- •Границя числової послідовності та функції однієї змінної.
- •Тема 1. Числова послідовність та її границя.
- •1. Числова послідовність та способи її задання.
- •Основні способи задання числової послідовності:
- •2. Обмежені та монотонні числові послідовності.
- •3. Границя числової послідовності.
- •Приклад 1
- •Приклад 2
- •4. Нескінченно малі числові послідовності
- •Властивості нескінченно малих послідовностей
- •Приклад 3.
- •Приклад 4.
- •5. Нескінченно великі числові послідовності
- •6. Арифметичні властивості збіжних числових послідовностей.
- •Приклад 5.
- •Приклад 6.
- •Приклад 7.
- •Приклад 8.
- •Приклад 9.
- •Тема 2. Границя функції неперервного аргументу.
- •1. Означення границі функції за Гейне і за Коші.
- •2. Властивості функцій, які мають границю в точці
- •3. Арифметичні властивості границь функції
- •Теореми про граничні переходи.
- •Приклад 1.
- •Приклад 2.
- •4. Границя функції на нескінченності
- •Приклад 3.
- •5. Перша важлива границя
- •Приклад 4.
- •6. Друга важлива границя
- •Приклад 5.
- •7. Порівняння нескінченно малих функцій. Еквівалентні нескінченно малі функції.
- •Приклад 6.
- •Властивості еквівалентних нескінченно малих функцій.
- •Приклад 7.
- •Тема 3. Неперервність функції.
- •1. Односторонні границі функції.
- •Приклад 1.
- •2. Означення неперервності функції в точці і на проміжку.
- •3. Арифметичні дії над неперервними функціями.
- •4. Одностороння неперервність. Точки розриву та їх класифікація.
- •Класифікація точок розриву
- •Приклад 2.
- •Приклад 3.
- •Приклад 4.
- •5. Властивості функцій, неперервних на відрізку.
- •Диференціальне числення функції однієї змінної.
- •Тема 1: Похідна.
- •1. Задачі, які приводять до поняття похідної.
- •Приклад 1.
- •Приклад 2.
- •2. Означення похідної. Спосіб знаходження похідної. Геометричний та механічний зміст похідної. Рівняння дотичної та нормалі до плоскої кривої.
- •Правило знаходження похідної за означенням.
- •Приклад 4.
- •3. Диференційовні функції. Зв’язок неперервності з диференційовністю
- •Приклад 5.
- •4. Таблиця похідних основних елементарних функцій
- •5. Правила диференціювання.
- •Приклад 6.
- •Приклад 7.
- •Приклад 8.
- •Приклад 9.
- •Приклад 1.
- •2. Властивості диференціала. Інваріантність форми диференціала.
- •Приклад 2.
- •3. Застосування диференціала.
- •Приклад 3.
- •4. Похідні та диференціали вищих порядків. Механічний зміст похідної другого порядку.
- •Приклад 4.
- •Приклад 5.
- •Приклад 6.
- •Тема 3. Теореми про середнє. Правила Лопіталя.
- •1. Теорема Ферма.
- •2. Теорема Ролля.
- •Приклад 1.
- •3. Теорема Лагранжа.
- •Приклад 2.
- •Приклад 3.
- •Приклад 1.
- •2. Локальний екстремум функції.
- •З’ясуємо умови існування локального екстремуму.
- •Приклад 2.
- •Приклад 3.
- •Приклад 4.
- •3. Найбільше і найменше значення функції.
- •Приклад 5.
- •Приклад 6.
- •4. Опуклість і вгнутість кривих. Точки перегину.
- •Приклад 7.
- •5. Асимптоти кривої.
- •Приклад 8.
- •6. Схема дослідження функції та побудова її графіка.
- •Приклад 9.
- •Інтегральне числення функції однієї змінної
- •Тема 1. Невизначений інтеграл
- •Поняття первісної та невизначеного інтегралу
- •Приклад 1.
- •Властивості невизначеного інтеграла (ні).
- •4. Основні методи інтегрування
- •4.1. Метод безпосереднього інтегрування (мбі)
- •Приклад 2.
- •4.2. Метод заміни змінної (мзз)
- •Приклад 3.
- •4.3. Метод інтегрування частинами (міч)
- •Приклад 4.
- •Цей метод використовують під час обчислення інтегралів виду
- •Приклад 5.
- •Загальне правило інтегрування раціональних дробів.
- •Приклад 6.
- •Він зводиться до інтеграла від раціональної функції підстановкою . Приклад 7.
- •Обчислити
- •Обчислити
- •Обчислити
- •Обчислити
- •4.6. Біноміальний диференціал
- •Приклад 8.
- •4.7. Інтегрування тригонометричних функцій
- •Приклад 10.
- •Поняття визначеного інтеграла.
- •2. Властивості визначеного інтеграла.
- •4. Теорема Ньютона-Лейбніца (н-л)
- •Приклад 1.
- •5. Методи знаходження ві.
- •5.1. Метод безпосереднього інтегрування
- •Приклад 2.
- •5. 2. Метод заміни змінної
- •Приклад 3.
