RIII_OCR[6]

~Для установлеllИЯ СХОДИМОСТИ ряда (1) воспользуемся нера

венством

1	1	(п > 2)
и" = n.3ft	< -З1l
--

и сравиим данный ряд со сходящимся рядом

I

q= - <1 .

3

11=1

СОГ,lасно прнзнаку сравнения (c~~. теорему З, 11. 1), ряд (1) сходится. ~

Пример 4. Исс.1{'довать на СХОДIIМОСТЬ ряд L

,~

11=2 \'

~ Так I(;]K -Yll" _ I > Il Д.1Я ,1юбorо Il > 2, тО члены данного

ряда бо.1bllН' соотвеТСТВУЮЩllХ Ч.1('НОВ расходящ('гося гармонического

ряда. Значит,	исходный ряд расходится. ~
Теорема 4	(признак Д'Аламбера). Пусть для ряда (12.1) и" > ()
(начиная с некоторого Il = 110) 11		существует предел
	lilll~=q.
	11---+ 00	иn

Тогда:

1) при q < I данньu) ряд сходится;

2)при q> I ряд расходится.

При q = 1 признак Д'А.1амбера н(' да('т ответа на вопрос о схо­

димости или раСХОДИМОСТII ряда: ОН может 11 СХОДIIТЬСЯ, и расходиться.

В этом случае СХОДИ\lОсть ряда исследуют с ПО~10ЩЬЮ ДРУГИХ прнзнак()в.

Пример		5.	Исследовать на			СХОДIIМОСТЬ ряд
					11 2		(n +		1/=1
~	ПОСКО,lЬКУ Н.: =							1)2
				2i1~JI		И" t I =	211		,то
										-I <1
										2
Следовательно, данныii ряд СХОДIНСЯ. ~
Теорема 5			(радикальный признак Коши). Если,							начиная с нскто­
рога fl = по,		и" > О и		.	flГ		при	q < I ряд (12.1) C.l:O,]I/)'(.'I,
				11т	уll"	= q, ТО
			f/---+ 00
а при	q> 1 расходится.
При q =		1 раДlIка,lьныii ПРlIзнак КОШ!!						неприменим.
		6.							L\' (11+ 1)"
Пример			ИСС,lсдовать lIа			СХОДIIМОСТЬ		ряд		-в,;-=-т
									11=1

~Воспо.1ьзуемся раДlIка,lЬНЫМ признаком КОШИ:

q= lim	Il + 1)'/	l'	11 + I	=	l' 1 + I/Il	I
	--- =	1111	----		IIЛ -,--'---'--	8<1.
11_00	( 8п-I	1l.,~81l-I			1l~~8-1/1l
Следоватс.1ЬНО, Д311ныii		ряд	СХОдI!ТСЯ.	~

1I

Теорема 6 (интегральный признак Коши). Пусть члены ряда (12.1) монотонно убывают и функция у = f(x), непрерывная при х;;;" а ;;;., 1,

00

такова, что f(n) = иn. Тогда ряд (12.1) и интеграл \ f(x)dx одновремен-

а

НО сходятся или расходятся.

Например, поскольку ( J.. dx (а Е R) СХОДИТСЯ при а> 1 и расхо­

J ха

I

ДИТСЯ при а ~ 1, то ряд Дирихле

\"' J.. сходится при а> 1 и расхо-

Ln"

ДИТСЯ при а ~ 1.
Сходимость	многих рядов		можно	исследовать		путем		сравнения
их с соответствующим		рядом Дирихле.
Пример 7. Исследовать на			сходимость ряд				2п
						--0 ----, -
					L (п2		+	1)2
					n=1
			2х
~ Положим,	что	f(x)= (х2 + 1)2'		Эта функция			удовлетворяет

всем требованиям интегрального признака Коши. Тогда несобствеН>JЫЙ

интеграл

в

(

2х

dx =

lim

(

2х

dx = -

lim

1

B

J..

I

=

'

J (х2

+ I?

B~oo

J (х2

+ 1)2

B~oo (х2

+ 1)

I

2

I

I

т. е. сходится, а

значит, данный рЯД также

сходится.

~

ЧИСЛОВОЙ ряд

(12.1),

члены и, которого после

любого

номера

N (п> N) имеют разные

знаки,

называется

знакопеременным.

