- •Границя числової послідовності та функції однієї змінної.
- •Тема 1. Числова послідовність та її границя.
- •1. Числова послідовність та способи її задання.
- •Основні способи задання числової послідовності:
- •2. Обмежені та монотонні числові послідовності.
- •3. Границя числової послідовності.
- •Приклад 1
- •Приклад 2
- •4. Нескінченно малі числові послідовності
- •Властивості нескінченно малих послідовностей
- •Приклад 3.
- •Приклад 4.
- •5. Нескінченно великі числові послідовності
- •6. Арифметичні властивості збіжних числових послідовностей.
- •Приклад 5.
- •Приклад 6.
- •Приклад 7.
- •Приклад 8.
- •Приклад 9.
- •Тема 2. Границя функції неперервного аргументу.
- •1. Означення границі функції за Гейне і за Коші.
- •2. Властивості функцій, які мають границю в точці
- •3. Арифметичні властивості границь функції
- •Теореми про граничні переходи.
- •Приклад 1.
- •Приклад 2.
- •4. Границя функції на нескінченності
- •Приклад 3.
- •5. Перша важлива границя
- •Приклад 4.
- •6. Друга важлива границя
- •Приклад 5.
- •7. Порівняння нескінченно малих функцій. Еквівалентні нескінченно малі функції.
- •Приклад 6.
- •Властивості еквівалентних нескінченно малих функцій.
- •Приклад 7.
- •Тема 3. Неперервність функції.
- •1. Односторонні границі функції.
- •Приклад 1.
- •2. Означення неперервності функції в точці і на проміжку.
- •3. Арифметичні дії над неперервними функціями.
- •4. Одностороння неперервність. Точки розриву та їх класифікація.
- •Класифікація точок розриву
- •Приклад 2.
- •Приклад 3.
- •Приклад 4.
- •5. Властивості функцій, неперервних на відрізку.
- •Диференціальне числення функції однієї змінної.
- •Тема 1: Похідна.
- •1. Задачі, які приводять до поняття похідної.
- •Приклад 1.
- •Приклад 2.
- •2. Означення похідної. Спосіб знаходження похідної. Геометричний та механічний зміст похідної. Рівняння дотичної та нормалі до плоскої кривої.
- •Правило знаходження похідної за означенням.
- •Приклад 4.
- •3. Диференційовні функції. Зв’язок неперервності з диференційовністю
- •Приклад 5.
- •4. Таблиця похідних основних елементарних функцій
- •5. Правила диференціювання.
- •Приклад 6.
- •Приклад 7.
- •Приклад 8.
- •Приклад 9.
- •Приклад 1.
- •2. Властивості диференціала. Інваріантність форми диференціала.
- •Приклад 2.
- •3. Застосування диференціала.
- •Приклад 3.
- •4. Похідні та диференціали вищих порядків. Механічний зміст похідної другого порядку.
- •Приклад 4.
- •Приклад 5.
- •Приклад 6.
- •Тема 3. Теореми про середнє. Правила Лопіталя.
- •1. Теорема Ферма.
- •2. Теорема Ролля.
- •Приклад 1.
- •3. Теорема Лагранжа.
- •Приклад 2.
- •Приклад 3.
- •Приклад 1.
- •2. Локальний екстремум функції.
- •З’ясуємо умови існування локального екстремуму.
- •Приклад 2.
- •Приклад 3.
- •Приклад 4.
- •3. Найбільше і найменше значення функції.
- •Приклад 5.
- •Приклад 6.
- •4. Опуклість і вгнутість кривих. Точки перегину.
- •Приклад 7.
- •5. Асимптоти кривої.
- •Приклад 8.
- •6. Схема дослідження функції та побудова її графіка.
- •Приклад 9.
- •Інтегральне числення функції однієї змінної
- •Тема 1. Невизначений інтеграл
- •Поняття первісної та невизначеного інтегралу
- •Приклад 1.
- •Властивості невизначеного інтеграла (ні).
- •4. Основні методи інтегрування
- •4.1. Метод безпосереднього інтегрування (мбі)
- •Приклад 2.
- •4.2. Метод заміни змінної (мзз)
- •Приклад 3.
- •4.3. Метод інтегрування частинами (міч)
- •Приклад 4.
- •Цей метод використовують під час обчислення інтегралів виду
- •Приклад 5.
- •Загальне правило інтегрування раціональних дробів.
- •Приклад 6.
- •Він зводиться до інтеграла від раціональної функції підстановкою . Приклад 7.
- •Обчислити
- •Обчислити
- •Обчислити
- •Обчислити
- •4.6. Біноміальний диференціал
- •Приклад 8.
- •4.7. Інтегрування тригонометричних функцій
- •Приклад 10.
- •Поняття визначеного інтеграла.
- •2. Властивості визначеного інтеграла.
- •4. Теорема Ньютона-Лейбніца (н-л)
- •Приклад 1.
- •5. Методи знаходження ві.
- •5.1. Метод безпосереднього інтегрування
- •Приклад 2.
- •5. 2. Метод заміни змінної
- •Приклад 3.
- •Приклад 4.
- •5.3. Метод інтегрування частинами
- •Приклад 5.
- •Приклад 6.
- •Формули зведення. Формула інтегрування частинами
- •Приклад 7.
- •Приклад 2.
- •Приклад 3.
- •Площа криволінійного сектора
- •Приклад 4.
