- •Границя числової послідовності та функції однієї змінної.
- •Тема 1. Числова послідовність та її границя.
- •1. Числова послідовність та способи її задання.
- •Основні способи задання числової послідовності:
- •2. Обмежені та монотонні числові послідовності.
- •3. Границя числової послідовності.
- •Приклад 1
- •Приклад 2
- •4. Нескінченно малі числові послідовності
- •Властивості нескінченно малих послідовностей
- •Приклад 3.
- •Приклад 4.
- •5. Нескінченно великі числові послідовності
- •6. Арифметичні властивості збіжних числових послідовностей.
- •Приклад 5.
- •Приклад 6.
- •Приклад 7.
- •Приклад 8.
- •Приклад 9.
- •Тема 2. Границя функції неперервного аргументу.
- •1. Означення границі функції за Гейне і за Коші.
- •2. Властивості функцій, які мають границю в точці
- •3. Арифметичні властивості границь функції
- •Теореми про граничні переходи.
- •Приклад 1.
- •Приклад 2.
- •4. Границя функції на нескінченності
- •Приклад 3.
- •5. Перша важлива границя
- •Приклад 4.
- •6. Друга важлива границя
- •Приклад 5.
- •7. Порівняння нескінченно малих функцій. Еквівалентні нескінченно малі функції.
- •Приклад 6.
- •Властивості еквівалентних нескінченно малих функцій.
- •Приклад 7.
- •Тема 3. Неперервність функції.
- •1. Односторонні границі функції.
- •Приклад 1.
- •2. Означення неперервності функції в точці і на проміжку.
- •3. Арифметичні дії над неперервними функціями.
- •4. Одностороння неперервність. Точки розриву та їх класифікація.
- •Класифікація точок розриву
- •Приклад 2.
- •Приклад 3.
- •Приклад 4.
- •5. Властивості функцій, неперервних на відрізку.
- •Диференціальне числення функції однієї змінної.
- •Тема 1: Похідна.
- •1. Задачі, які приводять до поняття похідної.
- •Приклад 1.
- •Приклад 2.
- •2. Означення похідної. Спосіб знаходження похідної. Геометричний та механічний зміст похідної. Рівняння дотичної та нормалі до плоскої кривої.
- •Правило знаходження похідної за означенням.
- •Приклад 4.
- •3. Диференційовні функції. Зв’язок неперервності з диференційовністю
- •Приклад 5.
- •4. Таблиця похідних основних елементарних функцій
- •5. Правила диференціювання.
- •Приклад 6.
- •Приклад 7.
- •Приклад 8.
- •Приклад 9.
- •Приклад 1.
- •2. Властивості диференціала. Інваріантність форми диференціала.
- •Приклад 2.
- •3. Застосування диференціала.
- •Приклад 3.
- •4. Похідні та диференціали вищих порядків. Механічний зміст похідної другого порядку.
- •Приклад 4.
- •Приклад 5.
- •Приклад 6.
- •Тема 3. Теореми про середнє. Правила Лопіталя.
- •1. Теорема Ферма.
- •2. Теорема Ролля.
- •Приклад 1.
- •3. Теорема Лагранжа.
- •Приклад 2.
- •Приклад 3.
- •Приклад 1.
- •2. Локальний екстремум функції.
- •З’ясуємо умови існування локального екстремуму.
- •Приклад 2.
- •Приклад 3.
- •Приклад 4.
- •3. Найбільше і найменше значення функції.
- •Приклад 5.
- •Приклад 6.
- •4. Опуклість і вгнутість кривих. Точки перегину.
- •Приклад 7.
- •5. Асимптоти кривої.
- •Приклад 8.
- •6. Схема дослідження функції та побудова її графіка.
- •Приклад 9.
- •Інтегральне числення функції однієї змінної
- •Тема 1. Невизначений інтеграл
- •Поняття первісної та невизначеного інтегралу
- •Приклад 1.
- •Властивості невизначеного інтеграла (ні).
- •4. Основні методи інтегрування
- •4.1. Метод безпосереднього інтегрування (мбі)
- •Приклад 2.
- •4.2. Метод заміни змінної (мзз)
- •Приклад 3.
- •4.3. Метод інтегрування частинами (міч)
- •Приклад 4.
- •Цей метод використовують під час обчислення інтегралів виду
- •Приклад 5.
- •Загальне правило інтегрування раціональних дробів.
- •Приклад 6.
- •Він зводиться до інтеграла від раціональної функції підстановкою . Приклад 7.
- •Обчислити
- •Обчислити
- •Обчислити
- •Обчислити
- •4.6. Біноміальний диференціал
- •Приклад 8.
- •4.7. Інтегрування тригонометричних функцій
- •Приклад 10.
- •Поняття визначеного інтеграла.
- •2. Властивості визначеного інтеграла.
- •4. Теорема Ньютона-Лейбніца (н-л)
- •Приклад 1.
