- •Границя числової послідовності та функції однієї змінної.
- •Тема 1. Числова послідовність та її границя.
- •1. Числова послідовність та способи її задання.
- •Основні способи задання числової послідовності:
- •2. Обмежені та монотонні числові послідовності.
- •3. Границя числової послідовності.
- •Приклад 1
- •Приклад 2
- •4. Нескінченно малі числові послідовності
- •Властивості нескінченно малих послідовностей
- •Приклад 3.
- •Приклад 4.
- •5. Нескінченно великі числові послідовності
- •6. Арифметичні властивості збіжних числових послідовностей.
- •Приклад 5.
- •Приклад 6.
- •Приклад 7.
- •Приклад 8.
- •Приклад 9.
- •Тема 2. Границя функції неперервного аргументу.
- •1. Означення границі функції за Гейне і за Коші.
- •2. Властивості функцій, які мають границю в точці
- •3. Арифметичні властивості границь функції
- •Теореми про граничні переходи.
- •Приклад 1.
- •Приклад 2.
- •4. Границя функції на нескінченності
- •Приклад 3.
- •5. Перша важлива границя
- •Приклад 4.
- •6. Друга важлива границя
- •Приклад 5.
- •7. Порівняння нескінченно малих функцій. Еквівалентні нескінченно малі функції.
- •Приклад 6.
- •Властивості еквівалентних нескінченно малих функцій.
- •Приклад 7.
- •Тема 3. Неперервність функції.
- •1. Односторонні границі функції.
- •Приклад 1.
- •2. Означення неперервності функції в точці і на проміжку.
- •3. Арифметичні дії над неперервними функціями.
- •4. Одностороння неперервність. Точки розриву та їх класифікація.
- •Класифікація точок розриву
- •Приклад 2.
- •Приклад 3.
- •Приклад 4.
- •5. Властивості функцій, неперервних на відрізку.
- •Диференціальне числення функції однієї змінної.
- •Тема 1: Похідна.
- •1. Задачі, які приводять до поняття похідної.
- •Приклад 1.
- •Приклад 2.
- •2. Означення похідної. Спосіб знаходження похідної. Геометричний та механічний зміст похідної. Рівняння дотичної та нормалі до плоскої кривої.
- •Правило знаходження похідної за означенням.
- •Приклад 4.
- •3. Диференційовні функції. Зв’язок неперервності з диференційовністю
- •Приклад 5.
- •4. Таблиця похідних основних елементарних функцій
- •5. Правила диференціювання.
- •Приклад 6.
- •Приклад 7.
- •Приклад 8.
- •Приклад 9.
- •Приклад 1.
- •2. Властивості диференціала. Інваріантність форми диференціала.
- •Приклад 2.
- •3. Застосування диференціала.
- •Приклад 3.
- •4. Похідні та диференціали вищих порядків. Механічний зміст похідної другого порядку.
- •Приклад 4.
- •Приклад 5.
- •Приклад 6.
- •Тема 3. Теореми про середнє. Правила Лопіталя.
- •1. Теорема Ферма.
- •2. Теорема Ролля.
- •Приклад 1.
- •3. Теорема Лагранжа.
- •Приклад 2.
- •Приклад 3.
- •Приклад 1.
- •2. Локальний екстремум функції.
- •З’ясуємо умови існування локального екстремуму.
- •Приклад 2.
- •Приклад 3.
- •Приклад 4.
- •3. Найбільше і найменше значення функції.
- •Приклад 5.
- •Приклад 6.
- •4. Опуклість і вгнутість кривих. Точки перегину.
- •Приклад 7.
- •5. Асимптоти кривої.
- •Приклад 8.
- •6. Схема дослідження функції та побудова її графіка.
- •Приклад 9.
- •Інтегральне числення функції однієї змінної
- •Тема 1. Невизначений інтеграл
- •Поняття первісної та невизначеного інтегралу
- •Приклад 1.
- •Властивості невизначеного інтеграла (ні).
- •4. Основні методи інтегрування
- •4.1. Метод безпосереднього інтегрування (мбі)
- •Приклад 2.
- •4.2. Метод заміни змінної (мзз)
- •Приклад 3.
- •4.3. Метод інтегрування частинами (міч)
- •Приклад 4.
- •Цей метод використовують під час обчислення інтегралів виду
- •Приклад 5.
- •Загальне правило інтегрування раціональних дробів.
- •Приклад 6.
- •Він зводиться до інтеграла від раціональної функції підстановкою . Приклад 7.
- •Обчислити
- •Обчислити
- •Обчислити
- •Обчислити
- •4.6. Біноміальний диференціал
- •Приклад 8.
- •4.7. Інтегрування тригонометричних функцій
- •Приклад 10.
- •Поняття визначеного інтеграла.
- •2. Властивості визначеного інтеграла.
- •4. Теорема Ньютона-Лейбніца (н-л)
- •Приклад 1.
- •5. Методи знаходження ві.
- •5.1. Метод безпосереднього інтегрування
- •Приклад 2.
- •5. 2. Метод заміни змінної
- •Приклад 3.
- •Приклад 4.
- •5.3. Метод інтегрування частинами
- •Приклад 5.
- •Приклад 6.
- •Формули зведення. Формула інтегрування частинами
- •Приклад 7.
