- •Границя числової послідовності та функції однієї змінної.
- •Тема 1. Числова послідовність та її границя.
- •1. Числова послідовність та способи її задання.
- •Основні способи задання числової послідовності:
- •2. Обмежені та монотонні числові послідовності.
- •3. Границя числової послідовності.
- •Приклад 1
- •Приклад 2
- •4. Нескінченно малі числові послідовності
- •Властивості нескінченно малих послідовностей
- •Приклад 3.
- •Приклад 4.
- •5. Нескінченно великі числові послідовності
- •6. Арифметичні властивості збіжних числових послідовностей.
- •Приклад 5.
- •Приклад 6.
- •Приклад 7.
- •Приклад 8.
- •Приклад 9.
- •Тема 2. Границя функції неперервного аргументу.
- •1. Означення границі функції за Гейне і за Коші.
- •2. Властивості функцій, які мають границю в точці
- •3. Арифметичні властивості границь функції
- •Теореми про граничні переходи.
- •Приклад 1.
- •Приклад 2.
- •4. Границя функції на нескінченності
- •Приклад 3.
- •5. Перша важлива границя
- •Приклад 4.
- •6. Друга важлива границя
- •Приклад 5.
- •7. Порівняння нескінченно малих функцій. Еквівалентні нескінченно малі функції.
- •Приклад 6.
- •Властивості еквівалентних нескінченно малих функцій.
- •Приклад 7.
- •Тема 3. Неперервність функції.
- •1. Односторонні границі функції.
- •Приклад 1.
- •2. Означення неперервності функції в точці і на проміжку.
- •3. Арифметичні дії над неперервними функціями.
- •4. Одностороння неперервність. Точки розриву та їх класифікація.
- •Класифікація точок розриву
- •Приклад 2.
- •Приклад 3.
- •Приклад 4.
- •5. Властивості функцій, неперервних на відрізку.
- •Диференціальне числення функції однієї змінної.
- •Тема 1: Похідна.
- •1. Задачі, які приводять до поняття похідної.
- •Приклад 1.
- •Приклад 2.
- •2. Означення похідної. Спосіб знаходження похідної. Геометричний та механічний зміст похідної. Рівняння дотичної та нормалі до плоскої кривої.
- •Правило знаходження похідної за означенням.
- •Приклад 4.
- •3. Диференційовні функції. Зв’язок неперервності з диференційовністю
- •Приклад 5.
- •4. Таблиця похідних основних елементарних функцій
- •5. Правила диференціювання.
- •Приклад 6.
- •Приклад 7.
- •Приклад 8.
- •Приклад 9.
- •Приклад 1.
- •2. Властивості диференціала. Інваріантність форми диференціала.
- •Приклад 2.
- •3. Застосування диференціала.
- •Приклад 3.
- •4. Похідні та диференціали вищих порядків. Механічний зміст похідної другого порядку.
- •Приклад 4.
- •Приклад 5.
- •Приклад 6.
- •Тема 3. Теореми про середнє. Правила Лопіталя.
- •1. Теорема Ферма.
- •2. Теорема Ролля.
- •Приклад 1.
- •3. Теорема Лагранжа.
- •Приклад 2.
- •Приклад 3.
- •Приклад 1.
- •2. Локальний екстремум функції.
- •З’ясуємо умови існування локального екстремуму.
- •Приклад 2.
- •Приклад 3.
- •Приклад 4.
- •3. Найбільше і найменше значення функції.
- •Приклад 5.
- •Приклад 6.
- •4. Опуклість і вгнутість кривих. Точки перегину.
- •Приклад 7.
- •5. Асимптоти кривої.
- •Приклад 8.
- •6. Схема дослідження функції та побудова її графіка.
- •Приклад 9.
- •Інтегральне числення функції однієї змінної
- •Тема 1. Невизначений інтеграл
- •Поняття первісної та невизначеного інтегралу
- •Приклад 1.
- •Властивості невизначеного інтеграла (ні).
- •4. Основні методи інтегрування
- •4.1. Метод безпосереднього інтегрування (мбі)
- •Приклад 2.
- •4.2. Метод заміни змінної (мзз)
- •Приклад 3.
- •4.3. Метод інтегрування частинами (міч)
- •Приклад 4.
- •Цей метод використовують під час обчислення інтегралів виду
- •Приклад 5.
- •Загальне правило інтегрування раціональних дробів.
- •Приклад 6.
- •Він зводиться до інтеграла від раціональної функції підстановкою . Приклад 7.
- •Обчислити
- •Обчислити
- •Обчислити
- •Обчислити
- •4.6. Біноміальний диференціал
- •Приклад 8.
- •4.7. Інтегрування тригонометричних функцій
- •Приклад 10.
- •Поняття визначеного інтеграла.
- •2. Властивості визначеного інтеграла.
- •4. Теорема Ньютона-Лейбніца (н-л)
- •Приклад 1.
- •5. Методи знаходження ві.
- •5.1. Метод безпосереднього інтегрування
- •Приклад 2.
- •5. 2. Метод заміни змінної
- •Приклад 3.
- •Приклад 4.
- •5.3. Метод інтегрування частинами
- •Приклад 5.
