- •Границя числової послідовності та функції однієї змінної.
- •Тема 1. Числова послідовність та її границя.
- •1. Числова послідовність та способи її задання.
- •Основні способи задання числової послідовності:
- •2. Обмежені та монотонні числові послідовності.
- •3. Границя числової послідовності.
- •Приклад 1
- •Приклад 2
- •4. Нескінченно малі числові послідовності
- •Властивості нескінченно малих послідовностей
- •Приклад 3.
- •Приклад 4.
- •5. Нескінченно великі числові послідовності
- •6. Арифметичні властивості збіжних числових послідовностей.
- •Приклад 5.
- •Приклад 6.
- •Приклад 7.
- •Приклад 8.
- •Приклад 9.
- •Тема 2. Границя функції неперервного аргументу.
- •1. Означення границі функції за Гейне і за Коші.
- •2. Властивості функцій, які мають границю в точці
- •3. Арифметичні властивості границь функції
- •Теореми про граничні переходи.
- •Приклад 1.
- •Приклад 2.
- •4. Границя функції на нескінченності
- •Приклад 3.
- •5. Перша важлива границя
- •Приклад 4.
- •6. Друга важлива границя
- •Приклад 5.
- •7. Порівняння нескінченно малих функцій. Еквівалентні нескінченно малі функції.
- •Приклад 6.
- •Властивості еквівалентних нескінченно малих функцій.
- •Приклад 7.
- •Тема 3. Неперервність функції.
- •1. Односторонні границі функції.
- •Приклад 1.
- •2. Означення неперервності функції в точці і на проміжку.
- •3. Арифметичні дії над неперервними функціями.
- •4. Одностороння неперервність. Точки розриву та їх класифікація.
- •Класифікація точок розриву
- •Приклад 2.
- •Приклад 3.
- •Приклад 4.
- •5. Властивості функцій, неперервних на відрізку.
- •Диференціальне числення функції однієї змінної.
- •Тема 1: Похідна.
- •1. Задачі, які приводять до поняття похідної.
- •Приклад 1.
- •Приклад 2.
- •2. Означення похідної. Спосіб знаходження похідної. Геометричний та механічний зміст похідної. Рівняння дотичної та нормалі до плоскої кривої.
- •Правило знаходження похідної за означенням.
- •Приклад 4.
- •3. Диференційовні функції. Зв’язок неперервності з диференційовністю
- •Приклад 5.
- •4. Таблиця похідних основних елементарних функцій
- •5. Правила диференціювання.
- •Приклад 6.
- •Приклад 7.
- •Приклад 8.
- •Приклад 9.
- •Приклад 1.
- •2. Властивості диференціала. Інваріантність форми диференціала.
- •Приклад 2.
- •3. Застосування диференціала.
- •Приклад 3.
- •4. Похідні та диференціали вищих порядків. Механічний зміст похідної другого порядку.
- •Приклад 4.
- •Приклад 5.
- •Приклад 6.
- •Тема 3. Теореми про середнє. Правила Лопіталя.
- •1. Теорема Ферма.
- •2. Теорема Ролля.
- •Приклад 1.
- •3. Теорема Лагранжа.
- •Приклад 2.
- •Приклад 3.
- •Приклад 1.
- •2. Локальний екстремум функції.
- •З’ясуємо умови існування локального екстремуму.
- •Приклад 2.
- •Приклад 3.
- •Приклад 4.
- •3. Найбільше і найменше значення функції.
- •Приклад 5.
- •Приклад 6.
- •4. Опуклість і вгнутість кривих. Точки перегину.
- •Приклад 7.
- •5. Асимптоти кривої.
- •Приклад 8.
- •6. Схема дослідження функції та побудова її графіка.
- •Приклад 9.
- •Інтегральне числення функції однієї змінної
- •Тема 1. Невизначений інтеграл
- •Поняття первісної та невизначеного інтегралу
- •Приклад 1.
- •Властивості невизначеного інтеграла (ні).
- •4. Основні методи інтегрування
- •4.1. Метод безпосереднього інтегрування (мбі)
- •Приклад 2.
