- •Границя числової послідовності та функції однієї змінної.
- •Тема 1. Числова послідовність та її границя.
- •1. Числова послідовність та способи її задання.
- •Основні способи задання числової послідовності:
- •2. Обмежені та монотонні числові послідовності.
- •3. Границя числової послідовності.
- •Приклад 1
- •Приклад 2
- •4. Нескінченно малі числові послідовності
- •Властивості нескінченно малих послідовностей
- •Приклад 3.
- •Приклад 4.
- •5. Нескінченно великі числові послідовності
- •6. Арифметичні властивості збіжних числових послідовностей.
- •Приклад 5.
- •Приклад 6.
- •Приклад 7.
- •Приклад 8.
- •Приклад 9.
- •Тема 2. Границя функції неперервного аргументу.
- •1. Означення границі функції за Гейне і за Коші.
- •2. Властивості функцій, які мають границю в точці
- •3. Арифметичні властивості границь функції
- •Теореми про граничні переходи.
- •Приклад 1.
- •Приклад 2.
- •4. Границя функції на нескінченності
- •Приклад 3.
- •5. Перша важлива границя
- •Приклад 4.
- •6. Друга важлива границя
- •Приклад 5.
- •7. Порівняння нескінченно малих функцій. Еквівалентні нескінченно малі функції.
- •Приклад 6.
- •Властивості еквівалентних нескінченно малих функцій.
- •Приклад 7.
- •Тема 3. Неперервність функції.
- •1. Односторонні границі функції.
- •Приклад 1.
- •2. Означення неперервності функції в точці і на проміжку.
- •3. Арифметичні дії над неперервними функціями.
- •4. Одностороння неперервність. Точки розриву та їх класифікація.
- •Класифікація точок розриву
- •Приклад 2.
- •Приклад 3.
- •Приклад 4.
- •5. Властивості функцій, неперервних на відрізку.
- •Диференціальне числення функції однієї змінної.
- •Тема 1: Похідна.
- •1. Задачі, які приводять до поняття похідної.
- •Приклад 1.
- •Приклад 2.
- •2. Означення похідної. Спосіб знаходження похідної. Геометричний та механічний зміст похідної. Рівняння дотичної та нормалі до плоскої кривої.
- •Правило знаходження похідної за означенням.
- •Приклад 4.
- •3. Диференційовні функції. Зв’язок неперервності з диференційовністю
- •Приклад 5.
- •4. Таблиця похідних основних елементарних функцій
- •5. Правила диференціювання.
- •Приклад 6.
- •Приклад 7.
- •Приклад 8.
- •Приклад 9.
- •Приклад 1.
- •2. Властивості диференціала. Інваріантність форми диференціала.
- •Приклад 2.
- •3. Застосування диференціала.
- •Приклад 3.
- •4. Похідні та диференціали вищих порядків. Механічний зміст похідної другого порядку.
- •Приклад 4.
- •Приклад 5.
- •Приклад 6.
- •Тема 3. Теореми про середнє. Правила Лопіталя.
- •1. Теорема Ферма.
- •2. Теорема Ролля.
- •Приклад 1.
- •3. Теорема Лагранжа.
- •Приклад 2.
- •Приклад 3.
- •Приклад 1.
- •2. Локальний екстремум функції.
- •З’ясуємо умови існування локального екстремуму.
- •Приклад 2.
- •Приклад 3.
- •Приклад 4.
- •3. Найбільше і найменше значення функції.
- •Приклад 5.
- •Приклад 6.
- •4. Опуклість і вгнутість кривих. Точки перегину.
- •Приклад 7.
- •5. Асимптоти кривої.
- •Приклад 8.
- •6. Схема дослідження функції та побудова її графіка.
- •Приклад 9.
- •Інтегральне числення функції однієї змінної
- •Тема 1. Невизначений інтеграл
- •Поняття первісної та невизначеного інтегралу
- •Приклад 1.
- •Властивості невизначеного інтеграла (ні).
- •4. Основні методи інтегрування
- •4.1. Метод безпосереднього інтегрування (мбі)
- •Приклад 2.
- •4.2. Метод заміни змінної (мзз)
- •Приклад 3.
- •4.3. Метод інтегрування частинами (міч)
- •Приклад 4.
- •Цей метод використовують під час обчислення інтегралів виду
- •Приклад 5.
- •Загальне правило інтегрування раціональних дробів.
- •Приклад 6.
- •Він зводиться до інтеграла від раціональної функції підстановкою . Приклад 7.
- •Обчислити
- •Обчислити
- •Обчислити
- •Обчислити
- •4.6. Біноміальний диференціал
- •Приклад 8.
- •4.7. Інтегрування тригонометричних функцій
- •Приклад 10.
- •Поняття визначеного інтеграла.
- •2. Властивості визначеного інтеграла.
- •4. Теорема Ньютона-Лейбніца (н-л)
- •Приклад 1.
- •5. Методи знаходження ві.
- •5.1. Метод безпосереднього інтегрування
- •Приклад 2.