- •Приклад 2.
- •Приклад 3.
- •Площа криволінійного сектора
- •Приклад 4.
- •3. Обчислення довжини дуги
- •Приклад 5.
- •Приклад 6.
- •Обчислення тиску рідини на вертикальну пластину
- •9. Невласні інтеграли із нескінченним проміжком інтегрування
- •Приклад 10.
- •Приклад 11.
- •Обчислення невласних інтегралів від розривних (необмежених) функцій
- •Приклад 12.
1. Теорема Ферма.
Теорема 3.1. (Ферма). Нехай функція y=f(x) неперервна на інтервалі (a; b) і набуває свого найбільшого або найменшого значення у деякій точці с цього інтервалу. Якщо в цій точці с існує похідна f'(c), то f'(c)=0.
Доведення.Нехай функція y=f(x) набуває в точці с свого найбільшого значення, тобто . Оскільки точкас є внутрішньої точкою інтервалу, то приріст ∆х може бути як додатним, так і від’ємним. Нехай ∆х>0. Розглянемо . Різниця≤0,тому ≤0 і ≤0, тобто f'(c)≤0 (*). Якщо ∆х<0, то ≥0 і≥0, тобтоf'(c) ≥0 (**). З умов (*) і (**) випливає, що f'(c)=0, що й треба було довести.
Геометричний зміст: якщо в точці с функція у=f(x) досягає найбільшого або найменшого значення, то дотична до графіка цієї функції в точці (с; f(с)) паралельна осі Ох (рис.11).
2. Теорема Ролля.
Теорема 3.2. (Ролля). Нехай виконуються умови:
функція у=f(x) визначена і неперервна на відрізку [a;b]
функція у=f(x) диференційовна на інтервалі (a;b)
на кінцях відрізка функція приймає рівні значення: f(a)=f(b).
Тоді на інтервалі (a;b) існує точка с така, що (значення похідної функції в цій точці дорівнює нулю).
Доведення. Випадок 1. Функція у=f(x) на відрізку [а; b] є сталою: f (х)=соnst. Тоді f′(х)=0, тобто в кожній точці х (а; b) похідна дорівнює нулю, а тому за точку с можна взяти будь-яку точку інтервалу і для цієї точки теорема буде справджуватися.
Випадок 2. Функція у=f(x) не є тотожно сталою на відрізку [а; b]. Оскільки задана функція є неперервною, то вона на відрізку [а; b] набуває найбільшого і найменшого значень (за теоремою Вейєрштрасса). Позначимо їх відповідно через М і т. Зрозуміло, що т < М.
Оскільки f (а)= f(b), то хоча б одне із значень М або т досягається функцією у внутрішній точці інтервалу. За теоремою Ферма похідна в такій точці дорівнює 0.
З'ясуємо геометричний зміст теореми Ролля. Якщо функція у=f(x) задовольняє умови теореми Ролля, то: 1) графік функції є суцільна лінія (у=f(x) неперервна на відрізку); 2) до кривої, що є графіком функції, в кожній точці можна провести дотичну; 3) крайні точки графіка розташовані на однаковій відстані від осі Ох. Тоді на графіку функції знайдеться хоча б одна точка, в якій дотична паралельна осі Ох.
Зазначимо також, що на кривій може бути і більше ніж одна точка, в якій дотична до кривої паралельна осі. У теоремі Ролля йдеться про існування хоча б однієї точки, тобто таких точок може бути і більше.
Слід звернути увагу також на те, що всі три умови теореми Ролля є суттєвими. Якщо хоча б одна з цих умов порушується, то теорема Ролля не справджуватиметься.
Приклад 1.
Чи виконується теорема Ролля для функції у=х2-4х+3 на відрізку [1;3]? Для якого значення с?
Розв’язання.
Задана функція є многочленом, а тому вона визначена, неперервна і диференційовна на R, зокрема і на відрізку [1;3]. у(1)=1-4+3=0; у(3)=9-12+3=0. Отже, у(1)=у(3). Теорема Ролля виконується. Знайдемо с. у'=2х-4; 2х-4=0, отже, с=2.
3. Теорема Лагранжа.
Теорема 3.3. (Лагранжа) Нехай виконуються умови:
функція у=f(x) визначена і неперервна на відрізку [a;b];
функція у=f(x) диференційовна на інтервалі (a;b),
Тоді на (a;b) існує точка с така, що виконується рівність .
Доведення. Розглянемо допоміжну функцію
x є [a;b]
функція у=F(x) визначена, неперервна на [a;b] (як різниця неперервних функцій)
функція у=F(x) диференційована на (a;b) (як різниця двох диференційованих)
F(а)=F(b);
Дійсно,
Отже, за теоремою Ролля існує точка с є (a;b) така, що: .Знайдемо похідну допоміжної функції: .А тому. Теорема доведена.
Формулу можна переписати як. Останню називаютьформулою Лагранжа, або формулою скінчених приростів.
Розглянемо геометричний зміст теореми Лагранжа (рис.12). Якщо функція задовольняє умови теореми Лагранжа, то ; з іншої сторони,. Томуtgα=f'(c). Тобто на графіку функції знайдеться хоча б одна точка, в якій дотична до графіка паралельна хорді АВ.