Приклад 3.

Обчислити: а) ^б)

Розв’язання.

Зауваження.

1. В даній задачі ми опустили знак модуля, оскільки функція косинус на відрізку не набуває від’ємних значень.

2. Під час заміни змінної також слід пам’ятати, що нова функція має бути неперервна на відрізку інтегрування. В противному разі можна отримати неправильний результат.

Приклад 4.

Обчислити:

Розв’язання.

Очевидно, що

Але якщо використати МЗЗ (ввівши тригонометричну одиницю) отримуємо інший результат!

Цей приклад показує, що неможна формально використовувати заміну змінних. Під час застосування МЗЗ не було враховано, що введена заміна t=tgx має на відрізку інтегрування розрив (в точці х = p/2). Тому, в даному випадку, таку підстановку неможна використовувати.

Зауваження. При обчисленні невизначеного інтеграла за допомогою заміни змінної, дістаючи шукану функцію, що виражена через t, ми обов’язково повертаємося до старої змінної x, але в разі визначеного інтеграла в цьому потреби немає. Якщо обчислено другий із визначених інтегралів, який є числом, то це означає, що обчислено і перший.

5.3. Метод інтегрування частинами

Нехай маємо неперервні на відрізку [a, b] функції u = u(x) і v = v (x), які мають неперервні на цьому ж відрізку похідні, тоді справедлива формула інтегрування частинами:

Доведення. Оскільки за умовою - неперервні на відрізку [a, b] функції, то для них буде справедлива формула

Тепер проінтегрувавши ліву і праву частини останньої рівності, а також враховуючи означення диференціала маємо

Що й потрібно було довести.

Приклад 5.

Обчислити а) ^{б) в)}

Розв’язання.

До останнього інтеграла знову застосуємо метод інтегрування частинами (МІЧ)

Тепер остаточно маємо

Отже, ми отримали

Зауваження. Площі кривих, розміщених над віссю абсцис, вважаються додатними, а площі кривих, розміщених під віссю абсцис, — від’ємними (рис. 23).

Приклад 6.

Знайти суму площ двох сусідніх хвиль синусоїди

^{Розв’язання.}

(рис. 24).

Формули зведення. Формула інтегрування частинами

Основна формула інтегрального числення може в деяких випадках відразу да­вати значення визначеного інтеграла. Проте за її допомогою різні формули зве­дення в теорії невизначених інтегралів перетворюються на аналогічні формули вже у визначених інтегралах, що дозволяє обчислення одного інтеграла зводити до обчислення іншого простішого інтеграла.

Загальна форма формул зведення має вигляд:.

Якщо областю застосування такої формули є проміжок [a, b], то маємо формулу деφ(х) і g(x) - неперервні функції.

Зокрема, формула інтегрування частинами набирає вигляду:

а узагальнена формула подається так:

Приклад 7.

Обчислити інтеграл

^{Розв’язання.}

^Маємо:

Звідси дістаємо рекурентну формулу:

або За допомогою цієї формули інтегралI_n послідовно зводиться до інтеграла І₀ або І₁.

Якщо n — парний степінь (n = 2k), то

.

Якщо n — непарний степінь (n = 2k + 1), то

.

Отже,

5.4. Обчислення визначених інтегралів за допомогою властивостей підінтегральних функцій

Істотні спрощення обчислення визначених інтегралів можливі в разі парних, непарних, періодичних підінтегральних функцій.

1. Якщо f(x) — парна функція, то

2. Якщо f(x) — непарна функція, то

3. Якщо f(x) — періодична з періодомТфункція, то

ПРИКЛАД 8.

Знайти: а) б)

Розв’язання.

.

Тема 3. Застосування визначених інтегралів.

1. Площа криволінійної трапеції

2. Площа криволінійного сектора

3. Обчислення довжини дуги

4. Обчислення об’єму довільного тіла

5. Обчислення об’єму тіла обертання

6. Обчислення площі поверхні тіла обертання

7. Обчислення роботи

8. Обчислення тиску рідини на вертикальну пластину

9. Невласні інтеграли із нескінченним проміжком інтегрування

1. Площа криволінійної трапеції

Нагадаємо, що криволінійною трапецією називається фігура, яка обмежена лініями

З означення визначеного інтеграла випливає формула обчислення площі криволінійної трапеції

ПРИКЛАД 1.

Обчислити площу фігури обмеженої лініями: а) б)

Розв’язання.

а) Спочатку виконаємо рисунок (рис.25).

Оскільки набуває додатних значень на відрізку [a, b], то площа шуканої КТ обчислюватиметься за формулою

(кв. од.)

б)

Знайдемо межі інтегрування. Для цього розв’яжемо

систему

Виконаємо рисунок (рис.26). Враховуючи, що функція набуває від’ємних значень на відрізку [-1,1] площа обчислюється за формулою

(кв. од.)

Зауваження. Якщо частина криволінійної трапеції знаходиться над віссю абсцис, а інша під нею, то таку КТ потрібно розбити на дві частини і окремо обчислити їх площі. (Кількість частин змінюється в залежності від функції, що обмежує КТ).