- •Границя числової послідовності та функції однієї змінної.
- •Тема 1. Числова послідовність та її границя.
- •1. Числова послідовність та способи її задання.
- •Основні способи задання числової послідовності:
- •2. Обмежені та монотонні числові послідовності.
- •3. Границя числової послідовності.
- •Приклад 1
- •Приклад 2
- •4. Нескінченно малі числові послідовності
- •Властивості нескінченно малих послідовностей
- •Приклад 3.
- •Приклад 4.
- •5. Нескінченно великі числові послідовності
- •6. Арифметичні властивості збіжних числових послідовностей.
- •Приклад 5.
- •Приклад 6.
- •Приклад 7.
- •Приклад 8.
- •Приклад 9.
- •Тема 2. Границя функції неперервного аргументу.
- •1. Означення границі функції за Гейне і за Коші.
- •2. Властивості функцій, які мають границю в точці
- •3. Арифметичні властивості границь функції
- •Теореми про граничні переходи.
- •Приклад 1.
- •Приклад 2.
- •4. Границя функції на нескінченності
- •Приклад 3.
- •5. Перша важлива границя
- •Приклад 4.
- •6. Друга важлива границя
- •Приклад 5.
- •7. Порівняння нескінченно малих функцій. Еквівалентні нескінченно малі функції.
- •Приклад 6.
- •Властивості еквівалентних нескінченно малих функцій.
- •Приклад 7.
- •Тема 3. Неперервність функції.
- •1. Односторонні границі функції.
- •Приклад 1.
- •2. Означення неперервності функції в точці і на проміжку.
- •3. Арифметичні дії над неперервними функціями.
- •4. Одностороння неперервність. Точки розриву та їх класифікація.
- •Класифікація точок розриву
- •Приклад 2.
- •Приклад 3.
- •Приклад 4.
- •5. Властивості функцій, неперервних на відрізку.
- •Диференціальне числення функції однієї змінної.
- •Тема 1: Похідна.
- •1. Задачі, які приводять до поняття похідної.
- •Приклад 1.
- •Приклад 2.
- •2. Означення похідної. Спосіб знаходження похідної. Геометричний та механічний зміст похідної. Рівняння дотичної та нормалі до плоскої кривої.
- •Правило знаходження похідної за означенням.
- •Приклад 4.
- •3. Диференційовні функції. Зв’язок неперервності з диференційовністю
- •Приклад 5.
- •4. Таблиця похідних основних елементарних функцій
- •5. Правила диференціювання.
- •Приклад 6.
- •Приклад 7.
- •Приклад 8.
- •Приклад 9.
- •Приклад 1.
- •2. Властивості диференціала. Інваріантність форми диференціала.
- •Приклад 2.
- •3. Застосування диференціала.
- •Приклад 3.
- •4. Похідні та диференціали вищих порядків. Механічний зміст похідної другого порядку.
- •Приклад 4.
- •Приклад 5.
- •Приклад 6.
- •Тема 3. Теореми про середнє. Правила Лопіталя.
- •1. Теорема Ферма.
- •2. Теорема Ролля.
- •Приклад 1.
- •3. Теорема Лагранжа.
- •Приклад 2.
- •Приклад 3.
- •Приклад 1.
- •2. Локальний екстремум функції.
- •З’ясуємо умови існування локального екстремуму.
- •Приклад 2.
- •Приклад 3.
- •Приклад 4.
- •3. Найбільше і найменше значення функції.
- •Приклад 5.
- •Приклад 6.
- •4. Опуклість і вгнутість кривих. Точки перегину.
- •Приклад 7.
- •5. Асимптоти кривої.
- •Приклад 8.
- •6. Схема дослідження функції та побудова її графіка.
- •Приклад 9.
- •Інтегральне числення функції однієї змінної
- •Тема 1. Невизначений інтеграл
- •Поняття первісної та невизначеного інтегралу
- •Приклад 1.
- •Властивості невизначеного інтеграла (ні).
- •4. Основні методи інтегрування
- •4.1. Метод безпосереднього інтегрування (мбі)
- •Приклад 2.
- •4.2. Метод заміни змінної (мзз)
- •Приклад 3.
- •4.3. Метод інтегрування частинами (міч)
- •Приклад 4.
- •Цей метод використовують під час обчислення інтегралів виду
- •Приклад 5.
- •Загальне правило інтегрування раціональних дробів.
- •Приклад 6.
- •Він зводиться до інтеграла від раціональної функції підстановкою . Приклад 7.
- •Обчислити
- •Обчислити
- •Обчислити
- •Обчислити
- •4.6. Біноміальний диференціал
- •Приклад 8.
- •4.7. Інтегрування тригонометричних функцій
- •Приклад 10.
- •Поняття визначеного інтеграла.
- •2. Властивості визначеного інтеграла.
- •4. Теорема Ньютона-Лейбніца (н-л)
- •Приклад 1.
- •5. Методи знаходження ві.
- •5.1. Метод безпосереднього інтегрування
- •Приклад 2.
- •5. 2. Метод заміни змінної
- •Приклад 3.
- •Приклад 4.
- •5.3. Метод інтегрування частинами
- •Приклад 5.
- •Приклад 6.
- •Формули зведення. Формула інтегрування частинами
- •Приклад 7.
- •Приклад 2.
- •Приклад 3.
- •Площа криволінійного сектора
- •Приклад 4.
- •3. Обчислення довжини дуги
- •Приклад 5.
- •Приклад 6.
- •Обчислення тиску рідини на вертикальну пластину
- •9. Невласні інтеграли із нескінченним проміжком інтегрування
- •Приклад 10.
