ¢¥­ ¯«®é ¤¨

䨣ãàë, ®£à ­¨ç¥­­®© ªà¨¢®© v(t), ®áìî ¢à¥¬¥­¨ ¨ ®à¤¨­ â ¬¨ t1 ¨ t2 (à¨á. 2.4). à¨ à ¢­®¬¥à­®¬ ¤¢¨¦¥­¨¨ ¢¥«¨ç¨­ ᪮à®á⨠v ¯®áâ®ï­­ ¨

¬®¦¥â ¡ëâì ¢ë­¥á¥­ ¨§-¯®¤ §­ ª		¨­â¥£à « :
t2	t2
s = tZ1	vdt = v tZ1	dt = v(t2 ; t1):	(2.14)

ª ª ª ¬®¤ã«ì ᪮à®á⨠v 0, â® ¯à®©¤¥­­ë© ⥫®¬ ¯ãâì á â¥ç¥­¨¥¬ ¢à¥¬¥­¨ ¬®¦¥â ⮫쪮 ¢®§à áâ âì (¨«¨ ¡ëâì ¯®áâ®ï­­ë¬, ª®£¤ ⥫® ¯®ª®¨âáï).

᫨ ­ á ¨­â¥à¥áã¥â ¯¥à¥¬¥é¥­¨¥ ¬ â¥à¨ «ì­®© â®çª¨ § â® ¦¥ ¢à¥¬ï, â® ¬ë â ª ¦¥ à §¡¨¢ ¥¬ âà ¥ªâ®à¨î ­ ¬ «ë¥ ãç á⪨, ­® á㬬¨à㥬

⥯¥àì ¢¥ªâ®àë ¯¥à¥¬¥é¥­¨ï:

~r12 = ~r(t2) ; ~r(t1) = Z2 d~r: (2.15)

1

ç¨âë¢ ï á¢ï§ì ¯¥à¥¬¥é¥­¨ï á ¢¥ªâ®à®¬ ᪮à®áâ¨

d~r = ~v dt

(2.16)

40	« ¢ 2. ¨­¥¬ ⨪ ¬ â¥à¨ «ì­®© â®çª¨

¯®«ãç ¥¬ ¨§ (2.15)

t2

~r12 = Z v~(t)dt: (2.17)

t1

®â«¨ç¨¥ ®â (2.13) ¯®¤ ¨­â¥£à «®¬ §¤¥áì á⮨⠭¥ ¬®¤ã«ì, ¢¥ªâ®à ᪮- à®áâ¨. ®ç­® â ª ¦¥ ¯à¨ à ¢­®¬¥à­®¬ ¯àאַ«¨­¥©­®¬ ¤¢¨¦¥­¨¨, ª®£¤

~v = const, ¬ë ¬®¦¥¬ ¢ë­¥á⨠᪮à®áâì ¨§-¯®¤ §­ ª ¨­â¥£à « :

t2

~r12 = ~v Z dt = ~v (t2 ; t1): (2.18)

t1

â®¡ë ¯à ªâ¨ç¥áª¨ ­ ©â¨ ¯¥à¥¬¥é¥­¨¥, ¨­â¥£à «, ¯à¥¤áâ ¢«¥­­ë© ¢ ¢¥ªâ®à­®© ä®à¬¥, ­¥®¡å®¤¨¬® § ¯¨á âì ¢ ¢¨¤¥ ¨­â¥£à «®¢ ¤«ï ¯à®¥ªæ¨©

t2

t2

t2

x2 ; x1 = Zt1

vx(t)dt y2 ; y1 = tZ1

vy(t)dt z2 ; z1 = tZ1

vz(t)dt:

(2.19)

®£¤ ¢¥«¨ç¨­

¯¥à¥¬¥é¥­¨ï

j~r12j = p

(x2 ; x1)2 + (y2 ; y1)2 + (z2 ; z1)2

(2.20)

­ ¯à ¢«¥­¨¥ ¢¥ªâ®à ¯¥à¥¬¥é¥­¨ï ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ᮮ⭮襭¨¥¬:

~r12 = ~r(t2) ; ~r(t1):

(2.21)

¤ ç

2.2. ã­ªâ A ­ 室¨âáï ­

¡¥â®­¨à®¢ ­­®¬ íத஬¥, ¯ã­ªâ

B | ­

¯à¨¬ëª î饬 ª ­¥¬ã ¯®«¥, ­

ª®â®à®¬ ᪮à®áâì ¬ è¨­ë ¢ n

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à¨á. 2.5.

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t1 = p

A

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v

६ï t2, § âà 稢 ¥¬®¥ ­ ¯ãâì OB,

¯à¥®¤®«¥¢ ¥¬ë© ᮠ᪮à®áâìî v=n,

à ¢­®

n

l2

+ (L

x)2

t2 =

p B

v

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