2. Властивості визначеного інтеграла.

Для визначених інтегралів справедливі властивості невизначених інтегралів.

1. Сталий множник можна виносити за знак визначеного інтеграла

Доведення. Скористаємось означенням ВІ.

.

Що й потрібно було довести.

2. Визначений інтеграл від суми (різниці) двох функцій дорівнює сумі (різниці) визначених інтегралів від цих функцій

.

Доведення. Позначимо ^. тоді

Що й потрібно було довести.

Наступна властивість випливає з двох попередніх

3. Визначений інтеграл від лінійної комбінації двох функцій дорівнює лінійній комбінації визначених інтегралів від цих функцій

4. Визначений інтеграл у якого однакові межі інтегрування дорівнює нулю

Доведення. Скориставшись означенням і врахувавши, що довжини відрізків дорівнюватимуть нулю маємо

Дійсно, скільки ВІ – це площа криволінійної трапеції (КТ), то з виродженням відрізка, на якій будується КТ, в точку отримаємо, що сама КТ вироджується у вертикальну пряму, площа якої дорівнює нулю.

5. Якщо маємо інтегровану на відрізку [a, b] функцію f(x) ≥ 0, то справедливо

Доведення. Оскільки f(x) ≥ 0 на відрізку [a, b], то з цього випливає, що f(с_і) ≥ 0, Врахувавши також, що довжини відрізків ∆x_i ≥0, маємо:

6. Якщо f(x) £ g(x) на відрізку [a, b], a < b, то

Доведення. Оскільки за умовою f(x) £ g(x), то позначимо

Функція g є інтегрованою і внаслідок властивості 5 маємо

Дійсно, з точки зору геометрії (рис.18), маємо дві криволінійні трапеції, які побудовані на одному відрізку.

Вони відрізняються між собою лише функціями f(х) та g(х) і тому площа КТ (тобто ), яка обмежена функцієюу=f(x), не перевищуватиме площі КТ (), яка обмежена функцієюу= g (x), бо за умовою f(x) £ g(x). Властивість доведено.

7. Якщо m і M – відповідно найменше і найбільше значення функції f(x) на відрізку [a, b], то:

Доведення. Оскільки m і M – відповідно найменше і найбільше значення функції f(x) на відрізку [a, b], то справедлива

З попередньої властивості випливає

Обчислимо крайні інтеграли за означенням

Тут враховано, що сума довжин всіх маленьких відрізків [х_і-1, х_і] дорівнює довжині відрізка [a, b].

Таким чином маємо

З геометричної точки зору ми маємо функцію y=f(x), яка неперервна на відрізку [a, b], і за теоремою Вейєрштрасса на цьому відрізку існують найбільше (M) і найменше (m) значення функції. Зобразимо це на рисунку 19.

Таким чином маємо три фігури (2 прямокутники та КТ). Обчислимо їх площу.

Оскільки , то отримаємо

Властивість доведено.

8. Теорема про середнє. Якщо функція f(x) неперервна на відрізку [a, b], то на цьому відрізку існує така точка с, що справедливо

Доведення. Із попередньої властивості отримаємо:

Оскільки функція f(x) неперервна на [a, b], то вона приймає на цьому відрізку всі значення від m до М. Тобто, існує число сÎ [a, b], що

.

Теорема доведено.

9. Адитивна властивість. Нехай функція f(x) неперервна на [a, b]. Для довільних дійсних чисел b ≥ c ≥ a виконується

Доведення. Скористаємось геометричною інтерпретацією визначеного інтеграла. Нехай маємо криволінійну трапецію площа якої відповідає

Зобразимо КТ на рисунку 20.

Виберемо на відрізку [a, b] точку с і побудуємо дві криволінійні трапеції на відрізках [a, с] та [с, b].

Таким чином площа КТ, яка складається із двох частин (теж криволінійних трапецій) обчислюється за формулою:

Що й потрібно було довести.

Зауваження. Ця властивість справедлива і для більшої кількості точок (с_1,…,с_n).

9. Якщо поміняти місцями межі інтегрування, то значення інтеграла зміниться на протилежне

Справедливість цієї властивості випливає із невід’ємності площі, а ВІ – це площа КТ.

10. Якщо функція f(х) інтегрована на відрізку [a, b], то з цього випливає інтегрованість | f(х) |, причому

Ця властивість випливає з геометричної інтерпретації ВІ. Внаслідок того, що функціяf(х) (рис. 21) на відрізку [a, b] може набувати від’ємних значень, то обчислюючи ВІ відбувається взаємне знищення площ.

Функція | f(х) | (рис. 22) на відрізку [a, b] не може набувати від’ємних значень за означенням модуля і тому площі не будуть взаємознищуватись.

Якщо ж функція f(х) - невід’ємна, то отримаємо, що її графік повністю співпадатиме з графіком | f(х) |. Тому справедлива нерівність

^,

з якої випливає