RII_OCR[1]

ив зависимости от знака выражения с - Ь2/4 цолучим один из

табличных интегралов вида \~.

) u ±а

Пример

1.

Найти \

х

2 3х -

2

dx.

)

+4х+ 13

~

\

3х-2

3

\ 2х+4-4-4/3 d

х =

) х2

+

4х + 13 dx = "2 )

х2

+ 4х+ 13

=2\

х2

2х+4

dx-8\

(х

+

dx

=21nlx2+4x-l-131-

2 )

+

4х

+

13

)

2)2 +

9

2

'

1х+2

-8·з агсtg-з-+ С.....

						5х-7
Пример 2.		Найти		~х2-			8х+ 7 dx.
	~ \	. 5х-7				dx=~(2x-8+8-.14/5dx=
	) х2 -		8х +			7	2)	х2 - 8х + 7
5 ~	2х - 8					~	dx		5 .2
= -2	х2 - 8х + 7 dx + 13						х2 - 2 . 4х + 16 - 9 = -2 1п 1х			-	8х + 71 +
+13\	dX		=	52	IПlх2_8Х+71+lз_I_lпIХ-4-31+с=
)(х-4)2- 9									2'9. х-4+3
		5					13	IX-7j
	='2lnlx2-8x+71+'6ln								х-I +С.....
3 а м е ч а н и е.			Если		в интеграле (8.1)				квадратный трехчлен имеет

вид ах2 + Ьх + с (а =1= О). то для отыскания этого иитеграла коэффициент

а в зн:аменателе вын:осят за скобки:

ах2 +

Ьх +

с = а(х2 + : х +

~).

Пример 3.

Нанти \~4X -

3

- 1О

dx.

.

)

- 2х

+

12х

~

~

4х -

3

1 ~

4х - 3

~=

- 2х2

+

12х - 1О

~=--

х2

- 6х +

2

5

= _(2x-6+6-3/2 dx = _\

2х-6

dx-

)

х2 -

6х + 5

) х2

-

6х + 5

_~\

dx

=

-In Ix2 -6x+51 +~.J.-lпI2+Х-31 +

С.""

2 )

(х - 3? - 4

2 4

2 -

х + 3

Методы н:ахождения интеграла вида

\

Ах+ В

d

) -Уах2

+

Ьх+ с

х

аналогичны рассмотренным выше, однако в результате получаются

другие табличиые интегралы. При А =1= О имеем

r	Ах+В dх=~r2ах+Ь-"-Ь+2Ва/Аdх=
)	-Уах2 + Ьх+ с	2а ) -Уах2 + Ьх + с
= ~r 2ах + Ь		dx +(В _ ЬА) r__d_x__
2а) -Уах2 + Ьх + с		2а ) -Уах2 + Ьх + с

21

А _/ .

(ЬА )~

dx

=

-

уах"+Ьх+с +

в -

-2-

.

а

а

_ /(

Ь)2

с-

Ь2)

Vа х+

2а

+(

4а

Тогда

ь2

и а> О последний

интеграл

можно

привести к виду

при с =,6 4а

~ ~= Iп lu +-.Ju2 ±q 2

1 + С,

Ь2

и2 ± q2

а

при

с > 4а и а < О -

к виду

r

du

и2

arcsin .!!:.. + С.

)

-.Jq2 _

q

Пример 4. Найти r

3х -

1

dx.

~ r

)

-.Jx2

-

4х+ 8

3х-I

dx=~r(2x-4)+(4-2/3)dx=

)

-.Jx2- 4х+ 8

2)

-.Jx2-

4х+ 8

3 ~

2х - 4

dx-5

~

dx

_ /;--2--

= -

=3ух -4х+8-

2

-.Jx2-4x+8

-.J(X-2)2+4

.

- 5 Iп

Ix -

2 + -.J(x -

2)2 + 41 + с.....

Пример 5.

r

4х -

5

dx.

) -.J -

х2

+

2х+ 3

~ )

4х- 5

dХ= -

2 ~ -2х+2+5/2-2

dx=

-.J-x"+2x+3

~-х2 +2Х+З

2~

-2х+2

~

dx

_'Г--2 --

=

-

-J-x2 +2x+3 dx-

-.J4-(x-Ij" =

-

4 у -

х + 2х

+ 3 -

х-I

-arcsin--+ С.....

2

Рассмотрим интеграл вида

r

Ах + В

d

х,

(8.2)

j

(х2 + рх

+ q)k

где

k -

целое,

k> О;

р2 -

4q < О.