- •Приклад 4.
- •5.3. Метод інтегрування частинами
- •Приклад 5.
- •Приклад 6.
- •Формули зведення. Формула інтегрування частинами
- •Приклад 7.
- •Приклад 2.
- •Приклад 3.
- •Площа криволінійного сектора
- •Приклад 4.
- •3. Обчислення довжини дуги
- •Приклад 5.
- •Приклад 6.
- •Обчислення тиску рідини на вертикальну пластину
- •9. Невласні інтеграли із нескінченним проміжком інтегрування
- •Приклад 10.
- •Приклад 11.
- •Обчислення невласних інтегралів від розривних (необмежених) функцій
- •Приклад 12.
Приклад 1.
Знайти інтервали монотонності функцій: 1) y=arcctgx; 2) y=.
Розв’язання.
1) Областю визначення функції y=arcctgx є інтервал (-∞; +∞). Похідна у' = - також існує на (-∞; +∞) і не перетворюється в нуль. Оскільки у'<0, то функція спадає на всій області визначення.
2) Областю визначення заданої функції є інтервал (-∞; +∞). Знайдемо її похідну: у' = . Знайдемо нулі похідної (похідна заданої функції визначена на (-∞; +∞)): 2-2х2=0 х=1 або х= -1. Знайдені точки розбивають область визначення на 3 інтервали. Визначимо знак похідної на кожному з них. Оскільки у'(-2)= -,у'(-2)<0, то на інтервалі (-∞; -1) функція спадає. у'(0)=2, у'(0)>0, тому на інтервалі (-1; 1) функція зростає. у'(2)= -,у'(2)<0, то на інтервалі (1; +∞) функція спадає.
2. Локальний екстремум функції.
Означення 4.2. Якщо існує окіл точки, який міститься в проміжку (а;b) і такий, що для всіх, то точканазиваєтьсяточкою локального максимуму функції у=, а саме число називаєтьсялокальним максимумом функції у=.
Означення 4.3. Якщо існує окіл точки, який міститься в проміжку (а;b) і такий, що для всіх, то точканазиваєтьсяточкою локального мінімуму функції у=, а саме число називаєтьсялокальним мінімумом функції у=.
Точки максимуму й мінімуму функції називають локальними екстремальними точками або точками локального екстремуму, а максимум і мінімум називають локальним екстремумом функції.
З’ясуємо умови існування локального екстремуму.
Теорема 4.3 (необхідна умова існування екстремуму). Якщо функція у=у внутрішній точціпроміжкумає екстремум, то в цій точці похідна, якщо вона існує, дорівнює нулю.
Означення 4.4. Внутрішня точка проміжкуназиваєтьсястаціонарною точкою функції у=, якщо в цій точці. Стаціонарні точки і точки, в яких похідна не існує, але вони належать області визначення функції, називаютьсякритичними точками функції.
Умова =0 є необхідною, але не є достатньою для того, щоб диференційована в точці функція мала локальний екстремум. Так, наприклад, функція у=х3 має похідну у'=3х2, яка дорівнює 0 в точці х=0. Але ця точка не є точкою локального екстремуму.
Розглянемо умови, які дають змогу із множини критичних точок виділити точки локального екстремуму.
Теорема 4.4 (достатня умова існування екстремуму). Нехай х0 - критична точка функції у=, яка в цій точці неперервна, і нехай існує окіл (х0-δ; х0+δ) точки х0, в якому функція має похідну, крім, можливо, точки х0. Тоді:
1) якщо на інтервалі (х0-δ; х0) похідна додатна, а на інтервалі (х0; х0+δ) похідна від’ємна, то точка х0 є точкою локального максимуму функції у=;
2) якщо на інтервалі (х0-δ; х0) похідна від’ємна, а на інтервалі (х0; х0+δ) похідна додатна, то точка х0 є точкою локального мінімуму функції у=;
3) якщо на обох інтервалах (х0-δ; х0), (х0; х0+δ) похідна має той самий знак, то точка х0 не є точкою локального екстремуму функції.
З теорем 4.3 і 4.4 випливає перше правило дослідження функції на локальний екстремум.
Щоб дослідити функцію у=на локальний екстремум,треба:
1) знайти область визначення функції;
2) знайти стаціонарні точки заданої функції (для цього треба розв’язати рівняння , з коренів цього рівняння вибрати тільки дійсні і ті, які є внутрішніми точками області визначення функції);
3) знайти точки, в яких похідна не існує (функціяв цих точках існує). Якщо критичних точок функціяу=не має, то вона не має й екстремальних точок. Така функція не має локального екстремуму. Якщо критичні точки є, то треба дослідити знак похідної на кожному з інтервалів, на які розбивається область визначення цими точками. Якщопри переході через критичну точку (зліва направо) змінює знак з + на –, то ця точка є точкоюлокального максимуму. Якщо змінює знак з – на +, то ця критична точка є точкоюлокального мінімуму. Якщо при переході через критичну точку знак похідної не змінюється, то розглядувана критична точка не є екстремальною точкою заданою функції.
4) Обчислити значення функції в локальних точках екстремуму.