Если ряд

(12.5)

сходится,

то ряд

(J 2. 1) также сходится (это легко доказывается)

11

Н3-

зывается абсолютно сходящимся. Если ряд (12.5) расходится, а (1НД

(12.1) сходится, то ряд (12.1) называется условно (неабсолютно) схи­

дящимся.

При исследовании ряда на абсолютную сходимость используются

признаки сходимости с ПОJlожительными ЧJlенами рядов.

\"'sin па

Пример 8. Исследовать на сходимость ряд L --п-2- (а Е R).

n=1

~Рассмотрим ряд, составленный из абсолютныХ величин членов

данного ряда, т. е. ряд L Isin	2nal	(а Е R). Так как Isin nal ~ 1, то
п
n=1

члены исходного ряда не больше членов ряда Дирихле L~2 (а = 2),

n=1

12

который, как известно, сходится. Следовательно, на основании при­ знака сравненням (см. теорему 3, п. 1) данный ряд сходится абсо­

лютно. ~

Ряд вида

иl - И2 + ИЗ - '" + (- 1)n- 1ИN + ...,

(12.6)

где иn ~ О, называетс)! знакочередующимся рядом.

Теорема 7 (признак Лейбница). Если для знакочередующегося

ряда (/2.6) иl	> И2 > '" > иn > ..'И		lim иn = О,		то ряд (12.6) сходится
			n~OO
и его сумма S	удовлетворяет условию О < s < иl.
Следствие. Остаток 'n		ряда (12.6) всегда удовлетворяет условию
I,nl < иn+l.
Например,	ряд
	1 1	1		)n-I	1
	1-2+3-4+···+(-1				п+'"

сходится, так как выполнены условия признака Лейбница. Он сходится

1	1	1
условно, так как ряд 1+ 2	+ 3	+ ..' + n + ... расходится.

Абсолютно сходящиеся ряды (в отличие от условно сходящихся)

обладают свойствами сумм конечного числа слагаемых (например, от

перемены мест слагаемых сумма не меняется). Верна следующая

Теорема 8. Если числовой ряд сходится условно, то, .задав любое число а, можно так переставить члены ряда, что его сумма окажется

равной а. Более того, можно так переставить члены уелuвно сходяще­

гося ряда, что ряд, полученный после перестановки, будет расходя­

ЩИ.мея.

Проиллюстрируем теорему 8 на примере. Рассмотрим УС,10ВНО схо­

дящийся ряд

1 1 1 1 1 n-I 1

1-2+3-4+5-6+···+(-1) n+"'=S'

Переставим его члены так, чтобы после каждого положительного члеllа

стояли два отри цательных. Получим

1-	1	1	1	1	1	1	1	1	+ ... +
	2 -	4	+ 3 -	6	- "8	+ 5 -	10 -	т2
		+	1		1	1	+ ..,
			2k - 1 -		4k - 2 - 4k

Сложим теперь каждый положительный член с последующим отри­

цательным:

1	1	1	1	1.	1		1	1
2 -	4	+ 6 -	"8 + 10 -		т2 + .., +		4k -	2 - 4k + ... =
		= +(1- ++ ~ -				т+ {-- -i-+ ...+
			+	1	1	)	1	s.
				2k - 1 -	2k	+ '"	= 2

Очевидно, что сумма исходного ряда уменьшилась вдвое!

13

Пример 9. Исследовать на сходимость ряд
\' (_ 1)" - 1	2n + 1 .	(1 )
L	n(n+l)

п=1

~Так как члены данного знакочередующсгося ряда монотонно

	убывают и	lim	2n+ 1	= О, то, согласно			пр"з"аку		Лейбница, ряд
			n(n + 1)
		п-оо
	(1) сходитСя.
	Рассм'отрим теперь ряд, составленный из абсолютных величин членов
	ряда (1), т.	е. ряд
					2n+ 1					(2)
				n(n+ 1)'
	общий член которого задается функцией [(х) =							2х	1	при х = п.
								х(х + 1)
	Найдем
					в
		(	2х+ 1 dx= lim ((~ + _1_)dX=
		)	х(х+ 1)	В_оо) х			х+	1
		I			I
	= lim (In \х\ + IIl\Х +			1\) I~ =	lim	(In В(В +		1) -In 2) =		00.
	8 __ 00				8--+00
	Следовательно, ряд (2) расходится, и поэтому ряд (1) сходится
	условно. ~
	Пример 10. Вычислить сумму ряда·
		1	1 (1)2	1 (	1 )3		1 (	1 )"	+ ...
		"2+2Т "2		+31	"2	+ ... +;;т		"2

сточностью б = 0,001.