- •4.2. Метод заміни змінної (мзз)
- •Приклад 3.
- •4.3. Метод інтегрування частинами (міч)
- •Приклад 4.
- •Цей метод використовують під час обчислення інтегралів виду
- •Приклад 5.
- •Загальне правило інтегрування раціональних дробів.
- •Приклад 6.
- •Він зводиться до інтеграла від раціональної функції підстановкою . Приклад 7.
- •Обчислити
- •Обчислити
- •Обчислити
- •Обчислити
- •4.6. Біноміальний диференціал
- •Приклад 8.
- •4.7. Інтегрування тригонометричних функцій
- •Приклад 10.
- •Поняття визначеного інтеграла.
- •2. Властивості визначеного інтеграла.
- •4. Теорема Ньютона-Лейбніца (н-л)
- •Приклад 1.
- •5. Методи знаходження ві.
- •5.1. Метод безпосереднього інтегрування
- •Приклад 2.
- •5. 2. Метод заміни змінної
- •Приклад 3.
- •Приклад 4.
- •5.3. Метод інтегрування частинами
- •Приклад 5.
- •Приклад 6.
- •Формули зведення. Формула інтегрування частинами
- •Приклад 7.
- •Приклад 2.
- •Приклад 3.
- •Площа криволінійного сектора
- •Приклад 4.
- •3. Обчислення довжини дуги
- •Приклад 5.
- •Приклад 6.
- •Обчислення тиску рідини на вертикальну пластину
- •9. Невласні інтеграли із нескінченним проміжком інтегрування
- •Приклад 10.
- •Приклад 11.
- •Обчислення невласних інтегралів від розривних (необмежених) функцій
- •Приклад 12.
Приклад 2.
Для функціїу=х2-3х+1 записати формулу Лагранжа на відрізку [1;2] і знайти відповідне значення с.
Розв’язання.
Задана функція є многочленом. А тому вона визначена, неперервна і диференційовна на вказаному відрізку. Таким чином, виконуються умови теореми Лагранжа. Обчислимо значення функції на кінцях відрізка: у(1)=1-3+1=-1, у(2)=4-6+1=-1. Обчислимо значення похідної функції в точці с: у'(с)=2с-3. Тоді 2с-3=2с-3=0 с=1,5.
Наслідок 1. Якщо функція y=f(x) задовольняє умови теореми Лагранжа і похідна цієї функції дорівнює нулю на всьому інтервалі (a;b), то функція є сталою на (a;b).
Наслідок 2. Якщо функції y=f(x) і y=g(x) задовольняють умови теореми Лагранжа і похідні цих функцій рівні між собою на (a;b), то функції відрізняються між собою на константу.
Приклад 3.
Довести, що ,х є [-1; 1]
Розв’язання.
Розглянемо допоміжну функцію,х є [-1; 1]. Функція задовольняє умови теореми Лагранжа на відрізку [-1; 1] і її похідна на інтервалі (-1; 1). За наслідком 1 функція є сталою на інтервалі (-1; 1), тобто arcsin x + +arccosx = c, х є (-1;1). Нехай х=0, тоді arcsin 0 + arccos 0 = cс=.Отже, arcsin x + +arccos x =, х є (-1;1). Безпосередньою перевіркою впевнюємося, що тотожність виконується і для х=1 та х=-1.
4. Теорема Коші.
Теорема 3.4. (Коші). Нехай виконуються умови:
функції у=f(x), у=g(x) визначені і неперервні на відрізку [a;b];
функції у=f(x), у=g(x) диференційовні на інтервалі (a;b);
, х є (a;b),
Тоді існує с є (a;b) така, що ( формула Коші).
Доведення. Розглянемо допоміжну функцію:,х є [a;b]. Ця функція задовольняє умови теореми Ролля, тому існує така точка с є (a;b), що F′(с)=0.
ПРИКЛАД 4.
Знайти значення с із формули Коші для функцій f(x) = x2-2x+3, g(x) = x3-7x2+20x-3, x є [0;1].
