1. Поняття визначеного інтеграла.

Спочатку введемо поняття визначеного інтеграла описово, а потім детально доведемо всі твердження.

Означення 2.1. Сума називаєтьсяінтегральною сумою, або сумою Рімана.

Означення 2.2. Скінчена границя І суми  при називається визначеним інтегралом від функції f(x) на відрізку [a; b] і позначається (5), деа, b — відповідно нижня та верхня межі інтегрування,  — знак інтеграла, введений Лейбніцем. (Лейбніц увів знак інтеграла  як витягнуту букву S, що позначає підсумовування.) У разі існування границі І функція f(x) називається інтегровною на проміжку [a; b].

Вводячи поняття про визначений інтеграл як границю інтегральної суми й застосовуючи його позначення та формулу (5), рів­ність (4) можна переписати у вигляді: (6)

Це відома формула Ньютона—Лейбніца, яка поєднує диференціальне числення з інтегральним. Іншими словами пов’язує визначений і невизначений інтеграл.

У визначеному інтегралі символх позначає змінну інтегрування. Цю змінну можна позначати будь-якою іншою буквою, а отже, завжди маємо:

Зауважимо, що означення визначеного інтеграла можна застосувати лише до обмеженої функції.

Теорема 2.1. (необхідна умова інтегрування). Інтегровна на проміжку [a; b] функція обмежена.

Доведення. Припустимо супротивне. Нехай функція f(x) на проміжку [a; b] необмежена. Тоді за будь-якого розбиття проміжку на частини функція f(x) зберігає цю властивість хоча б в одній із частин. Завдяки вибору на цій частині точки  можна зробити значення f(), а з нею і суму  як завгодно великою. За цих умов скінчені границі для  існувати не можуть.

Тепер більш детально розглянемо питання обчислення площі криволінійної трапеції.

Нехай на відрізку [а, b] задано неперервну функцію f(x), яку для зручності

Оскільки функція неперервна на відрізку [а, b], то внаслідок теореми Вейєрштрасса випливає існування m і М, які відповідно позначають найменше і найбільше значення функції на цьому відрізку. Розіб'ємо [а, b] точками x₀ ,x₁ … x_n, nєN, на частин (не обов'язково однакові) наступним чином

а=x₀ < x₁ < x₂ < … < x_n= b

і позначимо довжини утворених маленьких відрізків, відповідно

Dx₁=x₁ – x₀, Dx₂=x₂ – x₁, … , Dx_n =x_n – x_n-1.

Внаслідок неперервності функції на всьому відрізку [а, b] випливає неперервність на його частинках, тобто на кожному з отриманих відрізків також існує найменше (m_i, i=1,2,…n) і найбільше (M_i, i=1,2,…n) значення функції

[x₀, x₁] ® m₁, M₁; [x₁, x₂] ® m₂, M₂; … [x_n-1, x_n] ® m_n, M_n.

(Співпадання m_i та M_j, i, jє {1,2,…n} не обов’язкове і в доведенні не відіграє принципового значення).

Знайдемо площу зафарбованих прямокутників, які побудовані на відрізках

[x_i, x_i+1], iєN. Для першого прямокутника, одна сторона якого дорівнює довжині першого відрізку Dx₁, а інша дорівнює m₁, тому за формулою S=ab маємо

Аналогічно

…

Таким чином загальна площа всіх зафарбованих прямокутників, які повністю містяться в середині фігури, яка обмежена лініями

(таку фігуру називатимемо криволінійною трапецією) обчислюється за формулою

Площа всіх не зафарбованих прямокутників, які повністю містять криволінійну трапецію в собі обчислюється аналогічно

.

Сума називаєтьсянижньою інтегральною сумою, а сума – верхньою інтегральною сумою (такі суми ще називають нижньою і верхньою сумами Дарбу, в честь математика, який їх досліджував).

Очевидно, що m_i £ M_i, тоді з цього випливає, що

£ ,

m(b – a) £ £ £ M(b – a)

тут m(b – a) і M(b – a) - площі прямокутників, що утворені на відрізку [a, b].

Тепер усередині кожного з маленьких відрізків виберемо деяку точку наступним чином

x₀ < с₁ < x₁, x₁ < с₂ < x₂, … , x_n-1 < с_n < x_n.

Знайдемо значення функції в цих точках і утворимо вираз, який називається інтегральною сумою для функції f(x) на відрізку [a, b].

S_n = f(с₁)Dx₁ + f(с₂)Dx₂ + … + f(с_n)Dx_n =

Тоді можна записати:

m_iDx_i £ f(с_i)Dx_i £ M_iDx_i

Звідки,

де інтегральна сума.

Геометрично маємо графік функції у=f(x) обмежений зверху і знизу ламаними, які при збільшенні точок розбиття наближатимуться до функції.

Нехай l=maxDx_i – найбільший відрізок розбиття. Якщо l® 0, то кількість таких відрізків прямує до нескінченності і площа отриманих прямокутників наближатиметься до площі криволінійної трапеції, тобто

Таким чином можна сформулювати означення визначеного інтеграла.

Означення 2.3. Нехай маємо неперервну на [a, b] функцію у=f(x). Якщо для довільного розбиття відрізка [a, b], під час якого максимальний відрізок розбиття прямує до нуля і довільному виборі точок с_i інтегральна сума прямує до границіS, яка і називається визначеним інтегралом від f(x) на відрізку [a, b].

Означення 2.3'. Визначеним інтегралом називається границя інтегральної суми за умови, що найбільший відрізок розбиття прямує до нуля.

Позначатимемо визначений інтеграл наступним чином

а, b – відповідно нижня і верхня межа інтегрування, знак інтеграла,f(x) - підінтегральна функція, f(x)dx - підінтегральний вираз, х – змінна інтегрування.

Означення 2.4. Якщо для функції f(x) існує границя

то функція називається інтегрованою на відрізку [a, b].

Теорема 2.2. З неперервності функції на відрізку випливає її інтегрованість на цьому ж відрізку.