- •Границя числової послідовності та функції однієї змінної.
- •Тема 1. Числова послідовність та її границя.
- •1. Числова послідовність та способи її задання.
- •Основні способи задання числової послідовності:
- •2. Обмежені та монотонні числові послідовності.
- •3. Границя числової послідовності.
- •Приклад 1
- •Приклад 2
- •4. Нескінченно малі числові послідовності
- •Властивості нескінченно малих послідовностей
- •Приклад 3.
- •Приклад 4.
- •5. Нескінченно великі числові послідовності
- •6. Арифметичні властивості збіжних числових послідовностей.
- •Приклад 5.
- •Приклад 6.
- •Приклад 7.
- •Приклад 8.
- •Приклад 9.
- •Тема 2. Границя функції неперервного аргументу.
- •1. Означення границі функції за Гейне і за Коші.
- •2. Властивості функцій, які мають границю в точці
- •3. Арифметичні властивості границь функції
- •Теореми про граничні переходи.
- •Приклад 1.
- •Приклад 2.
- •4. Границя функції на нескінченності
- •Приклад 3.
- •5. Перша важлива границя
- •Приклад 4.
- •6. Друга важлива границя
- •Приклад 5.
- •7. Порівняння нескінченно малих функцій. Еквівалентні нескінченно малі функції.
- •Приклад 6.
- •Властивості еквівалентних нескінченно малих функцій.
- •Приклад 7.
- •Тема 3. Неперервність функції.
- •1. Односторонні границі функції.
- •Приклад 1.
- •2. Означення неперервності функції в точці і на проміжку.
- •3. Арифметичні дії над неперервними функціями.
- •4. Одностороння неперервність. Точки розриву та їх класифікація.
- •Класифікація точок розриву
- •Приклад 2.
- •Приклад 3.
- •Приклад 4.
- •5. Властивості функцій, неперервних на відрізку.
- •Диференціальне числення функції однієї змінної.
- •Тема 1: Похідна.
- •1. Задачі, які приводять до поняття похідної.
- •Приклад 1.
- •Приклад 2.
- •2. Означення похідної. Спосіб знаходження похідної. Геометричний та механічний зміст похідної. Рівняння дотичної та нормалі до плоскої кривої.
- •Правило знаходження похідної за означенням.
- •Приклад 4.
- •3. Диференційовні функції. Зв’язок неперервності з диференційовністю
- •Приклад 5.
- •4. Таблиця похідних основних елементарних функцій
- •5. Правила диференціювання.
- •Приклад 6.
- •Приклад 7.
- •Приклад 8.
- •Приклад 9.
- •Приклад 1.
- •2. Властивості диференціала. Інваріантність форми диференціала.
- •Приклад 2.
- •3. Застосування диференціала.
- •Приклад 3.
- •4. Похідні та диференціали вищих порядків. Механічний зміст похідної другого порядку.
- •Приклад 4.
- •Приклад 5.
- •Приклад 6.
- •Тема 3. Теореми про середнє. Правила Лопіталя.
- •1. Теорема Ферма.
- •2. Теорема Ролля.
- •Приклад 1.
- •3. Теорема Лагранжа.
- •Приклад 2.
- •Приклад 3.
- •Приклад 1.
- •2. Локальний екстремум функції.
- •З’ясуємо умови існування локального екстремуму.
- •Приклад 2.
- •Приклад 3.
- •Приклад 4.
- •3. Найбільше і найменше значення функції.
- •Приклад 5.
- •Приклад 6.
- •4. Опуклість і вгнутість кривих. Точки перегину.
- •Приклад 7.
- •5. Асимптоти кривої.
- •Приклад 8.
- •6. Схема дослідження функції та побудова її графіка.
- •Приклад 9.
- •Інтегральне числення функції однієї змінної
- •Тема 1. Невизначений інтеграл
- •Поняття первісної та невизначеного інтегралу
- •Приклад 1.
- •Властивості невизначеного інтеграла (ні).
- •4. Основні методи інтегрування
- •4.1. Метод безпосереднього інтегрування (мбі)
- •Приклад 2.
- •4.2. Метод заміни змінної (мзз)
- •Приклад 3.
- •4.3. Метод інтегрування частинами (міч)
- •Приклад 4.
- •Цей метод використовують під час обчислення інтегралів виду
- •Приклад 5.
- •Загальне правило інтегрування раціональних дробів.
- •Приклад 6.
- •Він зводиться до інтеграла від раціональної функції підстановкою . Приклад 7.
- •Обчислити
- •Обчислити
- •Обчислити
- •Обчислити
- •4.6. Біноміальний диференціал
- •Приклад 8.
- •4.7. Інтегрування тригонометричних функцій
- •Приклад 10.
- •Поняття визначеного інтеграла.
- •2. Властивості визначеного інтеграла.
- •4. Теорема Ньютона-Лейбніца (н-л)
- •Приклад 1.
- •5. Методи знаходження ві.
- •5.1. Метод безпосереднього інтегрування
- •Приклад 2.
- •5. 2. Метод заміни змінної
- •Приклад 3.
- •Приклад 4.
- •5.3. Метод інтегрування частинами
- •Приклад 5.
- •Приклад 6.
- •Формули зведення. Формула інтегрування частинами
- •Приклад 7.
- •Приклад 2.
- •Приклад 3.
- •Площа криволінійного сектора
- •Приклад 4.
- •3. Обчислення довжини дуги
- •Приклад 5.
- •Приклад 6.
