Приклад 7.

Обчислити границі, використовуючи нескінченно малі функції:

а) б)в)г)

Розв’язання.

а) .

Скористаємось наслідком з теореми 2.10.: :;

б) .

Аналогічно попередньому: , а знаменник розкладемо на множники, оскільки прих→3 він перетворюється на нуль.

;

в) .

Аналогічно попередньому: , тому перетворюємо вираз: , тоді:

;

г) .

За теоремою 2.11 при х→х₀ маємо: , тому

.

Тема 3. Неперервність функції.

1. Односторонні границі функції.

2. Означення неперервності функції в точці і на проміжку.

3. Арифметичні дії над неперервними функціями.

4. Одностороння неперервність. Точки розриву та їх класифікація.

5. Властивості функцій, неперервних на відрізку.

1. Односторонні границі функції.

Означення 3.1. Нехай функція y=f(x) визначена на півінтервалі , крім, можливо, самої точких₀. Число А називають границею функції в точці х₀ зліва (або лівосторонньою границею), якщо для-будь якої послідовності ічислові послідовності (f(x_n)) мають своєю границею число А. Позначення: .

Означення 3.2. Нехай функція y=f(x) визначена на піввідрізку , крім, можливо, самої точки. ЧислоВ називають границею функції f(x) в точці х₀ справа (або правосторонньою границею), якщо для будь-якої послідовності ічислові послідовності значень функції(f(x_n)) мають своєю границею число В.Позначення:

Теорема 3.1.(необхідна й достатня умова існування границі функції в точці). Для того, щоб функція y=f(x) мала границю в т. x₀, яка дорівнює числу А, необхідно й достатньо, щоб в цій точці існували обидві односторонні границі, які б дорівнювали числу А, тобто

Приклад 1.

Дослідити функцію на неперервність: .

Розв’язання.

Область визначення даної функції складається з двох частин: коли аргументами є від'ємні числа плюс число нуль (тоді значення функції знаходяться з умовиf(x)=х²) і додатні числа (тоді значення функції знаходяться з умови f(x)=2х-1).Отже, в точці х=0 область визначення поділяється на дві частини. Вияснимо поведінку функції в цій точці. Для цього обчислимо її границю в точці 0. Виберемо послідовність (х_п) тих х, які прямують до нуля, залишаючись меншими за нуль або рівними йому, тобто , і знайдемо лівосторонню границю функції . Далі розглянемо послідовність(х’_п) тих х, які прямують до нуля, залишаючись більшими за нуль , і знайдемо правосторонню границю функції:. Оскільки функція в точціх=0 має різні односторонні границі, то згідно з теоремою 3.1. вона не має

границі в цій точці. Як бачимо з рисунка 6 графік

даної функції розривається в точці х=0.

Зауваження. На малюнку стрілка вказує на те, що

точка осі Оу не входить до графіка даної функції.

Це пов'язано з тим, що за умовою в цій частині

області визначення змінна х строго більше за нуль.

2. Означення неперервності функції в точці і на проміжку.

Існує декілька означень неперервної функції. Нехай функція y=f(x) визначена в околі точки х₀.

Означення 3.3. Функція y=f(x) називається неперервною в точці х₀, якщо її границя в точці х₀ дорівнює значенню функції в цій точці:

Із означення слідує що для того, щоб функція була неперервною в точці х₀, необхідно, щоб виконувалися такі умови:

1) функція в точціє визначеною;

2) границя функції в точці х₀ існує;

3) значення функції в точціобов’язково дорівнює границі функції в цій точці.

Слід відмітити, що якщо значення функції в точці х₀, в якій вона неперервна, відмінне від нуля, то значення функції f(x) в деякому околі точки х₀ має той самий знак, що й f(x₀). Дійсно, внаслідок неперевності існує окіл точки х₀, в якій значення f(x) настільки мало відрізняються від своєї границі, тобто від f(x₀), що вони залишаються додатніми, якщо f(x₀)>0, і залишаються від’ємними, якщо f(x₀)<0 .

Означення 3.4. Функція називаєтьсянеперервною в точці х₀, якщо приріст функції в даній точці прагне до нуля при умові, що до нуля прагне приріст аргументу, тобто якщо нескінченно маленькому приросту аргумента відповідає нескінченно малий приріст функції: , деΔf(x₀)= f(х₀+Δх)-f(х₀) - приріст функції; - приріст аргументу.

Означення 3.5. Функція називаєтьсянеперервною на інтервалі , якщо вона неперервна в кожній точці цього інтервалу.

Наприклад. Нехай задано сталу функцію y=f(x)=С. Виберемо довільну точку з множини дійсних чисел та надамо їй приростуі знайдемо приріст функції:,. Тоді. За означенням ця функція неперервна в т.. Оскільки— довільна точка, то стала функція неперервна на множині всіх дійсних чисел.

Геометрично неперервність функції в замкненому інтервалі означає, що графік цієї функції є суцільною лінією без розривів.