~Всякая п-я частичная сумма схоДящегося ряда является при­

ближением к его сумме с точностью, не превосходящей абсолютной величины остатка этого ряда. Выясним, при каком количестве членов n-й частичной суммы выполняется неравенство Iг" I ~ б.

Для данного ряда

Гn =	1	')!	(-21)"+1 +					(1	)n+2	+ ...
	(n +						-;(-n-:+-2""')-:-!"2
Так как (n + I)! < (2n + 2)! < (2n + 3)! < ..., то									= -:-(n-+--I)"-:-! (iY·
Г"~ (n ~ I)!	(+)"+1 (1 + ~+						(~y+	.. .)
Путем подбора легко найти,				что г	,.	<	120·16	< 0,001		при n = 4. Сле-
Довательно, сумма данного ряда (с точностью б =									0,001)
S ~ 54 =		1		1		1	1			~
		2'+		"8 +		48	+ 384	= 0,648.

14

Пример 11. Вычислить сумму ряда

п=1

с точностью б = 0,001.

~ Так как данный ряд - знакочередующийся, сходящийся, то

величина отброшенного при			вычислении остатка ряда, который также
,является зиакочереДУЮЩI1МСЯ рядом, не превосходит первого отбро­
шенного члена (на основании			следствия нз признака Лейбница). Нуж-
		.,		1
ное число членов	/1	наllДСМ	путе'-l подбора	из неравенства - .-- ,;;;:;
,;;;:; 0,001. При n =				n2 • 2"
	6	последнее иеравенство		выполняется, значит, если

отбросить в данном ряде все члены, начиная с шестого, то требуемая

точность будет обеспечена. Следовательно,

1 1 1 1 1 S"'='S"=2-Тб+ 72 - 256 + 800 =0,449. ~

АЗ-12.1

1. доказать сходимость ряда и найти его сумму:

		б) I 5" 10"+2"
	(3п - 2) (3п + 1)
1/=1		n=1

(Ответ: а) 1/3; Ь) 5/4.)

2. Исследовать на сходимость следующие ряды:

	а)	I	З					б)	I 3n-1
			/12
			2п _			1 '			(-/2)"	'
		п=1							n=1
									00
	в)	I		3"				г)	I -1-( II	+ 2 )"0+211;
			2"(n + 2)
									2" n+ 1
		11=1							11=1
		I n tg			~'				I~·п"
	д)					л .		е)
		11=1							1/=1
	3. доказать, что:
	а)	.	а"					б)	lim (2n)!	= О при а> 1.
		Ilm-=O;
		fI~OC> n!							п~oc> а"l

4. С помощью интегрального признака Коши иссле­

довать на сходимость следующие ряды:

15

а)					б)	L n .
	2		+2п+5 '
	Lп					7+('
	n='					n=1
в)	Lnl~2n·
	~2

Самостоятельная работа

1. 1. Доказать сходимость ряда	L	зп + 5" и найти
		15"
	n=1

его сумму. (Ответ: 3/4)

2. Исследовать на сходимость ряд

2. 1. Доказать сходимость ряда \'	1	И
L	(2п - 1) (2п + 1)

i~1

найти его сумму. (Ответ: 1/2.)

2.	Исследовать на сходимость	ряд	\' ---;:_п_.,,­
			L	(п'+4? .
			1/=1
3. 1.	Доказать сходимость ряда	\'	(Зп -	I	и
		L		1)(Зп	+ 2)
		n=1
I:ЗЙТИ его сумму. (Ответ: 1/6.)
2.	Исследовать на сходимость	ряд	\'	п"
			L	З"п! .
			1/=1

АЗ-12.2

1. Исследовать на условную и абсолютную сходимо­

сти следующие ряды:

а) L(_1)n-I ~;

n~1

в) L00 (_I)n-I n2~9;

n~1

б) L(- 1)n - 1 n . 2- n;

n~1

г) L00 (- I)n - 1 6п: 5 ;

n~1

16

д)		'\ cos(2na).					(_1)"
		L	п2	+1	'	n~1	п-Iп n
		n~1
2.		Составить			разность	двух	расходящихся	рядов
I	2п ~ 1		И	I 21п И исследова-:ъ			на сходимость получен-
n~1				n~1
ный	ряд.
3.		Найти		сумму ряда '\		1	С точностью 6 =	0,01.
					L	2"п2

п=1

(Ответ: 0,58.)