Розв’язання.
Задані функції є многочленами, а тому умови теореми Коші виконуються. Обчислимо значення функцій на кінцях відрізка: f(0) = 3, g(0) = -3, f(1) = 2, g(1) = 11. Знайдемо похідні функцій і обчислимо їх значення в точці с: ,.,. Складемо і розв’яжемо рівняння:
, . Вказаному відрізку належитьс2.
5. Невизначеність виду . Перше правило Лопіталя
Теорема 3.5. (перше правило Лопіталя). Нехай виконуються умови:
функції у=f(x) і у=g(x) визначені і неперервні на (a;b] і ;
функції у=f(x) і у=g(x) диференційовні на (a;b), ,х є (a;b);
існує (скінчена або нескінчена) границя .
Тоді .
Теорема справедлива і тоді, коли а=∞. Крім того, теорему можна застосовувати доти, поки не прийдемо до відношення похідних , яке має певну границю за умови, щоха.
ПРИКЛАД 5.
Обчислити границі:
1) ; 2); 3).
Розв’язання.
1) ;
2);
3) .
6. Невизначеність виду . Друге правило Лопіталя.
Теорема 3.6. (друге правило Лопіталя). Нехай виконуються умови:
1) функції у=f(x) і у=g(x) визначені і неперервні на (a;b] та
2) функції у=f(x) і у=g(x) диференційовні на (а; b) і
3) існує скінчена або нескінчена границя .
Тоді .
ПРИКЛАД 6.
Обчислити границі:
1) ; 2).
Розв’язання.
1);
2)
Обидва правила можна застосовувати декілька разів. Теореми Лопіталя справедливі тоді, коли х є[а;b) х є(а;b), а(або b)=.
7. Невизначеність інших видів.
Зауважимо, що правила Лопіталя застосовуються лише для розкриття невизначеностей виду () і,які називають основними.Розглянемо іншіневизначеності.
1) Невизначеність .Нехай і. Тоді таку невизначеність можна звести до основних:або.
ПРИКЛАД 7.
Обчислити границю .
Розв’язання.
.
2) Невизначеність (). Нехай,і ,.Тоді різницю
f(x)-g(x) можна записати так: .
3) Невизначеність (00), (1), (0).
Розглянемо вираз (f(x))g(x) i f(x)=g(x)=0. Припускаючи, що f(x)>0, вираз (f(x))g(x) записують у вигляді (f(x))g(x)=eg(x)lnf(x). У показнику при xa маємо невизначеність виду (0·), яка зводиться до невизначеності (). Аналогічно розкриваються невизначеності (1), (0).
ПРИКЛАД 8.
Обчислити границю .
Розв’язання.
Тут невизначеність (00). Маємо: ..
Тема 4. Застосування диференціального числення для дослідження функцій.
Монотонність функції.
Локальний екстремум функції.
Найбільше і найменше значення функції.
Опуклість і вгнутість кривих. Точки перегину.
Асимптоти кривої.
Схема дослідження функції та побудова її графіка.
1. Монотонність функції.
Нехай функція у=визначена на деякому проміжку (а;b).
Теорема 4.1 (необхідна умова монотонності функції). Якщо функція у=диференційовна на інтервалі (а; b) і зростає (спадає) на цьому інтервалі, то її похідна на інтервалі (а;b) невід’ємна (недодатна), тобто
Теорема 4.2 (достатня умова монотонності функції). Якщо функція у=диференційовна на інтервалі (а; b) і ії похідна ) для, то ця функція зростає (спадає) на інтервалі (а; b).
Означення 4.1. Інтервали, на яких функція зростає (спадає), називаються інтервалами монотонності функції.
Отже, щоб знайти інтервали монотонності функції y=f(x),треба:
1) знайти область визначення функції;
2) знайти похідну даної функції;
3) знайти нулі похідної та точки, в яких похідна не існує;
4) розділити точками з пункту 3) область визначення на інтервали, на кожному з них визначити знак похідної. На інтервалах, де похідна додатна, функція зростає, а де від’ємна – спадає.