- •Обчислення тиску рідини на вертикальну пластину
- •9. Невласні інтеграли із нескінченним проміжком інтегрування
- •Приклад 10.
- •Приклад 11.
- •Обчислення невласних інтегралів від розривних (необмежених) функцій
- •Приклад 12.
Приклад 5.
Обчислити довжину кола
Розв’язання.
1 спосіб.
З ШКМ відомо, що довжина кола обчислюється за формулою звідки
2 спосіб.
Виразимо змінну у із рівняння кола, отримаємо
Маємо явно задану функцію у= f(х), тому скористаємось формулою
Спочатку знайдемо похідну
Для знаходження меж інтегрування, виконаємо рисунок (рис.32).
Взявши межі від -1 до 1 ми обчислимо довжину півкола
тому довжина кола буде
L= 2.
(Під час розв’язання даної задачі радіус кола дорівнював одиниці, якщо ж покласти його рівним R, то отримаємо відому формулу довжини кола).
3 спосіб.
Запишемо рівняння кола
в полярній системі координат. Для цього використаємо формули переходу
Отримаємо
Таким чином отримали, що коло радіусом 1 буде мати в полярних координатах рівняння
звідки
Тепер враховуючи, що використаємо формулу для обчислення довжини дуги, яка задана в полярних координатах
Відповідь:
4. Обчислення об’єму довільного тіла
Нехай маємо деяке тіло, яке визначене на відрізку [a,b] з об’ємом V. Припустимо, що відомо площі поперечних перерізів даного тіла (в противному разі безпосереднє застосування визначеного інтеграла для обчислення об’єму довільного тіла не можливе). Позначимо через Q = Q(x) – неперервну функцію, яка визначає площу будь-якого поперечного перерізу тіла (рис.33).
Виконаємо розбиття відрізку [a,b] точками хi, і=0,1,2,…п
Проведемо через точки розбиття хi площини і=0,1,2,…п, які перпендикулярні відрізку [a,b] і розбивають тіло на п частин, які відповідно мають площі Q0(x), Q1(x), … Qп(x). Якщо , то набір цих частин прямуватиме до об’єму тіла, тобто
.
Недоліком цієї формули є неможливість її застосування для знаходження об’ємів складних тіл, оскільки складно записати аналітично функцію Q(x).
Приклад 6.
Обчислити об’єм кулі радіусом R.
Розв’язання.
Поперечними перерізами кулі є набір кіл, радіуси яких (позначимо їх через у) змінюються від 0 до R в залежності від точок розбиття хі. Тоді функція площ поперечних перерізів має вид:
.
Отримаємо
.
ПРИКЛАД 7.
Обчислити об’єм довільної піраміди з висотою Н і площею основи S.
Розв’язання.
Поперечними перерізами піраміди (площинами перпендикулярними висоті) є набір многокутників подібних основі. Коефіцієнт подібності цих фігур обчислюється за формулою
де х – відстань від площини перерізу до вершини піраміди (рис.34).
З шкільного курсу математики відомо, що відношення площ подібних фігур дорівнює коефіцієнту подібності в квадраті, тобто
де - площі поперечних перерізів.
Тоді
5. Обчислення об’єму довільного тіла
Нехай маємо криволінійну трапецію, яка утворена за допомогою неперервної на відрізку [a, b] кривої y = f(x). Якщо обертати дану криволінійну трапецію навколо осі Ох, то отримаємо тіло обертання (рис.35).
Поперечними перерізами тіла обертання є набір кругів, радіуси яких обчислюються за формулою
Тоді функція
є неперервною функцією, яка визначає площу будь-якого поперечного перерізу тіла і об’єм тіла обертання можна обчислити за формулою:
Обчислення площі поверхні тіла обертання
Теорема 3.1. Площа бічної поверхні тіла обертання обчислюється за формулою
ПРИКЛАД 8.
Обчислити площу сфери радіусом R.
Розв’язання.
Сфера утворюється обертанням кола, рівняння якого
.
Отримаємо
Обчислення роботи
Нехай маємо деяку матеріальну точкуМ, яка рухається з пункту А в пункт В по траєкторії, довжина якої дорівнює L і задається неперервно диференційованою кривою . Сила яка спричиняє рух точки напрямлена по дотичній до траєкторії (рис.36)
Виконаємо розбиття відрізку [0,L] точками хі, і=1,2,3,…п і позначимо найбільший з відрізків розбиття через . Якщо збільшувати кількість точок розбиття, тоі переміщення точкиМ на кожному з відрізків розбиття [xi-1,xi] можна вважати прямолінійним, тому робота по переміщенню точки вздовж відрізка
[xi-1,xi] буде обчислюватись за формулою
(де -елементарна робота, - сила,- довільна точка з відрізка [xi-1,xi], - довжина цього відрізка). Таким чином загальна сума всіх елементарних робіт буде інтегральною і дорівнюватиме
Тому робота по переміщенню точки M вздовж відрізка [0,L] по кривій y=f(x) обчислюватиметься за формулою
ПРИКЛАД 9.
Обчислити роботу, яку потрібно затратити, щоб підняти з поверхні землі людину масою 70 кг. на висоту 1км.
Розв’язання.
Земля має форму кулі радіусом R. Тоді згідно закону Ньютона сила, з якою земля притягає тіло, обчислюється за формулою
де - гравітаційна стала, -маса тіла, -маса землі, -відстань між центрами тіла і землі.
Якщо людина стоїть на поверхні землі (зростом людини знехтуємо), то початкова точка відправлення а кінцева .
Таким чином справедливо