4. Сколько первых членов ряда нужно взять, чтобы

их сумма отличалась от суммы ряда на величину, мень­

шую, чем 10-6:

n=1

п=1

Самостоятельная работа

1. 1.	Исследовать на условную и абсолютную сходи­
мости ряд '\ (-I)п_I_-.
	L	n	Iп2 n
	n~1
2.	Найти	сумму	ряда I (_1)П-I ~~~"I' ограни-
			п=l

чившись тремя его членами. Оценить абсолютную погреш­

ность	вычислений. (Ответ: S = 0,266, 6 = 0,01.)
2. 1.		Исследовать на условную и абсолютную сходи-
мости	ряд I (_1)П I[~n .
		n~1
	2.	Найти сумму ряда '\ (_1)П-I	(0,7)"	ограни
		L	(n-I)!'	-

п=l

чившись тремя его первыми членами. Оценить абсолют­

ную погрешность вычислений. (Ответ: S = 0,56, 6 = 0,1.)

17

для всех хЕ D, то ряд (1.2.7) называется равномерно сходящимся в п.

В случае равномерной сходимости функционального ряда его п-я ча­

стичная сумма является приближением суммы ряда с одНОй и той же

точностью для всех х Е D.

Функциональный ряд (12.7) называется мажорируемым внекоторой

области D, если существует сходящийся числовой ряд

(12.9)

такой, что для всех	х Е D справедливы		неравенства:
	Iщ(х)1 ~ ak (k =		1, 2, ... ).
Ряд (12.9) называется мажорантным (мажорирующим) рядом.
Например, функциональный ряд
cos х	cos 2х	cos 3х	cos пх	+ ...
- 1 - + -2-2-		+ -3-2- + ... + -n-l -
мажорируется рядом	1	1	1		~ 1.
	1 + 22	+ з2 + ... + ;.;- + ...,так как Icos nxl

Данный функциональный ряд paBHOMeplIO СХОДIIТСЯ на всей оси Ох, поскольку он мажорируется при любом х.

Равномерно сходящиеся ряды обладают некоторыми общими свой­

ствами:

1)если члены равномерно сходящегося ряда непрерывны на не­

котором отрезке, то его сумма также непрерывна на этом отрезке;

2)если члены ряда (12.7) непрерывны на отрезке [а; Ь] и ряд

равномерно сходится на этом отрезке, то в случае, кОгда [а; ~I с: ra; Ь],

~[)

\ S(x)dx =	~ \ un(x)dx,
а.	n=l а

где S(X)-сумма ряда (12.7);

3) если ряд (12.7), составленный из функций, имеющих непре­

рывные производные на отрезке [а; Ь], сходнтся на этом отрезке к сумме
S(x) н ряд		и( (х) + uz(x)	+ ... + и~(x) + ... равномерно сходится	на том
же отрезке,		то
		uf(x) + и2(х) + .'.+ и~(x) + ... = S'(x).
Степенным рядом называется функциональный ряд вида
где ао, al,		а" ... , ап, ••. -	постоянные числа, называемые коэффициен­
тами ряда,		хо - фиксированное число. При хо = О получаем степенной
ряд вида
			~ а"х".	(12.10)
			11=0
Теорема 1 (Абеля), 1. Если степенной ряд (12./0) сходится при
некотором	значениll х =		Хl =1= О, ТО он абсолютно сходится при	всяком
значениll	х,	удовлетворяющем условию Ixl < Ixll.