- •5. Методи знаходження ві.
- •5.1. Метод безпосереднього інтегрування
- •Приклад 2.
- •5. 2. Метод заміни змінної
- •Приклад 3.
- •Приклад 4.
- •5.3. Метод інтегрування частинами
- •Приклад 5.
- •Приклад 6.
- •Формули зведення. Формула інтегрування частинами
- •Приклад 7.
- •Приклад 2.
- •Приклад 3.
- •Площа криволінійного сектора
- •Приклад 4.
- •3. Обчислення довжини дуги
- •Приклад 5.
- •Приклад 6.
- •Обчислення тиску рідини на вертикальну пластину
- •9. Невласні інтеграли із нескінченним проміжком інтегрування
- •Приклад 10.
- •Приклад 11.
- •Обчислення невласних інтегралів від розривних (необмежених) функцій
- •Приклад 12.
1. Задачі, які приводять до поняття похідної.
а) Задача про швидкість руху. Нехай матеріальна точка рухається нерівномірно вздовж деякої прямої (рис.8) і за час t проходить відстань S, що дорівнює відрізку ОМ. Відстань рухомої точки є деякою функцією часу: .Треба знайти величину миттєвої швидкості руху точки М. Нехай з моменту t пройшов деякий час ∆t. За час ∆ t рухома точка перейде в положення М1 і пройде шлях, який позначимо через ∆S. Отже, за час t+∆t матеріальна точка пройде шлях S+∆S=S(t+∆t), тому .
Середньою швидкістю vc руху точки за проміжок часу ∆t називають відношення приросту шляху до приросту часу: vc=.
Зрозуміло, що чим менший проміжок ∆t часу після t пройшов, тим точніше середня швидкість відображає швидкість руху точки у даний момент часу (миттєву швидкість). Тому миттєвою швидкістю руху точки називають границю середньої швидкості за умови, що ∆t 0:v=(1.1)
Приклад 1.
Закон руху точки виражається формулою S=t2+4t. Знайти середню швидкість руху на проміжку часу від t0=1 с до t1=3 с та миттєву швидкість в момент часу t0=1 с.
Розв'язання.
Знайдемо приріст шляху ∆S за проміжок часу ∆t: =(t+∆t)2+4(t+∆t)- -( t2+4t)=t2+2t∆t+∆t2+4t+4∆t-t2-4t=2t∆t+4∆t+∆t2=(2t+4)∆t+∆t2. Середня швидкість за час ∆t vc===2t+4+∆t. Проміжок часу ∆t=3-1=2 с, тому vc=2·1+4+2=8 м/с. Знайдемо миттєву швидкість у будь-який момент часу t: v==2t+4. Зокрема, для t0=1 с маємо v=2·1+4=5 м/с.
б)Задача про дотичну до плоскої кривої. Розглянемо криву L і на ній точки М та М0. Пряма, яка перетинає лінією у цих двох точках називається січною. На рисунку 9 -січна. Нехай точкаМ, рухаючись по кривій, наближається до точки М0. Тоді січна повертатиметься навколо точкиМ0, а довжина відрізка прямуватиме до нуля. Якщо при цьому і
величина кута ММ0Т прямує до нуля, то пряму М0Т називають граничним положенням січної ММ0. Пряму М0Т, яка є граничним положенням січної ММ0, називають дотичною до кривої L в точці М0.
Розглянемо випадок, коли крива в прямокутній системі координат задана рівнянням,х є Х, - неперервна на множиніХ, має в точці М(х;у) не вертикальну дотичну. Розглянемо задачу про знаходження кутового коефіцієнта цієї дотичної. Нехай х0 є Х. Надамо аргументу х0 приросту х. Тоді точка М(х0+х; f(х0+х)). Проведемо січну М0М, яка утворює з додатним напрямом осі Ох кут β (рис.10). З графіка видно, що
tg β=.
Якщо х0, то точка М прямує до точки М0 вздовж кривої , а січнаММ0, повертаючись навколо точки М, переходить в дотичну М0Т. Кут β при цьому прямує до деякого граничного значення σ. Отже, кутовий коефіцієнт дотичної дорівнює tgσ=(1.2)
Приклад 2.
Знайти кутовий коефіцієнт дотичної до графіка функції f(x)=x2-3x+4 у точці з абсцисою х0=1.
Розв’язання.
Знайдемо приріст функції в точці х0=1. f(x0)=f(1)=f(1+x)-f(1)=(1+x)2-3(1+x)+4–(12-3+4)=1+2x+x2-3-3x+4-2=x2-x=x(x-1). Тоді кутовий коефіцієнт дотичної дорівнює tgσ= .
Пропонуємо самостійно розглянути задачі про силу струму, про густину неоднорідного стержня та інші.
Незважаючи на різний зміст розглянутих задач, всі вони приводять до знаходження границь одного і того самого виду – границі відношення приросту функції до приросту аргументу. Цю границю в математиці називають похідною функції.