- •3. Обчислення довжини дуги
- •Приклад 5.
- •Приклад 6.
- •Обчислення тиску рідини на вертикальну пластину
- •9. Невласні інтеграли із нескінченним проміжком інтегрування
- •Приклад 10.
- •Приклад 11.
- •Обчислення невласних інтегралів від розривних (необмежених) функцій
- •Приклад 12.
5. Асимптоти кривої.
Означення 4.8. Пряма l називається асимптотою кривої, якщо відстань д від змінної точки М кривої до цієї прямої прямує до нуля, коли точка М, рухаючись по кривій, віддаляється на нескінченність.
Асимптоти є вертикальні, похилі і горизонтальні. Пряма х=а буде вертикальною асимптотою кривої , якщо точках=а є точкою розриву другого роду функції .
Рівняння похилої асимптоти: у=kx+b, де k=, b=. Якщо обидві записані границі існують, то існує похила асимптота; якщо хоча би одна з них не існує або дорівнює ∞, то крива похилої асимптоти не має.
Якщо k=0, то b=, тому у= b – рівняння горизонтальної асимптоти.
Приклад 8.
Знайти асимптоти кривих: а) у=;б) у=2х+.
Розв’язання.
а) у=.
1) Знайдемо вертикальні асимптоти. Задана функція невизначена в точці х= -1. Оскільки і, то точках= -1 – точка розриву другого роду, а тому пряма х= - 1 – вертикальна асимптота.
2) Для знаходження похилої асимптоти обчислимо k i b. k==;b=. Отже, похилої асимптоти нема, а пряма у=0 – горизонтальна асимптота.
б) у=2х+.
1) Знайдемо вертикальні асимптоти. Задана функція невизначена в точці х=0. Оскільки і, то точках= 0 – точка розриву другого роду, а тому пряма х= 0 – вертикальна асимптота.
2) Для знаходження похилої асимптоти обчислимо k i b. k=,b=. Отже, прямау=2х – похила асимптота.
3) Знайдемо горизонтальну асимптоту. b =. Горизонтальної асимптоти нема.
6. Схема дослідження функції та побудова її графіка.
Щоб дослідити функцію та побудувати її графік, треба:
знайти область визначення функції;
знайти (якщо це можна) точки перетину графіка з координатними осями;
дослідити функцію на періодичність, парність і непарність;
знайти точки розриву та дослідити поведінку функції в околі цих точок;
знайти інтервали монотонності, точки локальних екстремумів та локальні екстремуми;
знайти інтервали опуклості, вгнутості, точки перегину;
знайти асимптоти кривої;
побудувати графік функції, враховуючи дослідження, проведені в п. 1-7.
Якщо графік виявиться не зовсім зрозумілим, потрібно додатково знайти кілька точок графіка, обчисливши значення функції для певних значень аргументу; бажано також в цих самих точках обчислити першу похідну, щоб визначити в них напрям дотичної.
Приклад 9.
Дослідити та побудувати графік функції у =.
Розв’язання.
1) Область визначення – всі дійсні числа, крім х=2 і х= -2, тобто D(y)=(-∞; - 2)( - 2; 2)(2; +∞).
2) Знайдемо точки перетину з: - віссю Ох. у=0 х=0. Графік перетинає вісь у початку координат. - віссю Оу. х=0 у=0.
3) Функція неперіодична. Оскільки область визначення симетрична відносно 0 і у( - х)= = = -у(х), то функція непарна. Тому її графік симетричний відносно початку координат.
4) точки х=2 і х= -2 – точки розриву другого роду, бо ,,,.
5) Знайдемо похідну: . Похідна дорівнює нулю в точкахх1=0, х2=2,х3= - 2та не існує в точкахх=2 і х= -2. Оскільки останні дві точки не належать області визначення функції, то критичними точками функції є х1=0, х2=2,х3= - 2. Визначимо знак похідної :
якщо х є (-∞;- 2), тоу'(х)<0 – функція спадає;
якщо х є (- 2; - 2), тоу'(х)>0 – функція зростає;
якщо х є (- 2; 0), то у'(х)>0 – функція зростає;
якщо х є (0; 2), то у'(х)>0 – функція зростає;
якщо х є (2; 2), тоу'(х)>0 – функція зростає;
якщо х є (2; +∞), тоу'(х)<0 – функція спадає.
У точці х3= - 2функція має локальний мінімум,уmin=3; y точціх3= 2функція має локальний максимум,уmax= - 3.
6) Знаходимо другу похідну: у''=.Похідна у''=0 в точці х=0 і не існує в точках х=2 і х= -2. Оскільки точки х=2 і х= -2 не входять в область визначення функції. то критичними точками другого роду є точка х=0. Маємо:
якщо х є (-∞;- 2), то у''(х)>0 –крива вгнута;
якщо х є (- 2; 0), то у''(х)<0 –крива опукла;
якщо х є (0; 2), то у''(х)>0 –крива вгнута;
якщо х є (2; +∞), то у''(х)<0 –крива опукла.
7) З пункту 4 випливає, що прямі х=2 і х= -2 – вертикальні асимптоти. З’ясуємо, чи існує похила асимптота. k=,b=. Прямау= -х – похила асимптота. Горизонтальної асимптоти крива не має.
8) Враховуючи проведене дослідження, будуємо графік функції (рис. 14)