19

2.Если степенной ряд (12.10) расходится при некотором значении

х= Х2, ТО он расходится при любых х, для которых Iхl > IХ21. Неотриuательное число R, такое, что при всех Ixl < R степенной

ряд (12.1 О) сходится, а при всех Iхl	> R -	расходится, называется
радиусом сходимос)'и ряда. Интервал ( - R; R) называется интервалом
сходимости ряда (12.10).
Радиус сходимости степенного ряда	(12.10)	определяется формулой

R= lim	'...!!:::-.-I или	R= lim	'У1	,	(12.11)
n____ оо	an+1	n..... ос>	lan !
если, начиная снекоторого п;:;'" по,		все а" =1=	О. (Предполагается, что

указанные пределы существуют или бесконечны.) Формулы (12.11)

легко получить, воспользовавшись соответственно признаком Д'Алам­ бера нли радикальным признаком Коши.

							00 2n. хn
Пример	2. Найти область сходимости степенного ряда						~ --- .
							n= 13".-Vn
~ Так как
		2"
	аn	= --- ,
	.	3"-Vn
то						-R 3
R =	2".3n+l -Гп+!		=	3	lim
	lim	2"+1. 3"-Vn		-		1 + - =	- .
	n~OO			2	n~OO	n	2

Значит, степенной ряд сходится в интервале ( - 3/2; 3/2). На КоНиах

этого интервала ряд может сходиться или расходиться. В нашем при-

мере при	х=-3/2 данный ряд принимает	вид L(-I)" ~. Он
		n=1
сходится	по признаку ЛеЙбниuа. При х = 3/2	получаем ряд L ~,
		n=1

члены которого больше соответствующих членов расходящегося гармо­

нического ряда. Значит, при х = 3/2 степенной ряд расходится. Следо­

вательно, областью сходимости исходного степенного ряда является

полуинтервал [-3/2; 3/2). ~

Если дан	ряд вида	~ а"(х -	хо)", то	его	радиус сходимости R
		n=О
определяется	также по	формуле	(12.11),	а интервалом сходимости
будет интервал с иентром в точке			х = хо:	(хо -	R; хо + R).
Пример 3.	Найти область сходимости степенного ряда
		\'(_1)" (х-2)" .
		L	2"-Гп+!
		n=О

20

~Найдем радиус сходимости данного ряда:

R = lim

(2"+ 1-Гп+2)= 2 lim

-vn + 2 = 2

n~oo

2"..r;:+I

n~oo

n + 1

'

т. е. ряд сходится

в интервале

(О;

4).

При х =

О

получаем

ряд

I ~, который расходится, так как его члены больше членов

n~1

n + 1

расходящегося гармонического ряда, а при х=4-ряд

\"' (_1)" __1

,

n~

..r;:+I

где

lim

1

=

О, сходящийся

по

признаку Лейбница. Область

n_оо ..r;:+I

сходимости

данного ряда (О; 4].

~

I

П.

Пример 4.

,.

Найти область

сходимости ряда

~

Il=О

~Находим радиус сходимости ряда:

R= lim (_1_,: ( 11)')= lim (n+I)=oo.

n_оо n. n +. n---+ОО

Следовательно, данный ряд сходится на всей числовой прямой. Отсюда,

в частности, с учетом необходимого признака сходимости ряда (см.

§ 12.1, теорему 1) получаем, что lim	х"
	1=0 для любого конечного х. ~
n____ оо	n.

На всяком отрезке [а; ~], лежащем внутри интервала СХодимости,

степенной ряд сходится равномерно, поэтому его сумма в интервале

сходимости является непрерывной функцией. Степенные ряды можно

почленно интегрировать и дифференцировать в их интерваJlах сходи­ мости. Радиус сходимости при этом не изменяется.

Пример 5. Найти сумму рЯД<!

х:1 x J	х2п - ]
х+з+т+".+ 211-1 + ...

~ При Ixl < 1 данный ряд СХОДIIТСЯ (так как R = 1), значит, его

можно почленно дифференцировать в интервале сходимости. Обозначив сумму ряда через S (х), HMee~

S'(x) = 1+ х' + х' +		... + х'''-2 +	..
Так как Ixl < 1, ПО,1ученный	ряд	есть сумма	членов	убывающей
геометрической прогрессии со знаменателем q = х'			и его сумма S'(x) =
1 _1 х2' Проинтегрировав ряд	из производных,		найдем	сумму дан-
ного ряда:
х
S(x)= (-1-2 dx= ..!...1111~'1 (Ixl			< 1). ~
JI - x	2	х-I

о

21