2. Означення похідної. Спосіб знаходження похідної. Геометричний та механічний зміст похідної. Рівняння дотичної та нормалі до плоскої кривої.

Нехай задано функцію . Точка. Надамо точціх₀ приросту х так, щоб точка . Знайдемо приріст функції в точціх₀: .

Означення 1.1. Якщо існує скінчена границя при х що прямує до 0, відношення приросту функції до приросту аргументу, то її називаютьпохідною функції f(x) в точці х₀.

Похідна функції в точціх₀ позначається одним із таких символів:

; |;|;

Таким чином, за означенням (1.3)

Якщо розглядати похідну функцію в конкретній точці х₀, то отримаємо число; якщо розглянути похідну функцію в кожній точці відрізка [a;b], то отримаємо функцію, яку позначатимемо .

Правило знаходження похідної за означенням.

1. Розглядаємо точку х₀ і надаємо їй довільного приросту .

2. Шукаємо приріст функції в т. х₀: _.

3. Шукаємо відношення приросту функції до приросту аргументу:

4. Обчислюємо границю і якщо вона існує, то вона є похідною функції в даній точці:

ПРИКЛАД 3.

Знайти за означенням похідну функції:

а) в точціх₀ = 1, б) в точціх₀ = 0.

Розв’язання.

а) в точціх₀ = 1

1.

2.

3.

4.

б) в точціх₀ = 0.

1.

2.

3.

4. Таким чином, не існує , а тому функціяв т.х = 0 похідної немає.

Із формул (1.1) і (1.3) слідує, що величина миттєвої швидкості – це похідна від пройденого шляху за часом t: v=. В цьому полягає фізичний або механічний зміст похідної. У загальному випадку, яку б залежність не відображала функція ,можна розглядати якмиттєву швидкість зміни функції.

Із формул (1.2) і (1.3) слідує, що кутовий коефіцієнт дотичної до кривої в точціМ₀(х₀;y₀) – це похідна в цій точці:k=tgσ=. У цьому полягаєгеометричний зміст похідної.

Знайдемо рівняння дотичної. Оскільки відомий кутовий коефіцієнт дотичної і точка М₀(х₀;y₀), через яку проходить дотична, то маємо: y-y₀=(x-x₀). Знайдене рівняння називають рівнянням дотичної до кривої в точці М₀(х₀;y₀). Якщо ж функція в точці М₀ має нескінченну похідну, то це означає, що дотична в цій точці паралельна осі Оу, а її рівняння таке: х=х₀.

Нормаллю до кривої називається пряма, яка проходить через точку дотику перпендикулярно до дотичної. Кутові коефіцієнти дотичної і нормалі пов’язані умовою: k_дот·k_норм=-1. Тоді k_норм=,тобто k_норм=.Рівняння нормалі до кривої в точціМ₀(х₀;y₀) має вигляд: у-у₀=(х-х₀).

Приклад 4.

Скласти рівняння дотичної і нормалі до кривої у=2х²+1 у точці М₀(1;3).

Розв’язання.

Знайдемо похідну функції і обчислимо її значення для х=1. у'=4х, звідки у'(1)=4. Рівняння дотичної: у-3 = 4(х-1) у= 4х-1. Рівняння нормалі: у-3=у =.

3. Диференційовні функції. Зв’язок неперервності з диференційовністю

Означення 1.2. Якщо функція має похідну в т.х₀, то кажуть, що функція диференційовна в цій точці.

Якщо функція диференційовна в кожній точці [a;b], то кажуть, що вона диференційовна на відрізку [a;b].

Приклад 5.

Довести,що функція f(x)=x²+6 диференційовна на R.

Розв’язання.

Виберемо довільну точку х₀ R і доведемо існування похідної заданої функції в цій точці. Знайдемо приріст функції:

f(x₀)=(x₀+x)²+6-x₀²-6=x₀²+2x₀x+x²-x₀²-6=2x₀x+x²=x(2x₀++∆x). Обчислимо границю Таким чином, в точціх₀ існує похідна, а, отже, функція диференційована в цій точці. Оскільки точка х₀ – довільна точка, то функція диференційовна на R.

Теорема 1.1. (про зв’язок неперервності з диференційовністю). Якщо функція y = f(x) диференційовна в т. х₀, то вона неперервна в цій точці.

Доведення. Нехай функція y = f(x) диференційовна в точці Тоді існує. Приріст можемо записати так:. Тоді. За означенням неперервної функції в точці маємо, що функціяв т.х₀ – неперервна.

Зауваження. Із неперервності функції в точці, взагалі кажучи, не випливає її диференційовність. Наприклад, функція в т.х₀ – неперервна, але вона і цій точці не є диференційовною.