При

А =,6

О

(k =

1)

пЬ

аналогии со

случаем

(8.1)

выделим интеграл

А r

.2х+ р

dx=

А

(x 2 +pX+q)-k+1

+С (k=,6

1).

2

)

(х" + рх

+ q)k

2

-

k +

1

Тогда задача отыскания интегралов вида (8.2) сводится к нахождению

интеграла

r	dx	r		dx	_ r du	(8.3)
)(x2+pX+q)k		)((	p)24q_P2)k-)(U2+U2)k'
	u = х + р/2;		Х+ 2	+ - 4 -	р2 > О.
где		а = -.J(4q -		р2)/4; 4q -

22

Интегралы вида (8.3) находят с помощью рекуррентной формулы nони~ения степени знаменателя:

(8.4)

				(8.4)		3	1	+
				= = - 2 х2 +			2х+ 5
+ 2(8((X~~);+4) +-} ~4+(~x+ 1)2) =					-	~ х2+~X+5 +
+ ~		х + 1	+ ~ arct	х + 1		+ С.....
	4	х2 + 2х +5	8	g	2
~~					.
Запись =	означает, что		при переходе		к последующим		вычисле-

нням lIспрльзоваиа формула (8.4). (Подобиая краткая и удобиая за­ пись будет встречаться и в дальнейшем.)

АЗ-8.3

Найти указанные определенные интегралы.

1.

\2

dx

. (Ответ: ~ arctg х+2 + с.)

J х

+ 4х + 20

4

4

2.

\

2

3х - 7

dx.

(Ответ:

23 lп Iх2

+х+ 11

Jх

+х+

1

17

t

g

2х+ 1 + с)

- -Vзагс

-f3

.

3.

\

2

Х -

2

dx. (Ответ: -21

ln Iх2 -

8х + 7l4-

Jх

-8х+7

+.!....!.lnl

x

-

7 1+ C.)

6

х-I

dx.(OTBeT: (х-2 2)2 + 52

ln Ix~+ 2х +21-

4. \

/

+3х

j х +2х+2

-9 arctg (х -

1) + с.)

+

5.

\

3х -

1

dx. (Ответ: зу

х2

-

6х + 18

. J ';х2 -

6х

+ 18

+51n Iх -

з +-vГ-х2--6-Х-+-1-81 + с.)

23

8x-11

d

(

8-V5 +

2

6• ~';5 + 2х-х2

х.

Ответ: -

2х- х

-

- 3 arcsin X~I

+ с)

7.

( 2

Зх-I

2dx. (Ответ:

X2~~~IO +

J(x +2x+IO)

+ 514

arctg х! 1

+ с)

8.

( _2~ dx. (Ответ: 21n Iх +-V4 +х2 1 -

J -у4

+

х2

-з-J4 +х2 + с.)

Самостоятельная работа

Найти

неопределенные интегралы

1.

а)

(

2

Зх+9

dx;

б)

(

х-з

dx.

Jх

- бх + 12

J ';х2 + 2х+ 2

2.

а)

~

х-7

dx;

б)

~

7х-2

dx.

х2 -

1Ох +

9

_ /

2

у5 - 4х-х

3.

а)

(

7х+З

dx'

б)

(

4х - 5

dx.

J 2х2

+ 4х+ 9

'

J ';х2 + 10х+29

8.4. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ЗАМЕНОП ПЕРЕМЕННОП (ПОДСТАНОВКОП)

Если функция х = q>(t) имеет непрерывную производную, то в

данном неопределенном интеграле - ~ f(x)dx всегда можио перейти к

новой переменной t по формуле

	Jf(x)dx = Jf((p(t))q>'(t)dt,		(8.5)
затем найти	интеграл из правой части формулы (8.5)	(если	это
возможно) и	вернуться к исходной переменной х. Такой	способ	иа­

хождения иитеграла называется методом замены переА!енной или А/е­

тодом подстановки.

Отметим, что при замене х = q>(t) должно осуществляться взаимно

однозначное соответствие между областями D t и Dx определения

функций q>(t) и {(х), такое,	чтобы функция q>(t) принимала все значения
х Е Dx (оно обозначается	Dt++Dx ).

Пример 1. Найти \ x~dx.	по	формуле t = ~ Тогда
~ Введем новую переменную t
x=t2 + 1, dx=2tdt, Dt: O~ 1 < 00,		Dx : 1 ~x< 00, Dt++D x и,

24

cp(t).