- •Приклад 6.
- •Формули зведення. Формула інтегрування частинами
- •Приклад 7.
- •Приклад 2.
- •Приклад 3.
- •Площа криволінійного сектора
- •Приклад 4.
- •3. Обчислення довжини дуги
- •Приклад 5.
- •Приклад 6.
- •Обчислення тиску рідини на вертикальну пластину
- •9. Невласні інтеграли із нескінченним проміжком інтегрування
- •Приклад 10.
- •Приклад 11.
- •Обчислення невласних інтегралів від розривних (необмежених) функцій
- •Приклад 12.
3. Границя числової послідовності.
Розглянемо числову послідовність і обчислимо її перших п’ять членів:
. Зобразимо їх на координатній прямій (рис.1).
Як бачимо, із збільшенням номера члена послідовності, самі члени послідовності все більше і більше наближаються до числа 1. Оскільки відстанню між числами є не що інше, як модуль їх різниці, то для даної послідовності можна стверджувати, що |yn-1|<|yn-1 --1|. Зрозуміло, що при зростанні числа п члени заданої послідовності будуть дедалі менше відрізнятися від числа 1. Наприклад 100й член послідовності (тобто п=100): , а 1000й - . Як бачимо із зростанням числап можна підібрати якесь досить мале число ε>0 (епсілон), таке що |yn-1|<ε, починаючи з певного номера члена послідовності. Наприклад, для ε=0,2 таким членом буде у5 (N=5), оскільки |y5 -1|=|-1|<0,2; а для ε=0, 011 таким членом буде у100 (N=100).
В цьому випадку кажуть, що число 1 є границею заданої числової послідовності при п що прагне до нескінченності .
Означення 1.6. Число А називають границею числової послідовності уп, якщо для будь-якого ε > 0 (епсілон) існує номер члена послідовності N(ε) (ен велике від епсілон), що для всіх п > N(ε) виконується нерівність . Позначення:. Читають: границя числової послідовностіуп при п, що прагне до нескінченності, дорівнює А.
У нашому випадку .
Якщо числова послідовність уп має границю, то вона називається збіжною. Якщо числова послідовність границі не має, то вона називається розбіжною.
Приклад 1
Обчислити границю послідовності .
Розв´язання
Запишемо кілька її членів: Як бачимо, члени цієї послідовності прямують до 1. Перевіримо наше припущення. За означенням границі, якщо ми знайдемо таке числоN, що для всіх п > N(ε) буде виконуватися: |yп -1|=|-1|< ε, то А=1 – границя (уп). Маємо: ,,,. Тобто існує таке числоN. Наприклад, при ε=0,01 , тобто починаючи із 100го члена послідовності, відстані між ними і числом 1 буде менше 0,01.
Тому .
Приклад 2
Довести, що .
Розв´язання
За означенням границі це означає, що існує таке N(ε), що для всіх п>N(ε) виконується нерівність . Тоді:,,. Отже при, границею заданою послідовності є число 2.
4. Нескінченно малі числові послідовності
Означення 1.7. Послідовність уп=f(n) n=1, 2,.. називається нескінченно малою, якщо . Тобто, іншими словами, послідовність єнескінченно малою, якщо члени її послідовності із зростанням п, починаючи з деякого номера, прямують до нуля.
Наприклад: є нескінченно малими.
Оскільки за означенням границі числової послідовності має виконуватися нерівність: , то можна дати ще таке означення нескінченно малої числової послідовності.
Означення 1.7'. Числова послідовність (уп) називається нескінченно малою, якщо для будь-якого додатного числа ε існує натуральне число N(ε) таке, що для всіх п > N(ε) виконується
Слід зауважити, що деякі члени нескінченно малої числової послідовності можуть бути досить великими числами, але, починаючи вже з деякого номера, їх члени прямують до нуля.
Позначають нескінченно малі числові послідовності (αп), (βп), (γп) ...
Теорема 1.1. Якщо , то послідовність (αп)=(уп-А) є нескінченно малою.
Доведення. За означенням границі для будь-якого додатного числа ε існує натуральне число N(ε) таке, що для всіх п > N(ε) виконується , тобто, а отже, (αп) – нескінченно мала послідовність за означенням. Що й потрібно було довести.
Теорема 1.2. Якщо різниця між уп і числом А є нескінченно малою послідовністю, то А є границею послідовності (уп).
Доведення. Позначимо αп=уп-А, де (αп) - нескінченно мала послідовність за умовою теореми. Тоді за означенням для будь-якого додатного числа ε існує натуральне число N таке, що для всіх п > N(ε) виконується ,або. Тоді за означенням границі. Що й потрібно було довести.
Доведені дві теореми можна об’єднати в одну.
Теорема 1.3. Для того, щоб границя числової послідовності дорівнювала числу А необхідно і достатньо, щоб різниця (уп-А) була нескінченно малою числовою послідовністю.
Звідси маємо ще таке означення границі.
Означення 1.8. Число А називається границею числової послідовності (уп), якщо різниця між уп і числом А є нескінченно малою послідовністю, тобто (уп-А)=(αп), де (αп) – нескінченно мала послідовність.