- •5. 2. Метод заміни змінної
- •Приклад 3.
- •Приклад 4.
- •5.3. Метод інтегрування частинами
- •Приклад 5.
- •Приклад 6.
- •Формули зведення. Формула інтегрування частинами
- •Приклад 7.
- •Приклад 2.
- •Приклад 3.
- •Площа криволінійного сектора
- •Приклад 4.
- •3. Обчислення довжини дуги
- •Приклад 5.
- •Приклад 6.
- •Обчислення тиску рідини на вертикальну пластину
- •9. Невласні інтеграли із нескінченним проміжком інтегрування
- •Приклад 10.
- •Приклад 11.
- •Обчислення невласних інтегралів від розривних (необмежених) функцій
- •Приклад 12.
Приклад 2.
Обчислити площу фігури обмеженої лініями
Розв’язання.
Виконаємо рисунок (рис.27). Розіб’ємо дану фігуру на дві частини і окремо обчислимо їх площі. Знайшовши їх суму отримаємо відповідь.
Знайдемо межі інтегрування. Для цього розв’яжемо систему
Отже, враховуючи, що функція набуває недодатних значень на відрізку[-1,1] та її парність, площа обчислюється за формулою
Аналогічно, враховуючи, що функція у=1-х2 набуває невід’ємних значень на відрізку [-1,1] та її парність:
Отже, (кв. од.)
Якщо фігура, площу якої шукають, обмежена зверху функцією f(х), а знизу – g(х) (рис.28), то площу такої фігури обчислюють за формулою
Тобто від верхньої функції віднімається нижня
Приклад 3.
Обчислити на відрізку площу фігури обмеженої лініями
Розв’язання.
Виконаємо рисунок (рис.29)
Для знаходження меж інтегрування розв’язуємо систему
Тепер враховуючи, що верхньою функцією є функція синуса, а нижньою – пряма, будемо мати
(кв. од.)
Якщо криволінійна трапеція обмежена кривою, заданою параметрично х=х(t), y=y(t) , де х=х(t), y=y(t) – неперервні функції, які мають на відрізку [α,β] неперервні похідні, тоді, якщо х(t) на відрізку [α,β] є монотонною, причому х(α)=а, х(β)=b, то для обчислення площі криволінійної трапеції користуються формулою:
Площа криволінійного сектора
В шкільному курсі математики (ШКМ) вивчалась трапеція, а у вищій школі ми вивчили більш загальне поняття – криволінійна трапеція. Так само узагальнимо поняття сектора і введемо поняття криволінійного сектора.
Означення 3.1. Криволінійним сектором (КС) називають фігуру, яка обмежена двома променями, що виходять з однієї точки і деякою неперервною функцією (рис.30).
Для обчислення площі криволінійного сектора введемо полярну систему координат. Суть якої полягає в наступному. Координати будь-якої точки в цій системі визначається за допомогою:
полюса О,
полярної осі О,
довжини радіус-вектора , що сполучає полюс і дану точку (координати якої визначають),
кута нахилу радіус-вектора до полярної осі.
(Наприклад, якщо в ПДСК точка мала координати х=0, у=1, то в полярній системі вона матиме координати =1, = ).
Рівняння функції, що обмежує КС цієї системи координат буде мати вигляд
= (),
(де - довжина радіус-вектора, який з’єднує полюс з довільною точкою функції, а - кут нахилу цього радіус- вектора до полярної осі).
Для обчислення площі криволінійного сектора використовують формулу
Де промені, що обмежують криволінійний сектор, причому справедливо
Приклад 4.
Обчислити площу кардіоїди
Розв’язання.
Використовуючи формулу маємо
(кв. од.)
3. Обчислення довжини дуги
Нехай маємо неперервну на відрізку [a,b] функцію f(х). Обчислимо довжину дуги на цьому відрізку (рис.31).
Виконаємо розбиття відрізка [a, b] точками xi, і=0,1,2,…,п. Причому
Позначимо довжину відрізка через,черезі так далі (аналогічно дляуі), а гіпотенузи утворених прямокутних трикутників позначимо через l1, l2,…. Довжина утвореної ламаної обчислюється як сума довжин відповідних відрізків, тобто
Тепер для того, щоб застосувати визначений інтеграл виберемо найбільший з відрізків розбиття і позначимо його через , тобто
З рисунка 31 видно, що в деяких місцях ламана співпадає з кривою, тому логічно, якщо збільшити дрібність розбиття і перейти до границі, то отримаємо формулу для обчислення довжини дуги
.
Оскільки - гіпотенуза прямокутного трикутника, то використовуючи теорему Піфагора отримаємо
Звідки, за означенням визначеного інтеграла, враховуючи, що випливає
Формула для обчислення довжини кривої, яка задана явно має вигляд
Враховуючи правила диференціювання функцій, які задані параметрично отримаємо формулу для обчислення довжини кривої, яка задана параметрично , має вигляд
Формула для обчислення довжини просторової кривої, яка задана параметрично ,має вигляд
Формула для обчислення довжини кривої, яка задана у полярних координатах , має вигляд