согласно формуле	(8.5),	имеем
~х-Vx=Idх =	~(t2 +	1)1. 2/d/ =		2 ~(t4 +	/2)d/ = ~ /5+ ~ t3 +
+ с = ~		(х- 1)5/2 +		~ (х -	1)3/2 + с. ....
	\ ";х2 + а2
Пример 2. Найти)		х2	dx.

~Воспользуемся подстановкой х = cp(l) = а tg 1, где область опре­

делеиия D t : -л/2 < 1 < л/2 удовлетворяет следующим условиям:

D/ ...... Dx :

( - 00,

+ 00)

и в

D/

производная

cp'(I)

непрерывиа. Тогда

dx =

adl

и, согласно формуле

(8.5),

имеем

-- 2 -

cos

1

tg2 l+a 2 ~ =\";1

f ~dx=\ ";а2

+tg2 1

dl =

)

х2

)

a2 tg 2 1

cos2 1

)

sin 2 1

=

\

1

dl =

2

sin

2

~ dl +

\ cos 1 +

1 dl = \

)

cos 1 sin 2 1

)

cos 1 sin 2

/

)

sin 2 1

+	1	1	Iп	I	1	I
	-- dl	= - - . - +		tg / + -- +
	~ cos 1	slП /			'Cos 1
	.				~
+In Itgl+";I+tg2 11+c=					x	+In

х

		2
с = -	";1 + tg 1		+
		tg 1

Ix+..;I+x2 1+c.....

Пример 3. Найти ~ ";а2 - х2 dx.

~Применим тригонометрическую подстановку х = а sin 1. Тогда

dx=acosldl, D/:		-л/2~I~л/2,		Dx : -a~x~a, Dt++Dx . и
~ ";а2 _	х2 dx(~)~ ";а2		- а2 sin 2 / а cos td/ =		а2	~ Icos 1Icos td/ =
= а2 ~COS2 /dl = а2			~ 1 + ~os1Jdl =	~2~ dl +		~2~cos 21dl =
	а2 •	а2	а2	а2	'
=	21+ Tsin21+C= 2/+ 2				sin Icos 1+ с.

в полученном выражении перейдем к переменной х, использовав равен­

ства 1 = arcsin"::"	и	cos 1 = ";1 -		sin 2 / = .)1 -			х2/а2•		В	результате
а
имеем						..::..-V1- х
\ .)а2- x2dx = а2			arcsin"::" +		а2			22	+	С =
)		2	а		2	а	а
	а	2	. х	x_~			с.....
=	"2 агсslП а +			"2	"а- -г +

При интегрировании некоторых функций часто целесообразно осу­ ществлять переход к новой переменной с помощью подстановки 1 = 1jJ(x), а не х =

					cos xdx.
	Пример 4. Найти ~ VI + sin х
	~	Применим подстановку		1 + sin х = 1.		Тогда
r~ /		\		14/3		3 ~!
)	уl	+ siп xcos xdx =) 1'/3dl =		4/3 + С=4 у(1 +

cos xdx = dt и

siп4 + с.....

25

Пример 5. Найти ~e-x'x2dx.

~	Воспользуемся подстановкой				_хЗ =	t. Тогда имеем - зх2dt =
=dt, x2dx= -з-1dt и
r -х'		2d	r '( 1) d		1,	1 -х'	+С.....
Je	х		х=]е -з-	t=-з-е+С=-з-е

А н· ~			dx		•
Приме!"\./"	аити		(х + l)vfx2	+ 2х + 10
					1
В этом случае целесообразно применить подстановку t = ~.
Тогда Х=....!..-I	dx=	-....!..dt и
t'			t2

= _\ dt		= _\ dt	= _ ....!..In 131+vf9f+l1 + С=
J Ivfг2+9		J.y9t2+l	3
= -	+In Iх~ 1 + -V~(X-+-9-1-)2-+-1I+ С.....

З а м е ч а н и е. Для нахождения неопределенных интегралов мето­ дом замены переменной (методом подстановки) предлагается схема

вычислений, которая дает возможность компактно и последовательно

изложить ход решения задачи. Воспользуемся этой схемой при решении уже рассмотренного примера 3:

~ vfa2- x2dx = Id~:~~~:~'dt I=~ vfa2-a2 sin 2 la cos tdt =.

