4. Таблиця похідних основних елементарних функцій

У попередніх питаннях ми знаходили похідні окремих функцій, виходячи з означення похідної. На практиці функції диференціюють за допомогою певних правил і формул. Похідні основних елементарних функцій наведені у таблиці.

Таблиця похідних основних елементарних функцій.

			f'(x)
с, с- стала
, k	к х^к-1
			-
е^х	е^х

5. Правила диференціювання.

Теорема 1.2. (похідна суми та різниці). Якщо функції y = f(x) і y = g(x) мають похідну в точці х, то їх сума f(x)+ g(x) (різниця f(x)- g(x)) теж має похідну в цій точці і похідна сума (різниці) дорівнює сумі (різниці) похідних цих функцій.

Доведення. Функція у = f(x) має похідну в точці х, тому існує границя , аналогічно для функціїіснує границя. Розглянемо додаткову функціюh(x)= f(x)+g(x) і знайдемо її приріст в точці х: h(x)=h(x+x)-h(x)=(f(x+x)+g(x+x))-(f(x)+g(x))=(f(x+x)-f(x))-(g(x+x)-g(x))= =f(x)+ g(x).

Знайдемо відношення:

Оскільки кожен доданок має границю, то існує границя суми і дорівнює сумі границь, тобто, Таким чином,

Для різниці доводиться аналогічно.

Приклад 6.

Знайти похідні функцій:

а) y=x³+sinx-lnx; б)

Розв’язання.

а) За попередньою теоремою =(x³+sinx-lnx=(х³+(sin-(lnx. Використовуючи відповідні формули з таблиці похідних, маємо: =3х²+cosx-.

б) Перепишемо функцію у вигляді: . Тоді:

=.

Теорема 1.3. (похідна добутку). Якщо функції y = f(x) і y = g(x) мають похідну в точці х, то їх добуток також має похідну в цій точці і виконується рівність

Наслідок. (c ∙ f(x))' = c ∙ f’(x). (Сталий множник можна виносити за знак похідної)

Якщо в добутку один множник сталий, то похідна такого добутку дорівнює цьому сталому множнику, помноженому на похідну змінного множника.

Приклад 7.

Знайти похідні функції:

а) y = x tgx; б) y=e^xlnx

Розв’язання.

За теоремою про похідну добутку маємо: а).

б)

Теорема 1. 4. (похідна частки). Якщо функції y = f(x) і y = g(x) у точці х мають похідну і , то їх частка теж має похідну в цій точці і виконується рівність

Наслідки. а).

б)

Приклад 8.

Знайти похідні функції:

а); б)y=

Розв’язання.

За теоремою про похідну частки маємо: а) ;

б) ;;●

Теорема 1. 5. (похідна складеної функції). Якщо функція y = f(x) має похідну в точці u₀ (f′_u(u)) і функція u = и(x) має похідну в точці х₀, причому u₀ = и(x₀), то складена функція y(x) = f (и(x)) має похідну в точці х₀, яка обчислюється за формулою y′(x₀) = f′(u₀)∙и′_x(x₀). (похідна складеної функції дорівнює добутку похідної внутрішньої функції на похідну зовнішньої функції).

Можна сформулювати правило знаходження похідної складеної функції: щоб знайти похідну складеної функції, треба знайти похідну зовнішньої функції по зовнішньому аргументу і результат помножити на похідну внутрішньої функції по внутрішньому аргументу.