- •Приклад 11.
- •Обчислення невласних інтегралів від розривних (необмежених) функцій
- •Приклад 12.
6. Арифметичні властивості збіжних числових послідовностей.
Теорема 1.6. Якщо числова послідовність (хп) має границю, то вона єдина.
Доводиться методом від супротивного і пропонується на самостійний розгляд читачем.
Теорема 1.7. Границя суми (різниці) скінченного числа збіжних числових послідовностей дорівнює сумі (різниці) границь цих послідовностей.
Доведення. Нехай задано к збіжних числових послідовностей: (хп), (уп), ..., (zп), та їх суму (wn)= (хп)+ (уп)+...+(zп).
Доведемо, що , деА, В,..., W– сталі числа. За теоремою 1.3. різниця між збіжною послідовністю та її границею є величина нескінченно мала, тому збіжну послідовність можна подати у вигляді суми границі та нескінченно малої величини: (хп)=A+(αп) (уп)=B+(βп)..., (zп)=W+(γп), де (αп), (βп)..., (γп)- нескінченно малі. Отже сума заданих збіжних числових послідовностей можна подати у вигляді:(wn)=(A+B+…+W)+(αп+βп+...+γп), де вираз у других дужках є нескінченно малою величиною за властивістю нескінченно малих. Тоді за теоремою 1.3. вираз у перших дужках і є границею для (wn), що й треба було довести. Оскільки різницю двох виразів можна подати у вигляді суми (за означенням різниці), то теорема доведена повністю.
Приклад 5.
Знайти границю суми та різниці двох послідовностей: ,
Розв´язання
Розглянемо дві послідовності ,очевидно, що,, оскільки- нескінченно мала числова послідовність, то. Затеоремою 1.7. послідовність збіжна, її границя. Послідовністьзбіжна, її границя.
Теорема 1.8. Границя добутку скінченого числа збіжних числових послідовностей дорівнює добутку границь цих послідовностей.
Доведення. Нехай задано к збіжних числових послідовностей: (хп), (уп), ..., (zп), та їх добуток (wn)= (хп) (уп)...(zп). Доведемо, що
, де A, B,..., W– сталі числа. Доведемо теорему спочатку для двох послідовностей. За теоремою 1.3. (хп)=A+(αп), (уп)=B+(βп), тоді маємо: (wn)=(хп)(уп)=AB+(Bαп+Aβп+αпβп), де вираз у других дужках є нескінченно малою величиною за властивістю нескінченно малих. Тоді за теоремою 1.3. вираз у перших дужках і є границею для (wn), що й треба було довести.
Розглянемо тепер три збіжні числові послідовності (wn)=(хп)(уп)(tп). Тоді: , оскільки для двох послідовнoстей дана теорема є справедливою. Продовжуючи аналогічно можна довести справедливість твердження для скінченого числа числових послідовностей.
Наслідки із теореми 1.8.
1) Сталий множник можна виносити за знак границі
, с – сonst
2) , k – натуральне число
Теорема 1.9. Якщо послідовності (хп) і (уп) - збіжні (уп)≠0, n є N то числова послідовність теж збіжна і виконується рівність(≠0)
Доведення. Нехай ,. Тоді затеоремою 1.3. (хп)=A+(αп) (уп)=B+(βп), де (αп), (βп ) - нескінченно малі. Покажемо, що
. Дійсно, , де другий дріб є нескінченно малою величиною, тому. Теорема доведена.
Приклад 6.
Обчислити границі:
а) б)в)
Розв´язання.
а) , оскільки- нескінченно мала;
б) (за наслідком 1 зтеореми 1.8. сталу величину виносимо за знак границі, та враховуємо приклад а));
в) .
Наступні теореми подаємо без доведень.
Теорема 1.10. Якщо послідовність збіжна, то вона обмежена.
Зауваження. Згідно з теоремою 1.10., будь-яка збіжна послідовність обмежена. Обернене твердження не справджується. Таким чином, властивість обмеженості є тільки необхідною умовою збіжності числової послідовності.
З теореми 1.10. випливає умова розбіжності послідовності: якщо послідовність (уп) не є обмеженою, то вона розбіжна.
Теорема 1.11. Будь-яка обмежена та монотонна послідовність збіжна або, будь-яка обмежена зверху (знизу) неспадна (незростаюча) послідовність збіжна.
Теорема 1.12. Нехай числові послідовності ,,мають границі іта виконується нерівність. Тодімає границю і ця границя дорівнює числу A.
Теореми про граничні переходи.
1. Якщо число а>0, а змінна хп має скінченну границю, то має місце формула
2. Якщо число а>0, а змінна хп приймає лише додатні значення і має границю, що не дорівнює нулю, то має місце формула: , тобто можна переходити до границі під знак логарифма.
3. Якщо змінна хп має скінчену границю, то має місце формула: , тобто можна переходити до границі під знак кореня ( у випадку парного числа т припускають, що хп>0 і корінь шукається арифметичний).
Для обчислення границі числової послідовності, яка задається як відношення двох многочленів існуєправило.
Для того, щоб обчислити границю числової послідовності при , яка задається як відношення двох многочленіводнієї змінної п степенів т і к відповідно, і кожен з яких має границю, що дорівнює нескінченності, необхідно кожен член заданих многочленів розділити на найбільший степінь числа п, і з´ясувати до чого прагне кожен з отриманих членів заданого відношення. Це правило спирається на властивості дробу і зв´язок нескінченно малої послідовності з нескінченно великою послідовністю.