=a2~ Icosll costdl=a2~ cos2Idt=a2~							1+~oS2t dt=
а2	r	а2 (,			а2	а2
= """2) dl +		"""2 ) cos 2tdt =			"""21+ 4		sin 21 + С =
				1= arcsin ..:..,			sin 1 =	..:.., .
						а		а
а2	х	а	-А2			+С =	а2	х
= -arcsin- + -х			1- -				-arcsin- +
2	а	2			а2		2	а
		+.~ vfa2_х2			+ С. ....

Здесь и далее при записи ре~ений примеров, в которых исполь­

зуются методы замены переменнои и интегрирования по частям, все

промежуточные выкладки мы будем заключать между вертикальными

линиями.

26

А3-8.4

Найти неопределенные интегралы.

1. r ~ (ОтвеТ:2(-Г+3-lпll+-Jх+31)+С.)

)1+ х+3

~ хУ(5х2 -

(Ответ:

+ с-)

2.

3)7 dx.

214 У(5х2 -

3)12

3.

~

dx

(

.

-

-Jх2 + а2

)

~.

Ответ.

2

+с.

х2 х2 + а2

ах

4.

r-УI ;- Iпх

dx. (Ответ:

2-V 1 +

ln х-- ln ln х+

)

х п х

+2Inl-Vl+lnx-11 +с.)

5.

~

dx 4 •

(Ответ:

2--Гх- 4-{(х+4( 1 +-((Х) + с.)

~+V:

6. ~

dx

( О

. -1

х+ 2 + 2 -Ух2 + х+ 1 + с)

x-Jx2 + Х + 1.

твет.

n

х

.

7.~-v'144 - x2dx. (Ответ: 72 arcsin ;2 +

+~-V144-х2+С.)

8. ~	dx	(	.	-Ух2 + 9 )
	X 2 -JX2 + 9 .		Ответ. С -	9х	.

9. r_~dx. (Ответ: з2(еХ-2)~.)

) ~еХ + 1

10. \	Х	~7. (Ответ: In						I	Х	+	1+ с.)
)			1	+	х2			1 + .jx2			1
					Самостоятельная работа
Найти			неопределенные интегралы.
1. а)	x3-V4 - 3x4 dx;					б) r 1 +~x.
							)	1	+-/х	~ -v;з- х + 4--Гх­
(ответ: а)				-	}-V(4 -	3х4? + с; б)
- 4 In( l +-Гх)8 + с.)
2. а)	r			х2	dx; б) r			dx .
	)		ЗГ---З			)	_~
			-у9 -		2х		х-у4 -		х-

27

(Ответ: а)

+с-)						~7 dx.
	3. а) ~-\1'1 +cos2 xsin 2xdx;				б)
(	Ответ: а)	-~,j(l +cos2 х)'г.+ с;				б) С- ~ -
		8	...	'		х
- arcsin х.)

8.5. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ЧАСТЯМ

Метод интегрирования по частя,\! основан на следующей формуле:

\ udv = ии - \ vdu,	(8.б)
где и (х), и(х) - непрерывио дифференцируемые функции.	Формула

(8.б) называется формулой интегрирования по частям. Применять ее

целесообразно, когда интеграл в правой части формулы более прост

для нахождения, нежели исходный. ()тметим, что в некоторых случаях

формулу (8.б) необходимоприменять несколько раз.

~eTOД интегрнровання		по	частям	рекомендуется использовать
для нахождения	интегралов	от	функций x k siп ах, x k cos ах,		xkeaX,
х" lnk х, x k ch ах,	a~X sin ах,	a~X cos ах,		arcsin х, arctg хит.	д., где

n, k - целые положнтельныIe постоянные, а, f3 Е R. а также для отыска­ ния некоторых интегралов от функций, содержащих обратные тригоно­

метрнческне и логарнфмические функции.

Пример 1. Найти \xe- 2x dx.

~

Воспользуемся

методом

интегрирования

по частям. Положим

и = х, dv = e- 2xdx. Тогда·dи = dx, и =

\ e- 2x dx =

- +е-2Х

+ с (всегда

можно

считать,

что

С =

О).

Следовательно,

по

формуле

(8.б) имеем

r

2x

dx

(8.6)

х

(

-

1

2Х)

r

1

2x

dx

=

•

) xe-

=

'2 е-

- ) -

'2 e-

=

_

_1

хе- 2х _

_ 1

е- 2х + С

.

...

2

4

Пример 2. Найти \ (х2 +2х) cos ·2xdx.

~

\ (х2 +2х) cos 2xdx =

I

и =

х2 +2х,

du =

(2х+2) dx,

Idv = cos 2xdx,

r

1

(8.6)

и = ) cos 2xdx =

'2 siп 2х

=

(8.6) 1

2

+2х)

sin

2х -

r

(х + 1) sin

2xdx =

=

'2 (х

)

u=x+l, du=dx, dv = sin 2xdx,

t' = - ~cos 2х

2

28

=-}(Х2 +

2х)sin 2х- ( ~(xт 1); cos 2х+

~-}cos 2XdX) =

=

+(х2

+

2х)sin 2х+-}(х+

1) cos 2х+i- sin 2х+

С ....

"ример 3.

Найти

\х arctg xdx.

u=arctgx, du= ~

~

~

х arctg xdx =

2

1+~'

,

dv =xdx,

Х

v =

2'

х2

1 (x 2dx

х2

1 ( х2 +

1- 1

=Tarctgx-"2) l+x2 =Tarctgx-2)

l+x 2

dx=

= ~arctgx,- ~(dx+ ~(~ =

,

2

2

)

2

J 1

+х2

=

х2

-

1

1

2arctg х

"2Х +"2 arctg х+с. ....

"ример 4.

Найти

\ е2х sin xdx:'

u =

sin х,

du =

cos XdX,/

~

\ е2х ~in xdx =

Idv = e2xdx,

v =

-} ei.~

=

1

2х .

1 ~

2х

d

u =

cos х, du =

-

sin xdx, I

е

cos х

х =

d

2xd

1

2х

=

= -2 е

SIП х -

-2

Iо=е

х, и="2е

1

1 (

1

(

1

)

=

="2e2xsinx-"2

"2e2xcosx-)2е2ХSiпхdх

= J.. e2X sin х -

~e2X cos х +

~( е2х

sin xdx

.

Перенеся

2

4

4)

последиий интеграл

в

левую

часть

равеиства,

получим

3 ~.

12Х .

1 2Х

3

-

е

2х

SIП xdx = _е SIП х -

_е

cos х +-с

.

4

2

4

4

Следовательио,

( .

2 .

1

)е

2Х

SIП xdx =

зе2Х SIП х -

зе2Х cos х + С.....

"ример 5. Найти \ х2 In2 xdx.

~ \ х2 In 2 xdx =

u = In 2 х,

du = 2 In х . - 1 dx,

1dv = x2dx,

v =

хЗ/З

х

1=

З

х

о

2(з

)

ХЗ

)2

2(2)

d

х=

=з1П-Х-з)Х IПХ'хdХ=з

n

Х-З)Х пх

, u =

In х,

du =

dX/X,'

х

З

I 2

=

dv = x

2dx, v =

хЗ/3

= З n

х-

29

АЗ-8.S

Найти данные неопредеЛенные интегралыо

1.-) х cos 3xdxo,( Ответ: {х sin 3х +{ cos 3х + С.)

2.	~ arccosxdxo (Ответ: х arccos х- -v1									х2 +со)
3.	~ (х2 -	2х + 5)e- X dxo					(Ответ: _е-Х (х2				+ 5) + со)
4.	~ ln 2 xdxo (Ответ: х ln 2						х -	2х ln х + 2х + со)
5.	rX~02SX dxo (Ответ:					-	_о_х_		+ ln Itg	Х 1 + с.)
	) S1П	Х					S1П Х			2
6.~хЗе-Х'dхо			(Ответ:					-+е-Х'(х2			+1)+Со)
7.	~ е-Гхdxo (Ответ;'2е-Гх(-{; -								1) + со)
8.	~ sin (In х)dxo		(Ответ:				~	(sin ln х- cos ln х)+ с)
		Самостоятельная							работа
Найти неопределенные ИlIтегралыо
1.	а) ~	I:Х dx;	б)	~	хе-7х dx;
в)	~ х arcsin xdx.					'N (1 +x2)dx;
2.	а) ~	xe11x+1dx;		б)	~
в)	~ х cos (х/2+ 1) dxo
3.	а) ~	'П (х- 3) dx;			б)	~	х cos (2х- 1) dx;
в)	~ х. 2ЗХdхо

8060 ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ,

Рациональной функцией R (х) liазывается фУНКЦИЯ, равная отноше­

НИЮ двух многочленов:

R(x) = Qm(X) =!:o~~:J Ь,хт -' + 000	+ Ьт	(807)
Рn(Х) аохn + а,хn '+000	+ аn	'

30